Geometri pada Bidang, Vektor

Transkripsi

1 Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011

2 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter. Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerak menelusuri seluruh kurva pada bidang xy. Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titik ujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b)) disebut titik ujung akhir (final end point).

3 Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang saling berhimpit maka disebut kurva tertutup (closed). Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yang berbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan t = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana (simple). Pasangan x = f(t), y = g(t) bersama dengan selang I disebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.

4 Gambar: Jenis-jenis kurva

5 Tidak sederhana, tertutup Sederhana, tertutup Gambar: Jenis-jenis kurva

6 Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalam parametrik dapat dilakukan dengan menghilangkan parameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya. Contoh 1 Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya dari persamaan-persamaan berikut ini x = t 2 + 2t, y = t 3, 2 t 3.

7 Penyelesaian Dari persamaan y = t 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya t ini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, x = (y + 3) 2 + 2(y + 3) = y 2 + 8y + 15 atau x + 1 = (y + 4) 2. Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka ke kanan. Lihat gambar berikut ini.

8 Gambar: Grafik dari x = t 2 + 2t, y = t 3, 2 t 3.

9 Contoh 2 Tunjukkan bahwa x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.

10 Penyelesaian Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dan sin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 atau ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1. a b Persamaan di atas adalah sebuah elips.

11 Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentuk oleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketika roda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpa tergelincir. Perhatikan gambar berikut.

12 Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkan roda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titik asal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C dengan jari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengan sudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada pada posisi vertikal ketika P berada pada titik asal. Karena ON = busur P N = at, dan x = OM = ON MN = at a sin t = a(t sin t) y = MP = NR = NC + CR = a a cos t = a(t cos t) maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah x = a(t sin t), y = a(t cos t)

13 Teorema Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan dengan f (t) 0 pada α < β, maka persamaan-persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkan dan dy dx = dy/dt dx/dt

14 Contoh 3 Tentukan dy/dx dan d 2 y/dx 2 untuk fungsi berikut ini Penyelesaian x = 5 cos t, y = sin t, 0 < t < 3. Misalkan y menotasikan dy/dx, maka dy dx = dy/dt dx/dt = 4 cos t 5 sin t = 4 5 cot t d 2 y dx 2 = dy dx = dy 4 /dt dx/dt = 5 csc2 t 5 sin t = 4 25 csc2 t

15 1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurva x = 4 t, y = 2t; 0 t Tentukan dy/dx dengan menghilangkan parameternya jika x = 1 cos t, y = 1 + sin t; t nπ 3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva pada titik yang telah diberikan tanpa menghilangkan parameternya jika diberikan x = t 2, y = t 3 ; t = 2.