II. LANDASAN TEORI. Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear)

Transkripsi

1 3 II. LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Biasa Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai = + ; =, R (1) dengan adalah matriks koefisien konstan berukuran dan adalah vektor konstan. Sistem persamaan (1) dinamakan Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear Orde Satu dengan kondisi awal =. Jika =, maka sistem dikatakan homogen dan jika, maka sistem dikatakan takhomogen. Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear) dengan Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai =, (2),,,, = dan, =,,,,,,,, adalah fungsi taklinear dalam,,,. Sistem persamaan (2) disebut Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear. (Braun 1983) Definisi 3 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri) Misalkan suatu Sistem Persamaan Diferensial Biasa dinyatakan sebagai =, R (3) dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan (3) disebut Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri (autonomous) karena tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya.

2 4 2.2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem (3). Titik disebut titik tetap, jika =. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap. 2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan berukuran dan sistem persamaan diferensial biasa homogen =, =, R. Suatu vektor taknol di dalam R disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar berlaku: =. (4) Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari. Untuk mencari nilai dari, maka sistem persamaan (4) dapat ditulis =. (5) dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (5) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika = = 0. (6) Persamaan (6) merupakan persamaan karakteristik matriks. (Anton 1995) 2.4 Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dapat dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear =, R (7) dengan R adalah suatu fungsi bernilai vektor dalam (waktu) dan : R adalah suatu fungsi mulus yang terdefinisi pada subhimpunan R.

3 5 Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap, maka sistem persamaan (7) dapat ditulis sebagai = +. (8) dengan adalah matriks Jacobi = = dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat lim = 0, dengan =. pada sistem persamaan (8) disebut pelinearan sistem persamaan (7). 2.5 Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebarang =, R dengan sebagai titik tetap. Kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu, = 1, 2,,, yang diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai perilaku: 1. Stabil, jika: a. Re < 0, untuk setiap, atau b. Terdapat Re = 0 untuk sebarang dan Re < 0 untuk setiap. 2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga Re > Kriteria Routh-Hurwitz Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan karakteristik = = 0, maka didefinisikan matriks sebagai berikut:

4 =, = ,..., = 0,..., = dengan syarat setiap unsur, pada matriks adalah h = 1 0, untuk 0 < 2, untuk 2 =, untuk 2 < atau 2 > +. Dengan demikian, titik tetap stabil jika dan hanya jika det > 0, untuk setiap = 1, 2,,. Untuk = 4 dan = 5, kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini. = 4: > 0, > 0, > 0, > +. = 5: > 0; = 1,, 5, > +, dan > +. 6 (Edelstein-Keshet 1988) 2.7 Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan R, merupakan suatu ukuran potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi selama masa infeksi berlangsung (van den Driessche dan Watmough 2008). Kondisi yang timbul adalah: 1. Jika R < 1, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan hilang dari populasi.

5 7 2. Jika R > 1, maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan bertahan di dalam populasi. R dalam penelitian ini ditentukan dari nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar the next generation matrix. Matriks ini merupakan suatu matriks yang dikonstruksi dari sub-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja. Untuk model umum dengan kompartemen penyakit dan kompartemen tanpa penyakit, nilai R dapat dihitung untuk setiap kompartemen. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear =, R dan misalkan R dan R adalah sub-subpopulasi pada setiap kompartemen. Selanjutnya, dinotasikan sebagai laju kenaikan infeksi pada kompartemen penyakit ke- dan sebagai laju pergerakan penyakit, kematian dan penurunan kesembuhan dari kompartemen ke-. Model kompartemen dapat ditulis sebagai =,, =,, = 1,2,,, = 1,2,, maka sistem persamaan diferensial taklinear =, R dapat ditulis sebagai = dengan dan adalah matriks-matriks berukuran serta 0, adalah titik tetap tanpa penyakit. = 0, dan = 0, ; The next generation matrix untuk suatu sistem persamaan diferensial pada titik tetap tanpa penyakit berbentuk =. Nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar matriks, yaitu, yang nantinya digunakan sebagai nilai R, sehingga dapat ditulis = R. (van den Driessche dan Watmough 2008)