G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel."

Transkripsi

1 G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik (a, b) jika f(x, y) f(a, b) untuk setiap titik (x, y) dalam daerah sekitar (a,b). (ii) Suatu fungsi f(x, y) memiliki maksimum lokal pada titik (a, b) jika f(x, y) f(a, b) untuk setiap titik (x, y) dalam daera sekitar (a,b). Definisi. (iii) Suatu fungsi f: D R, D R, memiliki minimum global pada titik (a, b) jika f(x, y) f(a, b) untuk setiap titik (x, y) D. (iv) Suatu fungsi f: D R, D R, memiliki maksimum global pada titik (a, b) jika f(x, y) f(a, b) untuk setiap titik (x, y) D. Perhatikan ilustrasi berikut. H. Titik Kritis Gambar 1. Minimum lokal dan maksimum lokal Selanjutnya, diberikan konsep titik kritis pada fungsi 2 variabel. Pada definisi titik kritis untuk 1 variabel, titik x = c adalah titik kritis fungsi f(x) jika salah satu kondisi berikut terjadi, yaitu a. f (c) = 0 b. f(c) ada dan f (c) tidak ada. Berikut diberikan definisi titik kritis untuk fungsi 2 variabel. Definisi. Titik (a, b) adalah titik kritis dari f(x, y) jika salah satu kondisi dari dua syarat berikut berlaku, (i) f(a, b) = f (a, b), f (a, b) = (0,0), (ii) f(a, b) ada dan f (a, b) dan/atau f (a, b) tidak ada.

2 Teorema. Jika (a, b) adalah titik kritis f(x, y) dan turunan kedua dari turunan parsial adalah kontinu dalam suatu daerah yang memuat (a, b). Dan jika D didefinisikan, D = D(a, b) = f (a, b) f (a, b) f (a, b) f (a, b) = f (a, b)f (a, b) f (a, b) diperoleh beberapa klasifikasi dari titik kritis sebagai berikut: 1. Jika D > 0 dan f (a, b) > 0 maka didapat mínimum lokal pada (a, b). 2. Jika D > 0 dan f (a, b) < 0 maka didapat maksimum lokal pada (a, b). 3. Jika D < 0 maka titik (a, b) adalah titik pelana (saddle point). 4. Jika D = 0 maka titik (a, b) mungkin mínimum lokal, maksimum lokal atau titik pelana. Gambar 2. Klasifikasi titik kritis untuk fungsi satu variabel Contoh 1. Tentukan dan klasifikasikan titik kritis fungsi f(x, y) = x + y 3xy + 4. Penyelesaian: Untuk mendapatkan titik kritis: f = 3x 3y = 0 f = 3y 3x = 0 Dari kedua persamaan di atas (dengan substitusi) diperoleh 3x(x 1) = 0, sehingga x = 0 atau x = 1. Untuk x = 0 diperoleh y = 0, sedangkan untuk x = 1 diperoleh y = 1. Jadi diperoleh 2 titik kritis (0,0) dan (1,1). Sekarang akan ditentukan klasifikasi dari kedua titik kritis tersebut. Diperoleh D(x, y) = f (a, b) f (a, b) 3 = 6x = 36xy 9. f (a, b) f (a, b) 3 6y a. Untuk titik (0,0) diperoleh D = D(0,0) = 9 < 0, sehingga (0,0) merupakan titik pelana. b. Untuk titik (1,1) diperoleh D = D(1,1) = 27 > 0 dan f (1,1) = 6 > 0 sehingga (1,1) merupakan titik minimum lokal dengan nilai minimum f(1,1) = (1) + (1) 3(1)(1) + 4 = 3.

3 Titik minimum lokal (1,1,3) Gambar 3. Grafik fungsi f(x, y) = x + y 3xy + 4 Contoh 2. Tentukan dan klasifikasikan titik kritis fungsi f(x, y) = 3x y + y 3x 3y + 2. Penyelesaian: Untuk mendapatkan titik kritis: f = 6xy 6x = 0 f = 3x + 3y 6y = 0 Dari persamaan pertama diperoleh 6x(y 1) = 0, Sehingga x = 0 atau y = 1. Untuk x = 0 : 3(0) + 3y 6y = 0 diperoleh y = 0, y = 2. Untuk y = 1: 3x + 3(1) 6(1) = 0 diperoleh x = 1, x = 1. Jadi diperoleh 4 titik kritis (0,0), (0,2), (1,1), ( 1,1). Sekarang akan ditentukan klasifikasi dari kedua titik kritis tersebut. Diperoleh D(x, y) = f (a, b) f (a, b) 6 6x = 6y f (a, b) f (a, b) 6x 6y 6 = (6y 6) 36x. a. Untuk titik (0,0) diperoleh D = D(0,0) = 36 > 0 dan f (0,0) = 6 < 0 sehingga (0,0) merupakan titik maksimum lokal dengan nilai maksimum f(0,0) = 3(0) (0) + (0) 3(0) 3(0) + 2 = 2. b. Untuk titik (0,2) diperoleh D = D(0,2) = 36 > 0 dan f (0,2) = 6 > 0

4 sehingga (1,1) merupakan titik minimum lokal dengan nilai minimum f(0,2) = 3(0) (2) + (2) 3(0) 3(2) + 2 = 2. c. Untuk titik (1,1) diperoleh D = D(1,1) = 36 < 0 sehingga (1,1) merupakan titik pelana. d. Untuk titik ( 1,1) diperoleh D = D( 1,1) = 36 < 0 sehingga ( 1,1) merupakan titik pelana. Titik maksimum lokal (0,0,2) Titik minimum lokal (0,2,-2) Gambar 4. Grafik fungsi f(x, y) = 3x y + y 3x 3y + 2 I. Algoritma Minimum dan Maksimum Global Berikut diberikan algoritma untuk menentukan global extrema, yaitu minimum dan maksimum global. 1. Tentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah asal D dan tetapkan nilai fungsinya. 2. Tentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary). 3. Nilai terkecil dan terbesar yang didapat dalam kedua langkah di atas adalah nilai minimum global dan nilai maksimum global. Contoh 3. Tentukan titik minimum global dan maksimum global dari f(x, y) = x + 4y 2x y + 4 pada daerah segi empat yang didefinisikan sebagai 1 x 1 dan 1 y 1. Penyelesaian: Daerah segi empat yang dimaksud adalah

5 Gambar 5. Daerah segi empat Garis batas segi empat tersebut adalah Sisi kanan : x = 1, 1 y 1 Sisi kiri : x = 1, 1 y 1 Sisi atas : y = 1, 1 x 1 Sisi bawah : y = 1, 1 x 1 1. Menentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah asal D dan tetapkan nilai fungsinya. f = 2x 4xy = 0 (1) f = 8y 2x = 0. (2) Dari persamaan (2) diperoleh y =, sehingga dari (1) diperoleh 2x 4x = 0 x(2 x ) = 0 x = 0 atau x = ± 2 = ± Karena daerah asal terbatas pada 1 x 1, sehingga yang memenuhi adalah x = 0, sedangkan x = ± 2 tidak memenuhi. Diperoleh y = = = 0. Dalam hal ini, diperoleh titik kritis tunggal, yaitu (0,0), dengan nilai fungsi f(0,0) = Menentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary). (i) Garis batas kanan: x = 1, 1 y 1 Didefinisikan fungsi g(y) = f(1, y) = 1 + 4y 2(1 )y + 4 = 4y 2y + 5. Kemudian mencari titik kritis g(y) pada range 1 y 1. g (y) = 0 8y 2 = 0 y =.

6 Nilai g pada titik-titik ujung y = 1, y = 1 dan titik kritis y = adalah g( 1) = 11, g(1) = 7, g = = Karena g(y) = f(1, y), maka f(1, 1) = 11, f(1,1) = 7, f 1, = (ii) Garis batas kiri: x = 1, 1 y 1 Didefinisikan fungsi g(y) = f( 1, y) = 4y 2y + 5 Diperoleh fungsi yang sama seperti pada (i), sehingga diperoleh titik kritis y =. Nilai g pada titik-titik ujung y = 1, y = 1 dan titik kritis y = adalah g( 1) = 11, g(1) = 7, g = = Karena g(y) = f( 1, y), maka f( 1, 1) = 11, f( 1,1) = 7, f 1, = (iii) Garis batas atas: y = 1, 1 x 1 Didefinisikan fungsi h(x) = f(x, 1) = x + 4(1 ) 2x (1) + 4 = x + 8 Kemudian mencari titik kritis h(x) pada range 1 x 1. h (x) = 0 2x = 0 x = 0. Nilai h pada titik-titik ujung x = 1, x = 1 dan titik kritis x = 0 adalah h( 1) = 7, h(1) = 7, h(0) = 8. Karena h(x) = f(x, 1), maka f( 1,1) = 7, f(1,1) = 7, f(0,1) = 8. (iv) Garis batas bawah: y = 1, 1 x 1 Didefinisikan fungsi h(x) = f(x, 1) = 3x + 8 Kemudian mencari titik kritis h(x) pada range 1 x 1. h (x) = 0 6x = 0 x = 0. Nilai h pada titik-titik ujung x = 1, x = 1 dan titik kritis x = 0 adalah h( 1) = 11, h(1) = 11, h(0) = 8. Karena h(x) = f(x, 1), maka f( 1, 1) = 11, f(1, 1) = 11, f(0, 1) = 8. Dari proses di atas diperoleh f(0,0) = 4 f(1, 1) = 11 f(1,1) = 7 f 1, = 4.75 f( 1,1) = 7 f( 1, 1) = 11 f 1, = 4.75 f(0,1) = 8 f(0, 1) = 8

7 3. Jadi, titik minimum global pada (0,0) dengan nilai minimum 4 dan titik maksimum global pada (1,1) dan ( 1,1) dengan nilai maksimum 11. Contoh 4. Tentukan titik minimum global dan maksimum global dari f(x, y) = 2x y + 6y pada daerah lingkaran dengan radius 4, yaitu x + y 16. Penyelesaian: 1. Menentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah di dalam lingkaran dan tetapkan nilai fungsinya. f = 4x = 0 (1) f = 2y + 6 = 0. Diperoleh x = 0 dan y = 3. Sehingga titik kritis fungsi adalah (0,3), dengan nilai fungsi f(0,3) = Menentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary) berbentuk lingkaran x + y = 16. Karena x = 16 y, sehingga diperoleh g(y) = 2(16 y ) y + 6y = 3y + 6y Kemudian mencari titik kritis g(y) pada range 4 y 4. g (y) = 0 6y + y = 0 y = 1. Nilai g pada titik-titik ujung y = 4, y = 4 dan titik kritis y = 1 adalah g( 4) = 40, g(4) = 8, g(1) = 35. Karena x = 16 y, sehingga diperoleh y = 4: x = = 0 x = 0 y = 4 x = = 0 x = 0 y = 1 x = 16 1 = 15 x = ± 15 Dikembalikan ke fungsi f(x, y) diperoleh f(0, 4) = 40 f(0,4) = 8 f 15, 1 = 35 f 15, 1 = Jadi, titik minimum global pada (0, 4) dengan nilai minimum 40 dan titik maksimum global pada ( 15, 1) dan ( 15, 1) dengan nilai maksimum 35.

8 Tugas Tentukan mínimum lokal, maksimum lokal atau titik pelana dari fungsi berikut. a. f(x, y) = 9 2x + 4y x 4y b. f(x, y) = x sin y Kemudian tunjukkan grafik dengan menggunakan Software Mathematica. 2. Tentukan mínimum global dan maksimu global dari fungsi berikut. a. f(x, y) = x + y + x y + 4, D = {(x, y) x 1, y 1} b. f(x, y) = 4x + 6y x y, D = {(x, y) 0 x 4,0 y 5}. Kemudian tunjukkan grafik dengan menggunakan Software Mathematica.

Nilai Ekstrim. (Extreme Values)

Nilai Ekstrim. (Extreme Values) TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1, dimana pengukuran

Lebih terperinci

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I.. 3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)

DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308) DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 4 PENERAPAN TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa

Lebih terperinci

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika diberikan suatu fungsi f dan daerah asal S seperti gambar di samping.

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua

Lebih terperinci

x 3 NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan limit matematis dapat dituliskan sebagai berikut: lim

x 3 NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan limit matematis dapat dituliskan sebagai berikut: lim NAMA : KELAS : A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan it matematis dapat dituliskan sebagai berikut: x 3 (2x -1) =.. Grafiknya dapat diperhatikan sebagai berikut:

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Fungsi Dua Peubah Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga harga dua peubah bebas

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 4 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yg Lalu) 1. Tentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = x 3 2x 2 + x + 1 naik atau turun. Tentukan pula pada

Lebih terperinci

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 999 Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0. Misalkan diketahui fungsi f dengan ; 0 f() = ; < 0 Gunakan de nisi turunan untuk memeriksa aakah f 0 (0)

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,

Lebih terperinci

Tugas Praktikum Matematika Dasar I Ringkasan Materi Maple

Tugas Praktikum Matematika Dasar I Ringkasan Materi Maple Tugas Praktikum Matematika Dasar I Ringkasan Materi Maple Nama : YULI ARDIKA PRIHATAMA NIM : K2308062 Prodi : Pendidikan Fisika Kelas/Angkatan : B/2008 PENDAHULUAN Maple adalah sebuah software yang biasa

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)

Lebih terperinci

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut

Lebih terperinci

TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ TEOREMA UJI TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id UJI TURUNAN I-ekstrim relati Andaikan kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i)

Lebih terperinci

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

G (x,y,z) F(x,y,z) + (x,y,z)

G (x,y,z) F(x,y,z) + (x,y,z) LAGRANGE MULTIPLIERS Metode untuk menentukan harga/nilai maksimum atau minimum relatif dari suatu fungsi yang dibatasi oleh suatu kondisi (constrain conditions). Misal: Fungsi yang akan dicari maksimum

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn

Lebih terperinci

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 18 September 2013

Hendra Gunawan. 18 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 18 September 2013 Review: Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada [a,b],, f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka

Lebih terperinci

Derivatif Parsial (Fungsi Multivariat)

Derivatif Parsial (Fungsi Multivariat) Derivatif Parsial (Fungsi Multivariat) week 12 W. Rofianto, ST, MSi FUNGSI MULTIVARIAT Fungsi dapat memiliki lebih dari satu variabel bebas. Fungsi demikian biasanya disebut sebagai fungsi multivariat.

Lebih terperinci

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK 0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak

Lebih terperinci

BEBERAPA TEKNIK DISTRIBUSI FUNGSI PEUBAH ACAK

BEBERAPA TEKNIK DISTRIBUSI FUNGSI PEUBAH ACAK 0 BEBERAPA TEKNIK DISTRIBUSI FUNGSI PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas beberapa teknik yang digunakan dalam menentukan distribusi dari fungsi peubah acak, yaitu teknik fungsi distribusi, teknik transformasi

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan

Lebih terperinci

PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI

PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik

Lebih terperinci

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.

PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22 TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi 8 Hendra Gunawan 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya

Lebih terperinci