Bab III Model Awal Kecanduan Terhadap Rokok

Transkripsi

1 Bab III Model Awal Kecanduan Terhadap Rokok III.1 Pembentukan Model Model kecanduan terhadap rokok dibentuk menggunakan model dasar dalam epidemiologi yaitu model SIR (Susceptible, Infective, Removed) di mana model SIR tersebut pertamakali diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927 [2]. Masalah kebiasaan merokok ini sebelumnya telah dimodelkan oleh Castillo-Garsow, Jordan-Salivia dan Rodriguez-Herrera ([4]) tetapi tanpa memasukkan faktor jenis kelamin (faktor gender). Dalam tesis ini kita akan memodelkan masalah kebiasaan merokok tersebut dengan memasukkan faktor jenis kelamin. Mengingat banyaknya faktor penyebab seseorang kecanduan untuk merokok maka diperlukan beberapa asumsi untuk menyederhanakan masalah. Berikut asumsi-asumsi yang dipergunakan untuk memodelkan masalah kebiasaan merokok tersebut. 1. Populasi dalam sistem dibagi menjadi dua subpopulasi yaitu, populasi pria (male) dilambangkan dengan m, populasi wanita (female) dilambangkan dengan f. 2. Subpopulasi pria dibagi menjadi tiga kelas populasi, pria potensial yaitu pria yang jarang merokok atau belum pernah merokok dan berpotensi menjadi perokok aktif jika berinteraksi dengan pria perokok aktif, dilambangkan dengan P m ; pria perokok aktif yaitu pria yang merokok setiap hari dan menjadi penyebab bertambahnya jumlah perokok, dilambangkan dengan S m ; dan pria yang berhenti merokok dilambangkan dengan R m. Begitupula dengan subpopulasi wanita, dibagi menjadi tiga kelas populasi, wanita potensial yaitu wanita yang jarang merokok atau belum pernah merokok dan berpotensi menjadi perokok aktif jika berinteraksi

2 17 dengan pria perokok aktif, dilambangkan dengan P f, wanita perokok aktif tetapi tidak berpotensi untuk menyebabkan pertambahan jumlah perokok, dilambangkan dengan S f, dan wanita yang berhenti merokok dilambangkan dengan R f. 3. Banyaknya populasi, N(t), setiap saat dianggap konstan sehingga ratarata jumlah populasi yang masuk ke dalam sistem (µn) akan sama dengan rata-rata jumlah populasi yang keluar dari tiap kelas (µ P, µ S, µ R), dengan 1/µ menyatakan waktu rata-rata seseorang berada dalam sistem. Diasumsikan pula bahwa µ m = µ f = µ. 4. Seseorang akan menjadi perokok aktif hanya jika berinteraksi dengan pria perokok aktif. Dengan kata lain, jika seseorang, pria atau wanita potensial, bergaul dengan pria perokok aktif maka orang tersebut akan menjadi perokok pula karena dipicu oleh keinginan untuk mencoba. Ini dapat terjadi dalam pergaulan masyarakat metropolitan atau lingkungan sex commercial workers. 5. Kontak (c) didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya interaksi secara acak yaitu berupa pergaulan antara pria perokok aktif dengan pria atau wanita potensial per satuan waktu dengan peluang berhasilnya kontak sebesar σ (konstan). Interaksi ini dapat digambarkan dalam bentuk perkalian antara P dan S yaitu β Sm m Pm Nm = c m σ m dan β f = c f σ f. dan β f Pf Sm Nm, dengan 6. Pria atau wanita perokok yang berhenti merokok (recover) tidak dapat dimasukkan dalam kelas potensial karena dianggap bahwa kebiasaan merokok tersebut dapat kambuh kembali walaupun tanpa berinteraksi dengan pria perokok aktif. Ini digambarkan oleh α m Sm dan α f Sf, dengan 1/ α merupakan waktu rata-rata seseorang akan berhenti merokok. Dalam model awal ini diasumsikan bahwa kebiasaan merokok tersebut tidak akan kambuh kembali karena adanya kesadaran seseorang pada efek rokok

3 18 bagi kesehatan. Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, dapat disusun diagram skematik sebagai berikut. Gambar III.1: Diagram skematik model deterministik kecanduan rokok. Dari diagram skematik dalam Gambar III.1 di atas kita dapat mengkonstruksi model awal kecanduan terhadap rokok, sebagai berikut: d P m dτ d S m dτ d R m dτ d P f dτ d S f dτ d R f dτ = µn m Pm Sm N m µ P m, (3.1) = Pm Sm N m α m Sm µ S m, (3.2) = α m Sm µ R m, (3.3) = µn f β f Pf Sm N m µ P f, (3.4) = β f Pf Sm N m α f Sf µ S f, (3.5) = α f Sf µ R f, (3.6) dengan µ,, β f, α m, α f > 0. Karena populasi dianggap konstan maka N m = P m + S m + R m dan N f = P f + S f + R f. Untuk memudahkan kita dalam analsis selanjutnya, kita akan menormalkan sistem (3.1)-(3.6). Misalkan P m = P m N m, S m = S m Nm, R m = R m N m, P f = P f N f, S f = S f N f, R f = R f N f dan t = µτ, maka

4 19 diperoleh sistem yang tidak bergantung pada dimensi sebagai berikut dp m dt ds m dt dr m dt dp f dt ds f dt dr f dt dengan = µ dan α m = αm µ = 1 P m S m P m, (3.7) = P m S m α m S m S m, (3.8) = α m S m R m, (3.9) = 1 β f P f S m P f, (3.10) = β f P f S m α f S f S f, (3.11) = α f S f R f, (3.12) merupakan parameter yang tidak berdimensi. III.2 III.2.1 Analisis Kualitatif Titik Tetap Tak Endemik Dan Analisis Kestabilan Titik tetap tak endemik merupakan salah satu solusi kesetimbangan sistem yang memberikan makna bahwa untuk jangka waktu yang lama, populasi perokok akan hilang sama sekali. Kestabilan titik tetap tak endemik dapat ditentukan melalui nilai karakteristik dari matriks Jacobi sistem yang diperoleh melalui linearisasi sistem di sekitar titik tetap tersebut. Dengan membuat persamaan (3.7)-(3.9) sama dengan nol maka diperoleh solusi kesetimbangan yaitu berupa titik tetap tak endemik (Pm, Sm, Rm) = (1, 0, 0). Teorema 1 Misalkan (P m, S m, R m) = (1, 0, 0) adalah titik tetap tak endemik dari sistem (3.7)-(3.9). Titik tetap tak endemik tersebut stabil asimtotik secara lokal jika dan hanya jika R 0 < 1, dengan nilai R 0 = Bukti: α m+1. ( ) Pelinieran sistem (3.7)-(3.9) disekitar titik tetap (P m, S m, R m) = (1, 0, 0) menghasilkan matriks Jacobi: 1 0 J(1, 0, 0) = 0 β m α m 1 0. (3.13) 0 α m 1

5 20 Nilai eigen matriks (3.13) dapat diperoleh dari solusi persamaan karakteristiknya yaitu 1 λ 0 J λi = 0 α m 1 λ 0 = 0. (3.14) 0 α m 1 λ Dari persamaan karakteristik (3.14) diperoleh nilai eigen λ 1 = 1, λ 2 = 1 dan λ 3 = α m 1. Karena diketahui bahwa titik tetap sistem stabil asimtotik secara lokal maka λ 3 juga bernilai negatif yaitu α m 1 < 0 atau α m+1 < 1. Jika kita definisikan R 0 = α m+1 maka diperoleh R 0 < 1. Jadi terbukti bahwa jika titik tetap tak endemik stabil asimtotik secara lokal maka R 0 < 1. ( ) Tinjau persamaan karakteristik (3.14). Dari persamaan karakteristik tersebut diperoleh nilai eigen λ 1 = 1, λ 2 = 1 dan λ 3 = α m 1. Agar titik tetap sistem stabil maka nilai eigen λ 3 haruslah bernilai negatif. Misalkan R 0 = α m+1. Karena diketahui R 0 < 1 maka α m+1 < 1 atau α m 1 < 0. Jadi diperoleh λ 3 = α m 1 < 0. Karena ketiga nilai eigen negatif akibatnya sistem akan stabil asimtotik secara lokal. Jadi terbukti bahwa jika R 0 < 1 maka titik tetap tak endemik sistem stabil asimtotik secara lokal. III.2.2 Titik Tetap Endemik Dan Analisis Kestabilan Titik tetap endemik juga merupakan solusi kesetimbangan sistem yang memberikan makna bahwa untuk jangka waktu yang lama populasi perokok akan selalu ada dan berpeluang untuk meyebabkan orang lain menjadi perokok. Seperti halnya dengan titik tetap tak endemik, syarat kestabilan titik endemik dapat ditentukan melalui nilai karakteristik dari matriks Jacobi sistem yang dapat diperoleh melalui linearisasi sistem di sekitar titik tetap endemik tersebut. Dengan membuat persamaan (3.7)-(3.9) sama dengan nol maka diperoleh titik tetap yang kedua berupa titik tetap endemik, yaitu (Pm, Sm, Rm ) = ( ) 1 R 0, (R 0 1), α m(r 0 1) dengan R 0 = βm. α m +1

6 21 Teorema 2 Misalkan (P m, S m, R m ) = ( 1 R 0, (R 0 1), α m(r 0 1) ) adalah titik tetap endemik dari sistem (3.7)-(3.9). Titik tetap endemik tersebut akan stabil asimtotik secara lokal jika dan hanya jika R 0 > 1, dengan nilai R 0 = Bukti: α m+1. ( ) Pelinieran sistem (3.7)-(3.9) disekitar titik tetap (P m, S m, R m ) menghasilkan matriks Jacobi : (R 0 1) 1 R 0 0 J(Pm, Sm, Rm ) = (R 0 1) 0 0. (3.15) 0 α m 1 Nilai eigen matriks (3.15) diperoleh dari solusi persamaan karakteristiknya yaitu (R 0 1) 1 λ R 0 0 J λi = (R 0 1) λ 0 = 0. (3.16) 0 α m 1 λ Dari persamaan karakteristik (3.16) diperoleh nilai eigen λ 1 = 1 dan persamaan kuadrat λ 2 + aλ + b = 0, (3.17) dengan a = R 0 dan b = (R 0 1) R 0. Persamaan kuadrat (3.17) akan mempunyai dua akar real yang negatif atau dua akar kompleks dengan bagian real yang negatif jika dan hanya jika koefisien a, b > 0. Karena diketahui bahwa titik tetap endemik sistem stabil asimtotik secara lokal maka dua nilai eigen lainnya bernilai negatif. Atau dengan kata lain koefisien dari persamaan kuadrat (3.17), a, b > 0. Akibatnya diperoleh nilai R 0 > 1, dengan R 0 = α m +1. Jadi terbukti bahwa jika titik tetap endemik sistem stabil asimtotik secara lokal maka R 0 > 1. ( ) Tinjau persamaan karakteristik (3.16) dengan nilai eigen λ 1 = 1 dan persamaan kuadrat (3.17) dengan a = R 0 dan b = (R 0 1) βm R 0. Agar titik tetap endemik stabil maka dua nilai eigen lainnya haruslah bernilai negatif.

7 22 Karena diketahui R 0 > 1, dengan nilai R 0 = α m, maka nilai a > 0 dan b > Akibatnya persamaan kuadrat (3.17) menghasilkan dua akar real yang negatif atau dua akar kompleks dengan bagian real yang negatif. Karena ketiga nilai eigen negatif maka titik tetap endemik akan stabil asimtotik. Jadi terbukti bahwa jika R 0 > 1 maka titik tetap endemik sistem stabil asimtotik secara lokal. III.2.3 Basic Reproductive Number (R 0 ) Dalam masalah kebiasaan merokok, R 0 dapat dinyatakan sebagai rata-rata banyaknya kasus kedua (kasus sekunder) yang dihasilkan oleh seorang perokok aktif, pada saat ia berinteraksi dalam sebuah populasi yang potensial. Nilai R 0 sistem dapat diperoleh melalui syarat kestabilan titik tak endemik atau titik endemik karena stabil atau tidaknya kedua titik tersebut ditentukan melalui besar kecilnya nilai R 0. Tinjau nilai R 0 yang telah diperoleh dari syarat kestabilan kedua titik tetap yaitu R 0 = dengan rata-rata kontak dan 1 α m +1 α m + 1, (3.18) adalah periode terjadinya kontak. Secara umum, R 0 sistem pada model awal ini bergantung pada parameter α m dan. Besar kecilnya nilai R 0 dapat kita tentukan dengan cara mengetahui ambang batas dari tiap parameter atau kebergantungan antara parameter α m dengan. Jika R 0 = 1, yang merupakan titik bifurkasi sistem (turning point), maka diperoleh persamaan = α m + 1. Gambar berikut memperlihatkan hubungan antara parameter α m dengan untuk nilai R 0 = 1. Gambar III.2: Grafik terhadap α m, dengan nilai R 0 = 1. Endemik terjadi jika R 0 > 1 dan tak endemik jika R 0 < 1.

8 23 Dari Gambar III.2 di atas dapat dilihat bahwa jika nilai < 1 maka nilai R 0 akan selalu kecil dari 1, untuk setiap nilai α m > 0. Sebaliknya, jika nilai cukup besar, maka R 0 akan kecil dari 1 jika dan hanya jika nilai α m juga besar. Ini berarti bahwa jika terjadi kontak yang cukup besar antara pria perokok aktif dengan subpopulasi potensial maka rata-rata jumlah populasi yang berhenti merokok juga harus besar sehingga untuk jangka waktu yang lama endemik tidak terjadi dalam sistem. Tetapi jika kontak yang terjadi cukup kecil maka untuk jangka waktu yang lama endemik tidak akan terjadi dalam sistem. Jadi pada kondisi yang stasioner jika nilai R 0 cukup besar yaitu kontak dengan pria perokok aktif ( ) cukup besar, maka jumlah orang yang merokok akan bertambah banyak sehingga endemik akan terjadi. Tetapi jika kontak dengan pria perokok ( ) cukup kecil, maka jumlah orang yang merokok akan berkurang sehingga endemik dalam suatu populasi tidak akan terjadi. III.3 III.3.1 Analisis Kuantitatif Estimasi Parameter Estimasi parameter model dalam persamaan (3.7)-(3.12) dilakukan dengan menggunakan data jumlah perokok yang diperoleh dari National Statistics: GHS yang melakukan survei data di Inggris dari tahun 1974 sampai tahun Data tersebut berupa persentase jumlah perokok dan jumlah orang yang berhenti merokok dengan total populasi 100% [11]. Data perokok dikelompokkan berdasarkan usia 16 tahun sampai 60 tahun (data selengkapnya dapat dilihat dalam Lampiran). Dengan mendiskritisasi model (dengan t = 1) dan kemudian menggunakan metode kuadrat terkecil (Least Squares Method) diperoleh nilai parameter model yang dapat dilihat dalam tabel berikut. Tabel III.1. Nilai parameter model. µ α m α f βm βf α m = αm µ α f = α f µ = µ β f = β f µ Dari data diketahui bahwa pada awal tahun 1974 jumlah pria perokok aktif mencapai 51%, wanita perokok aktif sebesar 41%, pria perokok yang berhenti

9 24 merokok sebesar 23% dan wanita perokok yang berhenti merokok sebesar 11%. Dengan menganggap total populasi 100% diperoleh jumlah pria potensial sebesar 26% dan wanita potensial sebesar 48%. Dengan menganggap tahun 1974 sebagai tahun ke t = 0 maka nilai tersebut menjadi nilai awal untuk menyelesaikan persamaan (3.7) - (3.12). Karena persamaan (3.7) - (3.12) merupakan bentuk persamaan yang tak berdimensi maka nilai awal tersebut menjadi P m (0) = 0.26, S m (0) = 0.51, R m (0) = 0.23, P f (0) = 0.48, S f (0) = 0.41 dan R f (0) = III.3.2 Simulasi Numerik Pada bagian ini kita akan melakukan simulasi secara numerik untuk mengetahui perilaku solusi sistem. Simulasi dilakukan dengan mengubah-ubah parameter, yaitu rata-rata kontak dengan pria perokok, untuk melihat seberapa besar pengaruh parameter tersebut dalam hal terjadinya endemik pada suatu populasi. Dengan menggunakan nilai parameter dalam Tabel III.1 diperoleh R 0 = yang berarti titik tetap tak endemik yaitu (P, S, R ) = (1, 0, 0), tidak stabil dan titik tetap endemik yaitu (P m, S m, R m ) = (0.71, 0.13, 0.15) dan (Pf, S f, R f ) = (0.78, 0.10, 0.11) stabil asimtotik secara lokal sehingga untuk t yang besar (t ), solusi dari persamaan (3.7) - (3.12) akan menuju ke titik tetap endemik tersebut. Grafik solusinya dapat dilihat dalam Gambar III.3 berikut R Pm t Sm t Rm t Pf t Sf t Rf t t Gambar III.3: Grafik solusi dengan nilai awal P m (0) = 0.26, S m (0) = 0.51, R m (0) = 0.23, P f (0) = 0.48, S f (0) = 0.41, R f (0) = 0.11 dan nilai parameter α m = 1.145, α f = 1.072, = 3.018, β f =

10 25 Dari Gambar III.3 di atas dapat dilihat bahwa untuk waktu yang stasioner jumlah pria dan wanita perokok selalu ada. Hal ini juga dapat dilihat dengan jelas dalam bidang fase antara subpopulasi pria dan wanita perokok berikut. (a) 0.11 (b) Sf(t) Sm(t) (c) Gambar III.4: Bidang fase antara subpopulasi pria perokok dengan wanita perokok, dengan nilai awal S m (0) = 0.51, S f (0) = 0.41 dan nilai parameter α m = 1.145, α f = 1.072, = dan β f = Bidang fase dalam Gambar III.4(a) di atas menunjukkan bahwa jumlah perokok pada kedua populasi menurun, tetapi ternyata nilai tersebut tidak menurun secara terus menerus melainkan terjadi suatu perputaran (spiral) pada ujung grafik yang berturut-turut ditunjukkan dalam Gambar III.4(b) dan (c), sehingga dapat kita simpulkan bahwa populasi perokok tidak akan pernah hilang dari sistem walaupun untuk waktu yang lama. Jika nilai kita turunkan menjadi maka akan diperoleh nilai R 0 = Ini berarti bahwa titik tetap tak endemik akan stabil asimtotik secara lokal dan titik tetap endemik tidak stabil sehingga untuk t yang cukup besar, solusi model akan menuju ke titik tetap tak endemik tersebut. Jadi untuk waktu yang stasioner jumlah pria perokok aktif akan hilang sama sekali sehingga endemik tidak akan terjadi. Grafik solusinya dapat dilihat dalam Gambar III.5 berikut.

11 R Pm t Sm t Rm t Pf t Sf t Rf t t Gambar III.5: Grafik solusi dengan nilai awal P m (0) = 0.26, S m (0) = 0.51, R m (0) = 0.23, P f (0) = 0.48, S f (0) = 0.41, R f (0) = 0.11 dan nilai parameter α m = 1.145, α f = 1.072, = dan β f = Gambar III.5 di atas memperlihatkan perubahan yang terjadi pada solusi sebelumnya. Perubahan tersebut berupa pertambahan populasi potensial, penurunan populasi perokok serta perubahan populasi recover yang terjadi setelah nilai kita turunkan. Besar perubahan tersebut dapat dilihat dalam grafik selisih antara solusi dalam Gambar III.3 dan III.5 berikut t 0 t (a) Gambar III.6: Grafik jumlah pertambahan populasi potensial (garis), penurunan populasi perokok aktif (titik) dan populasi recover (garis putus) untuk populasi pria (a) dan wanita (b) setelah nilai diturunkan. (b) Untuk populasi pria (Gambar III.6(a)), dapat dilihat dalam jangka waktu 18 tahun (t = 1, dengan nilai µ = 0.055), jumlah pria potensial bertambah sebesar 20% dan terus bertambah menjadi 30%. Sebaliknya, jumlah populasi pria perokok aktif, dalam jangka waktu 18 tahun (t = 1), berkurang sebesar

12 27 13% dan terus berkurang menjadi 15%. Penurunan ini tentu saja diakibatkan karena kontak dengan pria perokok yang diasumsikan sebagai vektor penyebab seseorang menjadi perokok kita turunkan. Begitupula dengan populasi wanita potensial (lihat Gambar III.6(b)), dalam jangka waktu sekitar 18 tahun (t = 1), jumlahnya bertambah sebesar 8% dan terus bertambah menjadi 20%. Sebaliknya, jumlah wanita perokok aktif, dalam waktu sekitar 18 tahun berkurang sebesar 5% dan terus berkurang menjadi 10%. Dari hasil simulasi di atas dapat disimpulkan bahwa jika rata-rata kontak antara pria potensial atau wanita potensial dengan pria perokok aktif per individu per tahun dapat dikontrol maka untuk kondisi yang stasioner endemik dalam suatu populasi tidak akan terjadi.