SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.

Transkripsi

1 SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari

2 Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui kondisinya di masa yang akan datang jika diberikan kondisi pada masa sekarang atau pada masa yang lalu. Sistem Dinamik DISKRIT Persamaan Beda KONTINU Persamaan Diferensial Biasa

3 Sistem Dinamik Kontinu SISTEM OTONOMUS Sistem PDB dengan yang tidak bergantung secara eksplisit pada variabel bebas t. LINEAR Solusi Analitik Kurva Solusi SISTEM OTONOMUS NON LINEAR Analisis Dinamik Potret Fase Medan Arah

4 Analisis Dinamik pada Sistem Otonomus Analisis dinamik berfungsi untuk mendapatkan informasi kualitatif mengenai solusi sistem tanpa harus menyelesaikan sistem terlebih dahulu. Tahapan analisis dinamik o Penentuan titik kesetimbangan/tetap Misalkan Titik disebut titik kesetimbangan/tetap apabila diperoleh nilai o Penentuan kestabilan titik kesetimbangan

5 Sistem Otonomus Linear 1 Dimensi Solusi Analitik Masukkan masalah nilai awal diperoleh

6 Sistem Otonomus 1D Solusi Analitik Kurva Solusi x t x t

7 Sistem Otonomus 1D Titik Tetap suatu titik yang memenuhi Potret Fase Maka pada SDK linear 1D titik yang memenuhi hanya pada x x t t TAK STABIL STABIL

8 Sistem Otonomus 1D Memanfaatkan nilai misalkan untuk mensketsa kurva solusi. x t -2

9 Sistem Otonomus 1D Analisa Medan Arah Memanfaatkan nilai misalkan untuk mensketsa kurva solusi. x t -2

10 Sistem Otonomus 1D Analisa Medan Arah Memanfaatkan nilai untuk mensketsa potret fase. x TAK STABIL x STABIL

11 Sistem Otonomus Linear 2 Dimensi Bentuk umum sistem autonomous linear 2 dimensi sebagai berikut: dx = px + qy dt A = dy dt = rx + sy, p q r s, det (A) 0 dx dt dy dt = p q r s x y atau dx dt = Ax

12 1. Solusi Analitik A λi = 0 p q r s λ = 0 p λ q r s λ = 0 p λ s λ qr = 0 λ 2 p + s λ + ps qr = 0 λ 2 trace(a)λ + det (A) = 0 λ 1,2 = trace(a) ± Akar Real Berbeda λ 1 λ 2 trace(a) 2 4det (A) 2 λ 1 + λ 2 = trace(a) λ 1 λ 2 = det(a) Oleh karena itu: Akar Real 1. λ Kembar 1 λ 2 λ= 1 det va 1 < 0 λ 1 maka = λ 2 λλ 21 dan v 2 λ 2 berbeda tanda 2. λ 1 λ 2 = det A > 0 maka λ 1 dan λ 2 bertanda sama Akar Kompleks λ = α ± iβ Solusi analitik untuk λ 1 λ 2 : x(t) y(t) = C 1e λ 1t v 1 + C 2 e λ 2t v 2

13 2. Kurva Solusi Kurva solusi dapat digambarkan dengan memperhatikan lim x(t) t dan lim y t. t 3. Titik Tetap Titik tetap x, y adalah pasangan titik yang memenuhi dx dy = 0 dan = 0. dt dt

14 4. Potret Fase Potret fase disketsa dengan memanfaatkan nilai eigen dan vektor eigen. Transformasi yang digunakan adalah sebagai berikut: 5. Medan Arah Medan arah disketsa dengan mencari nullcline, yaitu garis yang menyebabkan

15 SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK REAL BERBEDA

16 Contoh Potret fase: dx = 2x + y dt dy = 2x + 3y dt Jawab: λ 1 = 1 v 1 = 1 1 λ 2 = 4 v 2 = 1 2 Solusi analitik: x(t) y(t) = C 1e t C 2e 4t 1 2 Titik tetap: x, y = (0,0) Kestabilan: (0,0) tak stabil Medan arah:

17 Contoh dx = x + 2y dt dy = 2x 2y dt Jawab: λ 1 = 3 v 1 = λ 2 = 2 v 2 = 2 1 Solusi analitik: 1 2 x(t) y(t) = C 1e 3t C 2e 2t 2 1 Titik tetap: x, y = (0,0) Kestabilan: (0,0) tak stabil pelana Potret fase: Medan arah:

18 SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK KOMPLEKS

19 Teorema 1 Jika adalah solusi kompleks dari maka dan masing-masing adalah solusi realnya. Bukti: diperoleh dan Terbukti bahwa dan merupakan solusi.

20 Teorema 1 Jika adalah solusi kompleks dari maka dan masing-masing adalah solusi realnya. Akibat 1 Solusi umum dari adalah

21 Teorema 2 Jika A memiliki nilai eigen kompleks vektor eigen. Maka dengan dan adalah solusi real dari persamaan diferensial Oleh karena itu, diperoleh solusi umum

22 Bukti: Diketahui Maka diperoleh solusi

23 Contoh 1 Potret Fase Nilai Eigen dan Vektor Eigen Solusi Analitik Titik Tetap Kestabilan stabil asimtotik (spiral masuk)

24 Contoh 2 Potret Fase Nilai Eigen dan Vektor Eigen Solusi Analitik Titik Tetap Kestabilan tak stabil (spiral keluar)

25 SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK REAL KEMBAR

26 Contoh 1: dx dt dy dt 3x 3y Penyelesaian dengan PDB: dx dt dy dt 3x x x e 3y y y e 0 0 3t 3t

27 Penyelesaian dengan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai Eigen dx dt 3 0 x ( I A) det( I A) ( 3)( 3) 0 3 diperoleh dua nilai eigen yang sama yaitu 3

28 Vektor Eigen Untuk 3, maka: diperoleh: Sehingga: v v1 p v2 q Jelas bahwa 1 0 p q dan 0 1 merupakan vektor eigen. 3t 1 3t 0 x() t c1e c2e 0 1

29 Kurva Solusi x x e 0 3t x y y e 0 3t y t t

30 Potret Fase dx dt dy dt 3x 3y

31 Medan Arah Kuadran I dx dy 0, 0 dt dt kanan Kuadran II dx dy 0, 0 dt dt kiri Kuadran III dx dy 0, 0 dt dt kiri Kuadran IV atas atas bawah Kuadran IV dx dy 0, 0 dt dt kanan bawah y x

32 Contoh 2: dx dt dy 5x y x 3y t Agar x2( t) c2e ( vt ) menjadi solusi sistem PD dx Ax dt, haruslah memenuhi: dt v ( A I)

33 Coba: Andaikan t x ( t) c e ( vt ) 2 2 solusi, maka: x () t 2 d x2() t dt Ax () t c e ( vt ) c e v Ac. e ( vt ) t t t ( vt ) v A( vt ) t( v Av) ( I A) v 0 2 : ce t 2 Maka: v Av eigen., jelas benar karena vektor eigen dan nilai v ( A I) v

34 Kesimpulan Solusi Analitik 1D 2D Titik Kesetimbangan 1D 2D Kestabilan titik kesetimbangan 1D Tidak Stabil Stabil

35 Kestabilan titik kesetimbangan 2D Analisa medan arah Bidan fase terbagi menjadi beberapa daerah yang dipisahkan oleh nullklin

36 TERIMA KASIH

37 Oleh: 1. Meirdania Fitri T (Slide 5-7) 2. Siti Khairun Nisa (Slide 18-24) 3. Grahani Ayu Deca F. (Slide 25-35) 4. Fira Fitriah (Slide 11-17) 5. Lisa Risfana Sari (Slide 1-4 dan 8-10)