KONTROL OPTIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN UTAMI PRIHARTINI

Transkripsi

1 KONROL OPIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN UAMI PRIHARINI DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR

2 ABSRAK UAMI PRIHARINI. Kontrol Optimum pada Masalah Periklanan. Dibawah bimbingan ONI BAKHIAR dan ALI KUSNANO. Iklan merupakan bentuk komunikasi dan promosi terhadap barang atau jasa. Iklan bertujuan menyampaikan informasi berupa suatu pesan melalui media dan bersifat membujuk sehingga menimbulkan tanggapan khalayak. Sebuah perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan untuk membuat sebuah iklan. Hal ini merupakan permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan. Dibutuhkan suatu kebijakan yang tepat dari perusahaan untuk mengalokasikan anggaran periklanan dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Karya tulis ini membahas model respons penjualan-periklanan yang menekankan hubungan antara biaya periklanan dan tingkat penjualan. Model-model periklanan yang digunakan dalam karya tulis ini adalah model V-W dan Contagion. Masalah periklanan diformulasikan dalam bentuk masalah kontrol optimum yang melibatkan fungsi respons berbentuk-s sebagai bentuk aplikasi untuk solusi masalah maksimisasi keuntungan. Masalah kontrol optimum kemudian diselesaikan dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Selanjutnya dianalisis kestabilan titik tetap dari model. Dari model V-W dan Contagion dapat disimpulkan bahwa jika biaya iklan konstan maka tingkat penjualan yang didapat konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan sepanjang waktu. Pelibatan fungsi respons berbentuk-s menghasilkan tiga titik tetap, yaitu simpul stabil, sadel, dan spiral takstabil. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada awal mula perusahaan belum beriklan, belum ada keuntungan yang dihasilkan perusahaan. Kemudian setelah perusahaan mulai beriklan, tingkat keuntungan yang diperoleh masih sangat kecil, bahkan pada model Contagion bernilai negatif karena terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya pembuatan iklan. Pada titik tetap ketiga, tingkat keuntungan berisolasi dan membesar dari waktu ke waktu selama suatu perusahaan masih produktif.

3 ABSRAC UAMI PRIHARINI. Optimum Control in Advertising Problem. Supervised by ONI BAKHIAR and ALI KUSNANO. Advertising is a form of communication and promotion of goods or services. It aims to convey the information in form of a message through the media and persuade that generate responses from audiences. A company must pay some additional cost to make advertising. hus, it generates new problems, because in general a company will attempt to maximize the profit. It is necessary to find a right advertising policy from the company to allocate their advertising budget with some constraints. his paper discusses the sales-advertising response model that emphasizes the relationship between advertising costs and sales levels. he advertising models used in this paper are V-W model and Contagion model. Advertising problem is formulated in a form of optimal control problem which involves the S-shaped response function as a form of application for the solutions of profit maximization problem. he optimum control problem is solved using Pontryagin s maximum principle. hen, fixed points of the models are analyzed. From V-W and Contagion models it can be concluded that if the cost of advertising is constant then it will be obtained a constant level of sales, so that obtained constant profits rate is over time. Involvement of S-shaped response function produced three fixed points, i.e. stable node, saddle and unstable spiral. he simulation results show that at the beginning, the company has not advertised, there is no incentive for the company to produce. hen, after the company begins to advertise, the level of benefits is still very small even resulted in a negative value at Contagion model. he reason is because it costs too much while the sales rate can not cover the costs of making advertising. At third fixed point, the rate of return insulated and enlarged from time to time as long as a company is still productive.

4 KONROL OPIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN UAMI PRIHARINI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR

5 Judul Skripsi : Kontrol Optimum pada Masalah Periklanan Nama : Utami Prihartini NIM : G5465 Menyetujui Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. oni Bakhtiar, M. Sc. Drs. Ali Kusnanto, M. Si. NIP : NIP : Mengetahui: Ketua Departemen, Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP : anggal Lulus :

6 KAA PENGANAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SW atas segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan-nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Penyusunan skripsi ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:. Ibunda Nurani Winda Restuti dan Ayahanda Suhartono yang telah memberikan kasih sayang, dukungan, doa, pengorbanan dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis selama ini; Kakakku Oki dan Adikku Erni atas semangat dan dukungannya;. Bapak Dr. oni Bakhtiar, M.Sc. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing, atas segala masukan dan kesabarannya dalam membimbing penulis; tak lupa kepada Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku dosen penguji;. semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan); 4. Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Pak Yono, Mas Heri dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akdemik bagi penulis di Departemen Matematika; 5. Saepudin Mbul Hidayatulloh atas kasih sayang, perhatian, doa dan semangat yang selalu diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini; 6. sahabat 9 community : Vita, Phewe, Lebe terima kasih atas kebersamaan kita selama ini yang tidak akan terlupakan; 7. sahabat-sahabat tercinta : Cophy, Wira, Nia, Arum, Cupit, Resti, ania, Apri, Ketcup, Adi, Dandi, Bayu terima kasih atas semangat, dorongan, doa, perhatian kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Kebersamaan kita akan selalu dikenang; 8. teman-teman Himawari : Erni, Sipuy, eci, Indro, ika terima kasih atas kebersamaan kita selama ini dan teman-teman Ponahers : Dola, Irmoy, Mbak Yul, Epoy, Kaka, terima kasih atas semangat, doa, serta tumpangannya; 9. teman-teman Math 4: Ace, Fitria, Nene, Aini, Margi, Vera, Nidya, Rizky NS, Destya, Suci, Rizky SN, Kabil, SR, Agung, Ratna, Irsyad, Kunto, Erni, Lias, Rias, Nurmalina, Emta, Andrew, Sabar, Hendra, Lina, Arif, Ely, Bertrand, Gandi, Subro, Desi, Razon, Narsih, Cici, David, Adam, Sendy, Albrian, Zulkarnaen, Mubarok, Paisol, Dwi, Nanu, Syahrul, Kiki, Peli, terimakasih atas doa, dukungan semangatnya, terima kasih atas kebersamaannya selama tahun di Math 4;. Kak Vita atas pinjaman bukunya selama di Math, Kak Okta, Kak Luri, Kak Jane, Kak Ryu, Kak Ricken, Kak Agnes, Kak Ayu, Kak Lina, Math 4 terimakasih atas doa, dukungan semangatnya;. adik-adik Math 44: Iam, Lingga, Denda, Fajar, Ayung, Dela, yas, Mutia, Rachma, Sri, Dian, dan lainnya serta Math 45 terimakasih atas doa, semangat dan dukungannya;. teman-teman PF: Kak Poye, Dudunk, Kak Hikmeh, Via, Echa, Didi, Gigi, Wewe, Deva, Sadek, Sars, Dela, Kak Peye, dan lainnya. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat. Bogor, September Utami Prihartini

7 RIWAYA HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal Agustus 988 dari pasangan Suhartono dan Nurani Winda Restuti. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Ciganjur Pagi Jakarta lulus pada tahun, SLP Negeri Jakarta lulus pada tahun, SMU Negeri 8 Jakarta lulus pada tahun 6, dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). ahun pertama penulis memasuki ingkat Persiapan Bersama (PB) dan pada tahun 7 penulis mengikuti program Mayor-Minor dengan Mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan Minor Komunikasi. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Pengantar Diferensial Biasa pada tahun ajaran 8/9 dan Pengantar Diferensial Parsial pada tahun ajaran 9/. Penulis juga aktif dalam kegiatan kemahasiswaan, diantaranya pada tahun 6-9 penulis mengikuti kegiatan UKM Gentra Kaheman, pada tahun 7-8 menjabat sebagai Staff SOSINKOM Gumatika IPB dan tahun 8-9 menjabat sebagai Staff Keilmuan Gumatika IPB. Penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan antara lain: im Pengajar Bimbingan Belajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I PB untuk Gumatika, Staff Dokumentasi Pesta Sains tahun 7, Staff Acara Liga Gumatika tahun 8, Staff Acara ry Out SNMPN pada tahun 8, Staff Acara Matematika Ria tahun 9, Staff Komisi Disiplin Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun 8, Staff Acara Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun 9 serta im Khusus ry Out Pengantar Matematika dan Kalkulus Gumatika. Selain itu, penulis juga aktif di luar kampus, di antaranya mengikuti Sanggar ari sejak tahun 994- dan telah mengikuti berbagai kompetisi tari serta mengikuti berbagai festival tari.

8 DAFAR ISI Halaman DAFAR GAMBAR... viii DAFAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakang... ujuan... LANDASAN EORI Kontrol Optimum... Sistem Persamaan Diferensial... 5 Analisis Kestabilan... 6 Isoklin... 8 MODEL PERIKLANAN PEMBAHASAN Prinsip Maksimum... Beberapa Kasus... 5 SIMULASI Solusi dan Analisis Kestabilan Model... Kasus... Kasus... Kasus... Kasus KESIMPULAN... 8 DAFAR PUSAKA... 8 LAMPIRAN... 9 vii

9 DAFAR GAMBAR Halaman Simpul stabil... 7 Simpul takstabil... 7 itik sadel Spiral stabil Center Spiral takstabil Bidang solusi untuk u dan x pada Kasus... 8 Bidang solusi untuk u dan x pada Kasus... 9 Grafik hubungan f(u) terhadap u... 4 Bidang fase untuk u dan x pada Kasus... 4 Bidang solusi Kasus pada titik tetap pertama... 5 Bidang solusi Kasus pada titik tetap kedua... 5 Bidang solusi Kasus pada titik tetap ketiga Bidang fase untuk u dan x pada Kasus Bidang solusi Kasus 4 pada titik tetap pertama Bidang solusi Kasus 4 pada titik tetap kedua Bidang solusi Kasus pada titik tetap ketiga... 7 DAFAR LAMPIRAN Halaman Bukti eorema 4... Mencari solusi analitik dari Kasus... Bukti fungsi f(u) berbentuk-s... 4 Menentukan titik tetap pada Kasus dengan software Maple... 5 Menentukan titik tetap pada Kasus 4 dengan software Maple... 6 Matriks Jacobi untuk Kasus dan Kasus Menentukan nilai eigen pada Kasus dengan software Mathematica Menentukan nilai eigen pada Kasus 4 dengan software Mathematica Menentukan nilai eigen Kasus di setiap titik tetap (u,x) dengan Mathematica Menentukan nilai eigen Kasus 4 di setiap titik tetap (u,x) dengan Mathematica Gambar bidang fase Kasus dan Kasus 4 dengan software Maple... 7 Gambar bidang solusi Kasus dan Kasus dengan software Mathematica Gambar bidang solusi Kasus dan Kasus 4 dengan software Maple... 8 viii

10 PENDAHULUAN Latar Belakang Periklanan merupakan salah satu metode komunikasi pemasaran yang komersial dan promosi terhadap barang atau jasa. Dalam pemasaran suatu produk dibutuhkan iklan, yang bertujuan untuk meyakinkan konsumen bahwa suatu produk benar-benar berbeda atau bahkan lebih baik dibandingkan produk pesaing. Iklan berfungsi menyampaikan informasi berupa suatu pesan, pesan yang disampaikan dilakukan secara non-personal melalui media. Pesan yang disampaikan bersifat membujuk kepada konsumen yang dilakukan oleh perusahaan, maupun pribadi yang berkepentingan yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Iklan sebagai sarana promosi banyak dijumpai pada berbagai media yaitu media cetak dan media elektronik. Seorang pengiklan berusaha untuk menghasilkan peningkatan konsumsi produk melalui pengulangan dari suatu gambar atau nama produk dalam upayanya mengasosiasikan kualitas produk di benak konsumen sehingga menimbulkan tanggapan (respons) khalayak dan mendorong terjadinya penjualan. Sedangkan bagi pelanggan (konsumen), iklan dapat mendidik masyarakat dan meningkatkan kesejahteraan dengan jalan memperbaiki alokasi barang yang akan dikonsumsi sehingga dapat membentuk sikap dan opini masyarakat. Perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan untuk membuat sebuah iklan. Hal ini merupakan permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan. Maka dari itu dibutuhkan suatu kebijakan yang tepat dari perusahaan untuk mengalokasikan anggaran periklanan dengan memperhatikan kendalakendala yang ada sehingga dapat memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan untuk memodelkan pengeluaran periklanan yaitu model periklanan dinamik (dynamic advertising model). Model perikalanan dinamik merupakan aplikasi dari Prinsip Maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. erdapat dua jenis model periklanan dinamik, yaitu model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualanperiklanan (sales-advertising response model). Karya tulis ini akan membahas model respons penjualan-periklanan. Model ini menekankan hubungan antara biaya periklanan dan perubahan volume penjualan. Dalam model ini, iklan secara langsung membujuk pelanggan potensial yang belum mengkonsumsi produk agar membelinya, yaitu dengan cara memberikan informasi lebih banyak tentang produknya secara garis besar. Iklan juga ditujukan untuk mencegah pelanggan potensial yang sudah mengkonsumsi produk perusahaan tersebut agar tidak melupakan produknya dan berpindah ke produk lain. Masalah periklanan ini akan diformulasikan dalam bentuk pemrograman kontrol optimum. Calon solusi optimal diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin dengan menggunakan Current-Value Hamiltonian agar memudahkan penyelesaiannya. Supaya calon solusi optimal menjadi optimal maka diperlukan syarat Legendre-Clebsh untuk memeriksa apakah syarat perlu merupakan syarat cukup. Kemudian akan dianalisis juga kestabilan titik tetap, sehingga dari keadaan tersebut dapat ditetapkan sebuah kebijakan sebagai bentuk aplikasi dari solusi masalah maksimisasi keuntungan. Kebijakan yang akan dianalisis dengan melibatkan penggunaan kurva respons berbentuk-s. ujuan. Menyelesaikan dan menganalisis model periklanan sebagai sebuah masalah kontrol optimum dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin.. Mengidentifikasi penggunaan fungsi respons berbentuk-s terhadap tingkat penjualan dan keuntungan.. Menentukan kesetimbangan model jangka panjang dengan menganalisis kestabilan titik tetap.

11 LANDASAN EORI Kontrol Optimum eori kontrol optimum berkembang secara pesat pada tahun 5-an, dengan adanya penemuan dua metode penyelesaian masalah kontrol optimum yaitu dynamic programming (pemrograman dinamik) yang ditemukan oleh Richard Bellman (957) dan maximum principle (prinsip maksimum) oleh Pontryagin (96). Pembahasan akan difokuskan pada teknik prinsip maksimum Pontryagin. Saat waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state), yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variable) x(), t x(),..., t xn () t, atau dalam n bentuk vektor xt () R. Dengan nilai t yang berbeda, vektor x() t menempati posisi n yang berbeda di ruang R sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang n suatu kurva di R. x() t adalah peubah keadaan (state variable) yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol ut () yang mempengaruhi proses. Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial: x = f( x( t), u( t), t). (.) Misalkan keadaan (state) dari sistem diketahui pada waktu t yaitu xt ( ) = x R. Jika dipilih peubah kontrol k ut = ( u ( t), u ( t),... u k ( t)) R yang terdefinisi untuk t > t, maka diperoleh sistem x(t). x(t) merupakan respons terhadap kontrol u(t). Karena x diberikan, maka (.) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap u yang dilambangkan dengan xu (). t Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol ut () dan responsnya state x() t dihubungkan dengan fungsi J ( u) = f [ x( t), u( t), t] dt, (.) t dengan f fungsi yang diberikan. tidak harus fixed (ditentukan) dan x mempunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan suatu fungsional dengan kendala: x = f( x( t), u( t), t), sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah x dengan u pada fungsional J, maka permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum. [u, 99] Syarat Perlu Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan terdapat masalah memilih suatu vektor kontrol ut () = [ u(), t u(),..., t u()] t dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian (admissible control). Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik x = f( x( t), u( t), t), dari keadaan awal [ x, t ] ke keadaan akhir [ x, ] sehingga memaksimumkan r J ( u) S( x, ) f ( x( t), u( t), t) dt = + dengan x() t variable keadaan (state variable) dan S[ x, ] yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. [u, 99] eorema (Pontryagin) Misalkan u () t sebagai kontrol admissible yang membawa state awal [ x ( t ), t ] kepada state akhir [ x, ], dengan x dan secara umum tidak ditentukan. Misalkan x () t merupakan

12 trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u () t. Supaya kontrol u () t merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi vektor p () t sedemikian sehingga. p () t dan x () t merupakan solusi dari sistem kanonik H x ( t) = [ x ( t), u ( t), p ( t), t], p H p ( t) = [ x ( t), u ( t), p ( t), t], x dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh H [ xu,, pt, ] = f xut,, ] + pf. [ xut,, ]. [. H[ x, u, p, t] H[ x, u, p, t].. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti : [Lihat lampiran ] Catatan:. H[ x, u, p, t] H[ x, u, p, t] disebut dengan prinsip maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H u = dan H <. Jika u U dan U himpunan uu tertutup, maka H u = tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan U.. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah u i max untuk masalah memaksimumkan dan u i min untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah u untuk masalah i min memaksimumkan dan u i max untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u i adalah kontinu bagian dan loncat dari satu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang.. H[ x, u, p, t] H[ x, u, p, t] juga mencakup syarat cukup. 4. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan p mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk p > ) atau penurunan (depresiasi untuk p < ) dalam nilai dari tiap unit modal. 5. dh H = dt t 6. p = Hx, H u =, x = H p memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan t= t= [ Sx p] δx + [ H+ St] δt t= t t= t = (.) Apabila fungsi scrap S =, maka persamaan (.) menjadi t= pt () δxt () t= + Ht () δt = (.4) t= t t= t Khususnya pada waktu awal t dan x( t ) telah ditentukan, sedangkan dan x( ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p δ x + H δ = (.5) [u, 99] Current-Value Hamilton Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integran f sering memuat faktor diskon rt e. Dengan demikian, fungsi integran f secara umum dapat dituliskan menjadi f (, t x, u) = G(, t x, u) e rt, sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai rt max V = G( t, xu, ) e dt terhadap kendala x = f (, t x, u) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk rt H ( t, x, u, p) = G( t, x, u) e + p( t) f ( t, x, u). Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya

13 4 faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan current-value Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-value Hamilton, diperlukan konsep current-value fungsi adjoin. Misalkan λ () t menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan λ () t = p() t e rt, rt yang berimplikasi p() t = λ () t e. Sehingga fungsi current-value Hamilton yang dinotasikan dengan H c, dapat dituliskan menjadi ˆ rt H He = G(, t x, u) + λ () t f (, t x, u) Perhatikan bahwa Ĥ, sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa ˆ rt H He. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap Ĥ harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan Ĥ, maka max Hˆ, t [, ]. u Persamaan state yang muncul dalam sistem H kanonik, aslinya adalah xt () =. Karena p H Hˆ = f (, t x, u ) =, p λ maka persamaan state disesuaikan menjadi Hˆ xt () =. λ Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya H adalah dalam bentuk pt () =. Pertamatama, transformasikan masing-masing suku x dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, λ () t, kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, rt rt pt () = λ() te rλ() te. Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk H Hˆ rt = e x x Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi ˆ H λ() t = + rλ(). t x Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas p =, syarat r batas yang sesuai adalah λ( e ) = dan untuk syarat batas [ H ] t = =, syarat batas yang sesuai adalah ˆ rt =. He t= Syarat Cukup [u, 99] Syarat Legendre-Clebsch Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut: E( x, x, p, t) = f ( x, x, t) f ( x, p, t) ( x p) fp dengan pt (, x ) adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik (, tx. ) Jika f ( xxt,, ) diperluas dengan formula aylor akan diperoleh bentuk: ( x p) f (, xxt,) = f(, xpt,) + ( x pf ) p + f (,, )! xx txq dengan q = θ x + ( θ) p, < θ <. Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu: ( x p) Exxpt (,,, ) f ( txq,, ) =! xx dengan q = θ x + ( θ) p, < θ <. Supaya x() t mencapai minimum (atau maksimum), cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch, yaitu E ( ) yang berarti fxx ( ) atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [ fxx ] merupakan semi-definit positif (atau negatif). [u, 99] Syarat Batas dan Syarat ransversalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max [, ] J Sx f [ xt, ut, tdt ] = + ut () u (.6)

14 5 terhadap kendala xt () = f( xt (), ut (),), t xt = x, xt () R (.7) Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh [ S p ] δ x + [ H + S ] δ t = (.8) x t= t t= Pada kasus di mana x( ) taknegatif [ xi ( ) ] dengan i dan besar (dalam hal ini ), syarat batas yang harus dipenuhi adalah: * * xi ( ), pi ( ) dan * * pi ( ) xi ( ) = dengan fungsi scrap didefinisikan dengan: n Sx ci min( xi,) di mana { S ci, xi< = x, xi sehingga syarat batas pi( ) = Sx disederhanakan menjadi: pi( ), xi( ) dan pi( ) xi( ) =. Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah ekonomi, terdapat juga beberapa kesulitan dalam penggunaannya. Syarat Arrow-Kurz untuk waktu * takhingga [ p( ) x ( ) = ] ini dapat digunakan untuk kasus tertentu dengan * syarat batas p x. Untuk t yang berukuran besar akan berlaku: * * pt () x() t pt ()[ xt () x()] t * pt [ xt ] pt [ x( t)] * lim ptxt () () lim ptx () () t, x t sehingga syarat batas yang dapat digunakan: * lim ptx ( t) =, t lim ptxt >. t n [u, 99] Sistem Persamaan Diferensial Sistem Dinamik Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut: dx x f( x) dt = = ; x = [ x, x,..., x ] n dengan f ( x ) merupakan fungsi dari x. [Kreyszig, 99] Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut: x = Fxy (, ), y = G( x, y). (.9) SPD (.9) disebut sistem persamaan mandiri karena secara eksplisit f dan g tidak bergantung oleh waktu (t), dengan f dan g adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y serta mempunyai turunan parsial kontinu dengan x dan y adalah peubah bernilai real. [Verhulst, 99] Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial linear (PDL) orde dinyatakan sebagai berikut: x + atx () = gt (). (.) Jika gt () = maka persamaan (.) disebut PDL homogen dan jika gt () maka disebut PDL takhomogen. [Farlow, 994] Definisi (itik etap) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dituliskan seperti persamaan (.9), solusi yang memenuhi sistem persamaan dengan Fxy= (, ) dan Gxy (, ) = disebut titik tetap. (Kreyszig 99) itik etap Stabil Misalkan x* adalah titik tetap stabil sebuah sistem persamaan diferensial yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit dan x(t) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x() = x, dengan x x*. itik x* dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ε >, terdapat r > sehingga posisi awal x memenuhi

15 6 x x* < r, maka solusi x(t) memenuhi xt () x* < ε untuk t >. (Verhulst 99) itik etap akstabil Misalkan x* adalah titik tetap stabil sebuah sistem persamaan diferensial yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit dan x(t) adalah solusi yamg memenuhi kondisi awal x() = x, dengan x x*. itik x* dikatakan titik tetap takstabil jika untuk sebarang radius ε >, terdapat r > sehingga posisi awal x memenuhi x x < r, maka solusi x(t) memenuhi * xt () x* ε untuk paling sedikit satu t >. (Verhulst 99) Pelinearan Diberikan sistem persamaan diferensial tak linear x = f( x), x R n. (.) Dengan menggunakan perluasan aylor pada titik tetapnya, maka diperoleh x = Ax +ϕ( x), (.) dengan f f x x n A = fn fn x x n a a n = an a nn dan fungsi ϕ( x) memenuhi lim ϕ( x) =. x Akibatnya persamaan diferensial (.) dapat dihampiri oleh persamaan x = Ax. (.) Persamaan (.) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (.). (u 994) Vektor Eigen dan Nilai Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran n n, dan sistem persamaan diferensial homogen berikut x = Ax, x() = x, x n R. (.4) Suatu vektor taknol x dalam ruang R n disebut vektor eigen dari A jka untuk suatu skalar λ berlaku Ax= λx, (.5) nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka persamaan (.5) dapat ditulis kembali sebagai ( A λi) x=, (.6) dengan I matriks identitas. Persamaan di atas mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya jika A λi =. (.7) Persamaan (.7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. (Anton 995) Analisis Kestabilan itik etap Suatu titik tetap dikatakan stabil jika setiap solusi pada persamaan (.9) yang berawal dari suatu titik x() akan menuju ke titik tetap tersebut dan akan tetap berada disana sepanjang waktu. Misalkan terdapat SPDL sebagai berikut: a b A =, c d dan memiliki persamaan karakteristik det ( A λi) =, λ τλ + =, dengan τ = tr( A) = a+ b dan = det A= ad bc, maka diperoleh nilai eigen dari A adalah λ, = τ ± τ 4. (.8) Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh, sehingga terdapat dua kasus yang bergantung pada ( τ 4 ). Kasus I ( τ 4 δ) > Nilai eigen yang diperoleh real dan berbeda ( λ λ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut : x() t = cve + cve (.9) λt λt dengan λ, λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Vektor v dan v adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai- nilai eigen tersebut. Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai tiga sifat, yaitu

16 7 i. Jika nilai eigen negatif ( λ < dan λ < ) dengan τ < dan δ >, maka dari persamaan (.9) diperoleh lim xt =, sehingga titik tetapnya t bersifat simpul stabil Gambar Simpul stabil. ii. Jika nilai eigen positif ( λ > dan λ > ) dengan τ > dan δ >, maka dari persamaan (.9) diperoleh lim xt =, sehingga titik tetapnya t bersifat simpul takstabil Gambar Simpul takstabil. iii. Jika nilai eigen λ < dan λ > atau sebaliknya, dengan τ < dan δ < maka persamaan (.9) diperoleh lim xt = untuk λ < dan t lim xt t = untuk λ > atau sebaliknya, x() t akan menuju nol sepanjang vektor v dan menuju takhingga sepanjang vektor v atau sebaliknya sehingga membentuk asimtot pada bidang v dan v. itik tetap ini adalah titik sadel Gambar itik sadel. Kasus II ( τ 4 δ) = Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen real ganda ( λ = λ = λ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut λt x() t = cve + c ( tv + v ) e (.) λ t Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu a. Jika nilai eigen negatif ( λ < dan λ < ) maka dari persamaan (.) diperoleh lim xt =, sehingga titik t tetapnya bersifat stabil. b. Jika nilai eigen positif ( λ > dan λ > ) maka dari persamaan (.) diperoleh lim xt =, sehingga titik t tetapnya bersifat takstabil. Kasus III ( τ 4 δ) < Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang diperoleh adalah λ, = α ± iβ. Sistem yang memiliki nilai eigen tersebut dapat dilambangkan dengan α β x = β α atau dalam bentuk skalar x = α x+ β y (.) y = β x+ α y Dalam bentuk koordinat polar (, r θ ), x= rcos( θ) dan y= rsin( θ), sehingga y diperoleh r = x + y dan tan( θ ) =. x Selanjutnya dengan menurunkan r terhadap waktu t, diperoleh rr = xx + yy jika setiap ruas dikalikan / maka diperoleh rr = xx + yy (.) dengan mensubtitusi persamaan (.) ke dalam persamaan (.), maka akan didapatkan rr = x( α x + βy) + y( βx + αy) rr = xαx + xβy yβx + yαy rr = xαx + yαy rr = α( x + y ) Jadi diperoleh solusi

17 8 rt () = re αt (.) y Jika tan( θ ) = diturunkan terhadap t, x maka akan menghasilkan xy yx θθ = x sec ( θθ ) = sec x xy yx (.4) Dengan mensubtitusi persamaan (.) dan x sec ( θ ) = r pada persamaan (.4), akan diperoleh r θ = x( βx+ αy) y( αx+ βy) r θ = β( x + y ) r θ = βr θ = β Jadi diperoleh solusi θ() t = βt+ θ (.5) Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang bergantung pada nilai α dan β seperti pada persamaan (.) dan (.5), yaitu a. α < Jika α <, maka rt () pada persamaan (.) berkurang pada saat t bertambah. Jika β > maka θ () t pada persamaan (.5) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehinga arah gerak orbitnya akan bergerak searah jarum jam menuju titik tetap. Jika β <, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju titik tetap. Dalam hal ini titik tetapnya bersifat spiral stabil Gambar 4 Spiral stabil. b. α = Jika α =, maka rt () pada persamaan (.) tidak berubah sepanjang waktu t. Jika β > maka θ () t pada persamaan (.5) akan membesar dan jika β < maka θ () t pada persamaan (.5) akan mengecil. Karena rt () tetap, maka gerak orbit membentuk suatu lingkaran dengan titik tetapnya sebagai pusat. itik tetap tersebut disebut center Gambar 5 Center. c. α > Jika α >, maka rt () pada persamaan (.) akan semakin besar pada saat t bertambah. Jika β > maka θ () t pada persamaan (.5) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehingga arah gerak orbit akan bergerak searah jarum jam menjauhi titik tetap. Jika β <, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. itik tetap yang terjadi bersifat spiral takstabil Gambar 6 Spiral takstabil. [Strogatz 994] Isoklin Diketahui persamaan diferensial x = f( x, t). Kemiringan kurva dari persamaan di atas merupakan sebuah konstanta yang disebut sebagai isoklin dari persamaan tersebut. Selain itu, isoklin merupakan himpunan solusi dari persamaan f (x, t) = m, untuk beberapa nilai m. Cara yang baik untuk menciptakan medan arah adalah dengan menghubungkan beberapa isoklin (terutama null-cline, di mana f (x, t) = ). (u 994)

18 MODEL PERIKLANAN Dalam pemasaran produk, perusahaan menggunakan periklanan sebagai media untuk meningkatkan volume penjualan. Perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan, salah satu caranya yaitu dengan mengalokasikan anggaran periklanan secara efisien dan mengamati daya beli masyarakat dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Model yang digunakan untuk memodelkan pengeluaran periklanan yaitu model periklanan dinamik (dynamic advertising model). Model perikalanan dinamik merupakan aplikasi dari Prinsip Maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. erdapat dua jenis model periklanan dinamik, model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualan-periklanan (salesadvertising response model). Dalam karya tulis ini akan dibahas model respons penjualan-periklanan, model ini menekankan hubungan antara biaya periklanan dan perubahan volume penjualan. Dalam model ini, iklan secara langsung membujuk pelanggan potensial yang belum mengkonsumsi produk agar membelinya, yaitu dengan cara memberikan informasi lebih banyak tentang produknya secara garis besar. Iklan juga ditujukan untuk mencegah pelanggan potensial yang sudah mengkonsumsi produk perusahaan tersebut agar tidak melupakan produknya dan berpindah ke produk lain. Masalah utama dari model ini adalah bagaimana menentukan biaya periklanan optimum yang berkembang dari waktu ke waktu sehingga perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum dengan cara melibatkan penggunaan kurva berbentuk S. Untuk itu diperlukan sebuah kebijakan untuk membantu perusahaan dalam memaksimumkan keuntungan. Secara umum fungsi keuntungan π () t adalah selisih antara tingkat penjualan x() t dan tingkat pengeluaran periklanan ut () terhadap waktu t. ingkat keuntungan π () t dapat dirumuskan sebagai berikut: π () t = x() t u(). t (.) Karena permasalahan ini merupakan permasalahan kontrol optimum yang kontinu sepanjang waktu, maka waktu t dipilih berada pada selang [, ). Pada karya tulis ini, yang akan diperhatikan adalah nilai sekarang (present value) dari arus kas yang terus-menerus (dalam hal ini pendapatan yang bergantung pada tingkat penjualan), maka present value rt dari keuntungan perusahaan πe dengan tingkat suku bunga r dan rt e merupakan faktor diskon. Dengan demikian model masalah memaksimumkan keuntungan menjadi: rt max [ x() t u()] t e dt (.) u() t dengan kendala, x = gxu (, ) (.) x() = x (.4) di mana g merupakan fungsi respons, u merupakan peubah kontrol, dan x merupakan peubah state, dengan asumsi x() t dan ut () bernilai tidak negatif dan lebih besar atau sama dengan nol. Hal ini menggambarkan bahwa selalu ada biaya yang dialokasikan untuk membuat iklan atau minimal bernilai nol. Pada karya tulis ini akan dilakukan modifikasi pada bagian kendala (fungsi respons) yang akan terbagi dalam beberapa kasus, yang diambil dari model Vidale Wolve (Vidale Wolve 957) dan model Contagion (Ozga 96, Sethi 979), sehingga akan dianalisis fungsi respons g berbentuk-s. Analisis lebih mendalam pada permasalahaan di atas dibahas pada bab selanjutnya.

19 PEMBAHASAN Prinsip Maksimum Dalam menyelesaikan masalah maksimisasi keuntungan, akan digunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Penggunaan teori Kontrol Optimum dalam masalah ekonomi, fungsi integran f sering memuat rt faktor diskon e. Dengan demikian, fungsi integran f secara umum dapat dituliskan rt menjadi f = π e dengan π () t = x() t u() t sehingga masalah Kontrol Optimum menjadi memaksimumkan keuntungan a rt max [ x() t u()] t e dt u() t terhadap kendala x = gxu (, ), x() = x dalam bentuk standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk rt H( x, u) = [ x u] e + p( g( x, u)). Dengan menggunakan Current-Value Hamiltonian didapatkan fungsi Hamilton baru yaitu: H ˆ ( xu, ) = [ x u] + λ[ g( xu, )] (4.) dengan λ adalah shadow price yang merupakan vektor adjoin. Pada masalah ini didefinisikan x sebagai peubah state dan u sebagai peubah kontrol yang keduanya saling berkaitan untuk menyelesaikan persamaan (.). Pada prinsip maksimum Pontryagin dibutuhkan syarat optimalitas (syarat perlu): Ĥ x = λ + rλ (4.) Hˆ = u (4.) Hˆ = x = g ( x, u, t ). λ (4.4) Pembahasan akan dilakukan pada masalah maksimisasi keuntungan pada unit waktu tak terbatas ( t [, ) ) sehingga digunakan syarat batas rt x() = x, lim e λ() t x() t =. t Dengan menggunakan peubah kontrol u, maka akan didapat calon solusi optimal di sepanjang unit waktu tak terbatas. Untuk lebih lanjut akan dianalisis apakah syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Hal ini terpenuhi apabila Ĥ adalah fungsi cekung ke bawah (concave). urunan pertama Ĥ terhadap x yaitu Hˆ = + λgx. (4.5) x Kondisi turunan pertama tidak cukup untuk menunjukkan permasalahan pengoptimuman yang mencapai nilai maksimum atau minimum. Karena itu digunakan kondisi turunan kedua atau kondisi Legendre- Clebsch agar sebuah ekstremum menjadi minimum atau maksimum. Kondisi Legendre-Clebsch terpenuhi jika turunan kedua dari persamaan Hamilton negatif. urunan kedua Ĥ terhadap x yaitu Hˆ = λg xx (4.6) x berdasarkan asumsi diperoleh Hˆ λg xx sehingga. x Jadi terbukti bahwa H ˆ ( xu, ) adalah fungsi cekung ke bawah di x. Beberapa Kasus Di bagian ini akan dibahas model V-W, model Contagion dan model yang melibatkan fungsi berbentuk S. Kasus Pada kasus ini, model periklanan yang digunakan adalah model V-W oleh Vidale Wolfe yang menyatakan bahwa periklanan secara langsung membujuk pelanggan yang belum mengkonsumsi produk dari perusahaan agar mengkonsumsinya ketika pelanggan yang sudah mengkonsumsi produk dari perusahaan mulai mengurangi konsumsi produknya. Berdasarkan model V- W fungsi respons g adalah g( xu, ) = ρu( x) δ x (4.7) di mana ρ merupakan konstanta periklanan dan δ merupakan konstanta depresiasi. Masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t [, ) dapat ditulis sebagai berikut

20 max [ () ()] rt x t u t e dt u() t dengan kendala x = ρu( x) δ x. Dengan mensubtitusi ke persamaan (4.) didapat current value Hamiltonian menjadi: H ˆ (,,) x u t = ( x u) + λ()[ t ρu( x) δx]. (4.8) Dengan syarat optimalitas (4.) didapat: Hˆ = u + λρ( x) =, sehingga λ=. ρ ( x ) Jika ekspresi di atas diturunkan terhadap t akan diperoleh x λ =. (4.9) ρ( x) Dari syarat optimalitas (4.) dan (4.4) didapat persamaan adjoin λ = + λ[ ρu+ δ + r], (4.) dan didapat persamaan state x = ρu( x) δ x. (4.) Subtitusi persamaan (4.9) ke (4.) maka didapat * r ρ + r + 4δρ x =. (4.) ρ Dari persamaan (4.) didapat x = sehingga dari (4.) ρu( x) δ x =, maka didapat * r+ δ r + 4δρ u = (4.) ρ yang menghasilkan δu δ x u =. (4.4) ( x) ρ( x) Sehingga solusi analitiknya r ρ + r + 4δρ () = ρ * x t * r+ δ r + 4δρ u () t =. ρ (4.5) Kasus Model periklanan lain yang digunakan adalah model Contagion oleh Ozga, yang menyatakan periklanan merupakan fenomena penyebaran pengaruh secara lisan (dari mulut ke mulut), di mana respons penjualan muncul dari pihak yang membeli x dan pihak yang belum membeli ( x), fungsi respons g dinyatakan sebagai berikut g( xu, ) = ρux( x) δ x. (4.6) Masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t [, ) dapat ditulis sebagai berikut max [ () ()] rt x t u t e dt u() t dengan kendala x = ρux( x) δ x, sehingga dengan mensubtitusi ke persamaan (4.) didapat current value Hamiltonian menjadi: H ˆ ( x, u, t) = ( x u) + λ( t)[ ρux( x) δx]. (4.7) Dengan syarat optimalitas (4.) didapat: Hˆ = u + λρx( x) =, sehingga λ =. ρ x( x) Jika ekspresi di atas diturunkan terhadap t akan diperoleh x xx λ =. (4.8) ρ( x( x)) Dari syarat optimalitas (4.) dan (4.4) didapat persamaan adjoin λ = λ[ ρu( x) δ r], (4.9) dan didapat persamaan state x = ρux( x) δ x. (4.) Subtitusi persamaan (4.8) ke (4.9) maka diperoleh solusi analitiknya [lihat Lampiran ]. Kasus Selain dua kasus di atas didapatkan masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t [, ) sebagai berikut max [ () ()] rt x t u t e dt (4.) u() t dengan kendala

21 x = f( u) a( x) b( x) (4.) di mana a adalah fungsi acceleration dan b adalah fungsi decay (depresiasi) dari penjualan. Sehingga dengan mensubtitusi (4.) dan (4.) ke persamaan (4.) didapat current value Hamiltonian menjadi: H ˆ ( x, u, t) = ( x u) + λ( t)[ f( u) a( x) b( x)]. (4.) Berdasarkan syarat optimalitas dari current value Hamiltonian didapat : λ + rλ = + λ[ fax bx] (4.4) + λ fua = (4.5) x = fa b (4.6) dari persamaan (4.5) didapat : λ = fua (4.7) dengan mengambil turunan dari persamaan (4.7) terhadap waktu t maka akan didapat: ( λ ) = ( fua) dt dt λλ = f au + f a x. (4.8) uu u x Dari persamaan (4.4) didapat : λ = + λ( a f b r). (4.9) x Dengan mensubtitusikan persamaan (4.6), (4.7) dan (4.9) ke persamaan (4.8) maka akan didapat ( afu)[ + ( axf bx r)/ afu] = ( afuu) u + ( axf u)( af b). Kemudian, didapat u sebagai berikut : ax fu u = [ afu r bx+ b ]. (4.) a f x uu Pada Kasus, dibahas fungsi respons g yang memiliki ax = ( x), bx = δ xsehingga fungsi respons g berbentuk g( xu, ) = f( u)( x) δ x. Dengan mensubtitusi nilai a dan b ke persamaan (4.6) dan (4.) maka didapat x = f( u)( x) δ x (4.) δ x fu u = [( x) fu r δ ]. ( x) f (4.) Persamaan (4.) dan (4.) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear sehingga solusi analitik sistem tersebut sulit diperoleh. Solusi numerik akan diberikan di bab selanjutnya, termasuk analisis kestabilan model linear padanannnya. Kasus 4 Pada kasus ini, dibahas fungsi respons g yang memiliki ax = x( x), bx =δ x sehingga fungsi respons g berbentuk uu g( xu, ) = f( ux ) ( x) δ x. Dengan mensubtitusi nilai a dan b ke (4.6) dan (4.) didapat x = f( u) x( x) δ x (4.) δ ( x) fu u = x( x) fu r δ +. ( x) (4.4) fuu Persamaan (4.) dan (4.) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear sehingga untuk mendapatkan solusinya harus dilakukan pelinearan. Pada bab selanjutnya akan diperlihatkan analisis kestabilan model linear padanannnya serta solusi numeriknya.

22 SIMULASI Untuk mengilustrasikan bentuk-bentuk khusus dari berbagai macam fungsi dan parameter yang dibentuk dari persamaan rt max ( x ue ) dt u() t dengan kendala x = gxu (, ) x() = x maka akan dilakukan simulasi terhadap beberapa kasus berikut : Kasus Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g( xu, ) = ρu( x) δ x Dari persamaan (4.5), dengan memasukkan nilai parameter r =.8, ρ =, δ =. diperoleh solusi analitiknya yaitu : * x ( t) =.78 * u ( t) =.8 Solusi analitik tersebut bila digambarkan berupa gambar berikut : ingkat Pengeluaran Periklanan HuL dan ingkat Penjualan HxL x(): t ut (): waktuhtl Gambar 7 Grafik hubungan x dan u terhadap t. Gambar 7 merupakan bidang solusi yang diperoleh dengan menggambarkan persamaan (4.5), dengan parameterparameter yang digunakan r =.8, ρ =, δ =.. Pada Gambar 7 dapat dilihat bahwa pada saat biaya iklan yang dikeluarkan konstan maka akan menghasilkan tingkat penjualan yang konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan terhadap waktu t sebesar π * =.674. Dari permasalahan Kasus, solusi analitik tedapat dalam lampiran persamaan (5), bila dengan dimasukkan nilai parameter r =.8, ρ =, δ =. diperoleh solusi analitiknya yaitu : * x ( t) =.767 * u ( t) =.9 Dari solusi analitik tersebut didapat gambar berikut : ingkat Pengeluaran Periklanan HuL dan ingkat Penjualan HxL x(): t ut (): waktuhtl Gambar 8 Grafik hubungan x dan u terhadap t. Gambar 8 merupakan bidang solusi yang diperoleh dengan menggambarkan solusi analitik di atas, dengan parameter-parameter yang digunakan r =.8, ρ =, δ =.. Pada Gambar 8 terlihat bahwa pada saat biaya iklan yang dikeluarkan konstan maka akan menghasilkan tingkat penjualan yang konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan terhadap waktu t sebesar π * =.68. Kasus Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g( xu, ) = f( u)( x) δ x Dipilih fungsi 8u f ( u) = + u dengan analisis sederhana dapat diperlihatkan bahwa kurva fungsi di atas berbentuk-s [bukti lihat Lampiran ], sehingga didapat kurva f(u) berbentuk-s berikut: Kasus Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g( xu, ) = ρux( x) δ x

23 Gambar 9 Grafik hubungan f(u) terhadap u. Gambar 9 merupakan gambar dari fungsi berbentuk-s, yang menggambarkan bahwa biaya periklanan yang dikeluarkan pada awalnya selalu meningkat dari waktu ke waktu hingga mencapai titik maksimum kemudian konstan menuju garis batasnya. Analisis itik etap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( x = dan u = ) dengan parameter yang digunakan r =.8, δ =., sehingga dari persamaan (4.) dan (4.) didapat : f( u)( x).x =.x f [( x) f.8. ] u u = ( x) f uu Dengan menggunakan Software Maple didapat beberapa nilai titik tetap yaitu (,), (.,.6) dan (.6,.9). (bukti lihat Lampiran 4) Persamaan (4.) dan (4.) merupakan persaman taklinear sehingga dilakukan pelinearan sebagai berikut x x x x u x u = u u u x u x x x u di mana J = merupakan matriks u u x u Jacobi. Selanjutnya akan dianalisis titik tetap berdasarkan kestabilannya. Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ = λ =. Karena =.> dan λ <, λ < sehingga di titik (,) merupakan simpul stabil. Untuk titik tetap (.,.6) diperoleh matriks Jacobi J (.,.6) =.... Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ =.9 λ =.9 karena =. < dan λ >, λ < sehingga di titik (.,.6) merupakan titik sadel. Untuk titik tetap (.6,.9) diperoleh matriks Jacobi J (.6,.9) = Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ = i λ =.9.57i karenaτ =.8 > dan τ 4 =.< sehingga di titik (.6,.9) merupakan spiral tak stabil... Untuk titik tetap (,) diperoleh matriks Jacobi (,) J =. Gambar Bidang fase untuk u dan x.

24 5 Gambar merupakan bidang fase dari Kasus, terdapat tiga titik tetap yaitu di titik (,) bersifat stabil, di titik (.,.6) bersifat sadel dan di titik (.6,.9) bersifat spiral tak stabil. x(): t ut (): π (): t x(): t ut (): π (): t Gambar Bidang solusi untuk u dan x. Gambar Bidang solusi untuk u dan x. Gambar merupakan bidang solusi untuk u dan x yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai u =. dan x =., sehingga kurva tersebut menuju titik (,). Pada titik ini menunjukkan belum ada keuntungan yang dihasilkan sebuah perusahaan bila tidak ada biaya periklanan yang dikeluarkan. x(): t ut (): π (): t Gambar Bidang solusi untuk u dan x. Gambar merupakan bidang solusi untuk u dan x, terlihat kurva yang menjauhi titik (.,.6) bila dimasukkan nilai u =.5 dan x =.5, karena di titik tersebut bersifat sadel, artinya di titik tersebut tidak stabil. itik ini menggambarkan, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, pada titik ini diperoleh tingkat keuntungan sebesar π =.5. Gambar merupakan bidang solusi untuk u dan x yang berbentuk spiral dekat dengan titik (.6,.9), karena di titik tersebut bersifat spiral takstabil. itik ini menunjukkan dinamika biaya iklan u dan tingkat penjualan x terhadap waktu t yang selalu berisolasi. Pada titik ini tingkat keuntungan yang diperoleh perusahaan sebesar π =.756. Berdasarkan Gambar dapat dilihat bahwa biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi dari waktu ke waktu. Kasus 4 Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g( xu, ) = f( ux ) ( x) δ x Dengan menggunakan fungsi 8u f ( u) = ( + u ) yang berbentuk-s maka akan dilakukan analisis titik tetap. Analisis itik etap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( x = dan u = ) dengan parameter yang digunakan r =.8, δ =., sehingga dari persamaan (4.) dan (4.4) didapat : f( u) x( x).x =.( ) [ x ( x ) f x f.8. ] u u +. ( x) f = uu Dengan menggunakan Software Maple didapat beberapa nilai titik tetap yaitu (,), (.7,.67) dan (.74,.95). (bukti lihat Lampiran 5)

25 6 Persamaan (4.) dan (4.4) merupakan persaman taklinear sehingga dilakukan pelinearan sebagai berikut x x x x u x u = u u u x u x x x u di mana J = merupakan matriks u u x u Jacobi. Selanjutnya akan dianalisis titik tetap berdasarkan kestabilannya. Untuk titik tetap (,) diperoleh matriks Jacobi : J (,) = 5 Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ = 5 λ = karena =.> serta λ <, λ < sehi ngga di titik (,) merupakan simpul stabil. Untuk titik tetap (.7,.67) diperoleh matriks Jacobi: J (.7,.67) = Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ =. λ =. karena =. < dan λ <, λ > sehingga di titik (.7,.67) merupakan titik sadel. Untuk titik tetap (.74,.95) diperoleh matriks Jacobi:.. J (.74,.95) = Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ = i λ =.4.58i karenaτ =.8 > danτ 4 =.6< sehingga di titik (.4,.7) merupakan spiral tak stabil. Gambar 4 Bidang fase untuk u dan x. Gambar 4 merupakan bidang fase dari kasus 4, terdapat tiga titik tetap yaitu di titik (,) bersifat stabil, di titik (.7,.67) bersifat sadel dan di titik (.74,.95) bersifat spiral tak stabil. x(): t ut (): π (): t Gambar 5 Bidang solusi untuk u dan x. Gambar 5 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai u =. dan x =., sehingga menuju titik (,). itik ini menunjukkan belum ada keuntungan yang.

26 7 dihasilkan sebuah perusahaan bila tidak ada biaya periklanan yang dikeluarkan. dikeluarkan perusahaan dalam membuat iklan. x(): t ut (): π (): t x(): t ut (): π (): t Gambar 6 Bidang solusi untuk u dan x. Gambar 6 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang kurvanya menjauhi titik (.7,.67) bila dimasukkan nilai u =.74 dan x =.68, karena di titik tersebut bersifat sadel, artinya di titik tersebut tidak stabil. itik ini menggambarkan, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, namun tingkat keuntungan yang diperoleh negatif sebesar π =.6 Hal ini terjadi karena terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya yang Gambar 7 Bidang solusi untuk u dan x. Gambar 7 merupakan bidang solusi untuk u dan x, kurva di atas berbentuk spiral dekat dengan titik (.74,.95), karena di titik tersebut bersifat spiral takstabil. itik ini menggambarkan dinamika biaya iklan u maupun tingkat penjualan x yang terlihat berisolasi. Pada Gambar 7 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu t, biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi. Pada titik ini tingkat keuntungan yang diperoleh perusahaan sebesarπ =.75.

27 KESIMPULAN Metode Kontrol Optimum dengan pendekatan Prinsip Maksimum Pontryagin dapat digunakan untuk masalah maksimisasi keuntungan. Dalam karya tulis ini dibahas masalah maksimisasi keuntungan dengan kendala laju tingkat penjualan perusahaan dalam permasalahan model periklanan suatu perusahaan yang menginginkan keuntungan maksimum dengan mengidentifikasi penggunaan kurva respons berbentuk-s. Simulasi menunjukkan bahwa pada model periklanan V-W dan Contagion yang tidak menggunakan fungsi berbentuk-s menggambarkan saat biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk periklanan konstan maka menghasilkan tingkat penjualan yang konstan sehingga tingkat keuntungan yang diperoleh konstan. Sedangkan pada model yang melibatkan penggunaan fungsi berbentuk-s, diperoleh tiga titik tetap yaitu. stabil, sadel dan spiral takstabil. Pada titik stabil digambarkan perusahaan belum ada keuntungan bila tidak ada biaya yang dikeluarkan untuk iklan. Pada titik sadel, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, namun pada model keempat tingkat keuntungan yang diperoleh negatif dikarenakan terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya yang dikeluarkan dalam membuat iklan. Pada titik spiral takstabil, biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi dari waktu ke waktu, sehingga tingkat keuntungan pun berisolasi dan membesar dari waktu ke waktu sampai batas yang tidak ditentukan, kemudian kembali menuju titik stabil. DAFAR PUSAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-5. erjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Farlow SJ An Introduction to Differential Equation and heir Application. Mc Graw-Hill, New York. Feinberg, M.. On Continuous-ime Optimal Advertising Under S-Shaped Response. Management Sci. 47() Kreyszig E. 99. Matematika eknik Lanjutan. erjemahan Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Ozga S. 96. Imperfect Market through lack of Knowledge. Quart. J. Econom Sethi SP Optimal Advertising with the Contagion Model. J. Optim. heory Appl. 9(4) Sethi SP, hompson L. 98. Optimal Control heory: Applications to Management Science. M. Nijhoff Publishers, Hingham, MA, and Kluwer, Boston, MA. Strogatz SH Nonlinear Dynamics and Chaos with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Perseus Books, New York. u PNV. 99. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin. u PNV Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin. Verhulst F. 99. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Springer Verlag, Germany. Wolfe, Vidale An Operations Research Study of Sales Response to Advertising. Oper. Res

28 LAMPIRAN

29 Lampiran. Bukti eorema 4 Diketahui masalah memaksimumkan: J ( x) = S( x( ), ) + f ( x( t), u( t), t) dt () dengan kendala : x() t = f( x(), t u(),) t t dt () Misalkan x() = x, t =, sedangkan x( ) dan keduanya tidak ditentukan. Fungsi scrap Sx (, ) dapat dituliskan sebagai: d S( x( ), ) = S( x,) + S( x( t), t) dt dt () sehingga persamaan () menjadi: d J = S( x,) + f( x, u, t) + S( x( t), t) dt dt (,) Sx f (.) x S = dt x t (4) dengan x() t, ut (), f (,, ) xut dan Sxt (, t ) secara sederhana dapat dituliskan sebagai x, u, f (.) dan S. Dapat dilihat bahwa upaya untuk mengoptimalkan persamaan (4) tidak dipengaruhi S pada saat t = tetapi ditentukan oleh integral persamaan tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) J ( u ) sebagai: J ( u) = F( x, x, p, u, t) dt (5) a S S dengan F( x, x, p, u, t) = f (.) + p( f(.) x ) + x + x t S S = H( x, u, p, t) px + x + (6) x t dengan H( xu,, pt, ) = f( xu,, pt, ) + pf( xut,, ) adalah Hamiltonian. Syarat perlu dengan fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah δ J ( u) =. Untuk dan x( ) tidak ditentukan, nilai δ J ( u) = diperoleh seperti pada kalkulus variasi yaitu : a d δja( u) = [ ] Fx Fx δx+ Fuδu + Fpδ p dt+ Fxδx+ F Fxx δ t = t= dt (7) d Agar persamaan (7) dipenuhi maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu Fx Fx =. dt d d Sedangkan Fx Fx = Hx + ( Sxx + St) ( Sx p) dt x dt = H + S x + S S x S + p x xx xt xx xt = Hx + p (8) Sehingga persamaan euler ini memberikan p = H (9) Variasi δ u dan δ p mempunyai sifat saling bebas sehingga koefisiennya bernilai nol, yaitu F u = dan F p =. Persamaan (.6) memberikan Fu = Hu dan Fp = f(.) x = Hp x, sehingga H = () u x = f( x, u, t) = H p () Selanjutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7), yaitu [ Fx δx+ ( F Fx x ) δ t] = () t= karena Fx = Sx p F xf = H px + S x + S xs + xp = H + S t maka persamaan () menjadi x x t x x a a

30 ( S p ) δ x + ( H + S ) δ t = () x t= t t= persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila x( t ) dan t belum ditentukan, maka syarat batas menjadi ( S p ) x t = t x ( H S ) t = δ + + t t δ = (4) = t= yang menghasilkan teorema Pontryagin. Lampiran. Mencari solusi analitik dari Kasus Jika mensubtitusi persamaan (4.7) ke (4.8) didapat hasil akhir 4 ρx ρx + x( ρ δ + r) r = Dengan menggunakan Softwre Mathematica 6. didapat + (( i )( rρ δρ ρ )) * x () t = / / ρ 9rρ + 8δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 8δρ ρ ) ( rρ δρ ρ rρ δρ ρ rρ δρ ρ ) ( + i ) ( ) + (9 + 8 ) / 6 ρ kemudian bila diturunkan terhadap t menjadi x = sehingga ρux( x) δ x =, yang δ menghasilkan u =, bila nilai x dimasukkan maka akan didapat solusi analitik: ρ( x) + (( i )( rρ δρ ρ )) * x () t = / / ρ 9rρ + 8δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 8δρ ρ ) ( rρ δρ ρ rρ δρ ρ rρ δρ ρ ) ( + i ) ( ) + (9 + 8 ) / 6 ρ / / / / r i r / / δ i δ rρ i rρ δρ i δρ ρ i ρ + rδ i rδ / / / / / / * r + δ 9 u () t = + + / ρ 9rρ + 8δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 8δρ ρ ) r / / / / / / / r i / / / / / 9 / + r i r δ δ i δ i δ ρ ρ i ρ i ρ + ( 9rρ + 8δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 8δρ ρ ) ) / / i i / / ( rρ + ) / 8δρ ρ 4(rρ δρ ρ ) (9rρ 8δρ ρ ) 6 ρ 9ρ ρ ρ ( 9rρ 8δρ ρ 4(rρ δρ ρ ) (9rρ 8δρ ρ ) ) i / / ρ 6 ρ Lampiran. Bukti fungsi f(u) berbentuk S Untuk membuktikan f(u) berbentuk-s dengan mencari titik kritis dengan turunan pertama terhadap u: 4u fu ( u) = ( + u ) 48 u( u ) fuu ( u) = ( + u ) Mencari titik ekstrem dan fungsi naik dan turun dengan: / / / (5)

31 4u fu ( u) = = (+ u ) u = f ( u ) + + u Untuk mencari kecekungan dan titik belok maka diuji turunan kedua 48 u( u ) fuu ( u) = = ( + u ) didapat u =.68 titik belok + _ fuu ( u) dengan f() =, f () =, f( u) u = 8, f '( u) u = Sehingga didapat kurva f(u) berbentuk-s pada Gambar 9. Lampiran 4. Mencari nilai titik tetap ( u, x) pada Kasus dengan menggunakan software Maple Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini: (4 ut ) ( xt ())(4 ut ()) δ xt ()() ( + ut ) sys : = diff ( u( t), t) = r δ +, ( + ut ) ( xt ) 48 ut ( ut ) ( ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = ( x( t)) δ xt + ut (4 u ) ( x) (4 u ) x ( u ) 8 u solve δ + r δ +, ( x) δ x, { x, u} ( + u ) ( x) 48 u ( u ) + u ( u ) + diperoleh beberapa titik tetap maka titik tetap yang memenuhi (,), (.,.6) dan (.6,.9).

32 Lampiran 5. Mencari nilai titik tetap ( u, x) pada Kasus 4 dengan menggunakan software Maple Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini: (4 ut ) xt () ( xt ()) (4 ut ()) δ ( xt ()) ( + ut ) sys: = diff ( u( t), t) = r δ +, ( + ut ) ( xt ) 48 ut ( ut ) ( ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = xt () ( xt ()) δ xt () + ut (4 u ) x ( x) (4 u ) ( x) ( u ) 8 u solve δ + r δ +, x ( x) δ x, { x, u} ( + u ) ( x) 48 u ( u ) + u ( u ) + diperoleh beberapa titik tetap maka titik tetap yang memenuhi (,), (.7,.67) dan (.74,.95). Lampiran 6. Matriks Jacobi untuk Kasus dan Kasus 4 Kasus Dari persamaan (4.8) dan (4.9) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu : f δ fu ( x) Jux (, ) = δ f u fu f uuu δx fu f uuu fu ( x) f u + r δ ( x) fuu ( fuu ) ( x) ( fuu ) digunakan f( u) = 8u + u ( ) sehingga matriks Jacobi menjadi : 8u 4 u ( x ) δ + u (+ u ) J = 4 4u δ ( u + u ) 6 6 ( ) 6 ( ) ( + u x u + u x 8u + u )( r( x ) δ ) + 4u ( + u + u 6 ) ( u ) ( x ) Kasus 4 Dari persamaan (4.) dan (4.) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu :