4.1 Sistem kuasi-linear hiperbolik. Sistem (hukum kekekalan) kuasi-linear mempunyai bentuk umum. t u + A α (u) xα u = b(u) (4.1.

Transkripsi

1 Bab 4 SISTEM KUASI-LINEAR 4. Sistem kuasi-linear hiperbolik Sistem (hukum kekekalan) kuasi-linear mempunyai bentuk umum t u + A α (u) xα u = b(u) (4..) α= u(x, 0) = u 0 (x) Jika u 0 adalah fungsi konstan, maka u tidak bergantung pada x sehingga solusi sistem di atas hanyalah fungsi t saja, yaitu solusi dari persamaan u t = b(u) (lihat Serre[7], halaman 68). Pada pembahasan selanjutnya, b(u) diasumsikan bernilai nol. Sistem kuasi-linear (4..) dapat dinyatakan juga dalam bentuk sistem hukum kekekalan sebagai berikut, t u + xα f α (u) = 0 (4..2) α= dimana A α (u) = df α (u) (matriks Jacobi dari A α ). Sama halnya pada sistem linear, sistem kuasi-linear juga memiliki sifat kehiperbolikan. Sistem kuasi-linear dikatakan hiperbolik jika untuk semua u, sistem linear t u + A α (u) xα u = 0 α= 32

2 BAB 4. SISTEM KUASI-LINEAR 33 hiperbolik dan matriks pendiagonal P (ξ; u) dari A(ξ; u) = ξ αa α (u) dan inversnya terbatas pada setiap himpunan kompak dari S d U, dimana S d = {x R d : x = }. Salah satu contoh sistem kuasi-linear hiperbolik adalah persamaan Euler berikut v v + v 2 + p E v(e + p) t x = 0 (4..3) Pada persamaan Euler di atas adalah kepadatan, v kecepatan, E energi total, dan p adalah tekanan gas. Persamaan Euler merupakan gabungan dari beberapa hukum kekekalan, yaitu kekekalan massa, momentum, dan energi. Lebih khusus lagi, persamaan Euler pada gas politropik, yaitu gas ideal dimana energi dalamnya merupakan fungsi dari temperatur dan energi totalnya dapat dinyatakan sebagai E = p γ + 2 v2. Dengan, v, E sebagai variabel bebasnya, sistem di atas dapat ditulis menjadi v + E t 0 0 (γ 2 3)v2 (3 γ)v γ (γ 2 )v3 v (E+p) p (E+p) (γ )v 2 γv v = 0 E x (4..4) Selain memiliki sifat hiperbolik, sistem kuasi-linear di atas juga memiliki sifat linear degenerate pada ruang karakteristiknya. Suatu ruang karakteristik dikatakan linear degenerate di himpunan buka U jika diferensial dari λ adalah nol di E = Ker(A λi n ), yaitu u λ.r 0,

3 BAB 4. SISTEM KUASI-LINEAR 34 untuk setiap r Ker(A λi n ) dan u U. Perhatikan kembali sistem (4..4). Sistem di atas memiliki tiga nilai eigen yang berbeda, yaitu γp λ = v λ 2 = v λ 3 = v + γp v/ Karena r 2 = v, maka λ 2r 2 = / v = 0. Dengan demikian 2 v2 0 2 v2 ruang karakteristik dari sistem (4..4) adalah linear degenerate. Suatu sistem kuasi-linear dapat ditransformasi ke dalam sistem kuasi-linear yang lain. Namun, transformasi sistem kuasi-linear hiperbolik belum tentu menghasilkan sistem serupa. Perhatikan sistem berikut. t u + u 0 x u = 0 (4..5) 0 u Sistem di atas adalah sistem yang hiperbolik. Misalkan kita transformasi dengan v = u dan v 2 = x u 2, maka diperoleh sistem kuasi-linear t v + v 0 x v = 0 (4..6) v 2 v Karena matriks A = v 0 tidak dapat didiagonalkan untuk setiap v maka v 2 v sistem di atas tak hiperbolik, artinya sistem kuasi-linear hiperbolik ditransformasi menjadi sistem nonhiperbolik. Transformasi di atas bukan suatu diffeomorphisma (transformasi satu-satu, pada, dan diferensiabel). Jika transformasinya berupa suatu diffeomorphisma, maka sifat kuasi linear hiperbolik dikekalkan. Misalkan u v = ϕ(u), jika ϕ diffeomorphisma

4 BAB 4. SISTEM KUASI-LINEAR 35 maka transformasi tersebut dapat dilakukan menjadi t v + B α (v) xα v = 0 α= dimana matriks B α adalah konjugat dari matriks A α. B α (ϕ(u)) = dϕ(u)a α (u)(dϕ(u)) Pada kenyataannya, jika A(ξ; u) = P (ξ; u)d(ξ; u)(p (ξ; u)), maka B(ξ; u) didiagonalkan oleh matriks dϕ(u)p (ξ; u). Dengan demikian hasil transformasi oleh ϕ adalah sistem kuasi-linear hiperbolik juga. 4.2 Solusi Lemah dan Kondisi Rankine Hugoniot Tinjau masalah sistem kuasi linear t u + xα f α (u) = 0 α= Misal T > 0, u 0 L (R d ) dan u L (R d (0, T )), u disebut solusi lemah dari masalah di atas jika untuk semua φ C0(R d (0, T )), berlaku (u. t φ + f α (u). xα φ)dxdt + u 0 (x).φ(x, 0)dx = 0 R d R d (0,T ) Analisis kondisi Rankine Hugoniot pada sistem kuasi-linear tidak sesederhana pada persamaan skalar. Namun dengan formula Green, kondisi Rankine Hugoniot dapat dirumuskan. Tinjau domain pada Gambar 4., maka 0 = (u t φ + f α (u) xα φ)dxdt ω = φ ( u t xα f α (u))dxdt + φ ( u t ω ω + + (v0 u + vα f α (u)) φds(x, t) ω + (v 0 + u + v α + f α (u)) φds(x, t) ω + xα f α (u))dxdt (4.2.)

5 BAB 4. SISTEM KUASI-LINEAR 36 Gambar 4.: Permukaan dari diskontinuitas sistem kuasi-linear Perhatikan bahwa pada batas Σ, berlaku v + = v sehingga 0 = Σ (v 0 [u] + v α [f α (u)]) φds(x, t) (4.2.2) Dari (4.2.2) diperoleh kondisi Rankine Hugoniot untuk sistem kuasi-linear yaitu v 0 [u] + v α [f α (u)] = 0 (4.2.3) Misalkan f α fungsi Lipschitz dengan konstanta Lipschitz M α, maka dari kondisi Rankine Hugoniot (4.2.3) diperoleh pertaksamaan sehingga Notasikan sebagai berikut v 0 [u] v 0 M α v α [u] M α v α n = (v,..., v d ), v = (v vd 2 v ), V = v 0 v

6 BAB 4. SISTEM KUASI-LINEAR 37 Dengan demikian n adalah vektor normal satuan pada bidang Σ t = Σ ({t} R d ) dan V adalah kecepatan normal Σ t terhadap waktu. Selanjutnya (4.2.3) dapat ditulis sebagai 0 = v 0 v [u] + = V u + n[f(u)] v α v [f α (u)] Jadi n [f(u)] = V [u] [f(u)] = V [u] Karena n adalah vektor satuan, kecepatan perambatan diskontinuitas didominasi oleh konstan Lipschitz dari f pada interval [u, u + ], yang mana menunjukkan bahwa diskontinuitas pada sistem kuasi linear hiperbolik merambat dengan kecepatan hingga.