MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM

Transkripsi

1 MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

2 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional Tak Monoton. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO. Penelitian ini mengkaji dinamika sistem mangsa pemangsa dengan respon fungsional tak monoton. Dalam model ini tingkat interaksi antara mangsadan pemangsa diasumsikan memenuhi fungsi kuadrat yang tidak monoton. Dengan asumsi ini selanjutnya dianalisis perilaku yang terjadi pada sistem dengan melihat pengaruh perubahan parameter model. Dari hasil analisis terhadap model, diperoleh 4 buah titik tetap dengan kestabilan yang bergantung pada nilai-nilai parameter. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan terhadap perubahan parameter tingkat kelahiran mangsa, dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat kelahiran mangsa maka akan terjadi perubahan pusat osilasi solusi. Sedangkan pada perubahan parameter tingkat kematian pemangsa, dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat kematian pemangsa maka akan merubah banyaknya titik tetap serta merubah kestabilan pada masing-masing titik tetap. Apabila tingkat kematian pemangsa mencapai proporsi 0.5 populasi pemangsa,akan menyebabkan pemangsa punah.

3 ABSTRACT RIDWAN IDHAM. Predators Prey Model with Nonmonotonic Functional Response. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and ALI KUSNANTO. This study examines the dynamics of predator prey system with nonmonotonic functional response. In this model the level of interaction between prey and predator is assumed to satisfy a nonmonotonic quadratic function. With this assumption the behavior occurs in the system is analyzed by considering the effects of parameter changes. Based on analysis of the model, there are 4 fixed points, which stability depend on parameter values. Based on the simulations on the parameter of prey birth rate, it can be concluded that the higher prey birth rate, there will be changes in the oscillation center of solutions. While the changes in the predator mortality rate parameter show that the higher the death rate of predator, it will change the number of fixed points and will change the stability at each fixed point. If the predator death rate reached proportion 0.5 of the predator population, it will cause the extinction of predator.

4 MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM G Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

5 Judul : Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional Tak Monoton Nama : Ridwan Idham NIM : G Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP NIP Mengetahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobbil alamin. Penulis mengucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak dan Ibu tersayang, terima kasih atas didikan, kasih sayang, nasehat, semangat, serta do a yang tiada henti-hentinya. Do a yang selalu menjadi penerang jalan penulis.. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing I, Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing II. Terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Bu Endar dan Pak Ali berikan sangat bermanfaat bagi penulis. Terima kasih. 3. Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji. Terimakasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis. 4. Adikku Wilda Idham tersayang terimakasih atas do a, semangat dan dukungannya. 5. Semua dosen Departemen Matematika, terimakasih atas ilmu yang telah diberikan. 6. Pak Yono, Bu Ade, Bu Susi, Mas Bono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terimakasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di Departemen Matematika. 7. Sahabat sahabatku seperjuangan : Suwarno, Septian, Carwidah dan teman-teman se-kosan yang telah memberikan dukungan 8. Teman-teman satu bimbingan yang sudah lulus terlebih dahulu terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasehatnya. 9. Kakak kelas angkatan 40 dan 41 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. 10. Teman-teman angkatan 4 Terimakasih atas doa, dukungan dan semangatnya, terimakasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math Adik kelas angkatan 43, 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika. Bogor, Maret 011 Ridwan Idham

7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Jakarta pada tanggal 16 April 1987 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan H. Salim dan Hj. Nurmaleni. Tahun 1999 penulis lulus dari SDN 01 Pulogadung Jakarta Timur. Tahun 00 penulis lulus dari SLTPIT RAFAH Bogor. Tahun 005 penulis lulus dari SMAIT RAFAH Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah regional Jawa Barat, Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 006, penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar Privat Matematika. Penulis aktif di organisasi BEM-KM sebagai Volunteer 005/006, LIMIT sebagai anggota divisi Syi ar 006/007, GUMATIKA sebagai anggota divisi Keilmuan 007/008, BEM-KM IPB sebagai Staf Ahli 008/009. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain acara PIMNAS (Pekan Ilmiah Mahasiswa Nasional) pada tahun 006 (Malang) dan 008 (Semarang) Sebagai kontingen IPB dalam Lomba Debat Bahasa Arab, MTQ-MN (Musabaqah Tilawatil Qur an Mahasiswa tingkat Nasional 007 (Palembang) sebagai kontingen IPB dalam cabang MHQ (Musabaqah Hifdzil Qur an) 1 Juz dan 009 (Lhokseumawe) sebagai Kontingen IPB dalam cabang MFQ (Musabaqah Fahmil Qur an).

8 DAFTAR ISI Halaman I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 II. III. LANDASAN TEORI.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear.... Titik Tetap....3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen....4 Analisis Kestabilan Titik Tetap....5 Bidang Fase Bidang Solusi Model Logistik Model Lotka-Volterra... 3 PEMBAHASAN 3.1 Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional Tak Monoton Analisis Kestabilan Titik Tetap Simulasi Model pada r Simulasi Model pada d... 8 IV. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 11

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Plot antara dan N Bidang Fase r= Bidang Solusi r= Bidang Fase r= Bidang Solusi r= Bidang Fase r= Bidang Solusi r= Bidang Fase d= Bidang Solusi d= DAFTAR TABEL Halaman 1. Analisis terhadap perubahan r Analisis terhadap perubahan d... 9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Penentuan Titik Tetap Program penentuan titik tetap dengan Mathematica Program penentuan matriks Jacobi dengan Mathematica Program simulasi model pada r dengan Mathematica 7.0 dan Maple Program simulasi model pada d dengan Mathematica 7.0 dan Maple... 19

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pemodelan matematika memiliki cakupan yang luas, antara lain yaitu pemodelan ekonomi, pemodelan keuangan, dan pemodelan sosial.dari sisi bentuk variabelnya pemodelan matematika dibagi menjadi pemodelan stokastik yang dimana peubahnya dalam bentuk acak, kemudian pemodelan deterministik yang peubahnya dapat diperkirakan serta pemodelan sistem dinamik. Sistem dinamik adalah suatu metode pemodelan yang diperkenalkan oleh JayForrester pada tahun 1950-an dan dikembangkan di Massa chusetts Institute of Technology Amerika. Sesuai dengan namanya, penggunaan metode ini erat berhubungan dengan pertanyaan-pertanyaan tentang tendensi-tendensi dinamik sistemsistem yang kompleks, yaitu pola-pola tingkah laku yang dibangkitkan oleh sistem itu dengan bertambahnya waktu. Asumsi utama dalam paradigma dinamik sistem adalah bahwa tendensi-tendensi dinamik yang terjadi terus menerus pada setiap sistem yang kompleks bersumber dari struktur kausal yang membentuk sistem itu. Oleh karena itulah model-model dinamik sistem diklasifikasikan ke dalam model matematik kausal (theory-like). Banyak kajian model yang dibahas dalam sistem dinamik antara lain model pertumbuhan yang meliputi didalamnya model logistik, model mangsa pemangsa Lotka-Volterra, dan model lainnya. Pada dasarnya interaksi adalah suatu jenis tindakan atau aksi yang terjadi sewaktu dua atau lebih objek mempengaruhi atau memiliki efek satu sama lain. Ide efek dua arah ini penting dalam konsep interaksi, sebagai lawan dari hubungan satu arah pada sebab akibat. Kombinasi dari interaksiinteraksi sederhana dapat menuntun pada suatu fenomena baru yang mengejutkan. Dalam berbagai bidang ilmu, interaksi memiliki makna yang berbeda, sedangkan interaksi antara mangsa pemangsa adalah gejala alam yang alamiah dimana yang lebih kuat akan memiliki kemampuan bertahan lebih lama dibandingkan yang lemah yang lambat laun akan punah akibat tidak mampunya bersaing dalam sebuah lingkungan. Pemodelan mangsa pemangsa ini banyak memiliki manfaat di antaranya untuk melihat stabilitas jumlah populasi mangsa dan pemangsa yang ada dalam sebuah biota atau lingkungan. Model tersebut akan digunakan oleh peneliti untuk mengendalikan populasi mangsa agar tidak terjadi kepunahan. Dalam tugas akhir ini akan dibahas salah satu model yang ada dalam sistem dinamik yaitu model mangsa pemangsa dengan respon fungsional tak monoton dimana respon fungsional adalah tingkat asupan konsumen sebagai fungsi dari kepadatan makanan yang berkaitan dengan tingkat reproduksi seorang konsumen sebagai fungsi kepadatan makanan. 1. Tujuan a. Menganalisis model mangsa pemangsa dengan respon fungsional tak monoton dengan menentukan titik tetap serta kestabilan masing-masing titik tetap, bidang fase dan bidang solusinya dengan mensubstitusikan parameter-parameter yang telah ditentukan. b. Melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem.

11 II LANDASAN TEORI.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) Persamaan diferensial linear orde-1 dinyatakan sebagai berikut: x& + at () x= gt () (.1) dengan at () dan g() t adalah fungsi dari waktu t. Bila at () adalah suatu matriks berukuran n n dengan koefisien konstan dan g() t dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut: dx. Titik Tetap Ax b, x(0) x0 dt = + =. (.) (Farlow, 1990) ( A λi) x = 0 (.5) dengani matriks identitas. Persamaan (.5) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika det( A λi) = A λi = 0. (.6) Persamaan (.7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. [Tu, 1994].4 Analisis Kestabilan Titik Tetap Diberikan sistem persamaan differensial sembarang n x& = f( x), x R. (.7) Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks J. Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut &x = f ( x1, x,... x n ), 1 n ( x, x,..., x ) R. (.3) Suatu titik x * * yang memenuhi f ( x ) = 0 disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem..3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks n n, n maka suatu vektor taknol x di dalam R disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku Ax = λx (.4) vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n maka persamaan (.4) dapat dituliskan kembali sebagai berikut n Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu λ dengan i = 1,, 3,..., n yang i diperoleh dari ( A λ I) det = 0 Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut 1. Stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif ( λ i < 0 untuk semua i) b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecilatau sama dengan nol ( Re λ 0 untuk semua i). ( ) i. Takstabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif ( λ i < 0 untuk semua i). b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol ( Re( λi ) 0 untuk semua i). 3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (

12 λλ i j < 0 untuk i dan j sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat takstabil. [Tu, 1994].5 Bidang Fase Suatu persamaan diferensial x& = f( x) tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif. Salah satu solusi kualitatif adalah diagram fase. Diagram fase akan menggambarkan perubahan kecepatan x& terhadap x.6 Bidang Solusi Bidang solusi merupakan bidang yang menggambarkan solusi persamaan differensial terhadap parameter yang telah ditentukan..7 Model Logistik Model logistik adalah model yang diperkenalkan oleh Verhulst pada Model ini dapat dituliskan sebagai berikut : N& rn 1 N = K dimana: N adalah populasi pada waktu t K adalah Konstanta r adalah tingkat pertumbuhan Dari persamaan di atas dapat ditentukan titik tetapnya dengan menjadikan N & = 0 sehingga diperoleh pada saat N = 0 atau N = K, yang dapat dilihat pada gambar berikut. N & K/ Dalam gambar juga dapat dilihat aliran bahwa N * = 0 adalah titik tetap tak stabil * dan N = K adalah titik tetap stabil..8 Model mangsa Pemangsa Lotka- Volterra Persamaan Lotka-Volterra, juga dikenal sebagai persamaan predator-mangsa, yang merupakan sepasang persamaan diferensial orde pertama dan non-linear. Persamaan diferensial sering digunakan untuk menggambarkan dinamika sistem biologi dimana dua spesies berinteraksi, sebagai contoh predator dan mangsa yang lainnya. Mereka berkembang dalam waktu sesuai dengan sepasang persamaan: dx = x( α βy) dt dy = y( γ δ x) dt dimana x : banyaknya mangsa y : banyaknya pemangsa dx : menggambarkan pertumbuhan dt mangsa pada waktu t dy : menggambarkan pertumbuhan dt pemangsa pada waktu t t : waktu α : laju kelahiran mangsa γ : laju kematian pemangsa K Gambar 1 Plot antara N & terhadap N N

13 III PEMBAHASAN 3.1 Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional Tak Monoton Sistem mangsa pemangsa yang telah dikenal banyak orang dan sering dikembangkan di antaranya sistem mangsa pemangsa Lotka-Volterra. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model mangsa pemangsa dengan respon fungsional tak monoton yang dipelajari oleh Zhu, Campbell dan Wolkowicz (Xiao dan Zhu, 006) dimana respon fungsional adalah tingkat asupan konsumen sebagai fungsi dari kepadatan makanan. Dalam penelitian ini digunakan kelas respon fungsional tak monoton. x x& = rx 1 y& = y d + x di mana K x bx xy x + bx+ 1 (3.1) : Banyaknya populasi mangsa pada waktu t : Banyaknya populasi pemangsa pada waktu t : Tingkat pertumbuhan maksimum (r > 0) : Tingkat kematian pemangsa : Konstanta b R : Carrying Capacity (K > 0) Berikut ini akan ditentukan titik tetap dari persamaan (3.1) dengan menjadikan: x& = 0 y& = 0 diperoleh empat buah titik tetap berikut (perhitungan secara analitis di Lampiran 1 dan dengan Mathematica 7.0 di Lampiran ) T1 = (0,0) T = ( K,0) 1 bd + 4 d + ( 1 + bd), d 1 T3 = ( 1+ d b d 1 bd 4d + b d + 3 dk d(1 + 1 bd 4 d + b d ) K + bd(+ 1 bd 4 d + b d dk)) r 1 bd + 4 d + ( 1 + bd), d 1 T4 = ( 1+ d b d 1 bd 4d + b d + 3 dk d( 1+ 1 bd 4 d + b d ) K + bd(+ 1 bd 4 d + b d dk)) r Sistem persamaan (3.1) mempunyai matriks Jacobi sebagai berikut : rx x x( b + x) y y x + r 1 + K K (1 bx x ) 1 bx x 1 bx x J = xb ( + x) 1 x + y d + (1 + bx + x ) 1+ bx + x 1+ bx + x 3. Analisis Kestabilan Titik Tetap Akan dilakukan penentuan kestabilan titik tetap pada masing-masing titik. 1. T 1 = (0,0) kemudian kita subsititusikan kedalam matriks Jacobi di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai r 0 berikut J = 0 d sehingga kita peroleh bahwa nilai λ 1 = r dan λ = d sehingga kestabilan titik tetap tersebut adalah sadel.. T = ( K,0) kemudian kita subsititusikan kedalam matriks Jacobi di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut K r 1+ bk + K J =, K 0 d + 1+ bk + K sehingga kita peroleh λ 1 = r dan λ = K d bk + K maka kestabilan titik tetap tersebut adalah stabil jika

14 K d 1 bk K dan sadel jika K d 1 bk K 3.3 Simulasi Model pada r r =1 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu r = 1, b = 0, K = 1.809, d = 0.37 Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu nilai eigen bertanda sama dan tracenya positif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node Stabil 4. T 4 = (0.45,0.9), λ1 dan λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil. Bidang Fase Dengan memasukkan parameter di atas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. T = (0,0) 1 T = (1.81, 0) T = (.4, 1.44) 3 T = (0.45, 0.9) 4 Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameterparameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut : x + y y x x (1 + x ) 1+ x 1+ x J = x 1 x - + y (1 + x ) 1+ x 1+ x Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik sebagai berikut : Bidang Solusi Gambar Bidang Fase r = 1 Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple 1. T 1 = (0,0), λ1 = R +, λ = R, Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node. T = (1.81, 0), λ1 = R +, λ = R, titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. T 3 = (.4, 1.44), λ1 = R, λ = R,danτ > 0, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua Gambar 3 Bidang Solusi r = 1

15 Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa (garis hitam) berosilasi pada titik 0.5 sedangkan pemangsa (garis redup) berosilasi pada titik 1. r =0.8 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu r = 0.8, b = 0, K = 1.809, dan d = 0.37 Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu T1 = (0,0) T = (1.81, 0) T3 = (.4, 1.15) T = (0.45, 0.7) 4 Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameterparameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut : x + y y x 0.8( x) x+ - - (1 + x ) 1+ x 1+ x J = x 1 x - + y (1 + x ) 1+ x 1+ x Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik sebagai berikut : Bidang Fase sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil. Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. Bidang Solusi Gambar 4 Bidang Fase r = 0.8 Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple + 1. T 1 = (0,0), λ1 = R, λ = R, Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node +. T 3 = (1.81, 0), λ1 = R, λ = R, titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. T = (.4, 1.15), λ1 = R, λ = R, dan kedua τ < 0, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai eigen dengan tanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node Stabil. Gambar 5 Bidang Solusi r = 0.8 Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa (garis hitam) berosilasi pada titik 0.5 sedangkan pemangsa (garis redup) berosilasi pada titik T 4 = (0.45,0.7), λ1 dan λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang

16 r =0.4 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu r = 0.4, b = 0, K = 1.809, dan d = 0.37 Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 4 buah titik tetap yaitu Bidang Fase sama maka menurut teori kestabilan titik tetap adalah tipe spiral tak stabil Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. T = (0,0) 1 T = (1.81, 0) T = (.4, 0.58) 3 T = (0.45, 0.36) 4 Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameterparameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : x + y y x 0.4( x) -0.1x+ - - (1 + x ) 1+ x 1+ x J = x 1 x - + y (1 + x ) 1+ x 1+ x Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik. Hasil analisis tersebut adalah sebagai berikut : Bidang Solusi Gambar 6 Bidang Fase r = 0.4 Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple + 1. T 1 = (0,0), λ1 = R, λ = R, Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node +. T = (1.81, 0), λ1 = R, λ = R, titik tetap ini memilik tipe titik tetap Saddle Node, karena nilai eigennya berbeda tanda. 3. T 3 = (.4, 0.58), λ1 = R, λ = R,dan kedua τ < 0, maka menurut teori kestabilan titik tetap jika kedua nilai eigen bertanda sama dan tracenya negatif, maka titik tetap tersebut memiliki tipe Node stabil. 4. T 4 = (0.45,0.36), λ1 dan λ adalah anggota dari Bilangan Kompleks Konjugat, dan memiliki tanda yang Gambar 7 Bidang Solusi r = 0.4 Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa (garis hitam) berosilasi pada titik 0.6 sedangkan pemangsa (garis redup) berosilasi pada titik 0.5. Dari simulasi analisis titik tetap di atas, diperoleh sebagai berikut

17 Tabel 1 Analisis terhadap perubahan r r=1 r=0.8 r=0.4 T1 T T3 T4 Saddle Node Saddle Node Saddle Node Saddle Node Saddle Node Saddle Node Node Stabil Node Stabil Node Stabil Spiral Tak Stabil Spiral Tak Stabil Spiral Tak Stabil 3. T 4 = (1, 0.89), λ1 = R, λ = 0, dan Δ= 0 maka titik tetap ini merupakan titik tetap terisolasi. Bidang Fase Dengan memasukkan parameter diatas kita akan mencari bidang fase dengan menggunakan software Mathematica, maka kita akan memperoleh bidang fase sebagai berikut. 3.4 Simulasi Model pada d d = 0.5 Selanjutnya akan dilakukan simulasi terhadap model yang telah diberikan dengan cara mensubstitusikan parameter yang telah ditentukan yaitu r = 1, b = 0, K = 1.809, dan d = 0.5 Dengan mensubstitusikan keempat nilai parameter tersebut akan diperoleh 3 buah titik tetap yaitu T1 = (0,0) T = (1.81, 0) T = (1, 0.89) 3 Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dari persamaan yang telah disubstitusikan padanya parameterparameter yang telah ditentukan, maka diperoleh matriks jacobi sebagai berikut: Gambar 8 Bidang Fase d=0.5 Bidang Solusi Untuk memperoleh bidang solusi program yang digunakan adalah Maple xy y x x (1 + x ) 1 + x 1+ x J = x 1 x - + y (1 + x ) 1 + x 1+ x Kemudian akan dilakukan analisis kestabilan titik tetap pada masing-masing titik sebagai berikut : + 1. T 1 = (0,0), λ1 = R, λ = R,Menurut teori kestabilan titik tetap jika nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap tersebut memiliki tipe Saddle Node +. T = (1.81, 0), λ1 = R, λ = R, titik tetap ini memilik tipe titik tetapnode Stabil, karena nilai eigennya berbeda tanda Gambar 9 Bidang Solusi d=0.5 Pada bidang solusi terlihat bahwa mangsa (garis hitam) menuju kestabilan pada titik 1.8 sedangkan pemangsa (garis redup) meuju 0 dan cenderung punah. Dari analisis kestabilan titik tetap diatas diperoleh tabel sebagai berikut

18 Tabel Analisis terhadap perubahan d d=0.37 d=0.5 T1 T T3 T4 Saddle Node Saddle Node Saddle Node Node Stabil Node Stabil Titik Tetap Terisolasi Spiral Tak Stabil Dari tabel dapat dilihat bahwa perubahan kestabilan titik tetap terjadi pada T dari saddle node menjadi node stabil dan pada T3 dari node stabil menjadi titik tetap terisolasi.

19 IV KESIMPULAN Dalam karya tulis ini dilakukan analisis model mangsa pemangsa dengan respon fungsional tak monoton. Respon fungsional adalah tingkat asupan konsumen sebagai fungsi dari kepadatan makanan yang berkaitan dengan tingat reproduksi konsumen sebagai fungsi kepadatan makanan dan analisis ini kelas respon fungsional yang digunakan adalah respon fungsional tak monoton yang kemudian dilakukan substitusi terhadap masing-masing parameter untuk melihat pengaruh parameter tersebut. Selanjutnya analisis terhadap parameter dikonsentrasikan pada perubahan parameter tingkat kelahiran mangsa dan tingkat kematian pemangsa dengan mengasumsikan nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan terhadap perubahan parameter tingkat kelahiran mangsa dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat kelahiran mangsa maka akan terjadi perubahan pusat osilasi pada solusi. Sedangkan pada perubahan parameter tingkat kematian pemangsa dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat kematian pemangsa maka akan merubah banyaknya titik tetap serta merubah kestabilan pada masing-masing titik tetap dan kestabilannya tetap. Apabila tingkat kematian pemangsa mencapai 0.5 menyebabkan pemangsa akan punah. V DAFTAR PUSTAKA Farlow SJ An Introduction to Differential Equation and Their Applications. Mc Graw-Hill, New York. Tu PNV Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer- Verlag. Heidelberg, Germany Xiao D and Zhu H Multiple Focus and Hopf Bifurcation in a Predator- Prey System with Nonmonotonic Functional Response. Siam J. Appl. Math, Vol 66, No.3,pp

20 LAMPIRAN

21 LAMPIRAN 1. Penentuan Titik Tetap Persamaan (3.1) Untuk menentukan titik tetap kita harus menentukan bahwa (i) 0 1 (ii) 0 Dari (ii) Diperoleh nilai 0 (iii) atau 0 0 (iv) Kemudian (iii) di substitusikan kedalam persamaan Artinya Maka diperoleh 0 1 Atau 0 Sehingga diperoleh titik tetap berikut 0,0 dan, 0 Selanjutnya digunakan persamaan (iv) 1 0

22 Maka menjadi 1 Dilakukan perkalian silang maka diperoleh Maka dengan menggunakan rumus abc diperoleh dua titik x yaitu, Atau dengan penjabaran diperoleh Dan Kemudian dilakukan substitusi ke dalam persamaan 0 1 Maka diperoleh dua pasang titik tetap yaitu 1 d K y = 1 ( 1 d b d 1 bd 4 d b d d(1 1 bd 4 d b d ) K bd( 1 bd 4 d b d dk )) r 3 dan 1 d K y = ( 1+ d bd 1 bd 4 d + bd + d(1+ 1 bd 4 d + bd ) K+ bd(+ 1 bd 4 d + bd dk )) r 3

23 Lampiran. Program Penentuan Titik Tetap dengan menggunakan Mathematica Model Mangsa Pemangsa dengan Respon Fungsional 1.1 Program Penentuan Titik Tetap pada Model Respon Fungsional Tak Monoton secara umum (sebelum di substitusikan parameternya)

24 Lampiran 3. Program Penentuan Matriks Jacobi

25 Lampiran 4. Simulasi Model pada r 1. Simulasi ketika 1, 0, 1.809, Penentuan Titik Tetap 1. Konstruski Matriks Jacobi 1.3 Bidang Fase 1.4 Bidang Solusi. Simulasi ketika 0.8, 0, 1.809, Penentuan Titik Tetap

26 . Konstruski Matriks Jacobi.3 Bidang Fase.4 Bidang Solusi 3. Simulasi ketika 0.4, 0, 1.809, Penentuan Titik Tetap 3. Konstruski Matriks Jacobi

27 3.3 Bidang Fase 3.4 Bidang Solusi

28 Lampiran 5. Simulasi Model pada d 1. Simulasi ketika 1, 0, 1.809, Penentuan Titik Tetap 1. Konstruski Matriks Jacobi 1.3 Bidang Fase 1.4 Bidang Solusi