KAJIAN BIAS METODE AREA-SPECIFIC JACKKNIFE DAN BIAS METODE WEIGHTED JACKKNIFE DALAM PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK RESPON POISSON DENGAN PENDEKATAN BAYES

Transkripsi

1 KAJIAN BIAS METODE AREA-SPECIFIC JACKKNIFE DAN BIAS METODE WEIGHTED JACKKNIFE DALAM PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK RESPON POISSON DENGAN PENDEKATAN BAYES WIDIARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan n saa menatakaan bahwa tess Kajan Bas Metode Area-specfc Jackknfe dan Bas Metode Weghted Jackknfe dalam Pendugaan Area Kecl untuk Respon Posson dengan Pendekatan Baes adalah kara saa dengan arahan dar koms pembmbng dan belum dajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tngg mana pun. Sumber nformas ang berasal atau dkutp dar kara ang dterbtkan maupun tdak dterbtkan dar penuls lan telah dsebutkan dalam teks dan dcantumkan dalam Daftar Pustaka d bagan akhr tess n. Bogor, Me 011 Wdart NIM G

3 ABSTRACT WIDIARTI. A Stud of Area-specfc and Weghted Bases of Jackknfe Methods n Small Area Estmaton for Posson Responses Usng Baesan Approach. Supervsed b KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO and ANANG KURNIA. Small area estmaton s a method to estmate parameters n a subpopulaton wth small sample sze. The method s based on ndrect estmaton usng the strength of the surroundng area and data sources outsde the area to obtan statstc wth edequate precson. Emprcal Baes (EB method can be used to obtan estmates of small area parameters. In ths paper the method was used to handle count data responses. The qualt of an estmate can be measured b mean squared error (MSE. Wan (1999 proposed a weghted jackknfe method for fndng MSE of EB and showed that weghted jackknfe methods have desrable asmptotc propertes. The concept of ths method s to put weghts usng hat matrx of auxlar varables. Rao (003 proposed a modfcaton of jackknfe method descrbed n Jang et al. (00. Ths method leads to a computatonall smpler jackknfe estmator wth an area-specfc leadng term. In the smulaton stud for Posson responses, the relatve bas of the area-specfc jackknfe estmator has been shown as the best MSE estmator n small number of areas for Posson-Gamma model. For Posson-Lognormal model, the relatve bas of the weghted jackknfe estmator has been shown as the best MSE estmator. Fnnal, ths method was appled to estmate small area mean squared errors n dsease mappng problems. Kewords : MSE, area-specfc jackknfe, weghted jackknfe, Posson responses, relatve bas

4 RINGKASAN WIDIARTI. Kajan Bas Metode Area-specfc Jackknfe dan Bas Metode Weghted Jackknfe dalam Pendugaan Area Kecl untuk Respon Posson dengan Pendekatan Baes. Dbmbng oleh KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO dan ANANG KURNIA. Pendugaan area kecl merupakan suatu metode untuk menduga parameter pada suatu subpopulas dengan ukuran contoh kecl. Metode ang dkembangkan dalam pendugaan area kecl adalah metode pendugaan tdak langsung dengan memanfaatkan kekuatan area d sektarna dan sumber data d luar area. Tujuan dar metode pendugaan n adalah untuk menngkatkan keefektfan ukuran contoh dan menurunkan keragaman dugaan parameter. Kualtas suatu penduga dapat devaluas melalu beberapa krtera, salah satuna adalah krtera Kuadrat Tengah Galat (KTG. KTG merupakan suatu besaran untuk mengukur keragaman penduga area kecl. Beberapa peneltan ang membahas tentang metode pendugaan KTG adalah Prasad dan Rao (1990, Wan (1999, Chen (001, Jang et al (00, Rao (003, Lahr dan Mat (006, serta Chen dan Lahr (008. Wan (1999 memperkenalkan metode weghted jackknfe ang merupakan pengembangan dar metode jackknfe sebelumna. Dalam metode n pembobotan dlakukan menggunakan hat matrks dar peubah penerta. Metode jackknfe lanna adalah Rao (003 ang dkenal sebaga metode area-specfc jackknfe. Metode n menggunakan ragam dar sebaran posteror sebaga pendekatan bag nla dugaan KTG. Dar seg perhtungan, metode n lebh mudah dan sederhana karena tdak perlu mencar nla harapan dar ragam sebaran posteror ang secara analtk terkadang sult untuk dlakukan. Selan KTG, terdapat krtera lan ang dapat dgunakan untuk menla kualtas dar suatu penduga. Krtera tersebut adalah bas relatf. Peneltan terkat bas relatf dar metode jackknfe dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 serta Lohr dan Rao (009. Evaluas bas relatf metode weghted jackknfe ang telah dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 adalah untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon kontnu ang mengaplkaskan EBLUP dalam pendugaan parameter. Sedangkan Lohr dan Rao (009 melakukan evaluas bas relatf metode area-specfc jackknfe untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon bner ang mengaplkaskan EB dalam pendugaan parameterna. Evaluas bas relatf metode weghted jackknfe dan area-specfc jackknfe untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon dskrt khususna Posson belum banak dbahas. Tujuan peneltan n atu mengkaj bas relatf metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe dalam pendugaan area kecl dengan peubah respon Posson dengan pendekatan Baes. Selan tu hasl peneltan n dharapkan akan melengkap hasl-hasl peneltan tentang bas KTG sepert telah dsebutkan sebelumna. Data ang dgunakan untuk mengevaluas bas relatf metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe adalah data ang dbangktkan dar smulas dan data sekunder ang dperoleh dar Stren dan Cresse (000. Model dasar ang dgunakan dalam smulas n adalah model berbass area dua level

5 ang dperkenalkan oleh Fa dan Herrot. Pembangktan data dalam smulas ddasarkan pada model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal dengan peubah penerta. Smulas drancang untuk mengetahu bas relatf dar metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe. Penetapan m = 10, m = 30 dan m = 50 sebaga representas jumlah area ang berukuran kecl, sedang dan besar sedangkan ragam antar area 0.1, 0.5 dan 1 mencermnkan ragam antar area kecl, sedang dan besar. Hasl smulas menunjukkan bahwa metode area-specfc jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Gamma khususna untuk jumlah area ang kecl. Sedangkan pada model Posson-Lognormal metode weghted jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak untuk ragam antar area ang kecl. Nla rata-rata bas relatf ang besar menunjukkan bahwa nlanla dugaan bag KTG berbeda jauh dar nla ang sebenarna. Sehngga pendugaan KTG dengan kedua metode jackknfe n akan menghaslkan penduga dengan press ang rendah. Peneltan terkat bas relatf ang dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 adalah mengevaluas penerapan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor, metode Chen-Lahr, metode Prasad-Rao, serta metode Jang-Lahr-Wan dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecl dengan metode EBLUP. Sementara Lohr dan Rao (009 melakukan evaluas bas relatf dar metode jackknfe pada pendugaan area kecl dengan model Beta-Bnomal. Haslna menunjukkan bahwa metode pendugaan KTG ang dperkenalkan oleh Chen dan Lahr (008 atu metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode lanna. Kajan lebh lanjut terkat penerapan metode n dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecl dengan respon Posson mash dperlukan. Hasl smulas menunjukkan bahwa metode area-specfc jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Gamma sedangkan metode weghted jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Lognormal. Pada kasus Posson-Gamma, penelesaan analtk dar ragam sebaran posterorna dketahu, sedangkan pada kasus Posson-Lognormal penelesakan secara analtkna tdak dapat dlakukan. Dengan demkan, pendugaan KTG untuk resko relatf penakt kanker bbr d Skotlanda akan dlakukan dengan metode area-specfc jackknfe dengan model Posson-Gamma. Selan tu, akan dterapkan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor sebaga perbandngan. Hasl pendugaan KTG menunjukkan bahwa nlanla dugaan KTG metode area-specfc jackknfe selalu lebh kecl dbandngkan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor. Hal n dsebabkan pendekatan model ang dgunakan kedua metode n berbeda. Metode areaspecfc jackknfe menggunakan model Posson-Gamma sebaga pendekatan sebaran dar data kanker bbr d Skotlanda. Sedangkan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor mengasumskan data kanker bbr tersebut menebar normal. Dengan demkan, perlu kajan lebh lanjut terkat penerapan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor pada kasus data dengan respon berupa data cacahan.

6 Hak Cpta mlk IPB, tahun 011 Hak Cpta dlndung Undang-undang Dlarang mengutp sebagan atau seluruh kara tuls n tanpa mencantumkan atau menebutkan sumberna. Pengutpan hana untuk kepentngan penddkan, peneltan, penulsan kara lmah, penusunan laporan, penulsan krtk, atau tnjauan suatu masalah; dan pengutpan tersebut tdak merugkan kepentngan ang wajar bag IPB Dlarang mengumumkan dan memperbanak sebagan atau seluruh Kara tuls dalam bentuk apa pun tanpa zn IPB

7 KAJIAN BIAS METODE AREA-SPECIFIC JACKKNIFE DAN BIAS METODE WEIGHTED JACKKNIFE DALAM PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK RESPON POISSON DENGAN PENDEKATAN BAYES WIDIARTI Tess Sebaga salah satu sarat untuk memperoleh gelar Magster Sans pada Program Stud Statstka SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

8 Judul Tess : Kajan Bas Metode Area-specfc Jackknfe dan Bas Metode Weghted Jackknfe dalam Pendugaan Area Kecl untuk Respon Posson dengan Pendekatan Baes Nama : Wdart NRP : G Dsetuju Koms Pembmbng Prof. Dr. Ir. Kharl A. Notodputro, MS Ketua Dr. Anang Kurna Anggota Dketahu Ketua Program Stud Statstka Dekan Sekolah Pascasarjana Dr.Ir. Erfan, M.S. Dr. Ir. Dahrul Sah, M.Sc.Agr Tanggal Ujan: 30 Me 011 Tanggal Lulus:

9 Penguj Luar Koms pada Ujan Tess : Dr. Ir. Har Wjaanto, M.S.

10 PRAKATA Puj dan sukur penuls panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karuna-na sehngga kara lmah n dapat dselesakan. Judul kara lmah n adalah Kajan Bas Metode Area-specfc Jackknfe dan Bas Metode Weghted Jackknfe dalam Pendugaan Area Kecl untuk Respon Posson dengan Pendekatan Baes. Terma kash penuls sampakan kepada Bapak Prof. Dr. Ir. Kharl A. Notodputro, MS selaku pembmbng I dan Bapak Dr. Anang Kurna selaku pembmbng II, terma kash atas bmbngan, saran dan waktuna. Dsampng tu penuls juga mengucapkan terma kash kepada Dr. Ir. Har Wjaanto, M.S. selaku penguj luar koms pada ujan tess dan seluruh staf Program Stud Statstka. Ungkapan terma kash juga dsampakan kepada bapak, mamak, serta seluruh keluarga atas do a, dukungan dan kash saangna. Terma kash kepada teman-teman Statstka dan Statstka Terapan angkatan 008 atas bantuan dan kebersamaanna. Semoga kara lmah n dapat bermanfaat. Bogor, Me 011 Wdart

11 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Patoman, Lampung pada tanggal Me 1980 sebaga anak kedua dar dua bersaudara, anak dar pasangan Bapak Trto Utomo dan Ibu Sukarn. Penuls menelesakan penddkan SLTA d SMKN 1 Gadng Rejo pada tahun 1998 dan melanjutkan perkulahan d jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Lampung dan lulus pada tahun 003. Penuls bekerja sebaga Staf Pengajar d Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Lampung sejak tahun 005. Pada tahun ang sama penuls menkah dengan Alm. Rzal Saleh, ST dan kn dkaruna Allah dua orang puter bernama Tazka Farra Saleha dan Tsamara Tsabta Saleha.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... xv PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Tujuan Peneltan... 3 TINJAUAN PUSTAKA Model Dasar Pendugaan Area Kecl... 5 Model Posson-Gamma... 6 Model Posson-Lognormal... 8 Metode Jackknfe Metode Weghted Jackknfe Metode Area-specfc Jackknfe... 1 METODOLOGI PENELITIAN Data Metode Peneltan Smulas untuk Model Posson-Gamma Smulas untuk Model Posson-Lognormal Data Penakt Kanker Bbr HASIL DAN PEMBAHASAN Smulas Hasl Peneltan sebelumna... 0 Data Penakt Kanker Bbr d Skotlanda... 1 SIMPULAN DAN SARAN Smpulan... 5 Saran... 5 DAFTAR PUSTAKA... 7 LAMPIRAN... 9

13 DAFTAR TABEL Halaman 1 Kuadrat Tengah Galat dar model Posson-Gamma dan Posson- Lognormal masng-masng untuk metode weghted jackknfe dan areaspecfc jackknfe Rata-rata bas relatf metode jackknfe untuk Model Posson-Gamma dan Posson-Lognormal dalam persen Perbandngan hasl rata-rata bas relatf Chen dan Lahr (008, Lohr dan Rao (009, Wdart (011 dalam persen Statstka deskrptf data kanker bbr d Skotlanda...

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Perbandngan nla-nla dugaan KTG... 4

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 10 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 30 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 50 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 10 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 30 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 50 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 10 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 30 dan alpha = Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 50 dan alpha = Penduga resko relatf data penakt kanker bbr d Skotlanda Penduga KTG bag resko relatf data penakt kanker bbr d Skotlanda Program R untuk data smulas ang menebar Posson-Gamma dan Posson-Lognormal... 37

16 PENDAHULUAN Latar Belakang Pendugaan area kecl merupakan suatu metode untuk menduga parameter pada suatu subpopulas dengan ukuran contoh kecl. Metode ang dkembangkan dalam pendugaan area kecl adalah metode pendugaan tdak langsung dengan memanfaatkan kekuatan area d sektarna dan sumber data d luar area. Tujuan dar metode pendugaan n adalah untuk menngkatkan keefektfan ukuran contoh dan menurunkan keragaman dugaan parameter. Berbaga metode pendugaan tdak langsung telah dkembangkan untuk memperoleh penduga bag area kecl. Metode ang serng dgunakan adalah predks takbas lner terbak emprk (Emprcal Best Lnear Unbased Predcton, EBLUP, Baes emprk (Emprcal Baes, EB, dan Baes berherark (Herarchcal Baes, HB. Kualtas suatu penduga dapat devaluas melalu beberapa krtera, salah satuna adalah krtera Kuadrat Tengah Galat (KTG. KTG merupakan suatu besaran untuk mengukur keragaman penduga area kecl. Beberapa peneltan ang membahas tentang metode pendugaan KTG adalah Prasad dan Rao (1990, Wan (1999, Chen (001, Jang et al (00, Rao (003, Lahr dan Mat (006, serta Chen dan Lahr (008. Prasad dan Rao (1990 mengembangkan metode delta untuk menduga KTG pada model lner campuran normal ang mengambl bentuk model Fa-Herrot. Metode n dterapkan pada pendugaan dengan menggunakan metode EBLUP. Perbakan terhadap metode pendugaan KTG juga dlakukan oleh Lahr dan Mat (006 ang memperkenalkan teknk baru ang menghaslkan penduga KTG ang nonnegatve. Metode pendugaan KTG lanna adalah metode jackknfe. Konsep jackknfe pertama kal dperkenalkan oleh Quenoulle (1949 dengan tujuan untuk mengoreks bas dugaan. Wan (1999 memperkenalkan metode weghted jackknfe ang merupakan pengembangan dar metode jackknfe sebelumna. Dalam metode n pembobotan dlakukan menggunakan hat matrks dar peubah penerta. Metode jackknfe lanna adalah Rao (003 ang dkenal sebaga metode area-specfc jackknfe. Metode n menggunakan ragam dar sebaran

17 posteror sebaga pendekatan bag nla dugaan KTG. Dar seg perhtungan, metode n lebh mudah dan sederhana karena tdak perlu mencar nla harapan dar ragam sebaran posteror ang secara analtk terkadang sult untuk dlakukan. Selan KTG, terdapat krtera lan ang dapat dgunakan untuk menla kualtas dar suatu penduga. Krtera tersebut adalah bas relatf. Secara asmtotk, bas relatf metode area-specfc jackknfe dan metode weghted jackknfe adalah m -1 (Chen 001, Lohr & Rao 009, dmana m merupakan jumlah area. Peneltan terkat bas relatf dar metode jackknfe dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 ang mengevaluas penerapan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor menggunakan pendekatan metode EBLUP. Hasl dar peneltan n menunjukkan bahwa metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor merupakan metode penduga KTG terbak jka pendugaan bag ragam antar area dlakukan dengan ANOVA. Peneltan lanna dlakukan oleh Lohr dan Rao (009 ang melakukan evaluas bas relatf dar metode jackknfe pada pendugaan area kecl dar model Beta-Bnomal. Hasl peneltan n menunjukkan bahwa bas relatf dar metode area-specfc jackknfe lebh kecl dbandngkan bas relatf dar metode jackknfe Jang et al (00. Salah satu penerapan pendugaan area kecl adalah pada kasus pemetaan penakt dengan respon berupa data cacahan. Ukuran contoh ang kecl menjad masalah ang serng dhadap. Konds n menebabkan penerapan pendugaan secara langsung untuk menduga resko relatf terjangkt suatu penakt pada area tertentu menjad tdak dapat dandalkan. Metode alternatf ang dapat dgunakan untuk menangan masalah n adalah metode pendugaan tdak langsung dengan pendekatan EB. Model Posson merupakan model peluang baku untuk data cacahan namun dalam keadaan tertentu rataan dan ragamna tdak sama, atu pada saat terjad overdspers. Oleh karena tu dkembangkan formula Posson ang memuat parameter tambahan untuk mengakomodas kelebhan ragam dar pengamatan dan dkenal sebaga model Posson campuran. Model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal merupakan model Posson campuran ang serng dterapkan pada kasus pemetaan penakt.

18 Peneltan mengena pendugaan area kecl pada pemetaan penakt dengan model Posson-Gamma dantarana dlakukan oleh Wakefeld (007, Ksmnatn (007 dan Lohr dan Rao (009. Selan menggunakan model Posson-Gamma, Lohr dan Rao (009 juga menerapkan model Posson-Lognormal dalam pendugaan resko relatf penakt kanker bbr d Skotlanda. Pada model Posson- Lognormal, sebaran posteror dar model n tdak dapat dketahu secara analtk. Sehngga dperlukan komputas numerk untuk mendapatkan nla dugaan bag resko relatfna. Evaluas bas relatf metode weghted jackknfe ang telah dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 adalah untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon kontnu ang mengaplkaskan EBLUP dalam pendugaan parameter. Sedangkan Lohr dan Rao (009 melakukan evaluas bas relatf metode area-specfc jackknfe untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon bner ang mengaplkaskan EB dalam pendugaan parameterna. Evaluas bas relatf metode weghted jackknfe dan area-specfc jackknfe untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon dskrt khususna Posson belum banak dbahas. Sehngga peneltan n akan membahas bas relatf dar kedua metode jackknfe tersebut untuk pendugaan area kecl dengan peubah respon Posson dengan pendekatan Baes sebaga metode pendugaan parameterna. Selan tu hasl peneltan n dharapkan akan melengkap hasl-hasl peneltan tentang bas KTG sepert telah dsebutkan sebelumna. Tujuan Peneltan n bertujuan mengkaj bas relatf metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe dalam pendugaan area kecl dengan peubah respon Posson dengan pendekatan Baes.

19

20 TINJAUAN PUSTAKA Model Dasar Pendugaan Area Kecl Area kecl ddefnskan sebaga hmpunan bagan dar populas ang ukuran contohna kecl dmana suatu peubah menjad perhatan. Pendekatan klask untuk menduga parameter area kecl ddasarkan pada aplkas model desan penarkan contoh ang dkenal sebaga pendugaan langsung. Metode pendugaan n tdak memlk press ang memada karena ukuran contoh ang dgunakan untuk memperoleh dugaan tersebut kecl. Oleh karena tu dkembangkan metode pendugaan secara tdak langsung dengan memanfaatkan kekuatan area dsektarna dan sumber data d luar area ang statstkna ngn dperoleh. Terdapat dua model penghubung dalam pendugaan tdak langsung atu model penghubung mplst dan eksplst (Rao 003. Model penghubung n dgunakan untuk menghubungkan area kecl dengan area kecl lanna. Model penghubung mplst dgunakan pada pendugaan ang ddasarkan oleh desan penarkan contoh. Model n menghaslkan penduga ang mempuna ragam desan ang relatf kecl dbandngkan dengan penduga langsung. Dalam model penghubung mplst, dkenal tga metode atu sntetk, kompost, dan James- Sten. Metode sntetk menghaslkan penduga sntetk ang dperoleh dar surve contoh area besar ang dgunakan untuk memperoleh penduga tdak langsung area kecl dengan asums bahwa area kecl tersebut memlk karakterstk ang sama dengan area besarna. Metode kompost menghaslkan penduga kompost ang merupakan rata-rata terbobot dar penduga langsung dan penduga tdak langsung. Pendugaan James-Sten merupakan pendugaan kompost dengan menggunakan pembobotan umum. Model penghubung eksplst adalah suatu model ang memasukkan pengaruh acak area kecl dan peubah penerta dalam model. Model n selanjutna dkenal sebaga model area kecl. Dua de utama ang dgunakan untuk mengembangkan model pendugaan area kecl adalah asums bahwa keragaman peubah respon d dalam area kecl dapat dterangkan seluruhna oleh keragaman faktor-faktor ang dketahu atau dkenal sebaga model pengaruh tetap dan asums keragaman spesfk area kecl tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan atau dkenal sebaga pengaruh

21 acak area kecl (Kurna 009. Model pengaruh campuran (mxed models merupakan gabungan dar kedua asums tersebut. Salah satu sfat menark dar model campuran adalah kemampuanna dalam menduga kombnas lnear dar pengaruh tetap dan pengaruh acak. Fa dan Herrot (1979 menggunakan model pengaruh campuran untuk menduga rata-rata pendapatan subpopulas d Amerka Serkat. Model Fa-Herrot n kemudan menjad dasar bag pengembangan pemodelan area kecl. Model lner campuran lanna adalah metode EBLUP, EB, dan HB ang mencakup banak penggunaan pada pendugaan area kecl. Kurna dan Notodputro (006 mengaplkaskan metode EBLUP untuk menduga pengeluaran rumah tangga d propns Jawa Barat. Ranall et al (007 melakukan pendugaan angka pengangguran pada subprovns d Itala. Penelt ang mengkaj penerapan metode HB pada area kecl atu Datta dan Lahr (1995, He dan Sun (000, dan You dan Rao (003. Menurut Rao (003, metode EB merupakan metode ang cocok dgunakan dalam menangan data bner dan data cacahan pada pendugaan area kecl. Pendugaan dan nferens pada pendekatan EB ddasarkan pada sebaran posteror ang parameterna dduga dar data. Secara rngkas, tahapan metode EB dalam konteks pendugaan area kecl atu: 1. mendapatkan fungs kepekatan peluang posteror dar parameter area kecl ang menjad perhatan. menduga parameter model dar fungs kepekatan peluang marjnal 3. menggunakan fungs kepekatan peluang posteror dugaan untuk membuat nferens parameter area kecl ang menjad perhatan. Metode EB umumna dterapkan pada pemetaan penakt dengan data cacahan. Beberapa peneltan ang menerapkan metode EB pada pemetaan penakt atu Wakefeld (007, Ksmantn (007, serta Lohr dan Rao (009. Model Posson-Gamma Model Posson-Gamma merupakan model Posson campuran dan dapat dgunakan untuk mengatas masalah overdspers. Model n dapat dtulskan sebaga:

22 Level 1 : θ ~ Posson(e θ Level : θ ~ Gamma(α,β, = 1,, 3,..., m dengan menatakan banakna pengamatan suatu kasus pada area ke-, e adalah nla harapan banakna suatu kasus pada area ke-, θ adalah resko relatf area ke- ang tdak dketahu dan m menatakan jumlah area, sedangkan α dan β merupakan parameter ang belum dketahu. Level pertama dasumskan nd bahwa ~ Posson(e θ dan level kedua dasumskan bahwa ~ Gamma( α, β. θ d Model Posson-Gamma dengan peubah penerta dperkenalkan oleh Wakefeld (007. Model n dapat dtulskan: nd Level 1 : ~ Posson(eμ θ Level : ~ Gamma(α,1/ α (1 θ d dengan μ = exp( x T,β menatakan model regres, x (x,x,..., x T 1 p merupakan vektor peubah penerta dan β (β T 1,β,..., β p merupakan vektor koefsen regres. Sebaran marjnal β, α adalah m( β, α Γ( α Γ(α! eμ e μ α α e μ α α ang menebar Bnomal Negatf dengan rata-rata dan ragam masng-masng adalah E β,α e μ dan Var β,α E β,α 1 β,α / α e μ (1 e μ /α. Sebaran dan penduga EB bag θ dperoleh dengan menggunakan teorema Baes (Wakefeld 007. Sebaran dar θ atu: ang menebar gamma θ β,α Γ( ( α,1 (eμ θ α 1 e θ (e μ 1 α e μ α α α α. Penduga Baes bag θ dan ragam B bag θ masng-masng adalah θˆ (α,1/ α E(θ,α ( α/(e μ α dan g Var(θ,α ( α/(eμ α. KTG dar B ang tergantung pada data area-specfc B θˆ atu KTG (θˆ E{Var (θ,α} k (α,1/ α dperoleh secara ntegras numerk dengan menggunakan sebaran marjnal dar. Pada

23 kasus Posson-Gamma sepert persamaan (1 penelesaan analtk dar k (α,1/α adalah: B k (α,1 α = E{(θˆ θ α} 1/(e μ α Dugaan parameter bag β atu βˆ dperoleh dengan menelesakan regres Bnomal Negatf. Sedangkan dugaan parameter bag α dperoleh dengan metode momen atu dengan menelesakan persamaan sebaga berkut: dan Var( E( E( θ ( e μ E(θ e μ (3 E(Var ( θ Var (E( S E(eμ θ Var (eμ θ eμ (eμ / α (4 αˆ dperoleh dengan menelesakan persamaan (3 dan (4 atu: θ αˆ S (5 dengan dan S masng-masng merupakan rataan dan ragam contoh terbobot. 1 m m 1 (e/e. dan 1 S dengan e. (e /m dan m ( m 1 1 e n n ang merupakan nla harapan banakna suatu kasus pada area ke-. Penduga EB bag θ atu: θˆ θˆ βˆ,αˆ γˆ θˆ (1 γˆe RR (6 EB E T dengan γˆ e μˆ αˆ e μˆ, E RR μˆ E θ μˆ 1 μˆ exp x, βˆ E RR. merupakan nla harapan resko relatf ke- ang merupakan penduga tdak langsung. Penduga langsung dar θ atu θˆ μˆ e dperoleh dengan memaksmumkan fungs peluang ~ Posson(e μ θ. Dengan demkan persamaan (6 menjad: nd

24 θˆ EB θˆ E βˆ,αˆ γˆ ( μˆ e (1 γˆ μˆ (7 Selanjutna, pendugaan bag KTG akan dlakukan dengan menggunakan metode area-specfc jackknfe dan metode weghted jackknfe atu KTG (θˆ E(θˆ E(θˆ θˆ. EB B EB B θ Model Posson-Lognormal Model Posson-Lognormal adalah model dua level ang merupakan gabungan sebaran Posson dengan sebaran Lognormal. Sebaga model Posson campuran, model n juga dapat dgunakan untuk mengatas masalah overdspers. Model n dapat dtulskan: Level 1 : ~ Posson(eμ θ Level : θ ~ Lognormal(μ, σ (8 Sebaran Lognormal memlk fungs kepekatan peluang f(θ μ,σ 1 exp θσ π (logθ σ μ. Dengan demkan, jka memlk sebaran Posson (e μ θ dmana θ merupakan nla dar peubah acak ang menebar Lognormal, maka dhaslkan sebaran Posson campuran dengan fungs kepadatan peluang bersarat: f( μ,σ eμ exp( σ π! e μ θ θ 1 exp (logθ σ μ menatakan banakna pengamatan suatu kasus pada area ke-, e adalah nla harapan banakna suatu kasus pada area ke-, μ = exp( x T,β menatakan T model regres, x (x,x,..., x merupakan vektor peubah penerta dan 1 p β (β T 1,β,..., β p merupakan vektor koefsen regres dan θ adalah resko relatf terkena suatu kasus pada area ke- ang nlana tdak dketahu. Pendugaan parameter bag μ dan σ dperoleh dengan menggunakan metode momen atu dengan menelesakan persamaan sebaga berkut: E( E( θ

25 dan Var( e μ E(θ eμμ (9 E(Var ( θ Var (E( θ μˆ dan S E (eμ θ Var (eμ θ eμ μ (eμ σ (10 σˆ dperoleh dengan menelesakan persamaan (9 dan (10 atu: Sebaran marjnal dar μ,σ adalah μˆ (11 e μ S σˆ (eμ (1 m ( μ,σ 0 f( μ,σ dθ e μ σ π! 0 exp( e μ θ θ 1 exp (logθ σ μ dθ (13 dengan memsalkan z θ μ σ dan mensubttuskanna pada persamaan (13, maka: m( μ,σ (e μ π! exp( e μ exp( σ z μ (exp( σ z μ exp( z dz Persamaan tersebut dapat dselesakan dengan Gauss-Hermte quadrature, atu z dengan memandang persamaan tersebut sebaga e f(zdz, dengan (e μ f(z exp( e μ exp( σ z μ (exp( σ z μ. Selanjutna π! z e f(zdz dselesakan dengan menghtung w f(z, dmana z merupakan n d n z z zeros ang bersesuaan dengan Hn (z ( 1 e (e dan w n merupakan dz n 1

26 n 1 (n! π pembobot ang ddefnskan sebaga w dengan n merupakan ' (H (z banakna pont ang dgunakan. Penduga bag θ dar model Posson-Lognormal pada persamaan (8 menurut Lohr dan Rao (009 adalah: dengan ragam n B h (1,,μ,σ θˆ E(θ (14 h (0,,μ,σ B (μ,σ, h (0,,μ,σ h (,,μ,σ g (θˆ (15 h (k,,μ,σ Ez[exp{ eμˆ exp( σz μ ( k( σz μ}], h (k,,μ, σ T dselesakan dengan Gauss-Hermte quadrature dengan μˆ exp x, βˆ dan βˆ (β T 1,β,...,βp merupakan vektor koefsen regres. Metode Jackknfe Metode jackknfe pertama kal dperkenalkan oleh Quenoulle pada tahun 1949 dengan tujuan mengoreks bas dugaan. Metode n merupakan metode resamplng dengan prosedurna adalah menghapus area satu persatu. Msalkan 1,,, m contoh acak berukuran m area, kemudan 1 dhlangkan dan dlakukan perhtungan untuk memperoleh sebuah pendugaan. Operas n dlakukan sebanak m kal dengan menghlangkan satu area pada masng-masng tahap. Metode Weghted Jackknfe Wan (1999 mengusulkan metode weghted jackknfe ang merupakan pengembangan dar teknk jackknfe sebelumna. Konsep dar metode n atu pembobotan dengan menggunakan hat matrks ang dperoleh dar peubah penerta. Penduga KTG dengan metode n atu: h KTG WJ h WJ 1 h WJ m WJ 1 H1 (φˆ w j H1 (φˆ j H1 (φˆ j 1 h m WJ EB EB w j θˆ (;φˆ j θˆ (;φˆ j 1

27 H 1 (φ k (α,1/ α 1 T T w j 1 h jj dengan h j x X X x j, untuk, j = 1,,..., m. H (φˆ EB θˆ (;φˆ j masng-masng dperoleh dengan menghapus area ke-j, kemudan menggunakan (m-1 area untuk menghtung penduga bag φ dan penduga bag θ. 1 j dan Metode Area-specfc Jackknfe Rao (003 memperkenalkan metode area-specfc jackknfe ang merupakan pengembangan dar metode jackknfe Jang et al (00. Dar seg perhtungan, metode n lebh mudah dan sederhana karena tdak perlu mencar nla harapan dar ragam sebaran posteror ang secara analtk terkadang sult untuk dlakukan. Rao menggunakan g sebaga pendekatan bag g (φˆ, Var(θ k, atu,φˆ. Penduga KTG metode area-specfc jackknfe atu: KTG AS Mˆ A1 Mˆ 1,,3,..., m Mˆ A1 ( g (φˆ, m j {g (φˆ ( j, g (φˆ, } Mˆ m 1 m EB EB (θˆ ( j θˆ m j 1 Secara rngkas, penduga KTG dar kedua metode jackknfe pada model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal dsajkan pada Tabel 1. Pada kasus Posson-Gamma sepert pada persamaan (1 penelesaan analtk dar k dketahu. Pada kasus Posson-Lognormal dalam persamaan (8 penentuan k memerlukan perhtungan secara numerk dan cukup kompleks, sehngga pada model Posson-Lognormal k akan ddekat dengan g pada persamaan (15.

28 Tabel 1 Kuadrat Tengah Galat dar model Posson-Gamma dan Posson-Lognormal masng-masng untuk metode weghted jackknfe dan area-specfc jackknfe Metode Model Posson-Gamma Model Posson-Lognormal Weghted jackknfe j ( j ( j ( j ( m 1 j j m 1 j j ( j ( j WJ ˆ ˆ (1 ˆ e / ( ˆ ˆ ˆ (1 ˆ e / ( ˆ w ˆ ˆ (e 1 ˆ ˆ (e 1 w ˆ ˆ (e 1 KTG ( ( ( ( ˆ, ˆ, ( ˆ, ˆ, ˆ ( ˆ 1 ˆ, ˆ, (, ˆ, ˆ ( ˆ, ˆ, ( EB j j EB m j m j j j AS m m g g g KTG Area-specfc jackknfe ( ( ( ( ˆ,, ˆ ( ˆ, ˆ, ˆ ( ˆ 1 ˆ, ˆ, (, ˆ, ˆ ( ˆ,, ˆ ( EB j j EB m j m j j j AS m m g g g KTG ( ( ( ( ˆ, ˆ, ( ˆ, ˆ, ˆ ( ˆ 1 ˆ, ˆ, (, ˆ, ˆ ( ˆ, ˆ, ( EB j j EB m j m j j j AS m m g g g KTG

29

30 METODOLOGI PENELITIAN Data Data ang dgunakan dalam peneltan n terdr dar dua jens, atu data smulas dan data sekunder. Pembangktan data dalam smulas dlakukan dengan sebaran Posson-Gamma dan sebaran Posson-Lognormal dengan asums bahwa data penakt merupakan data cacahan dengan model ang serng dgunakan adalah model Posson campuran. Data sekunder ang dgunakan adalah data kanker bbr d Skotlanda ang dambl dar Stren dan Cresse (000. Data n berupa banakna penderta kanker bbr ang tercatat selama 6 tahun dar 1975 sampa 1980 pada 56 dstrk (area kecl d Skotlanda. Peubah penerta dalam data n atu persentase bekerja pada bdang pertanan, perkanan dan kehutanan. Metode Peneltan Metode pendugaan KTG ang dgunakan dalam peneltan n ada dua atu metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe. Kedua metode jackknfe n dgunakan karena secara asmtotk order basna adalah m -1 (Chen 001, Lohr & Rao 009. Pembangktan data dalam smulas ddasarkan pada model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal dengan peubah penerta. Smulas drancang untuk mengetahu bas relatf dar metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe dengan rancangan sebaga berkut : ( Jumlah area ang berbeda-beda, atu m = 10, m = 30 dan m = 50. Penetapan m = 10, m = 30 dan m = 50 sebaga representas jumlah area ang berukuran kecl, sedang dan besar. ( Ragam antar area untuk model Posson-Gamma dan model Posson- Lognormal dtetapkan masng-masng 0.1, 0.5 dan 1 ang mencermnkan ragam antar area kecl, sedang dan besar. Ragam antar area dtetapkan demkan karena untuk nla ragam antar area lebh dar 1 akan menebabkan nla-nla ang dbangktkan dengan sebaran Posson akan banak ang bernla nol. Hal n menebabkan terjadna zero-

31 nflated dmana hal n tdak akan dbahas dalam peneltan n. Sedangkan pemlhan nla ragam antar area kurang dar 0.1 akan menghaslkan nla ang tdak berbeda jauh. Model dasar ang dgunakan dalam smulas n adalah model berbass area dua level ang dperkenalkan oleh Fa dan Herrot. Model dua level tersebut dapat dtulskan sebaga model campuran lner berkut: θ ε x T β ν ε dengan: = penduga langsung area ke- ν = pengaruh acak antar area x T β = pengaruh tetap ε = pengaruh acak d dalam area Parameter ang ngn dduga adalah θ, atu resko relatf terkena penakt pada area kecl. Pendugaan KTG dlakukan dengan metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe dan kemudan devaluas bas relatf dar kedua metode jackknfe tersebut. Smulas n dlakukan dengan menetapkan m = 10, 30, 50 pada setap nla ragam antar area untuk data ang menebar Posson- Gamma dan Posson-Lognormal. Smulas untuk Model Posson-Gamma Level 1 : ~ Posson(eμ θ Level : ~ Gamma(α,1/ α θ Langkah-langkah: 1. Membangktkan x = vektor peubah penerta dan e = nla harapan banakna suatu penakt pada area ke- untuk = 1,, m. Membangktkan θ dan θ ~ Gamma(α,1/ α dan ~ Posson(eμ θ, μ = exp( x T β T 3. Menentukan βˆ dengan persamaan regres dan menghtung μˆ exp x, βˆ 4. Menghtung αˆ dengan rumus pada persamaan (5 5. Menentukan penduga EB dengan rumus pada persamaan (7

32 6. Menentukan k (αˆ,1 αˆ = 1/(eμˆ αˆ dan g = ( αˆ/(e μˆ αˆ 7. Menghtung nla dugaan KTG dengan metode weghted jackknfe 8. Menghtung nla dugaan KTG dengan metode area-specfc jackknfe 9. Menghtung rata-rata bas relatf dar kedua metode jackknfe. Rumus ang dgunakan untuk menghtung rata-rata bas relatf (average relatve bas /ARB dar setap metode jackknfe atu: ARB m m 1 RB RB KTGJ k 1000 KTG KTG KTG EB (θˆ k θk 1000 k 1 KTGJ k = nla dugaan KTG dengan metode jackknfe 10. Membandngkan hasl ang dperoleh pada langkah Smulas dulang sampa 1000 kal. Smulas untuk Model Posson-Lognormal Level 1 : ~ Posson(eμ θ Level : θ ~ Lognormal(μ, σ Langkah-langkah: 1. Membangktkan θ dan log θ ~ Normal(μ,σ dan ~ Posson(eμ θ, μ = exp( x T β T. Menentukan βˆ dengan persamaan regres dan menghtung μˆ exp x, βˆ 3. Menghtung μˆ dan σˆ masng-masng dengan persamaan (11 dan (1 4. Menentukan penduga bag θ dengan dengan rumus pada persamaan (14 5. Menghtung KTG dengan metode weghted jackknfe 6. Menghtung KTG dengan metode area-specfc jackknfe 7. Menghtung rata-rata bas relatf dar kedua metode jackknfe dengan rumus sepert pada langkah 9 dalam smulas Posson-Gamma, kemudan membandngkan haslna. Smulas dulang sampa 1000 kal.

33 Data Penakt Kanker Bbr Metode pendugaan KTG terbak ang dperoleh dar smulas untuk model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal dterapkan pada pendugaan KTG data penakt kanker bbr d Skotlanda. Hasl n kemudan akan dbandngkan dengan hasl pendugaan KTG dengan metode ang dperkenalkan oleh Chen dan Lahr (008.

34 HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam peneltan n telah dkembangkan metode jackknfe ang secara lengkap telah durakan dalam bab sebelumna. Selanjutna dalam bab n akan djelaskan hasl smulas dan perbandngan dengan beberapa peneltan terkat. Smulas Sepert dsebutkan sebelumna bahwa model dasar ang dgunakan dalam smulas adalah model berbass area dua level, sehngga pembangktan data dlakukan dengan model Posson-Gamma dan model Posson-Lognormal. Smulas drancang untuk mengetahu bas relatf dar metode weghted jackknfe dan metode area-specfc jackknfe. Smulas dulang sampa 1000 kal. Hasl smulas dsajkan pada Tabel. Dar Tabel terlhat bahwa pada model Posson-Gamma untuk jumlah area 10, metode area-specfc jackknfe memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode weghted jackknfe. Hasl n selalu konssten pada setap ragam antar area ang dcobakan. Sedangkan pada jumlah area 30 dan 50, kedua metode jackknfe memberkan ratarata bas relatf ang sama. Sehngga nampakna metode area-specfc jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Gamma khususna untuk jumlah area ang kecl. Tabel Rata-rata bas relatf metode jackknfe untuk model Posson-Gamma dan Posson-Lognormal dalam persen Ragam Jumlah Model Posson-Gamma Model Posson-Lognormal antar area area W AS W AS Keterangan: W = metode weghted jackknfe, AS = metode area-specfc Jackknfe Selan tu nla rata-rata bas relatf dar kedua metode jackknfe selalu bernla negatf. In berart bahwa nla dugaan KTG dar kedua metode tersebut

35 selalu lebh kecl jka dbandngkan dengan nla KTG sebenarna. Nla rata-rata bas relatf ang besar menunjukkan bahwa kedua metode n memberkan hasl pendugaan ang kurang bak, karena nla-nla dugaanna ang berbeda jauh dar nla ang sebenarna. Sehngga pendugaan KTG dengan kedua metode jackknfe n akan menghaslkan penduga dengan press ang rendah. Hasl smulas dar model Posson-Lognormal ang dsajkan dalam Tabel menunjukkan bahwa pada ragam antar area 1, metode area-specfc jackknfe memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode weghted jackknfe untuk jumlah area 10 dan jumlah area 50. Sebalkna pada ragam antar area 0.5, metode weghted jackknfe memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode area-specfc jackknfe untuk jumlah area 10 dan jumlah area 50. Sedangkan pada ragam antar area 0.1 metode weghted jackknfe selalu memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode area-specfc jackknfe. Sehngga pada model Posson-Lognormal nampakna metode weghted jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak. Pada Tabel terlhat bahwa pada model Posson-Gamma, rata-rata bas relatf ang dhaslkan kedua metode jackknfe akan semakn besar dengan semakn besar jumlah area. Hasl n bertentangan dengan ang dkemukakan oleh Chen (001 serta Lohr dan Rao (009 ang menatakan bahwa secara asmtotk bas relatf metode area-specfc jackknfe dan metode weghted jackknfe adalah m -1 dmana m merupakan jumlah area. Hal n dsebabkan nlanla dugaan KTG ang dhaslkan kedua metode jackknfe akan semakn kecl dengan semakn besar jumlah area. Dengan demkan, bas dar penduga KTG juga menjad semakn besar. Secara lengkap nla-nla dugaan KTG dengan kedua metode jackknfe tersaj dalam Lampran 1 sampa dengan Lampran 9. Hasl Peneltan sebelumna Peneltan terkat bas relatf dantarana telah dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 serta Lohr dan Rao (009. Chen dan Lahr (008 mengevaluas penerapan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor, metode Chen-Lahr, metode Prasad-Rao, serta metode Jang et al (00 dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecl. Chen dan Lahr mengaplkaskan metode EBLUP sebaga metode pendugaan bag parameter. Smulas dalam

36 peneltan n dlakukan dengan menetapkan jumlah area m = 15, ragam antar area = 1 dan ragam dalam area = 0. Pendugaan ragam antar area dlakukan dengan metode ANOVA. Lohr dan Rao (009 melakukan evaluas bas relatf dar metode jackknfe pada pendugaan area kecl dar model Beta-Bnomal. Metode jackknfe ang dkaj adalah metode Jang et al (00 dan metode area-specfc jackknfe. Data dalam smulas dbangktkan dengan menggunakan sebaran Beta-Bnomal dengan jumlah respon n = 5 dan jumlah area m = 0. Walaupun model smulas ang dlakukan oleh penelt sebelumna berbeda dengan model d dalam peneltan n, tetap dengan maksud memberkan nformas ang lebh lengkap tentang knerja metode jackknfe, bukan untuk dperbandngkan, maka hasl-hasl tersebut dsajkan pada Tabel 3. Tabel 3 Rata-rata bas relatf Chen dan Lahr (008, Lohr dan Rao (009, Wdart (011 dalam persen Sumber pustaka Metode PR CL JLW AWJ AS W Chen dan Lahr (008 Lohr dan Rao (009 Wdart ( Keterangan: PR = metode Prasad-Rao, CL = metode Chen-Lahr, JLW = metode jackknfe Jang-Lahr-Wan, AWJ = metode approxmaton weghted jackknfe, AS = metode area-specfc jackknfe, W = metode weghted jackknfe Berdasarkan Tabel 3 terlhat bahwa metode pendugaan KTG ang dperkenalkan oleh Chen dan Lahr (008 atu metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor (approxmaton weghted jackknfe memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode lanna. Dengan demkan, kajan lebh lanjut terkat penerapan metode n dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecl dengan respon Posson mash dperlukan. Data Penakt Kanker Bbr d Skotlanda Metode pendugaan KTG terbak ang dperoleh dar hasl smulas kemudan dgunakan untuk menduga KTG penakt kanker bbr ang tercatat selama 6 tahun dar 1975 sampa 1980 pada 56 dstrk d Skotlanda. Peubah penerta ang dgunakan adalah persentase penduduk ang bekerja pada bdang pertanan, perkanan dan kehutanan.

37 Hasl smulas menunjukkan bahwa metode area-specfc jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Gamma sedangkan metode weghted jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Lognormal. Pada kasus Posson-Gamma, penelesaan analtk dar k dketahu, sedangkan pada kasus Posson-Lognormal penelesakan secara analtk dar k tdak dapat dlakukan. Dengan demkan, pendugaan KTG untuk resko relatf penakt kanker bbr d Skotlanda akan dlakukan dengan metode area-specfc jackknfe dengan model Posson-Gamma. Selan tu, akan dterapkan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor sebaga perbandngan. Tabel 4 memberkan nformas tentang sebaran data kanker bbr pada 56 dstrk d Skotlanda. Berdasarkan Tabel 4 dperoleh nformas bahwa ada dstrk ang tdak terjangkt penakt kanker bbr ang dnatakan oleh nla mnmum penduga langsung. Besarna resko relatf terjangkt penakt kanker bbr pada pendugaan langsung dhtung dengan rumus /(e μ, sehngga apabla pada suatu dstrk tdak terdapat ndvdu ang terjangkt penakt kanker bbr, maka resko relatfna juga bernla nol. Tabel 4 Statstka deskrptf data kanker bbr d Skotlanda (dalam jwa Mnmum Maksmum Rata-rata Smpangan baku Pengamatan Harapan Penduga langsung Dengan metode baes, besarna resko relatf terjangkt penakt kanker bbr merupakan penjumlahan dar resko relatf penduga langsung dengan nla harapan resko relatf, dmana nla harapan resko relatf merupakan penduga tak langsung ang nlana dperoleh dar nformas peubah penerta ang dsertakan dalam model. Nla-nla dugaan bag resko relatf terjangkt penakt kanker bbr dsajkan secara lengkap dalam Lampran 10. Gambar 1 memperlhatkan perbandngan nla-nla dugaan KTG metode area-specfc jackknfe dengan nla-nla dugaan KTG metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor. Nla-nla dugaan KTG dengan kedua metode jackknfe n secara lengkap dsajkan dalam Lampran 11. Dar Gambar 1 terlhat bahwa nla-nla dugaan KTG metode area-specfc jackknfe selalu lebh kecl

38 dbandngkan dengan nla-nla dugaan KTG metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor. Hal n dsebabkan pendekatan model ang dgunakan kedua metode n berbeda. Metode area-specfc jackknfe menggunakan model Posson-Gamma sebaga pendekatan sebaran dar data kanker bbr d Skotlanda. Sedangkan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor mengasumskan data kanker bbr tersebut menebar normal. Dalam pembahasan sebelumna telah dbahas bahwa data kanker bbr d Skotlanda merupakan data cacahan dan dapat ddekat dengan sebaran Posson. Dengan demkan, perlu kajan lebh lanjut terkat penerapan metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor pada kasus data dengan respon berupa data cacahan.

39 Badenoch Narn Ske-Lochalsh Sutherland Tweeddale Lochaber Shetland Orkne Berwckshre Stewartr Cathness Wgtown Cumbernauld Bearsden Annandale Ettrck Ross-Cromart Clackmannan Western Isles Roxburrgh Kncardne Cumnock-Doon Cldebank Inverness East Klbrde Cldesdale Eastwood Nthsdale Gorden Mdlothan Strathkelvn Dumbarton NE Ffe Mora Klmarnock Strlng Banff-Buchan Argll-Bute East Lothan Hamlton Monklands Inverclde West Lothan Angus Kle-Carrck Dunfermlne Cunnnghame Perth-Knross Motherwell Krkcald Falkrk Renfrew Dundee Aberdeen Ednburgh Glasgow KTG_AS KTG_AWJ Gambar 1 Perbandngan nla-nla dugaan KTG

40 SIMPULAN DAN SARAN Smpulan Hasl smulas dalam peneltan n menunjukkan bahwa pada model Posson-Gamma untuk jumlah area 10, rata-rata bas relatf metode area-specfc jackknfe selalu lebh kecl dbandngkan rata-rata bas relatf metode weghted jackknfe. Dengan demkan, metode area-specfc jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak pada model Posson-Gamma khususna untuk jumlah area ang kecl. Sedangkan pada model Posson-Lognormal metode weghted jackknfe merupakan metode penduga KTG terbak untuk ragam antar area ang kecl. Nla rata-rata relatf bas dar kedua metode jackknfe ang dtunjukkan dalam hasl smulas bernla negatf dan nlana besar. Hal n berart bahwa nla-nla dugaan KTG dengan kedua metode n selalu bernla lebh kecl dar nla KTG sebenarna dan pendugaan dengan metode n akan menghaslkan penduga dengan press ang rendah. Evaluas hasl smulas terkat bas relatf dar peneltan n dengan bas relatf dar peneltan ang telah dlakukan oleh Chen dan Lahr (008 serta Lohr dan Rao (009 menunjukkan bahwa metode pendugaan KTG ang dperkenalkan oleh Chen dan Lahr (008 atu metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode lan. Saran Hasl evaluas rata-rata bas relatf ang dlakukan oleh Chen dan Lahr (008, Lohr dan Rao (009, serta Wdart (011 menunjukkan bahwa metode weghted jackknfe dengan ekspans deret Talor memberkan rata-rata bas relatf ang lebh kecl dbandngkan metode lan. Dengan demkan, perlu dlakukan kajan lebh lanjut terkat penerapan metode n dalam pendugaan KTG pada pendugaan area kecl dengan respon Posson.

41

42 DAFTAR PUSTAKA Chen S Emprcal Best Predcton and Herarchcal Baes Methods n Small Area Estmaton. [dsertaton]. Nebraska: The Graduate College, Unverst of Nebraska. Chen S, Lahr P On Mean Squared Predcton Error Estmaton n Small Area Estmaton Problems. Communcatons n Statstcs 37: Datta GS, Lahr P Robust Herarchcal Baes Estmaton of Small Area Characterstcs n the Presence of Covarates and Outlers. repec.org/a/eee/jmvana/v541995p html [17Me 010] Fa RE, Herrot RA Estmates of ncome for small places: an applcaton of James-Sten procedures to census data. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 74: He Z, Sun D Herarchcal Baes Estmaton of Huntng Success Rates wth Spatal Correlatons. Bometrcs 56(: Jang J, Lahr P, Wan SM. 00. A Unfed Jackknfe Theor for Emprcal Best Predcton wth M-estmaton. The Annals of Statstcs 30(6: Ksmantn Pendugaan Statstk Area Kecl Berbass Model Posson- Gamma. [tess]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Insttut Pertanan Bogor. Kurna A Predks Terbak Emprk untuk Model Transformas Logartma d dalam Pendugaan Area Kecl dengan Penerapan pada Data SUSENAS. [dsertas]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Insttut Pertanan Bogor. Kurna A, Notodputro KA EB-EBLUP MSE Estmator on Small Area Estmaton wth Applcataon to BPS data. Paper presented n The Frst Internatonal Conference on Mathematcs and Statstcs, Bandung, Indonesa. 9ICoMS-1.pdf [13 Februar 010]. Lohr SL, Rao JNK Jackknfe estmaton of mean squared error of small area predctors n nonlnear mxed models. Bometrka 96(: Quenoulle Notes on Bas In Estmaton. [3 Aprl 010] Ranall et al Small area models for unemploment rate estmaton at subprovncal areas n Ital. pdf [6 Aprl 010]. Rao JNK Small Area Estmaton. New York: John Wle and Sons. Russo C, Sabbatn M, Salvatore R General lnear models n small area estmaton: an assessment n agrcultural surves.

43 cano.gob.mx/portal_sap/forosemnaro/mexsa/trabajos/t44.pdf [14 Me 010]. Stern HS, Cresse N Posteror predctve model checks for dsease mappng models. Statstcs n Medcne 18: Wakefeld J Dsease mappng and spatal regresson wth count data. Bostatstcs 8(: Wan SM Jackknfe Methods n Small Area Estmaton and Related Problems. [dsertaton]. Nebraska: The Graduate College, Unverst of Nebraska. You Y, Rao JNK Pseduo herarchcal Baes small area estmaton combnng unt level models and surve weghts. Journal of Statstcal Plannng and Inference 111:

44 Lampran 1 Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 10 dan alpha = 1 Area KTGAS KTGW EMSE RBAS RBW Lampran Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 30 dan alpha = 1 Area KTGAS KTGW EMSE RBAS RBW

45 Lampran 3 Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 50 dan alpha = 1 Area KTGAS KTGW EMSE RBAS RBW

46 Lampran 4 Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 10 dan alpha = 0.5 Area KTGAS KTGW EMSE RBAS RBW Lampran 5 Bas relatf metode jackknfe pada model Posson-Gamma untuk m = 30 dan alpha = 0.5 Area KTGAS KTGW EMSE RBAS RBW