Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai

Transkripsi

1 11. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ] Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x=ax+b,x(0)=x0,x~%" (1) dengan A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan vektor konstan b E W, maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x(0) =no. Sistem ini disebut homogen jika b = 0, dan non homogen jika b # 0. Definisi 2 [ Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear ] dengan Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x =f(t,x) (2) J;(t,xl>x,,...>x,,) X= ["?';&nf(t,x) =[ ]fhgsi tak linear pada ~.-...,xn. x,, (t) ~,(~>x,,x,,...,x") Sistem ini disebut sebagai sistem persamaan diferensial tak linear. Defiisi 3 [ Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ] berikut : [Braun Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai x= f(x), XE%~ (3) dengan f merupakan fungsi kontinu bemilai real dari x dan mempunyai tumnan parsial kontinu. Persamaan ini disebut sebagai persamaan diferensial mandiri (autonomous), jika tidak memuat t secara eksplisit di dalarnnya.

2 P- Definisi 4 [ Sistem Persamaan Diferensial Delay (DDE) ] Persamaan diferensial delay dapat ditulis sebagai berikut : dn(t) - f (N(t), N(t - z), dengan z > 0. dt N(t) adalah total populasi pada waktu t, z adalah delay/ tunda dann(t-z) (4) merupakan total populasi pada periode exposed. 2.2 Titik Tetap Defiiisi 5 1 Titik Tetap ] Diberikan SPD [ Murray 1989 ] Titik x' disebut titik tetap jika f (x*) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau kesetimbangan. Definisi 6 [ Titik Tetap Stabil] Misalkan x adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi dengan kondisi awal x(0) =xo, dimana xo z 2. Titik x dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap E > 0, terdapat r z 0, sedemikian sehingga Ino - X I < r, maka lx(t) -xi < E untuk t > 0. [ Vershult Definisi 7 [ Analisis Kestabilan Titik Tetap ] Analisis kestabilan titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yaitu : 1 Sistem x = Ax adalah stabil asimtotik global jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif. 2 Sistem x = Ax adalah stabil netral jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A mempunyai bagian real yang tidak positif dan sekurangkurangnya satu nilai eigen mempunyai bagian real nol. 3 Sistem.t = Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari A bagian realnya bernilai positif. [Borrelli dan Coleman 19981

3 Definisi 8 [ Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routll-Hurvvitz ] Suatu model populasi dengank spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : atau dapat ditulis dalam notasi vektor denganx = (x,,x,,..., x,), f = (f;, f,,..., f,) fungsi tak linear pada x,,x2,..., x, Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut : 1 Menentukan titik tetap (x) yang memenuhi f (x) = 0 2 Pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu : af - J = -(x) ax atau 3 Menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikandet (21 - J) = 0. Nilai eigen(2) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut : 2" +alln-i +a,/z"-, +...+ak =O. Selanjutnya untuk melihat kestabilan.&em kriteria Routh-Hunvitz berikut : dapat dilakukan menggunakan

4 Kriteria Routh-Hurwitz Diberikan persamaan karakteristik : A" + a,an-' + a2anm ak =; 0. Selanjutnya didefmisikan matriks sebagai berikut : HI = (a,), H, = i i '21-m untuk 0 < 21 - m 5 k, Misalkan H, = (h,) dengan h, = 1 untuk 21 = 7n, 0 untuk 21 < Tn atau 21 > k + m. Titik tetap x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Routh- Hurwitz bernilai positif, yaitu : det H, > 0 Catatan : Kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap ; stabii jika dan hanya jika : k = 2,3,4 k=2, a, >O, a, >O k=3, k = 4, a,>o, a3>0, a,a,>a3 2 2 a, >0, a, >O, a, >O, a,a2a3 > a, +a, a, Detinisi 9 [ Fungsi Eksponensial Negatif ] pdelstein-keshet Suatu peubah acak kontinu x disebut fungsi eksponensial negatif dengan parameter A > 0, jika fungsi kepekatannya diberikan sebagai berikut : Ae-*, t > 0 f (t) = F '(t) = 0,t<O [Ghahramani 20051

5 2.3 Definisi 10 ( Bilangan Reproduksi Dasar ( Ro )) Bilangan reproduksi dasar ditulis R,, adalah nilai harapan dmi kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/ menular. Kondisi yang akan timbul adalah : 1 Jika R, < 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu ham, dan penyakit tidak akan berkembangl punah. 2 ria&> 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu bam, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. [Driessche clan Watmou&2005]