Teori Bifurkasi (3 SKS)
|
|
- Veronika Tan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University f_adikusumo@gadjahmada.edu
2 Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik. KOMPONEN-KOMPONEN SISTEM DINAMIK : a. Ruang Keadaan (state space) b. Waktu c. Operator Evolusi hukum evolusi yang menggambarkan evolusi ruang keadaan terhadap waktu. CATATAN : Misalkan T merupakan himpunan bilangan yang menyatakan waktu. a. Jika T= R, maka sistem dinamik dikatakan kontinu. b. Jika T = Z, maka sistem dinamik dikatakan diskret. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
3 Sistem Dinamik Kontinu Diberikan Persamaan Diferensial : x + μ x + x = 0 Jika dibawa ke dalam bentuk sistem PD : x 1 = x 2 x 2 = x 1 μx 2 Hitunglah solusi dari persamaan diferensial di atas. Manakah ruang keadaan dari sistem PD di atas? Bagaimana pengaruh parameter μ terhadap solusi PD tersebut? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
4 Sistem Dinamik Kontinu PERSAMAAN PENDULUM : g l sin 0 Ruang Keadaan (State Space) : X = S 1 R 1 d dt l Himpunan S 1 menyatakan lingkaran satuan yang diparameterisasi oleh sudut ϴ. Himpunan R 1 menyatakan semua kecepatan yang mungkin. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
5 Sistem Dinamik Kontinu Solusi dari persamaan pendulum : Misalkan θ = y 1 dan θ = y 2. Solusi pers. Pendulum tersebut merepresentasikan hukum evolusi terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
6 Sistem Dinamik Diskret Diberikan sistem dinamik diskret : x μx dengan x R dan μ suatu parameter. Bagaimanakah mapping dari sistem di atas? Diberikan sistem dinamik diskret : x y μ 1x μ 2 y Bagaimanakah mapping dari sistem tersebut? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
7 Operator Evolusi EVOLUSI PADA SISTEM DINAMIK : Perubahan ruang keadaan dari sistem dalam waktu tt. Misalkan X suatu ruang keadaan dan tt, maka pemetaan : t : X X x 0 t disebut operator evolusi dari sistem dinamik. x 0 x t Pada sistem dinamik kontinu, { t } tt disebut flow. Pada sistem dinamik diskret, { t } tt disebut map. Sistem dinamik dikatakan invertible t terdefinisi untuk t0 dan t<0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
8 Sifat-sifat Operator Evolusi Jika suatu operator evolusi, maka : 0 a. b. ts I, dengan t s. I identitas. ts 0 x 0, x X. t s x ( x); t, s T, x X x 0 0 t s x s x t+s x 0 Jika suatu operator evolusi tidak berubah menurut waktu, maka dikatakan bahwa sistem dinamiknya autonomous. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
9 Sistem yang Invertibel Suatu sistem dinamik kontinu dikatakan invertibel jika untuk t invers dari t -t, berlaku t I Sistem dinamik diskret : Misalkan f= 1 (time-one map), maka f f f 2 Jadi f 2 merupakan iterasi kedua dari peta. Secara umum k =f k untuk setiap k>0. Jika sistem dinamik diskret tersebut invertibel, maka persamaan di atas juga berlaku untuk k<0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
10 Definisi Formal Sistem Dinamik Suatu sistem dinamik merupakan triplet {T,X, t } dengan T merupakan himpunan waktu, X ruang keadaan, dan { t } dengan t : X X Merupakan keluarga dari operator-operator evolusi yang diparameterisasi oleh tt dan memenuhi sifat : 0 a. b. ts I, dengan t s. I identitas. ts 0 x 0, x X. t s x ( x); t, s T, x X x 0 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
11 Definisi Formal Sistem Dinamik Contoh : Misalkan X = R 2 dan keluarga transformasitransformasi linear tak singular pada X diberikan oleh matriks yang bergantung pada t R : t e 0 dengan λ, μ 0 merupakan bilangan real. Sistem di atas invertibel dan terdefinisi untuk setiap (x, t). Pemetaan t kontinu di x dan t. t e 0 t Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
12 Orbit Suatu orbit yang dimulai dari x 0 merupakan sub-himpunan terurut dari ruang keadaan X. t t Or( x0) { x X : x x0, t T x0 terdefinisi} Orbit pada sistem kontinu dengan operator evolusi kontinu berupa suatu kurva di X yang diparameterisasi oleh waktu t. Arah pada orbit ini menunjukkan arah kenaikan dari t. Orbit pada sistem diskret merupakan barisan titik-titik pada X yang dienumerasi oleh bilangan bulat yang membesar. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
13 Potret Fase Diagram yang menggambarkan interaksi dari orbitorbit suatu sistem dinamik disebut potret fase. Pada sistem dinamik kontinu, potret fase menggambarkan solusi sistem PD dalam ruang keadaan (state space). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
14 Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik Misalkan X = R n dan x = (x 1, x 2, x n )X. Hukum evolusi terhadap waktu dari sistem dinamik tersebut ditunjukkan secara implisit melalui persamaan : x i fi( x1, x2,..., xn), i 1,2,..., n Dalam bentuk vektor, persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: x f (x) dengan f:r n R n merupakan fungsi smooth. Ruas kanan dari sistem di atas yaitu f(x) menyatakan medan vektor dari sistem. Persamaan di atas dikenal dengan persamaan diferensial biasa (ODE) autonomous, dan sistem dinamik yang dibentuk oleh persamaan di atas disebut sistem autonomous. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
15 Persamaan Diferensial (ODE) dan Sistem Dinamik CONTOH : Persamaan pendulum g sin 0 l dapat dituliskan dalam bentuk sistem sbb: g sin 1 l Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
16 Solusi dari Sistem ODE x f (x) Pandang sistem ODE dengan xr n dan f: R n R n suatu fungsi smooth pada daerah UR n. Jika kondisi tersebut dipenuhi, maka terdapat dengan tunggal fungsi x = x(t, x 0 ), x: R 1 R n R n yang smooth di (t, x), dan memenuhi, untuk x 0 U : i. x(0, x 0 ) = x ; 0 ii. terdapat suatu interval I=(-δ 1,δ 2 ) dengan δ 1,2 =δ 1,2 (x 0 )>0 sehingga untuk setiap ti berlaku y(t) = x(t, x 0 )U dan y ( t) f ( y( t)) Fungsi x = x(t) merupakan solusi yang dimulai dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
17 Solusi dan Sistem ODE Kurva Solusi : Cr(x 0 ) = {(t, x): x = x(t, x 0 ), ti}r 1 R n. Orbit : proyeksi dari Cr(x 0 ) ke ruang keadaan (state space). Or(x 0 ) = {x x = x(t, x 0 ), ti}r n. Jika diberikan t : R n R n, maka t x 0 = x(t, x 0 ). Dengan demikian sistem dinamik kontinu dapat dituliskan sebagai {R 1, R n, t }. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
18 Kurva Solusi dan Orbit pada Sistem ODE Kajian utama dalam teori tentang sistem dinamik adalah melakukan analisis terhadap sistem dinamik yang didefinisikan oleh ODE. Dengan menggunakan teori ini beberapa ciri dari potret fase suatu sistem dapat diprediksi tanpa harus menyelesaikan (mencari solusi) dari sistem tersebut. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
19 Solusi Equilibrium Suatu titik x 0 X disebut equilibrium (titik tetap) jika t x 0 = x 0 untuk setiap tt. Equilibrium merupakan orbit yang paling sederhana. Operator evolusi akan memetakan suatu equilibrium ke dirinya sendiri. Pengertian equilibrium biasa diterapkan untuk sistem dinamik kontinu, sedangkan untuk sistem dinamik diskret biasa digunakan istilah titik tetap. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
20 Solusi Equilibrium Contoh : Diberikan sistem PD : x = μ x 2 dengan x R. - Bagaimanakah solusi umum untuk persamaan diferensial di atas? - Bagaimanakah pengaruh parameter μ terhadap solusi umumnya? - Tentukan titik-titik equilibrium dari sistem di atas. - Bagaimana kaitan antara titik-titik equilibrium dan solusi umumnya? Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
21 Solusi Equilibrium (Contoh) Solusi umum (μ 0): Untuk μ = 1 : x t; μ = μ C e2 μt 1 C e 2 μt + 1 x t; 1 = C e2t 1 C e 2t + 1 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
22 Solusi Equilibrium (Contoh) Solusi untuk μ = 0 : Solusi lain untuk μ = 0 : x t; 0 = 0 (Solusi Trivial) x = x 2 x t = 1 t + C Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
23 Orbit Periodik Suatu cycle merupakan sebuah orbit periodik (orbit nonequilibrium L 0 ), yaitu jika untuk setiap x 0 L 0 memenuhi φ t+t 0x 0 = φ t x 0 untuk suatu T 0 > 0 untuk setiap t T. Nilai T 0 terkecil yang memenuhi sifat di atas disebut periode dari cycle L 0. Untuk waktu kontinu, suatu cycle L 0 digambarkan sebagai sebuah kurva tertutup di ruang fase. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
24 Orbit Periodik Limit Cycle Jika pada lingkungan (neighborhood) suatu cycle dari sistem dinamik kontinu tidak terdapat cycle lain, maka cycle ini disebut Limit Cycle. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
25 Orbit Periodik Limit Cycle Contoh : x 1 = αx 1 x 2 x 1 x x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 x 2 x x Tentukan titik equilibrium dari sistem di atas. - Dengan menggunakan transformasi x 1 = r cos θ dan x 2 = r sin θ, ubahlah sistem di atas mejadi sistem dalam r, θ. - Tentukan limit cycle dari sistem di atas dan gambarkan fase potret dari sistem di atas untuk berbagai nilai α. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
26 Periodik Orbit Limit Cycle Dalam koordinat polar sistem pada contoh di atas, akan menjadi : ρ = ρ α ρ 2 θ = 1. (BIFURKASI HOPF) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
27 Himpunan Invarian dan Kestabilannya Himpunan invarian dari suatu sistem dinamik {T, X, φ t } adalah suatu himpunan bagian SX sehingga x 0 S berakibat φ t x 0 S untuk setiap tt. Contoh himpunan invarian : -Titik equilibrium. -Limit cycle/orbit periodik. -Manifold invarian: suatu hypersurface berdimensi hingga di suatu ruang R k. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
28 Himpunan Invarian dan Kestabilannya Suatu himpunan invarian S o dikatakan stabil jika i. Untuk setiap lingkungan yang cukup kecil U So terdapat lingkungan V So sehingga t xu untuk setiap xv dan untuk setiap t > 0. (Stabil Lyapunov) ii. Terdapat sebuah lingkungan U o So sehingga t xso untuk setiap xuo, untuk t. (Stabil Asimptotik) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
29 Himpunan Invarian dan Kestabilannya Kestabilan Lyapunov Kestabilan Asimptotik Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
30 Kestabilan Equilibrium Kestabilan Titik Equilibrium : Pandang sistem ODE x = f(x) dengan xr n dan f: R n R n suatu fungsi smooth. Sistem tersebut memiliki equilibrium x 0, yaitu f(x 0 ) = 0. Misalkan A merupakan matriks Jacobian dari f(x) yang dievaluasi di titik equilibrium x 0. Titik x 0 dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari A bernilai negatif atau memiliki bagian real negatif. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
31 Fungsi Lyapunov Fungsi Lyapunov : Misalkan V R n R 1, V(x) > 0 (< 0) untuk setiap xur n, dan V(x 0 ) = 0. Jika untuk t t 0 berlaku V f x 0, maka solusi x = x 0 stabil secara Lyapunov. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
32 Kestabilan pada Sistem Dinamik Diskret Pandang sistem dinamik diskret : x f ( x), x dengan f merupakan pemetaan yang smooth. Misalkan pemetaan tersebut memiliki sebuah titik tetap x 0, yaitu f(x 0 )=x 0, dan misalkan A merupakan matriks Jacobian dari f(x) yang dievaluasi di x 0, A=f x (x 0 ). Titik tetap x 0 stabil jika semua nilai-nilai eigen m 1,m 2,,m n dari A memenuhi m <1. Nilai eigen dari suatu titik tetap sering disebut pengali (multiplier). n Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
33 Contraction Mapping Principle Contraction Mapping Principle : Misalkan X ruang metrik lengkap dengan jarak ρ. Misalkan terdapat pemetaan kontinu f: XX yang memenuhi bahwa untuk setiap x, yx berlaku ρ(f(x), f(y)) λρ(x, y), dengan 0 < λ < 1, maka sistem dinamik diskret {Z +, X, f k } memiliki sebuah titik tetap yang stabil x 0. Lebih lanjut, untuk setiap nilai awal x berlaku f k (x)x 0 untuk k +. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
34 Time-Shift Map Poincare Map digunakan untuk melakukan analisis terhadap sistem dinamik kontinu, menggunakan sistem dinamik diskret. Keunggulan : dimensi dari sistem dinamik diskret yang dibangun melalui Poincare map lebih rendah dari sistem asalnya (sistem dinamik kontinu). Time-shift map : Cara paling sederhana untuk membentuk sistem dinamik diskret dari sistem dinamik kontinu R 1, X, φ t adalah dengan menetapkan suatu T o > 0 dan membentuk sistem dalam X yang dibangun oleh iterasi f = T o. Setiap himpunan invarian di {R 1, X, φ t } merupakan himpunan invarian terhadap map f. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
35 Time-Shift Map The Inverse Problem Inverse problem : pengkonstruksian sistem ODE jika T o -time-shift map dari sistem ODE tersebut dinyatakan sebagai pemetaan f yang smooth dan invertible. Misalkan f: R n R n, smooth dan invertible. Pandang {(t, x)r 1 R n : t[0, T o ]} (lihat gambar). Hubungkan titik (T o, x) di sisi atas dari X ke (0, f(x)) di sisi bawah dari X. Ruang X yang dikonstruksi merupakan manifold berdimensi n + 1 dengan koordinat (t mod T o, x). Sistem autonomous ODE terkait dengan pemetan f (suspension system): t 1 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli x 0
36 Contoh The Inverse Problem Pandang pemetaan f yaitu: x 1 2 x dengan xr1. Pemetaan di atas memiliki titik tetap di x 0 = 0 (stabil). Misalkan k > 0 dan memenuhi persamaan e kto = 2. Sistem suspensi untuk pemetaan tersebut : t 1 x kx Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
37 Poincare Map Pandang sistem dinamik : x = f(x) dengan xr n dan f fungsi smooth. Misalkan L 0 orbit periodik dari sistem tersebut dan Σ merupakan bidang potong dari L 0 di titik x 0 L 0. Σ berdimensi n 1 dan memotong L 0 dengan sudut tak-nol. Σ berkurang satu dimensi dari ruang fasenya codim Σ = 1 (codim=codimension). Didefinisikan : g R n R 1 smooth dengan g(x 0 ) = 0, dan Σ = {xr n : g(x) = 0} --- bidang Σ terletak pada himpunan ketinggian dari g di titik nol. Sudut potong tak-nol berarti gradien g(x) tidak ortogonal terhadap L 0 di x 0. Contoh paling sederhana pemilihan g adalah : g x 0, f x 0 0, g x = f x 0, x x 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
38 Poincare Map dan Kestabilan Cycle Pandang pemetaan P Σ Σ, dengan x x a = P(x), x, x a Σ. Pemetaan P di atas disebut pemetaan Poincare yang berkaitan dengan cycle L 0. Titik x 0 merupakan titik tetap dari pemetaan Poincare, P(x 0 ) = x 0. Diberikan koordinat lokal y = (y 1, y 2, y 3,, y n 1 ) pada Σ sehingga y = 0 berkaitan dengan titik x 0. Pemetaan Poincare didefinisikan sebagai P R n 1 R n 1 yang membawa y (berkaitan dengan x) ke y a (berkaitan dengan x a ), P(y) = y a. Titik y = 0 merupakan titik tetap dari pemetaan P. Dengan demikian kestabilan dari cycle L 0 berkaitan dengan kestabilan dari titik tetap y 0 = 0. Cycle L 0 stabil jika semua nilai eigen (multiplier) μ i,, i = 1,2,.., n 1 dari matriks Jacobian A = P y y=0 berada di dalam lingkaran satuan μ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
39 Ekuivalensi pada Sistem Dinamik -Pengertian ekuivalensi mengacu pada definisi relasi ekuivalensi. - Tujuan : untuk membandingkan perilaku-perilaku kualitatif dari suatu sistem dinamik dengan sistem dinamik lainnya. - Jika dua buah sistem dinamik memiliki perilaku kualitatif yang sama, dikatakan bahwa kedua sistem dinamik tersebut ekuivalen. -Dua buah sistem dinamik dikatakan ekuivalen jika kedua sistem tersebut : Memiliki jumlah titik equilibrium dan cycle yang sama Jenis kestabilan dari titik-titik ekuilibrium dan cycle dari kedua sistem tersebut sama. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
40 Ekuivalensi secara Topologis DEFINISI Suatu sistem dinamik {T, R n, t } dikatakan ekuivalen secara topologis terhadap sistem dinamik {T, R n, ψt } jika terdapat suatu homeomorfisma h R n R n yang memetakan orbit-orbit dari sistem pertama ke orbit-orbit dari sistem kedua dengan tetap mempertahankan arahnya terhadap waktu. Definisi di atas dapat diperluas untuk state space berupa ruang metrik lengkap atau ruang Banach, suatu manifold smooth berdimensi hingga, seperti Torus (T 2 ) atau sphere (S 2 ). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
41 Ekuivalensi secara Topologis Misalkan x f(x) dan y g(y) dengan x, y R n dua buah sistem dinamik diskret yang ekuivalen secara topologis (f = 1, g = ψ 1 pemetaan yang invertibel dan smooth). Ekuivalensi secara topologis berarti, terdapat homeomorfisma h dengan y = h(x) dan berlaku g(y) = h(f(x)) atau g(h(x) = h(f(x)) Dengan demikian f(x) = h 1 (g(h(x))) Fungsi f dan g dikatakan saling konjugat. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
42 Ekuivalensi pada Sistem Kontinu Diberikan dua buah sistem dinamik, yaitu x = f x dan y = g y dengan x, yr n, f, g smooth dan t dan ψ t menunjukkan flow dari sistem di atas. Misalkan y = h(x), dengan h: R n R n suatu pemetaan yang smooth dan invertibel, maka untuk setiap xr n berlaku : 1 h x f x = g h x x Dengan demikian h akan memetakan solusi sistem pertama ke solusi sistem kedua yaitu : h φ t x = ψ t h x Jika kedua sistem dinamik di atas memenuhi f x = maka h dikatakan diffeomorfik. h x x 1 g h x Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
43 Sistem Diffeomorfik Dua buah sistem yang diffeomorfik dapat dipandang sebagai sistem yang sama, namun dituliskan dalam koordinat yang berbeda. Linearisasi di sekitar titik-titik equibrium yang bersesuaian akan menghasilkan nilai eigen yang sama. Pandang kembali sistem x = f x dan y = g y dengan y = h(x). Misalkan x 0 dan y 0 = h(x 0 ) adalah titik equlibrium masing-masing sistem dan A(x 0 ), B(y 0 ) adalah matriks Jacobian dari masing-masing sistem di sekitar x 0 dan y 0, maka Dalam kasus ini matriks A dan B dikatakan similar. Jika f(x) = μ(x)g(x) dengan μ: R n R 1 fungsi positif, maka kedua sistem dinamik di atas ekuivalen secara topologis dengan h(x) = x. Kedua sistem dinamik tersebut dikatakan ekuivalen secara orbital. 1 h h A( x0) ( x0) B( y0) ( x0 x x ) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
44 Ekuivalensi secara Topologis Lokal Dua buah sistem yang ekuivalen secara orbital dapat bersifat nondiffeomorfik dan/atau memiliki cycle dengan bentuk sama namun memiliki periode berbeda. DEFINISI Suatu sistem dinamik {T, R n, t } dikatakan ekuivalen secara topologis di sekitar suatu equlibrium x 0 terhadap sebuah sistem dinamik {T, R n, ψt } di sekitar equilibrium y 0 jika terdapat homeomorfisma h: R n R n, dengan sifat : 1. didefinisikan pada lingkungan (neighborhood) UR n dari x 0, 2. memenuhi y 0 = h(x 0 ), 3. memetakan orbit-orbit dari sistem pertama di U ke orbit-orbit dari sistem kedua di V = f(u)r n, yang mempertahankan arah medan vektornya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
45 Ekuivalensi secara Topologis Lokal Contoh : Dikusikan Contoh 2.1 (hal 43) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
46 Equilibria Hiperbolik Pandang sistem dinamik x = f(x) dengan f fungsi smooth. Misalkan x 0 = 0 equilibrium dari sistem, dan A matriks Jacobian dari sistem tersebut di sekitar x 0. Misalkan n, n 0, n + menyatakan banyaknya nilai-nilai eigen A yang mempunyai bagian real negatif, nol dan positif. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik jika n 0 = 0. Suatu titik equilibrium dikatakan hiperbolik saddle jika n n + 0. W s t u t x : x x, t, W ( x ) x : x, t ( x0) 0 0 x0 W s (x 0 ) disebut himpunan (manifold) stabil dari x 0. W u (x 0 ) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
47 Saddle dan Saddle Foci Jika diambil lingkungan dari x 0, maka akan diperoleh sub-manifold W s dan W u yang masing-masing berdimensi n dan n +. Secara lokal, sub-manifold W s (x 0 ) dan W u (x 0 ) tersebut menyinggung T s dan T u. T s dan T u merupakan manifold stabil dan tak-stabil dari sistem hasil linearisasi di sekitar x 0. Saddle dan foci : Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
48 Dua Titik Equilibrium yang Equivalen secara Topologis Fase potret dari suatu sistem dinamik kontinu di sekitar dua buah titik equilibrium hiperbolik x 0 dan y 0, ekuivalen secara topologis lokal jika dan hanya jika memiliki jumlah n dan n + yang sama. Klasifikasi dari equilibrium hiperbolik pada sistem planar : Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
49 Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret Pandang pemetaan x f(x), dengan xr n. Misalkan x 0 titik tetap dari sistem tersebut dan A merupakan matriks Jacobian yang dievaluasi di x 0. Banyaknya multiplier yang berada di dalam, pada, dan di luar lingkaran satuan pada bidang kompleks dari nilai-nilai eigen A, yaitu n,n 0, dan n +. Sebuah titik tetap dikatakan hiperbolik jika n 0 = 0 (tidak ada multiplier pada lingkaran satuan). Jika n n + 0, maka dikatakan bahwa titik tetap tersebut hiperbolik saddle. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
50 Titik Tetap Hiperbolik pada Sistem Dinamik Diskret W s x o = {x: f k x x 0, k + } W u x o = {x: f k x x 0, k } W s (x 0 ) disebut himpunan (manifold) stabil dari x 0. W u (x 0 ) disebut himpunan (manifold) tak-stabil dari x 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
51 Kestabilan titik tetap di R 1 Titik tetap stabil : Gambar kiri, multiplier 0<m<1 Gambar kanan, multiplier -1<m<0 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
52 Titik tetap saddle di R 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
53 Sifat-sifat titik tetap saddle di R 2 Manifold stabil dan manifold tak stabil dari sistem diskret dapat berpotongan secara transversal. Perpotongan yang transversal tersebut, jika ada, akan menyebabkan terjadinya tak berhingga banyak perpotongan yang transversal lainnya. Terdapat takberhingga banyak titik-titik periodik dengan periode yang sangat besar Titik tetap saddle dengan sifat seperti di atas akan menghasilkan struktur baru yang disebut struktur Poincare Homoklinik. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
54 Limit Cycle Hiperbolik Pandang sistem dinamik x = f x, x R n yang memiliki limit-cycle L 0. Misalkan merupakan bidang potong transversal dari cycle dan Codim =1. Misalkan ξ = (ξ 1, ξ 2,, ξ n 1 ) koordinat dari. Sistem di atas secara lokal mendefinisikan pemetaan P: yang merupakan pemetaan Poincare. Titik ξ 0 yang merupakan titik potong antara L 0 dengan, merupakan titik tetap dari P. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
55 Limit Cycle Hiperbolik Jika titik tetap tersebut hiperbolik, maka terdapat manifold invarian dan yang masing-masing berdimensi n - dan n + dengan n - +n + =n-1. Kedua manifold di atas merupakan perpotongan bidang Σ dengan manifold stabil dan tidak stabil dari cycle, yaitu L 0 dikatakan hiperbolik jika ξ 0 merupakan titik tetap hiperbolik dari pemetaan Poincare. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
56 Saddle cycle pada sistem berdimensi 3 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
57 Bifurkasi dan Diagram Bifurkasi Pandang sistem dinamik x f ( x, x n ), dan x f ( x, );, dengan α menyatakan parameter dari sistem di atas. m Munculnya non-ekuivalensi secara topologis pada fase potret ketika dilakukan variasi terhadap parameterparameternya disebut BIFURKASI. Diagram yang menggambarkan terjadinya bifurkasi, terkait perubahan nilai parameter-parameternya disebut DIAGRAM BIFURKASI. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
58 Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Saddle-node Pandang sistem dinamik skalar : u u 0 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
59 Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Transkritis u u 0 u 2 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
60 Bifurkasi dari solusi equilibrium Bifurkasi Pitchfork u u 0 u 3 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
61 Senin, 29 Juli 2013 TEORI BIFURKASI 61 Bifurkasi Hopf : Bifurkasi ini akan menghasilkan sebuah solusi periodik pada sistem. ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x Dalam koordinat polar, sistem di atas akan menjadi : 1 ) ( 2 Bifurkasi dari solusi equilibrium
62 Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Fold Diberikan sistem dinamik diskret : u u u Untuk α =0, sistem memiliki titik tetap di u =0 dengan multiplier μ =1. Untuk α <0, sistem memiliki dua titik tetap, yaitu u =± (Titik tetap negatif stabil, titik tetap positif tak stabil). Untuk α >0, sistem tidak memiliki titik tetap. 2 u α TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
63 Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Flip Pandang sistem dinamik diskret : u 1 + α u + u 3 f u; α Titik tetap : u = 0 dan u = ± 2 + α Di sekitar u = 0, sistem hanya memiliki satu titik tetap dengan multiplier μ = (1 + α), dan μ = 1 untuk α = 0. Untuk α 0, titik u = 0 stabil ketika α < 0, dan tidak stabil untuk α > 0. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
64 Bifurkasi dari Titik Tetap Bifurkasi Flip Pada iterasi kedua, diperoleh: Titik tetap : u 1 = 0, u 2, 3 = ± α + O α, asalkan α < 1. Titik tetap u 2,3 stabil, f(u 2 ; α) = u 3 dan f(u 3 ; α) = u 2. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
65 Bifurkasi dari Titik Tetap Kodimensi dari suatu bifurkasi pada suatu sistem dinamik adalah selisih antara dimensi dari ruang parameter dengan dimensi dari batas bifurkasinya. Batas bifurkasi (Bifurcation Boundary) : kurva atau permukaan yang membatasi dua daerah pada diagram parameter yang memiliki fase-potret berbeda. Dua buah sistem dinamik dikatakan sama secara kualitatif jika kedua sistem tersebut memiliki diagram bifurkasi yang serupa. TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
66 Ekuivalensi Secara Topologis Dua buah sistem dinamik x = f x, α dan y = g(y, β) dikatakan ekuivalen secara topologis jika : Terdapat homeomorfisma pada ruang parameter p : R m R m, β = p(α). Terdapat homeomorfisma pada ruang fase yang bergantung pada parameter, yaitu : h α : R n R n, y = h α (x). TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
67 Ekuivalensi Secara Topologis Pandang dua buah sistem dinamik di R n : x = f x, α dan y = g(y, β) α, β R m menyatakan parameter dari sistem. Kedua sistem di atas dikatakan ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya jika terdapat pemetaan (x, α) (h α (x), p(α)) yang terdefinisi pada neighborhood kecil dari (x, α) = (0,0) pada R n R m sehingga p R m R m merupakan homeomorfisma yang terdefinisi pada neighborhood dari α = 0, p(0) = 0. h α : R n R n merupakan homeomorfisma yang bergantung pada parameter yang terdefinisi pada U α dari x = 0, h(0) = 0 dan memetakan orbit dari sistem pertama di U α ke orbit dari sistem kedua di h α U α, dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
68 Bentuk Normal Topologis Pandang dua buah sistem dinamik: dan (A) (B) Sistem (A) disebut bentuk normal topologis untuk bifurkasi, jika setiap sistem dalam bentuk generik (B) dengan titik equilibrium x =0 yang memiliki syarat bifurkasi yang sama di α =0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal sistem (A) untuk nilai-nilai koefisien polinomial σ i, i=1,2,3,,l. Syarat Generik N i [f ] 0, i=1,2,,s. Ni merupakan fungsi yang memuat derivatif parsial f(x,α) di (0,0) Syarat Non-degeneracy f ( x,0) x x0 Syarat Transversality f ( x, ) 0 TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
69 Persistensi dari titik Equilibrium Pandang dua buah sistem dinamik : (1) (2) Untuk ε = 0, sistem (2) akan menjadi sistem (1) dan memiliki equilibrium hiperbolik x 0. Persamaan equilibrium untuk sistem (2) adalah Dengan demikian F x (x 0,0) = A 0 (matriks Jacobian dari sistem (1)). Teorema Fungsi Implisit Matriks Jacobian dari sistem (2) di sekitar x(ε) adalah Suatu titik ekuilibrium hiperbolik stabil secara struktur terhadap perturbasi yang smooth TEORI BIFURKASI Senin, 29 Juli
70 Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Ada 2 jenis bifurkasi tipe ini, yaitu Bifurkasi FOLD Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R n, α R Variasi terhadap nilai parameter α dapat menyebabkan munculnya bifurkasi pada sistem. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
71 Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Kontinu Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen λ 1 = 0 disebut bifurkasi FOLD Bifurkasi yang ditandai dengan munculnya nilai eigen λ 1,2 = ±iω 0 dengan ω 0 > 0, disebut bifurkasi HOPF (Andronov Hopf). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
72 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Diberikan sistem dinamik berdimensi satu yang memuat satu parameter x = α + x 2 f x, α Untuk α = 0, sistem di atas memiliki sebuah titik equilibrium non hiperbolik yaitu x 0 = 0 dengan nilai eigen λ = f x 0,0 = 0 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
73 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Untuk α < 0, sistem memiliki 2 buah titik equilibrium, yaitu x 1,2 α = ± α. Titik equilibrium sebelah kiri stabil, dan sebelah kanan tidak stabil. Untuk α > 0, sistem tidak memiliki titik equilibrium. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
74 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Analisis untuk sistem x = α x 2 dapat dilakukan dengan cara yang sama. Dua buah titik equilibrium dalam kasus ini muncul untuk α > 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
75 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD LEMMA 3.1: Sistem x = α + x 2 + O x 3 Equivalen secara topologis lokal di sekitar titik asal (titik equilibrium (0,0)) dari sistem x = α + x 2. (1) BUKTI : Untuk membuktikan lemma tersebut perlu ditunjukkan bahwa homeomorfisma yang memetakan titik-titik equilibrium dari sistem pertama ke titik-titik equilibrium sistem kedua juga memetakan orbitorbit terkait Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
76 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 1 (Analisis Titik Equilibrium): Diberikan variabel skalar y sehingga sistem pertama dapat dituliskan sebagai berikut y = α + y 2 + ψ y, α (2) dengan ψ y, α y, α = 0,0. = O(y 3 ) suatu fungsi smooth di sekitar Didefinisikan suatu manifold yang terdiri atas titik-titik equilibrium sistem tersebut, yaitu M = y, α : F y, α = α + y 2 + ψ y, α = 0. Dengan demikian kurva M melalui titik asalnya, yaitu F 0,0 = 0. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
77 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Selanjutnya, karena F α = 1 maka dengan menggunakan teorema fungsi implisit, manifold M secara lokal dapat disajikan sebagai M = y, α : α = g y dengan g merupakan fungsi smooth yang didefinisikan untuk y kecil, g y = y 2 + O y 3. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
78 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) Dengan demikian untuk α < 0, Sistem (2) memiliki 2 buah equilibrium di sekitar titik asalnya. Kedua titik equilibrium ini akan berdekatan dengan titik equilibrium dari Sistem (1), yaitu x 1 α = α dan x 2 α = α untuk nilai parameter yang sama. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
79 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Langkah 2 (Konstruksi Homeomorfisma): Dikonstruksikan pemetaan yang bergantung parameter y = h α x, untuk α cukup kecil. Pemetaan h α akan memetakan orbit-orbit x pada Sistem (1) ke orbit y pada Sistem (2). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
80 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Untuk α 0, didefinisikan pemetaan identitas h α x = x sedangkan untuk α < 0, diambil transformasi linear h α x = a α + b α x dengan koefisien a dan b dihitung dengan syarat h α x j α = y j α, j = 1,2. (cari a dan b) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
81 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD BUKTI LEMMA (Lanjutan) : Dengan demikian pemetaan h α : R R merupakan homeomorfisma yang memetakan orbit dari Sistem (1) di sekitar titik asal ke orbit terkait dari Sistem (2) dengan mempertahankan arahnya terhadap waktu. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
82 Bifurkasi FOLD Generik Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R, α R, dan f fungsi smooth. Untuk α = 0 diasumsikan bahwa di titik equilibrium x = 0 berlaku λ = f x 0,0 = 0. Ekspansi Taylor dari f x, α di sekitar x = 0 : f x, α = f 0 α + f 1 α x + f 2 α x 2 + O x 3 Ekspansi di atas memenuhi dua syarat, yaitu f 0 0 = f 0,0 = 0 syarat equilibrium f 1 0 = f x 0,0 = 0 (syarat bifurkasi Fold) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
83 Bifurkasi FOLD Generik Teorema 3.1: Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x R, α R, dan f fungsi smooth, mempunyai titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 dan misalkan λ = f x 0,0 = 0. Diasumsikan bahwa sistem tersebut memenuhi syarat berikut A.1. f xx 0,0 0 A.2. f α 0,0 0 Maka terdapat koordinat yang invertibel dan perubahan parameter yang mentransformasi sistem di atas ke dalam bentuk η = β ± η 2 + O η 3. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
84 Bifurkasi FOLD Generik Teorema 3.2. Sebarang sistem skalar dengan satu parameter x = f(x, α) yang memiliki titik equilibrium x = 0 di α = 0 dengan λ = f x 0,0 = 0, ekuivalen secara topologis lokal di sekitar titik asalnya terhadap sistem η = β ± η 2. Teorema di atas dapat dibuktikan dengan Lemma 3.1 dan Teorema 3.1. (Tunjukkan) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
85 Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. x 1 = αx 1 x 2 x 1 x x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 x 2 x x 2 2 Sistem di atas memiliki equilibrium x 1 = x 2 = 0 untuk setiap α dengan matriks Jacobian α 1 A = 1 α dengan nilai eigen λ 1,2 = α ± i. Selanjutnya dengan mengambil z = x + iy, z = x iy dan z = ρe iφ maka diperoleh ρ = ρ α ρ 2, φ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
86 Bentuk Normal Bifurkasi HOPF BIFURKASI HOPF SUPERKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
87 Bentuk Normal Bifurkasi HOPF Diberikan sistem dua persamaan diferensial yang bergantung pada parameter sbb. x 1 = αx 1 x 2 + x 1 x x 2 2 x 2 = x 1 + αx 2 + x 2 x x 2 2 Dalam bentuk kompleks diperoleh z = α + i z + z z 2 Bifurkasi Hopf SUBKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
88 Bentuk Normal Bifurkasi HOPF BIFURKASI HOPF SUBKRITIS Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
89 Bifurkasi HOPF Generik Diberikan sistem dinamik x = f x, α, x = x 1, x 2 T R 2, α R Fungsi f smooth dan titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 memiliki nilai eigen λ 1,2 (0) = ±iω 0, ω 0 > 0. Selanjutnya dengan menggunakan linearisasi di sekitar titik equilibriumnya diperoleh x = A α x + F x, α Dengan A α = a(α) c α b α d(α) Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
90 Bifurkasi HOPF Generik Teorema 3.4 Suatu sistem berdimensi dua dengan satu parameter x = f x, α dengan titik equilibrium x = 0 untuk α = 0 dan nilai eigen λ 1,2 (0) = ±iω 0, ω 0 > 0 Equivalen secara topologis di sekitar titik equilibriumnya dengan bentuk normal berikut y 1 β 1 y 1 = y 2 1 β y ± y 2 2 y y 2 2 y. 2 Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
91 Bifurkasi Satu Parameter untuk Sistem Diskret Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ = 1 disebut bifurkasi FOLD Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ = 1 disebut bifurkasi FLIP Bifurkasi terkait munculnya multiplier μ 1,2 = e ±iθ 0, 0 < θ 0 < π disebut bifurkasi Neimark-Sacker (Bifurkasi TORUS). Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
92 Bentuk Normal Bifurkasi FOLD Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung pada satu parameter, yaitu x α + x + x 2 f x, α f α (x) Pemetaan f α x invertibel untuk nilai α kecil di sekitar titik asalnya. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
93 Bentuk Normal Bifurakasi FOLD Cara lain untuk menggambarkan bifurkasi FOLD adalah dengan menggambarkan titik tetapnya terhadap parameter. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
94 Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Diberikan sistem dinamik diskret yang bergantung satu parameter, yaitu x 1 + α x + x 3 f x, α f α x Fungsi f α invertibel untuk nilai α kecil di sekitar titik asalnya. Titik tetap x 0 = 0 memiliki multiplier μ = 1 + α untuk setiap α. Titik x 0 stabil untuk α < 0 dan tidak stabil untuk α > 0. Untuk α = 0, titik x 0 = 0 memiliki multiplier μ = 1. Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
95 Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Jika diambil y = f α (x), maka diperoleh Pada iterasi kedua, selain titik equlibrium trivial, terdapat juga titik equilibrium non trivial yaitu x 1,2 = ± α + O α Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
96 Bentuk Normal Bifurkasi FLIP Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
97 Bentuk Normal Bifurkasi Neimark- Sacker Diberikan sistem dinamik diskret berdimensi dua α adalah suatu parameter, θ = θ α, a = a α, dan b = b α adalah fungsi-fungsi smooth. Selain itu 0 < θ 0 < π, a 0 0. Untuk x 1 = x 2 = 0 diperoleh matriks Jacobian cos θ sin θ A = 1 + α sin θ cos θ Dengan nilai eigen μ 1,2 = 1 + α e ±iθ Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
98 Bentuk Normal Bifurkasi Neimark- Sacker Transformasi ke dalam koordinat polar menghasilkan Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
99 Tugas Presentasi Kelompok Kelompok I : Bifurkasi FOLD Generik Kelompok II : Bifurkasi FLIP Generik Kelompok III : Bifurkasi Neimark-Sacker Generik Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
100 Referensi 1. Kuznetsov, Y., Elements of Applied Bifurcation Theory -2nd ed, Applied Mathematical Sciences 112, Springer- Verlag New York, Inc, Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Teori Bifurkasi Senin, 29 Juli
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov,
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciBIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam
Lebih terperinciBENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 15 23 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI MELA PUSPITA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET
Vol. 5, No., Juni 009: 54-60 BIFUKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKET ubono Setiawan Mahasiswa S Jurusan Matematika Universitas Gadah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id Abstrak Di
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciBIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER
BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER T - 2 Andini Putri Ariyani 1, Kus Prihantoso Krisnawan 2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 e-mail:andiniputri_ariyani@yahoo.com, 2 e-mail:
Lebih terperinciLecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta
Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos Johan Matheus Tuwankotta Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no., Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id.
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah
Lebih terperinciMODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK
SEMIRATA MIPAnet 2017 24-26 Agustus 2017 UNSRAT, Manado MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK HASAN S. PANIGORO 1, EMLI RAHMI 2 1 Universitas
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciBARISAN HINGGA BIFURKASI PERIOD-DOUBLING PADA INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TESIS. Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat
BARISAN HINGGA BIFURKASI PERIOD-DOUBLING PADA INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TESIS Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Matematika Institut Teknologi Bandung Oleh
Lebih terperinciBIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI
BIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Lebih terperinciBIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI
BIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciPenentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciDiscrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciPenerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami
Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciPenentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang. Oleh:
Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang Sistem hibrid mempunyai bentuk: x& Oleh: Kus Prihantoso Krisnawan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang. menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit.
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu disebut dengan sistem dinamik
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR
Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393 Januari 2014, Vol.2, No.1, Hal.1-12 ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Hasan S. Panigoro 1 Diterima:
Lebih terperinciBAB I KAJIAN TEORI. meningkatkan sistem. Teori moderen dari sistem dinamik berasal dari abad. ke-19 mengenai stabilitas dan evolusi dari tata surya.
BAB I KAJIAN TEORI 1.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik membahas tentang perilaku jangka panjang untuk meningkatkan sistem. Teori moderen dari sistem dinamik berasal dari abad ke-19 mengenai stabilitas dan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan dan Bifurkasi Solusi Sistem Autoparametrik dengan Osilator Tipe Rayleigh
J. Math. and Its Appl. ISSN: 89-605X Vol., No., Nov 005, 8 9 Analisis Kestabilan dan Bifurkasi Solusi Sistem Autoparametrik dengan Osilator Tipe Rayleigh Abadi Jurusan Matematika UNESA Universitas Negeri
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciKARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci( t) TINJAUAN PUSTAKA. x dengan nilai fungsi dari: x
Berawal dari apa yang telah disampaikan sebelumnya, pada skripsi kali ini akan dipelajari bagaimana perilaku trayektori solusi soliton sistem optik periodik melalui pendekatan analisis sistem dinamik yang
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK LINEAR KOEFISIEN KONSTAN. Caturiyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta (UNY)
1 SISTEM DINAMIK LINEAR KOEFISIEN KONSTAN Caturiyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta (UNY) Abstrak Dalam artikel ini, konsep sistem dinamik linear disajikan dengan sistem
Lebih terperinciAbstrak: Makalah ini bertujuan untuk mengkaji model SIR dari penyebaran
ANALISIS KESTABILAN PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) DENGAN VAKSINASI MENGGUNAKAN MODEL ENDEMI SIR Marhendra Ali Kurniawan Fitriana Yuli S, M.Si Jurdik Matematika FMIPA UNY Abstrak: Makalah ini bertujuan
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciBIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LOREN Faisal PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. ani km. 6 Kampus Unlam
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas mengenai tinjauan pustaka yang digunakan dalam penelitian ini, khususnya yang diperlukan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang mendukung pembentukan
Lebih terperinciSOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK
SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH Sugimin Jurusan Matematika FMIPA UT ugi@mail.ut.ac.id ABSTRAK Suatu persamaan vektor berbentuk x & = f (x dengan variabel bebas t yang tidak dinyatakan
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit,
Lebih terperinciMODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 2, Nopember 2007, 9 15 MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN IGN Rai Usadha 1, Ni Ketut Tari T. 2 1 Jurusan Matematika, Institut
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciMETODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 47 55 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING LIDYA PRATIWI, MAHDHIVAN SYAFWAN, RADHIATUL HUSNA
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN ( )
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas dan dituliskan dengan
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 235-244 ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG Hidayu Sulisti, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciPROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT. ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara Pendahuluan Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal (SWE)
Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dibahas mengenai Persamaan Air Dangkal dan dasar-dasar teori mengenai metode beda hingga untuk menghampiri solusi dari persamaan diferensial parsial. 2.1 Persamaan
Lebih terperinciAgus Suryanto dan Isnani Darti
Pengaruh Waktu Tunda pada Model Pertumbuhan Logistik Agus Suryanto dan Isnani Darti Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Brawijaya suryanto@ub.ac.id www.asuryanto.lecture.ub.ac.id Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciMETODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 4 Hal. 9 17 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI RAHIMA
Lebih terperinciLAMPIRAN I. Alfabet Yunani
LAMPIRAN I Alfabet Yunani Alha Α Nu Ν Beta Β Xi Ξ Gamma Γ Omicron Ο Delta Δ Pi Π Esilon Ε Rho Ρ Zeta Ζ Sigma Σ Eta Η Tau Τ Theta Θ Usilon Υ Iota Ι hi Φ, Kaa Κ Chi Χ Lambda Λ Psi Ψ Mu Μ Omega Ω LAMPIRAN
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciRuang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik
Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Oleh : Iswanti 1, Soeparna Darmawijaya 2 Iswanti, Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang, Semarang, Jawa
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciIV PEMBAHASAN. jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai ( ) mengakibatkan. 4.1 Model SIR
9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR 4.1.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ) sehingga dari persamaan 2) diperoleh : - si + s = 0 9) si + )i = 0 didapat titik
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan teknologi yang begitu pesat mengakibatkan perkembangan pengetahuan tentang sistem dinamik juga pesat. Salah satu pengembangan sistem dinamik dalam kehidupan
Lebih terperinciBAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinci