MODEL BAYES UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PENARIKAN CONTOH BERPELUANG TIDAK SAMA PADA KASUS RESPON BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

Transkripsi

1 MODEL BAYES UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PENARIKAN CONTOH BERPELUANG TIDAK SAMA PADA KASUS RESPON BINOMIAL DAN MULTINOMIAL APLIKASI : PENDUGAAN INDEKS PENDIDIKAN LEVEL KECAMATAN DI JAWA TIMUR AGNES TUTI RUMIATI G / STK SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 0

2 MODEL BAYES UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PENARIKAN CONTOH BERPELUANG TIDAK SAMA PADA KASUS RESPON BINOMIAL DAN MULTINOMIAL APLIKASI : PENDUGAAN INDEKS PENDIDIKAN LEVEL KECAMATAN DI JAWA TIMUR Oleh: AGNES TUTI RUMIATI G / STK Dsertas sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor pada Program Stud Statstka SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 0

3 J u d u l Nama Mahasswa Nomor Pokok Program Stud : Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecl dengan Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama pada Kasus Respon Bnomal dan Multnomal. Aplkas : Pendugaan Indeks Penddkan Level Kecamatan d Jawa Tmur : Agnes Tut Rumat : G : Statstka Menyetuju: Koms Pembmbng Prof. Dr. Ir. Kharl A. Notodputro, MS K e t u a Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc A n g g o t a Dr. Ir. Kusman Sadk, MS. A n g g o t a Mengetahu: Koordnator Program Stud Statstka Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Aj Hamm Wgena, MSc. Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc.Agr

4 PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI DAN SUMBER INFORMASI Dengan n saya menyatakan bahwa dsertas yang berjudul Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecl dengan Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Pada Kasus Respon Bnomal dan Multnomal adalah hasl karya saya sendr dengan arahan koms pembmbng dan belum pernah dajukan kepada perguruan tngg manapun. Sumber nformas yang berasal atau dkutp dar karya penuls lan telah dcantumkan d dalam teks dan daftar pustaka dsertas n. Bogor, September 0 Agnes Tut Rumat NIM. G608003/STK

5 ABSTRACT AGNES TUTI RUMIATI. Bayesan Models for Small Area Estmaton Based on Unequal Probablty Samplng of Bnomal and Multnomal Responses. Under gudance of KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, I WAYAN MANGKU and KUSMAN SADIK In ths research a Bayesan Method of Small Area Estmaton (SAE) has been developed based on bnomal and multnomal response varables usng Susenas data obtaned from unequal probablty samplng. Case study was carred out to predct educaton level of the populaton measured by lteracy rate and mean years of schoolng n sub-dstrct level n East Java Provnce. The SAE model for bnomal response was developed wth two methods,.e. usng weghted logt normal mxed model and nvolvng the probablty of samplng selecton model as exponental functon nto the SAE model. A smulaton study was carred out by mplementng 00 tmes samplng selecton nto populaton data. Penalzed Quas Lkelhood (PQL) and Restrcted Maxmum Lkelhood method (REML) was used to parameter estmaton of SAE model. Based on the smulaton result, we found that the weghted logt normal mxed model gave the best estmate. In applcaton, the weghted logt normal mxed model also provded good predcton of lteracy rate n Sumenep and Pasuruan regency.for the multnomal respons, we appled the weghted logt multnomal mxed model. MSE estmaton was used Jackknfe method and t gave very small MSE of about,4 x0-7. Keywords: SAE model, Bayesan approach, bnomal and multnomal response Monte Carlo ntegraton, lteracy rate, Susenas, unequal probablty samplng, logt normal mxed model, logt multnomal mxed model.

6 RINGKASAN Berbaga surve umumnya drancang untuk menduga parameter populas untuk area besar, msalnya untuk wlayah nasonal atau regonal (provns, kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya ddasarkan pada rancangan atau dkatakan sebaga pendugaan langsung. Untuk pendugaan parameter wlayah yang lebh kecl, umumnya jumlah contoh kurang mencukup jka dgunakan untuk menduga berdasarkan rancangan. D Indonesa, kebutuhan untuk melakukan pendugaan d area kecl mula drasakan terutama untuk merancang dan mengevaluas kebjakan dan program pembangunan d level kabupaten /kota. Salah satu ndkator yang mengukur hasl pembangunan d suatu wlayah adalah Indeks Pembangunan Manusa (IPM). IPM dhtung oleh Badan Pusat Satstk (BPS) dengan menggunakan data dasar hasl Surva Sosal Ekonom Nasonal (Susenas). Susenas dlakukan oleh BPS tap tahun, drancang untuk menduga parameter sosal-ekonom level nasonal atau regonal sehngga tdak cukup representatf untuk pendugaan parameter tngkat kecamatan. Penggunaan data Susenas untuk pendugaan parameter d tngkat kecamatan atau desa akan menghadap dua persoalan statstka yatu: )terbatasnya jumlah data karena Susenas dtujukan untuk menduga parameter berskala nasonal atau regonal (provns sampa kabupaten/kota). ) penarkan contohnya memlk peluang tdak sama karena rancangan penarkan contoh dalam Susenas adalah penarkan contoh gerombol dua tahap yatu mengambl blok sensus pada tahap pertama dan pada tahap ke dua mengambl rumah tangga pada blok sensus yang terplh. Oleh karena tu penarkan contoh dalam Susenas memlk peluang tdak sama. Peneltan n bertujuan untuk mengembangkan model SAE untuk menduga Indeks Penddkan yang merupakan salah satu komponen IPM. Indeks Penddkan dukur dengan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah d suatu wlayah. Angka melek huruf dukur dengan propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls, sedangkan rata-rata lama sekolah dukur dar propors penduduk berusa 0 tahun ke atas d tap level penddkan tertentu. Propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls adalah parameter dar sebuah dstrbus Bnomal, sedangkan propors penduduk

7 berusa 0 tahun ke atas d tap level penddkan tertentu merupakan parameter dar dstrbus Multnomal. Dalam peneltan dsertas n, pengembangan model SAE untuk peubah respon Bnomal dan Multnomal berbass pada penarkan contoh berpeluang tdak sama mengacu kepada beberapa peneltan tentang pengembangan model SAE untuk peubah respon bnomal dan multnomal, serta pengembangan model SAE yang memperhtungkan peluang penarkan contoh. Pendugaan parameter area dlakukan dengan menggunakan pendekatan Bayes. Dengan melakukan smulas, dperoleh bahwa model SAE untuk peubah respon bnomal menggunakan sebaran pror logt normal melalu pendekatan Bayes emprk yang dkembangkan dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh memberkan penduga yang palng bak karena dapat menurunkan bas dan KTG dar penduga. Dengan mengaplkaskan model SAE logt normal terbobot melalu pendekatan Bayes, dhaslkan perbedaan antara nla parameter populas dengan predksnya relatf kecl. Kabupaten Sumenep memlk ratarata bas sebesar 0,068 dan nla KTG sebesar 0,049 dan untuk Kabupaten Pasuruan rata-rata basnya sebesar 0,036 dengan KTG sebesar 0,0. Sementara tu metode pendugaan area kecl yang dkembangkan berdasarkan penarkan contoh nformatf yatu dengan menyertakan model peluang penarkan contoh dalam bentuk fungs eksponensal memberkan ratarata bas relatf yang rendah namun memberkan akar rata-rata kuadrat bas relatf maupun KTG yang lebh tngg dbandngkan dengan metode pendugaan menggunakan sebaran pror logt normal terbobot. Besarnya nla KTG lebh banyak dsebabkan karena ragam pendugaan yang relatf besar sehngga walaupun memberkan bas yang kecl maka KTG akan cenderung tngg. Penurunan bas dar model SAE eksponensal n menunjukkan bahwa memperhtungkan peluang penarkan contoh dalam model SAE akan dapat menurunkan bas. Pfefferman (00) mengatakan bahwa mengabakan peluang penarkan contoh dalam model SAE akan menghaslkan bas pendugaan karena dengan mengabakan peluang penarkan contoh, maka pendugaan parameter model untuk area/unt yang terambl sebaga contoh sama dengan area/unt yang tdak terambl sebaga contoh. Berdasarkan hasl smulas maupun aplkas d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan membuktkan bahwa model SAE untuk peubah respon bnomal

8 menggunakan model campuran logt normal terbobot memberkan hasl yang palng akurat dalam pendugaan parameter propors area kecl. Selanjutnya pendugaan area kecl untuk respon multnomal dlakukan dengan cara yang sama yatu melalu model campuran logt multnomal terbobot. Pendugaan KTG dlakukan dengan menggunakan metode Jackknfe. Dar hasl aplkas d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan, penduga KTG untuk logt multnomal terbobot melalu pendekatan Bayes juga memberkan nla penduga KTG yang sangat kecl yatu pada ksaran antara,4 x 0-7 sampa 8,7 x0-7 karena pada mumnya konds blok sensus d tap kecamatan relatf sama. Besarnya KTG tersebut sangat dpengaruh oleh homogentas atau heterogentas dar nla respon dar area yang satu ke area yang lan. Dengan menggunakan metode Jackknfe, nla dugaan KTG untuk pendugaan area kecl d tap-tap katagor bervaras tergantung kepada heterogentas nla dugaan propors dar area ke area. Semakn heterogen maka akan menghaslkan nla dugaan KTG yang cenderung lebh besar. Hal yang sama juga dtemu pada pendugaan area kecl yang memperhtungkan peluang penarkan contoh. Besarnya KTG yang dhaslkan oleh metode SAE yang menyertakan fungs eksponensal dar peluang percontohan perlu dkaj lebh dalam karena bas yang dhaslkan relatf sangat kecl sehngga kemungknan besarnya KTG dsebabkan oleh ragam pendugaan yang besar. Perlu dkembangkan model yang serupa tetap dapat menurunkan ragam pendugaan.

9 @ Hak Cpta Insttut Pertanan Bogor (IPB), Tahun 0 Hak Cpta Dlndung Undang-undang. Dlarang mengutp sebagan atau seluruhnya karya tuls n tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber: a. Pengutpan hanya untuk kepentngan penddkan, peneltan, penulsan karya lmah, penyusunan laporan, penulsan krtk atau tnjauan suatu masalah b. Pengutpan tdak merugkan kepentngan yang wajar IPB. Dlarang mengumumkan atau memperbanyak sebagan atau seluruh karya tuls n dalam bentuk apapun tanpa jn IPB.

10 PRAKATA Puj syukur penuls panjatkan kehadrat Allah SWT, karena atas rahmat dan hdayah-nyalah akhrnya dsertas dengan judul Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecl dengan Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Pada Kasus Respon Bnomal dan Multnomal, dengan aplkas Pendugaan Indeks Penddkan Level Kecamatan d Jawa Tmur n dapat dselesakan dengan bak. Selan untuk memenuh syarat memperoleh gelar doktor pada program stud Statstka-IPB, dsertas dtujukan untuk menghaslkan metode statstk yang dapat dgunakan oleh pemerntah atau phak lan untuk melakukan pendugaan area kecl yang memlk jumlah data terbatas tanpa perlu menambah contoh dengan memanfaatkan nformas yang ada sehngga dapat mengurang baya peneltan. Selama pelaksanaan peneltan dan penyelesaan dsertas n, penuls banyak mendapatkan bantuan dar berbaga phak bak secara morl dan meterl sehngga dsertas n dapat terselesakan dengan bak. Pada kesempatan n secara khusus penuls mengucapkan terma kash kepada :. Bapak Prof. Dr. Ir. Kharl Anwar Notodputro, Bapak Dr. I Wayan Mangku dan Bapak Dr Kusman Sadk selaku dosen pembmbng yang telah banyak memberkan arahan, bmbngan dan saran hngga dsertas n bas dselesakan dengan bak.. Seluruh dosen dan karyawan Departemen Statstka FMIPA IPB yang telah menjad teman dskus, memberkan saran dan dorongan morl. 3. Seluruh dosen dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB yang telah memberkan layanan pengajaran dan admnstras yang bak. 4. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Statstka FMIPA ITS, 5. Para penelt dan karyawan BPS Pusat dan Provns Jawa Tmur yang banyak membantu memberkan data dan penjelasan terkat data Susenas dan Sensus Penduduk

11 6. Para penelt dan karyawan Pusat Peneltan Potens daerah dan Pemberdayaan Masyarakat (PDPM), LPPM-ITS yang telah memberkan bantun morl dan materl selama penuls melaksanakan stud S3 dan menyelesakan peneltan dsertas 7. Suam dan anak-anak tercnta serta seluruh keluarga yang senantasa memberkan dorongan semangat, doa yang khlas dan telah mendampng penuls selama stud S3 dan menyelesakan peneltan dsertas. 8. Teman-teman sesama mahasswa program Pasca Sarjana d Departemen Statstka-IPB serta berbaga phak lan yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu. Akhr kata, dengan segala kerendahan hat, penuls menyadar bahwa dsertas n mash jauh dar sempurna, oleh karena tu penuls sangat mengharapkan saran dan masukan yang bermanfaat untuk memperbak tulsan dsertas n. Namun demkan, penuls berharap tulsan n dapat bermanfaat bag mereka yang memerlukannya. Semoga Allah SWT senantasa memberkan kebakan untuk kta semua. Bogor, September 0 Agnes Tut Rumat

12 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d kota Mojokerto, Jawa Tmur pada tanggal 4 Jul 957 dar pasangan Bapak JH Soeratman (alm) dan Ibu P Sr Woelan (alm). Penuls merupakan anak pertama dar lma bersaudara dan menkah dengan Ir. Nus Irwansyah, MBA dan telah dkaruna dua anak yatu Duta Perdana MA dan Rzq Yoshta. Penddkan Sarjana dtempuh d Jurusan Matematka, FIPIA ITS lulus pada tahun 98 dengan pembmbng Bapak I Nyoman Latra, MS. Pada tahun 996, penuls memperoleh gelar Master of Scence dar School of Mathematcs and Statstcs, The Unversty of Sheffeld, Unted Kngdom dengan pembmbng tess Professor John Bggns. Sejak tahun 008 penuls menempuh Program Doktor pada Program Stud Statstka Sekolah Pascasarjana IPB. Sejak tahun 985 sampa dengan saat n penuls bekerja sebaga dosen d Jurusan Statstka, FMIPA-ITS dan penelt d Pusat Peneltan Potens daerah dan Pemberdayaan Masyarakat (PDPM), Lembaga Peneltan dan Pengabdan Masyarakat (LPPM)-ITS. Selama mengkut penddkan Program Doktor, penuls telah menghaslkan beberapa karya lmah yang telah dpublkaskan dalam semnar nasonal serta jurnal lmah, dantaranya :. Rumat, AT, Notodputro AK, Mangku IW dan Sadk K, 0. Emprcal Bayesan Method for The Estmaton of Lteracy Rate at Sub-dstrct Level. Case Study: Sumenep Dstrct of East Java Provnce, IPTEK, The Journal for Technology and Scence, Vol. 3, No., February 0.. Rumat, AT, Regres Polnomal local untuk Data Survey Berskala Besar, Stud kasus: Model Pengeluaran Rumah Tangga berdasarkan Data Susenas Jawa Tmur 006. Prosdng pada Semnar Nasonal Statstka, 7 Nopember 009. Jurusan ITS- Surabaya.

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... v DAFTAR GAMBAR... v DAFTAR LAMPIRAN... v I. Pendahuluan..... Latar Belakang..... Tujuan Peneltan Ruang Lngkup Kebaruan Sstematka Dsertas... 8 II. Tnjauan pustaka..... Pendahuluan.... Model Dasar Pendugaan Area Kecl Pendugaan Area Kecl Berbass Area Pendugaan Area Kecl Berbass Unt Pendugaan Parameter Model Pendugaan Area kecl Metode Predks Tak-bas Lner Terbak (PTLT) dan Predks Tak-bas Lner Terbak Emprk (PTLTE) Pendugaan Parameter Model SAE Melalu Pendekatan Bayes Peluang Penarkan Contoh Model SAE dengan Memperhtungkan Peluang Penarkan Contoh....6 Indeks Pembangunan Manusa (IPM) Cara Perhtungan IPM Indkator Penddkan/ Pengetahuan Surve Sosal Ekonom Nasonal (Susenas) Kerangka Percontohan dan Metode Penarkan Contoh Penentuan Bobot... 8

14 III. Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecl Berbass Peubah Respon Bnomal Pendahuluan Metode Pendugaan Langsung Melalu Pendekatan Bayes Pendugaan Bayes Menggunakan Sebaran Pror Beta Pendekatan Bayes Menggunakan Sebaran Pror Logt- Normal Metode Pendugaan Tak Langsung Melalu Pendekatan Bayes Aplkas : Pendugaan Angka Melek Huruf d Tngkat Kecamatan, Kabupaten Sumenep Berbass Data Susenas Pendugaan Langsung Pendugaan Tak Langsung Pembahasan IV. Model SAE Berbass Sebaran Respon Multnomal Melalu Pendekatan Bayes Pendahuluan Model SAE untuk Respon Multnomal Pendugaan Parameter Model Pendugaan Ragam Pendugaan Parameter Area Melalu Pendekatan Bayes Aplkas: Pendugaan Rata-Rata Lama Sekolah Tngkat Kecamatan d Jawa Tmur Berbass Data Susenas Pengukuran Peubah Respon dan Peubah Penyerta Hasl Eksploras Data Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah d Tngkat Kecamatan Pembahasan V. Model Bayes Pendugaan Area Kecl untuk Respon Bnomal dan Multnomal Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Pendahuluan Penyertaan Peluang Penarkan Contoh pada Model SAE... 63

15 5.3. Pendugaan Area Kecl Menggunakan Model Campuran Lner Terbobot Pengembangan Model Bayes SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama untuk Respon Bnomal Penentuan Bobot Metode Pendugaan Parameter Area Kecl dengan Menyertakan Peluang Penarkan Contoh yang Bersfat Eksponensal Metode Pendugaan Parameter Area Kecl menggunakan Model Lner Campuran Terbobot Evaluas Terhadap Penduga Smulas Aplkas : Pendugaan Angka Melek Huruf d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provns Jawa Tmur Model SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Untuk Peubah Respon Multnomal Pengembangan model SAE: Model Campuran Logt Multnomal Terbobot Aplkas: Pendugaan rata-rata lama sekolah d tngkat kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Perhtungan Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Pembahasan Model SAE untuk respon Bnomal dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh Model SAE untuk respon Multnomal dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh IV. Pembahasan Pendahuluan Perbandngan metode pendugaan langsung dan tak langsung untuk pendugaan area kecl melalu pendekatan Bayes... 88

16 6.3. Pengaruh peluang penarkan contoh dalam Model SAE untuk respon Bnomal dalam penngkatan kualtas penduga Pengembangan model SAE berbass pada peubah respon Multnomal dengan penarkan contoh berpeluang tdak sama VII Kesmpulan dan Saran Kesmpulan Saran 94 Daftar Pustaka. 95 Daftar Istlah. 99 Lampran.. 00 v

17 DAFTAR TABEL Halaman Tabel. Peubah dan sumber data dar masng-masng komponen IPM... 4 Tabel.. Nla Maksmum dan Nla Mnmum Indkator Komponen IPM... 5 Tabel.3. Konvers tahun untuk tngkat/kelas penddkan yang dtamatkan. 6 Tabel 3.. Rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan d Kabupeten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes Tabel 4.. Klasfkas tngkat penddkan tertngg penduduk usa 0 tahun ke atas Tabel 4.. Rata-rata dugaan propors penduduk pada jenjang penddkan tertentu dan rata-rata nla KTG dugaan tap kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Tabel 5.. Nla rata-rata bas relatf dan rata-rata kuadrat bas relatf untuk model terbobot dan model eksponensal Tabel 5.. Hasl Smulas Dugaan p (propors penduduk usa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Tabel 6. Perbandngan kualtas penduga untuk model SAE untuk respon Bnomal dengan dan tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh... 9 v

18 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar. Gambar. Gambar 3. Gambar 3. Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 Gambar 4. Gambar 4. Gambar 4.3 Gambar 4.4 Kerangka Peneltan Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Bnomal... 6 Kerangka Peneltan Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Multnomal... 7 Propors Penduduk 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls berdasarkan data Susenas tahun 00 d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Hasl Pendugaan angka melek huruf dengan menggunakan metode klask dan Metode Bayes... 4 Plot dar nla dugaan KTG menggunakan sebaran pror Beta dan Logt-Normal melalu metode pendugaan langsung Hubungan kemampuan baca tuls dengan usa berdasarkan jens kelamn d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Plot hasl dugaan angka melek huruf dan KTG d Kabupaten Sumenep Plot hasl dugaan paramater p (angka melek huruf) dan KTG d Kabupaten Pasuruan Propors penduduk berusa 0 tahun ke atas berdasarkan lama sekolah berdasarkan data Susenas 00 d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Plot Hasl dugaan propors penduduk berusa 0 tahun keatas d tap jenjang penddkan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Sumenep Plot Hasl Propors Penduduk Berusa 0 tahun keatas d tap jenjang penddkan dan Nla Dugaan KTG d Kabupaten Pasuruan Plot Hasl Dugaan Angka Melek Huruf dan Nla KTG Dugaan d Kabupaten Sumenep v

19 Gambar 5. Plot hasl smulas pendugaan p (angka melek huruf) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep 77 Gambar 5. Plot hasl smulas bas pendugaan p untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Gambar 5.3 Gambar 5.4 Gambar 5.5 Gambar 5.6 Gambar 5.7 Gambar 5.8 Nla dugaan, parameter populas, dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Sumenep Nla dugaan, parameter populas, dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Pasuruan Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan Dugaan KTG Menggunakan Model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan Dugaan KTG menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Pasuruan Nla dugaan rata-rata lama sekolah menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Predks Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Menggunakan Model SAE. 85 Gambar 5.9 Peta Tematk Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep. 85 Gambar 5.0 Peta Tematk Indeks Penddkan d Kabupaten Pasuruan. 86 v

20 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampran Program SAS untuk pendugaan model SAE Lampran Program Matlab untuk perhtungan pendugaan area kecl melalu pendugaan langsung melalu sebaran pror logt normal... 0 Lampran 3 Program Matlab untuk perhtungan pendugaan area kecl melalu pendugaan langsung melalu sebaran pror beta Lampran 4 Program Matlab untuk perhtungan pendugaan area kecl melalu pendugaan tak langsung (berbass model) melalu sebaran pror logt normal tanpa bobot Lampran 5 Program Matlab untuk perhtungan pendugaan area kecl melalu pendugaan tak langsung melalu sebaran pror logt normal dengan memperhtungkan bobot peluang Lampran 6 Jumlah penduduk usa 0 tahun keatas berdasarkan data sensus dan susenas serta jumlah blok sensus d tap kecamatan d Kabupaten Sumenep Lampran 7 Jumlah penduduk usa 0 tahun keatas berdasarkan data sensus dan susenas serta jumlah blok sensus d tap kecamatan d Kabupaten Pasuruan... 0 Lampran 8 Hasl Pendugaan Paramater p (propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) dan KTG untuk masng-masng kecamatan d Kabupaten Sumenep... Lampran 9 Hasl Pendugaan Paramater p (propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) dan KTG untuk masng-masng kecamatan d Kabupaten Pasuruan... Lampran 0 Hasl pendugaan propors penduduk pada tap tngkat penddkan tertngg d Kabupaten Sumenep... 3 Lampran Hasl pendugaan KTG untuk pendugaan propors penduduk pada tap tngkat penddkan tertngg d Kabupaten Sumenep... 4 Lampran Hasl pendugaan propors penduduk pada tap tngkat penddkan tertngg d Kabupaten Pasuruan... 5 v

21 Lampran 3 Hasl pendugaan KTG untuk pendugaan propors penduduk pada tap tngkat penddkan tertngg d Kabupaten Pasuruan... 6 Lampran 4 Hasl pendugaan angka melek huruf d tap kecamatan berdasarkan model campuran logt normal terbobot dan model campuran logt normal terbobot d Kabupaten Sumenep... 7 Lampran 5 Hasl pendugaan angka melek huruf d tap kecamatan berdasarkan model campuran logt normal terbobot d Kabupaten Pasuruan... 8 Lampran 6 Hasl pendugaan angka melek huruf d tap kecamatan berdasarkan model campuran logt multnomal terbobot d Kecamatan Pragaan, Kabupaten Sumenep... 9 Lampran 7 Pendugaan KTG untuk penduga propors penduduk d tap jenjang penddkan berdasarkan model campuran logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep... 0 Lampran 8 Hasl pendugaan propors penduduk d tap jenjang penddkan berdasarkan model campuran logt multnomal terbobot d Kabupaten Pasuruan... Lampran 9 Penduga KTG untuk penduga propors penduduk d tap jenjang penddkan berdasarkan model campuran logt multnomal terbobot d Kabupaten Pasuruan... Lampran 0 Predks Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep menggunakan model SAE... 3 Lampran Predks Indeks Penddkan d Kabupaten Pasuruan menggunakan model SAE 4 Lampran Hubungan antara Propros Penduduk untuk tap jenjang penddkan Berdasarkan Usa dan jens kelamn d kabupaten Sumenep... 5 Lampran 3 Hubungan antara Propros Penduduk untuk tap jenjang penddkan dengan Usa dan jens kelamn d kabupaten Pasuruan... 6 x

22 BAB I Pendahuluan.. Latar Belakang Berbaga surve umumnya drancang untuk menduga parameter populas untuk area besar, msalnya untuk wlayah nasonal atau regonal (provns, kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya ddasarkan pada rancangan atau dkatakan sebaga pendugaan langsung. Untuk pendugaan parameter wlayah yang lebh kecl, umumnya jumlah contoh kurang mencukup jka dgunakan untuk pendugaan berdasarkan rancangan. Dewasa n telah dkembangkan sebuah metode pendugaan parameter d suatu area dmana jumlah contohnya berukuran kecl dan bahkan tdak ada yatu Metode Pendugaan Area Kecl atau Small Area Estmaton (SAE). Pendugaan dalam SAE ddasarkan pada model dan merupakan pendugaan tdak langsung. Oleh karena tu dbutuhkan nformas tambahan dar peubah yang memlk hubungan dengan peubah yang sedang damat yang dsebut sebaga peubah penyerta (auxlary varable). Model SAE pertama kal dperkenalkan oleh Fay & Herot (979), yatu model yang memperhtungkan dua jens keragaman yang mencakup ) keragaman peubah respon yang tdak dapat dterangkan seluruhnya oleh hubungan peubah respon dengan nformas tambahan yang dsebut model pengaruh tetap dan ) keragaman spesfk area kecl yang tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan, merupakan pengaruh acak area kecl. Oleh karena tu model SAE mengandung dua komponen galat yatu galat karena model dan galat karena pendugaan parameter secara langsung. Rataan atau tolal area kecl dapat dnyatakan sebaga kombnas lner dar pengaruh tetap dan pengaruh acak. Secara alran klask, pendugaan parameter untuk model dasar SAE basanya menggunakan metode Predks Tak-bas Lner Terbak (Best Lnear Unbased Predctor) yatu dengan memnmumkan Kuadrat Tengah Galat (KTG) dar penduga. Pendugaan dengan Predks Tak-bas Lner Terbak (PTLT) n tdak tergantung pada kenormalan dar pengaruh acak tetap tergantung pada ragam atau koragam dar pengaruh acak. Sedangkan komponen ragam-

23 koragam serng dduga dengan menggunakan metode Kemungknan Maksmum (Maxmum Lkelhood:ML) atau Kemungknan Maksmum Berkendala (Restrcted Maxmum Lkelhood: REML) dengan mengasumskan kenormalan. Dengan cara tersebut pendugaan melalu proses dua tahap yang dkenal sebaga Predks Tak-bas Lner Terbak Emprk (PTLTE). Rao (003) mengatakan bahwa metode BLUP atau EBLUP hanya cocok untuk peubah kontnu, tetap kurang sesua jka dgunakan untuk pemodelan peubah respon bertpe dskrt. Metode PTLT atau PTLTE dapat daplkaskan untuk model lner campuran yang banyak dgunakan untuk pendugaan area kecl. Dalam pendugaan parameter dar model lner campuran tersebut tdak dbutuhkan kenormalan dar pengaruh acak dan galat, tetap kenormalan dbutuhkan untuk mendapatkan penduga KTG yang akurat (Rao, 003). Model lner campuran tu sendr drancang untuk peubah bertpe kontnu dan kurang sesua untuk peubah bertpe dskrt (bner atau cacahan). Untuk data bner atau cacahan, khususnya model regres logstk dan model log lner akan lebh tepat menggunakan metode pendugaan melalu pendekatan Bayes, bak melalu metode Bayes Emprk (Emprcal Bayes) maupun metode Bayes Berhrark (Herarchcal Bayes). D Indonesa, beberapa penelt yang mengembangkan model SAE dantaranya adalah Kurna et al. (007), yang membahas pengaruh msspesfkas desan survey pada pendugaan area kecl. Selan tu Kurna et al. (007) membahas tentang pendekatan non parameterk dalam SAE. Selanjutnya Kurna (009) menelt tentang predks terbak emprk untuk model transformas logartma d dalam pendugaan area kecl dengan penerapan pada data Susenas. Penelt yang lan adalah Sadk (009) mengembangkan metode predks tak-bas lnear terbak dan bayes berhrark untuk pendugaan area kecl berdasarkan model state space. Beberapa penelt yang telah mengembangkan model pendugaan area kecl untuk data bner dantaranya adalah Malec et al. (997), Boostra et al. (0), Jang dan Lahr (00), Rao (003), Clarke et al. (006) dan Chandra et al. (009). Para penelt tersebut umumnya menggunakan sebaran pror Beta atau logt normal, sedangkan untuk pendugaan parameter dgunakan metode Kemungknan Quas Berpenalt (Penalzed Quas-Lkelhood) dan pendugaan ragam dengan menggunakan pendekatan ML atau REML. Metode SAE untuk

24 data bner yang dkembangkan oleh para penelt tersebut tdak memperhtungkan peluang percontohan dar data yang dgunakan. Model SAE berbass sebaran multnomal telah dkembangkan oleh Molna et al. (007) dengan metode yang ddasarkan pada aplkas dar Model Campuran Logt Multnomal (Multnomal Logt Mxed Model). Model SAE untuk peubah multnomal oleh Molna mengasumskan pengaruh acak yang sama untuk semua katagor. Scealy (00) mengembangkan model Molna et al. (007) dengan memasukkan pengaruh acak katagor. Untuk pendugaan parameter model Scealy (00) mengaplkaskan metode Kemungknan Quas Berpenalt (KQB), pendekatan ML dan/atau REML. Metode tersebut kemudan daplkaskan untuk pendugaan parameter angkatan kerja d area kecl. Pendugaan KTG untuk penduga parameter ddekat melalu dua metode yatu bootstrap parametrk dan pendekatan analtk serta kemudan membandngkan keduanya. Sceally (00) menghaslkan bahwa metode boostrap parametrk memberkan hasl lebh bak dbandngkan dengan pendekatan analtk, namun perbedaannya sangat kecl. Pada umumnya d dalam model SAE danggap semua area terwakl dalam contoh atau danggap bahwa contoh area dplh dengan peluang yang sama (Pfeffermann 00). Hanya ada beberapa stud yang memperhatkan struktur peluang percontohan dengan menggunakan peluang tdak sama, msalnya Kott (990), Arora dan Lahr (997) serta Prasad dan Rao (999). Pfeffermann (00) berbendapat bahwa pendugaan yang dlakukan tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh akan menghaslkan penduga yang berbas. Demkan juga Lehtonen (009) menyatakan bahwa dengan menyertakan bobot peluang penarkan contoh ke dalam model, msalkan proporsonal terhadap ukuran populas atau proportonal to sze (pps), dapat dhaslkan penngkatan akuras dan pengurangan bas. Lehtonen (009) mengembangkan pendugaan langsung d area kecl yang mengaplkaskan Model Generalzed Regresson (GREG) dmana pendugaan parameter menggunakan metode PTLTE yang menyertakan bobot unt contoh. Model SAE yang memperhtungkan struktur peluang penarkan contoh yang telah dkembangkan oleh para penelt tersebut adalah untuk model SAE dengan peubah respon normal. Pendugaan parameter menggunakan pendekatan klask yatu mengaplkaskan PTLT atau PTLTE. Pengembangan model SAE berbass penarkan contoh berpeluang tdak sama khusus untuk data 3

25 bner dbahas oleh Chen et al. (00) yang menggunakan pendekatan Bayes Emprk dan Berhrark. D Indonesa, kebutuhan untuk pendugaan area kecl msalkan kecamatan atau desa makn menngkat, khususnya untuk menyusun kebjakan atau perencanaan pembangunan oleh pemerntah daerah. Salah satu ndkator yang djadkan dasar dalam perencanaan pembangunan adalah Indeks Pembangunan Manusa (IPM) yang mengukur pencapaan hasl pembangunan d sebuah wlayah (BPS 005). IPM dukur dalam 3 dmens dasar yatu: )Hdup yang sehat dan panjang umur yang dukur dengan harapan hdup saat kelahran; ) Pengetahuan yang dukur dengan angka tngkat baca tuls pada orang dewasa dan rata-rata lama sekolah serta 3) standar hdup layak yang dukur dengan daya bel (UNDP 998). IPM dapat dgunakan untuk mengklasfkaskan apakah sebuah wlayah adalah maju, berkembang atau terbelakang, Selan tu IPM juga dgunakan untuk mengukur pengaruh dar kebjakan ekonom terhadap kualtas hdup. D Indonesa perhtungan IPM dlakukan oleh Badan Pusat Statstk (BPS) yang secara resm mempublkaskan IPM secara perodk setap tahun untuk tngkat provns dan kabupaten/kota. Dewasa n perhtungan IPM untuk tngkat kecamatan mula dbutuhkan untuk dgunakan sebaga dasar perencanaan pembangunan d tngkat Kabupaten. IPM untuk tngkat kecamatan, yang membandngkan hasl pembangunan antar kecamatan, baru dlakukan oleh sebagan pemerntah kabupaten/kota. Perhtungan IPM d tngkat kecamatan umumnya dlakukan dengan cara klask, yatu menggunakan pendugaan langsung dengan cara menambah jumlah contoh agar mencukup. Sebaga contoh perhtungan IPM untuk Kabupaten Probolnggo (Rumat et al. 007), Sumenep (Rumat et al. 008), Tuban (Rumat et al. 009) dlakukan dengan memanfaatkan data Surve Sosal Ekonom Nasonal (Susenas) dan menambah jumlah data melalu surva. Penggunaan data Susenas untuk pendugaan parameter d tngkat kecamatan atau desa akan menghadap dua persoalan statstk yatu: )terbatasnya jumlah data karena Susenas dtujukan untuk menduga parameter berskala nasonal atau regonal (provns sampa kabupaten/kota). ) penarkan contohnya memlk peluang tdak sama karena rancangan penarkan contoh dalam Susenas adalah penarkan contoh gerombol dua tahap yatu mengambl blok sensus pada tahap pertama dan pada tahap ke dua mengambl rumah 4

26 tangga pada blok sensus yang terplh. Oleh karena tu penarkan contoh dalam Susenas memlk peluang tdak sama. Dalam peneltan n dbahas pengembangan metode SAE yang dapat dgunakan untuk menduga parameter penddkan yang merupakan komponen Indeks Penddkan dalam IPM. Perhtungan Indeks Penddkan melalu pendugaan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah. Angka melek huruf dhtung berdasarkan propors penduduk yang mampu baca dan tuls dar penduduk yang berusa 0 tahun ke atas. Sedangkan rata-rata lama sekolah dhtung berdasarkan propors penduduk yang telah berada pada jenjang penddkan tertentu yang dkalkan dengan lama menempuh penddkan d jenjang tersebut dbag dengan jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang bsa baca tuls dasumskan memlk sebaran Bnomal dan jumlah penduduk pada tap jenjang penddkan dasumskan memlk sebaran Multnomal. Selanjutnya karena perhtungan IPM menggunakan data Susenas, maka persoalan statstk terkat dengan keterbatasan jumlah data dan ketdaksamaan peluang dalam penarkan contoh. Oleh karena tu yang menjad pertanyaan peneltan n adalah bagamana model pendugaan area kecl untuk peubah respon bnomal dan multnomal pada kasus penarkan contoh berpeluang tdak sama. Rao (003) mengatakan bahwa untuk data bner atau cacahan, khususnya model regres logstk dan model log lner akan lebh tepat menggunakan metode pendugaan melalu pendekatan Bayes. Oleh karena tu dalam peneltan n pendugaan area kecl dlakukan melalu pendekatan Bayes ddasarkan pada model SAE untuk peubah respon Bnomal dan Multnomal berbass peluang penarkan contoh tdak sama. Selanjutnya model SAE yang dhaslkan daplkaskan untuk pendugaan Indeks Penddkan kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan, Provns Jawa Tmur... Tujuan Peneltan. Mengembangkan model SAE berbass sebaran Bnomal dan Multnomal melalu pendekatan Bayes dengan penarkan contoh berpeluang tdak sama.. Mengaplkaskan metode pendugaan area kecl yang dperoleh dar tujuan pertama untuk menduga angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah dtngkat kecamatan dalam rangka menghtung Indeks Penddkan d Stud kasus Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. 5

27 .3. Ruang Lngkup Ruang lngkup peneltan n melput pengembangan metode pendugaan area kecl untuk peubah respon Bnomal dan Multnomal melalu pendekatan Bayes. Pengembangan model SAE akan memperhatkan peluang penarkan contoh mengngat penerapan dar metode SAE tersebut daplkaskan untuk menduga Indeks Penddkan d tngkat kecamatan dengan data Susenas dmana contohnya dambl berdasarkan peluang tdak sama. Secara khusus model SAE yang akan dkaj merupakan model berbass unt dengan pendugaan parameter menggunakan metode Bayes Emprk berdasarkan sebaran pror logt normal dar parameter (p ) yang dduga. Metode pendugaan parameter menggunakan ntegras numerk karena penyelesaan persamaan secara analtk untuk model Bayes khususnya berbass data bner sult dtemukan. Metode SAE yang dkembangkan untuk peubah respon Bnomal dan Multnomal berbass peluang contoh tdak sama daplkaskan untuk menduga Indeks Penddkan d tngkat kecamatan d Jawa Tmur. Stud kasus yang dambl adalah kabupaten Sumenep (yang mewakl daerah pertanan dan perkebunan) dan Kabupaten Pasuruan (mewakl daerah ndustr) d Jawa Tmur. Secara gars besar kerangka peneltan dapat dlhat pada Gambar dan Gambar..4. Kebaruan Beberapa penelt telah melakukan pengembangan model SAE untuk peubah respon Bnomal dan Multnomal yang berbass data bner, bak melalu pendekatan klask maupun melalu pendekatan Bayes. Model SAE yang dkembangkan umumnya tdak memperhatkan peluang penarkan contoh dan menganggap contoh yang dgunakan berdasarkan pada penarkan contoh secara acak dengan peluang yang sama. Pendugaan parameter dalam peneltan n memperhtungkan cara penarkan contoh khususnya untuk penarkan contoh berpeluang tdak sama. Dengan menggunakan data Susenas, pendugaan IPM oleh BPS d Indonesa hanya sampa tngkat kabupaten/ kota karena ketdak cukupan data untuk area yang lebh kecl (kecamatan atau desa). Pendugaan IPM d level kecamatan umumnya dlakukan dengan menambah jumlah contoh dmana pendugaan parameter dlakukan secara langsung dan tanpa memperhtungan peluang tap unt contoh. 6

28 Pengembangan Model Tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh Model logt normal Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh Model logt normal terbobot Pendugaan Parameter model SAE : PQL/REML Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes Model SAE dengan menyertakan fungs peluang penarkan contoh Pendugaan Parameter model : Metode KM Perhtungan Bas, KTG Smulas Lokas: Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Data Sensus Penduduk 00 Penarkan contoh area (blok sensus) : 5 area dulang 00 x Model logt normal Model SAE dengan Fungs Peluang Eksponensal Penarkan contoh RT 6 RT 00 set contoh tanpa bobot Perhtungan Bas, KTG Perhtungan bobot area kecl (bloksensus ) Perhtungan bobot ndvdu 00 set contoh dengan bobot Model logt normal terbobot Aplkas Lokas: Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Data Susenas 00 Perhtungan bobot area kecl (bloksensus ) Perhtungan bobot ndvdu Model logt normal terbobot Data Sensus Penduduk 00 Model logt normal tanpa bobot Perhtungan angka melek huruf d tap kecamatan Perhtungan bas Perhtungan KTG Gambar.. Kerangka Peneltan Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Bnomal Keterangan. Tahap pengembangan model SAE dengan respon bnomal dengan memperhatkan struktur peluang. Smulas dengan mengambl kecamatan Lenteng, yatu dengan penarkan contoh gerombol dua tahap yang dulang sebanyak 00 kal 3. Aplkas, menerapkan model terbak yang dperoleh dar hasl aplkas untuk menduga angka melek huruf d level kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan 7

29 Pengembangan Model Tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh Model logt multnomal Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh Model logt multnomal terbobot Pendugaan Parameter model SAE : KQB/KMB Pendugaan Parameter model SAE : KQB/KMB Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes Aplkas Lokas: Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Data Susenas 00 Perhtungan bobot area kecl (bloksensus ) Perhtungan bobot ndvdu Model logt multnomal terbobot Model logt multnomal tanpa bobot Perhtungan rata-rata lama sekolah d tap kecamatan Perhtungan KTG Gambar.. Kerangka Peneltan Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Multnomal Keterangan. Tahap pengembangan model SAE dengan respon multnomal dengan memperhatkan struktur peluang. Aplkas, menerapkan model logt multnomal untuk pendugaan rata-rata lama sekolah d level kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Dalam dsertas n dbahas tentang pendugaan Indeks Penddkan sebaga salah satu komponen IPM d area kecl (kecamatan) ddasarkan pada sebaran Bnomal untuk pendugaan angka melek huruf dan sebaran Multnomal untuk pendugaan rata-rata lama sekolah. Kebaruan dar peneltan n adalah:. Dsertas n mengembangkan Metode SAE berbass respon Bnomal dan Multnomal melalu pendekatan Bayes dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh.. Dsertas n mengembangkan Metode Bayes SAE yang dapat daplkaskan untuk menduga Indeks Penddkan d tngkat kecamatan dengan memperhtungan bobot dalam percontohan Susenas. Pendekatan 8

30 semacam n, yatu pendugaan Bayes dengan memperhtungkan bobot percontohan belum pernah dlakukan bak oleh BPS maupun oleh penelt lan. Oleh karena tu dsertas n menghaslkan metode baru untuk pendugaan Indeks Penddkan dengan tngkat akuras dan press yang lebh tngg..5. Sstematka Dsertas Dsertas n terbag menjad 3 (tga) bagan besar. Bagan pertama membahas tentang pendugaan area kecl secara umum dan hal-hal yang terkat dengan proses penarkan contoh serta perhtungan IPM. Bagan kedua membahas perkembangan model SAE khususnya untuk sebaran respon Bnomal dan Multnomal dengan contoh penerapan dalam pendugaan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah d level kecamatan d d dua kabupaten d Jawa Tmur. Bagan ketga membahas pengembangan model SAE untuk sebaran Bnomal dan Multnomal berbass pada penarkan contoh berpeluang tdak sama dan penerapannya untuk pendugaan Indeks Penddkan d level Kecamatan d Jawa Tmur. Secara rnc dsertas n terbag kedalam 7 bab. Bab adalah pendahuluan yang bers uraan latar belakang, yujuan, ruang lngkup dan kebaruan dar dsertas. Pada bab II dbahas tnjauan pustaka bers tentang model dasar SAE dan perkembangannya, melput pendugaan parameter menggunakan pendekatan klask dan pendekatan Bayes. D dalam tnjauan pustaka juga dbahas tentang metode penarkan contoh dalam Susenas serta penentuan bobot untuk kepentngan pendugaan parameter dengan metode langsung. Selanjutnya pada bab II n juga dbahas tentang Indeks Pembangunan Manusa (IPM) dan Indeks Penddkan serta cara perhtungannya. Pada bab III dbahas tentang pendugaan area kecl untuk respon Bnomal, khususnya untuk pendugaan parameter berbass model dengan pendekatan Bayes. Dalam bab n juga dsajkan pendugaan Bayes dengan metode langsung (tdak berbass model) yatu dengan menggunakan sebaran pror Beta dan logt normal. Model SAE untuk respon Bnomal kemudan daplkaskan untuk pendugaan angka melek huruf d tngkat kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan d provns Jawa Tmur dengan menggunakan data Susenas 00. Pada bab IV dbahas tentang pendugaan parameter untuk model SAE 9

31 berbass peubah respon Multnomal. Dalam bab n juga dgunakan pendekatan Bayes dengan mengembangkan model SAE untuk peubah respon Multnomal yang dkembangkan oleh Sceally (00) dmana pengaruh area dbedakan atas katagor. Model SAE yang dkembangkan daplkaskan untuk menduga rata-rata lama sekolah untuk level kecamatan d kabupaten Sumenep berdasarkan Susenas 00. Pada bab V dkaj pendugaan area kecl (SAE) berdasarkan penarkan contoh berpeluang tdak sama. Kajan n dmaksudkan untuk mempelajar cara pemberan bobot terhadap unt percobaan maupun area yang terambl sebaga contoh. Dalam bab n dpelajar berbaga de pengembangan model SAE terkat dengan peluang penarkan contoh atau memperhtungkan peluang penarkan contoh dalam pengembangan dalam pengembangan model SAE. Perhtungan bobot penarkan contoh sesua dengan proses penarkan contoh yang daplkaskan dalam Susenas. Model SAE yang memperhtungkan peluang penarkan contoh daplkaskan untuk menduga rata-rata lama sekolah untuk level kecamatan d kabupaten Sumenep berdasarkan Susenas 00. Bab VI bers pembahasan yang megntegraskan semua hasl pengkajan pengembangan metode SAE melalu pendekatan Bayes bak untuk respon Bnomal maupun Multnomal tanpa memperhtungkan atau dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh. Selan tu pada bab n juga dbahas hasl penerapan pendugaan Indeks Penddkan d kabupaten Sumenep dan Pasuruan Bab VII adalah bab kesmpulan yang bers rangkuman semua hasl peneltan dan saran bak untuk peneltan ke depan maupun saran secara umum kepada pemerntah. 0

32 BAB II Tnjauan Pustaka.. Pendahuluan Dalam bab n dbahas berbaga metode terkat dengan metode pendugaan area kecl, dmula dengan pembahasan model dasar pendugaan area kecl melput metode pendugaan parameter dan pendugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG), bak menggunakan cara klask maupun melalu pendekatan Bayes. Kajan pustaka selanjutnya adalah tentang pengembangan pendugaan SAE yang memperhtungkan proses pengamblan contoh khususnya untuk pengamblan contoh yang berpeluang tdak sama. Karena model SAE yang dbahas dalam peneltan n daplkaskan untuk menghtung Indeks Penddkan yang merupakan salah satu komponen dar Indeks Pembangunan Manusa, sehngga pada bab n juga akan djelaskan cara dan dasar perhtungan IPM khususnya untuk Indeks Penddkan. Data yang dgunakan adalah data Susenas untuk Provns Jawa Tmur tahun 00 dan data Sensus Penduduk tahun 00 khususnya d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. Oleh karena tu juga dbahas metode penarkan contoh Susenas dan cara pembobotan untuk pendugaan parameter berbass data Susenas... Model Dasar Pendugaan Area Kecl Berbaga surve umumnya drancang untuk menduga parameter populas untuk wlayah atau area yang besar, msalnya untuk wlayah nasonal/ regonal (provns/kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya ddasarkan pada rancangan. Karena tu untuk area kecl umumnya jumlah contoh menjad kurang mencukup terutama jka ngn dgunakan pendugaan berdasarkan rancangan. Oleh karena tu beberapa penelt statstk telah mengembangkan Metode Pendugaan Area Kecl atau Small Area Estmaton (SAE) untuk pendugaan parameter d suatu area dmana jumlah contohnya berukuran kecl. Metode SAE n pertama kal dperkenalkan oleh Fay & Herot (979), merupakan pendugaan tdak langsung atau berdasarkan model (model based

33 estmaton). Oleh karena tu untuk membangun model SAE dbutuhkan nformas tambahan dar peubah yang memlk hubungan dengan peubah yang sedang damat yang dsebut sebaga peubah penyerta (auxlary varable). Peubah penyerta n dapat dukur dar surva yang lan atau dalam catatan admnstras dan dharapkan memlk korelas dengan peubah yang damat. Dengan metode SAE dharapkan adanya perbakan efsens dar pendugaan parameter dalam area kecl jka peubah penyerta terseda. Model SAE memperkenalkan model campuran yang menyertakan pengaruh area spesfk yang memperhtungkan varas antar area dluar yang dapat djelaskan oleh peubah penyerta yang ada d dalam model. Ketersedaan data dar peubah penyerta akan sangat menentukan kesuksesan dalam pembuatan model SAE. Rao (003) menyatakan bahwa penggunaan model SAE n memberkan beberapa keuntungan yatu: ) Dagnostk model dapat dgunakan untuk mendeteks kecocokan dengan data, msalkan menggunakan analss ssaan ) Pengukuran press area-spesfk dapat dasosaskan dengan setap pendugaan setap area kecl, 3) Model lner campuran sepert model regres logstk dengan pengaruh acak area spesfk tetap dapat dlakukan, demkan juga untuk struktur data yang cukup kompleks msalkan struktur data tme seres atau spasal; 4) pengembangan metode untuk model pengaruh acak dapat dmanfaatkan untuk mencapa akuras dalam area kecl.... Pendugaan Area Kecl Berbass Area Msalkan terdapat M area kecl d dalam populas, maka untuk kepentngan pendugaan area kecl hanya dambl contoh sebanyak m area. Dasumskan bahwa parameter yang dperhatkan dalam area kecl ke-, msalkan θ dapat dnyatakan sebaga sebuah fungs yang menghubungkan parameter tersebut dengan peubah pembantu yang dukur dar area kecl yatu T = (z,z,...,z p ) z. Rao (003) mengatakan bahwa model lner yang menjelaskan hubungan tersebut adalah: θ = z T β + b υ =,,...m, (.)

34 dmana b adalah konstanta postf yang dketahu dan β = ( β β,..., ) T adalah vektor koefsen regres berukuran p x. Selanjutnya υ adalah pengaruh σ υ acak area spesfk dasumskan memlk sebaran ~ (0, ) dmana : υ, Jka penduga langsung θˆ dketahu, maka θˆ dapat dnyatakan sebaga : θˆ = θ + e, untuk =,,...m, (.) p E ( e θ ) = 0, V ( e θ ) = ψ. (.3) p Rao (003) menjelaskan bahwa model SAE untuk tngkat area, terdr dar dua komponen model yatu komponen model pendugaan langsung dan pendugaan tak langsung. Kombnas model pendugaan langsung (.) dan tak langsung (.) dkenal sebaga (Generalzed Lnear Mxed Model:GLMM) sebaga berkut: T β P Model Campuran Lner Terampat/MCLT θˆ = z β + bυ + e. (.4) Model area kecl sepert yang djelaskan pada persamaan (.4) d atas dkenal sebaga model Fay-Herot, dmana keragaman peubah respon d dalam area kecl dasumskan dapat dterangkan oleh hubungan peubah respon dengan nformas tambahan yang dsebut sebaga model pengaruh tetap. Selan tu terdapat komponen keragaman spesfk area kecl yang tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan dan dsebut sebaga komponen pengaruh acak area kecl. campuran. Gabungan dar dua asums tersebut membentuk model pengaruh... Pendugaan Area Kecl Berbass Unt Pendugaan area kecl berbass unt mengasumskan bahwa data dar peubah penyerta level unt x j =(x j,...x jp ) T terseda untuk setap elemen ke j pada area ke-. Peubah yang dperhatkan adalah y j yang dasumskan memlk hubungan dengan x j melalu model: y = x β + υ + e, j=,...,n, =,...m. (.5) j T j j Pengaruh acak area υ dasumskan merupakan peubah acak yang bersfat d sedangkan ej = kje ~ j dengan k j adalah konstata dan e ~ j adalah peubah acak 3

35 yang bersfat d dan bebas terhadap υ dmana E ~ = dan ( ) 0 e m e j V ~ em ( e j ) σ e =. Serngkal υ dan e j dasumskan memlk sebaran peluang normal. Dengan mengasumskan bahwa percontohan s berukuran n dambl dar populas d area ke- berukuran N (=,...m) dan penarkan contoh dalam setap area dambl secara acak sederhana, sehngga model (.5) dapat dnyatakan dalam bentuk matrks: y y y X = X e β + υ + * e = * * * (.6) * y menyatakan unt-unt yang tdak terambl dalam percontohan. Jka Y adalah rata-rata populas d area ke-, maka Y dapat dtuls sebaga: dmana Y = f y + f / * ( f ) Y = n N dan (.7) y adalah rata-rata dar seluruh contoh d area ke- dan * Y menyatakan rata-rata elemen populas dar bagan yang tdak terambl sebaga contoh. Oleh karena tu untuk model SAE berbass unt, pendugaan * parameter area kecl Y sama dengan menduga Y jka data percontohan { y } dan { X } terseda..3. Pendugaan Parameter Model SAE.3.. Metode Predks Tak-bas Lner Terbak (PTLT) dan Predks Takbas Lner Terbak Emprk (PTLTE) Parameter d area kecl, msalkan rataan atau tolal, dapat dnyatakan sebaga kombnas lner dar efek tetap dan efek acak sepert dnyatakan pada persamaan (.) untuk model berbass area dan persamaan (.5) untuk model berbass unt. Melalu pendekatan klask, pendugaan parameter model SAE umumnya mengaplkaskan metode PTLT dengan memnmumkan Kuadrat Tengah Galat (KTG). Metode PTLT n tdak tergantung pada kenormalan dar efek acak tetap tergantung pada ragam atau koragam dar efek acak. Untuk menduga komponen ragam dan koragam umumnya dgunakan metode ML atau REML dengan mengasumskan kenormalan. Dengan cara tersebut pendugaan dlakukan melalu proses dua tahap yang dkenal sebaga PTLTE. 4

36 Msalkan data percontohan memenuh model lner campuran terampat berkut: y = Xβ + Zv + e (.8) dmana: y adalah vektor data observas berukuran n x X dan Z adalah matrks berukuran n x p dan n x h yang dketahu v dan e adalah berdstrbus salng bebas dengan rataan 0 dan ragam G dan R yang tergantung pada parameter δ = ( δ,... δ T q ), dasumskan bahwa δ adalah hmpunan bagan dar ruang Eucldean sedemkan T hngga Var( y) = V = V( δ ) = R + ZGZ adalah non sngular untuk semua δ yang terdapat dalam hmpunan bagan tersebut, dmana Var (y) adalah matrk ragam-koragam dar y. Parameter yang akan dduga merupakan kombnas lner: T µ = β + m T v (Rao 003). Penduga dar µ adalah µˆ = a T β + b untuk a dan b dketahu dan merupakan penduga tak bas jka E ( ˆ) µ = E( µ ). Selanjutnya Kuadrat Tengah Galat (KTG) ddefnskan sebaga KTG ( ˆ) µ = E( µ µ ) dan jka µ adalah penduga tak bas dar µ, maka KTG ( ˆ) µ = Var( µ µ ). Pada Rao (003), penduga PTLT µ yang memnmumkan KTG dnyatakan dalam formula: ~ H T ~ T~ T ~ T T ~ μ = t(δ(y) = β + m v = β + m GZ V (y Xβ), (.9) dmana: ~ ~ T β = β(δ) = (X V X) X T V y (.0) adalah penduga tak bas lner terbak (Best Lnear Estmator: BLUE) dar β dan ~ v ~ = v(δ) = GZ V (y Xβ). (.) T ~ Penduga PTLT tergantung pada ragam δ yang basanya tdak dketahu. Jka δ dduga dengan ˆ δ = ˆ( δ y), maka akan dperoleh Predks Tak-bas Lner Terbak Emprk (PTLTE) yang tetap merupakan penduga tak bas bag µ. Penduga δ dperoleh melalu metode ML atau REML. Untuk model berbass unt, dmana rataan area kecl ke- dnyatakan oleh ~ fungs: µ = β + υ. Untuk model percontohan X ~ T yj = jβ + υ + ej, j=,..n ; =,...,m X T dapat dtuls dalam bentuk matrks sebaga berkut: 5

37 y = X β + υ + e. (.) n Model SAE yang dnyatakan oleh (.) merupakan bentuk khusus dar persamaan (.8), dmana G = σ υ, dan R ( +σ e dag j n kj ) sehngga: V = σ e dag j γ ( aj ) aa a T. (.3) Dengan mengambl ( σ υ / σ ) /( γ ) = γ / a dmana a =, e a j j a = ( a,..., a ) n T maka penduga PTLT dar µ adalah (Rao 003): ~ H ~ T ~ T ~ µ = X β + γ ( y x β ) dmana y a dan x a adalah rataan terbobot: a a (.4) y = a y / a., x = a x / a., a j j j a j β ~ adalah penduga tak bas lner terbak bag β ~ j j T T β = ( X V X ) ( X V y ) (.5) T T e ( j j j. a j X V X = A = σ a x x γ a x x ) (.6) T = e ( j j j. a j X V y σ a x y γ a x y ). (.7) j Penduga tak bas lner terbak (.4) dapat dnyatakan sebaga rata-rata terbobot T dar penduga regres ( ) ~ T y + X x β dan penduga regres sntetk ~ β a a berkut: ~ H µ = γ y + ( X x T ~ T ~ ) β + ( γ ) X β (.9) [ ]. a a Bobot γ ( 0 γ ) mengukur ragam model ( σ ), relatf terhadap ragam total σ υ + σ e / a T a. Jka ragam model relatf kecl maka γ akan kecl dan bobotnya akan lebh besar d komponen sntetk. υ X.3.. Pendugaan Parameter Model SAE Melalu Pendekatan Bayes Melalu pendekatan Bayes, pendugaan parameter d area kecl dapat dlakukan dengan cara yatu pendugaan Bayes Emprk/BE (Emprcal Bayes: EB) dan Bayes Berhrark /BH (Herarchcal Bayes:HB). Untuk pendekatan Bayes Emprk, pendugaan ddasarkan pada sebaran posteror yang dduga dar data, sedangkan pada pendekatan Bayes berhrark parameter model yang tdak dketahu dperlakukan sebaga komponen acak yang memlk sebaran pror 6

38 tertentu. Model pendugaan area kecl menggunakan Bayes telah dkembangkan oleh beberapa penelt dantaranya Gosh dan Rao (994), You dan Rao (000). Pendekatan Bayes, bak Bayes Emprk maupun Bayes Berhrark merupakan metode yang dapat daplkaskan secara lebh umum sehngga banyak dgunakan untuk data dskrt, msalkan untuk data bner dan data cacahan. Untuk peubah respons dengan sebaran normal, model dasar area dapat dnyatakan sebaga model Bayes berhrark dua tahap yatu: nd ) ˆ θ / θ ~ N( θ, ψ ), :,,3,,m (.0) nd T υ ) θ ~ N ( z β, b σ ), :,,3,,m (.) Dmana β adalah vektor parameter regres berukuran p x. Dalam pendekatan Bayes, parameter model β dan σ υ adalah peubah acak, dan model hrark dua tahap dsebut model hrark bebas bersyarat (condtonally ndependent ˆ θ, adalah bebas d antara area herarchcal model : CIHM) karena pasangan ( ) θ, untuk β dan σ υ tertentu. Penduga optmum dar θ merupakan nla harapan bersyarat dar θ jka dberkan ˆ θ, β dmana γ dan σ υ : B T E θ ˆ ( θ, β, σ ) = ˆ θ = γ ˆ θ + ( γ ) z β (.) b σ = υ υ ( b σ + ψ ) υ. Nla harapan dar θ merupakan nla harapan dar sebaran posteror (atau bersyarat) dar θ jka dberkan ˆ θ, β dan σ υ : ˆ ˆB θ,, ~ (, ( θ β συ N θ g συ ) = γ ψ ). (.3) Penduga ˆB ˆB θ = θ ( β, σ υ ) adalah penduga Bayes dbawah squared error loss dan merupakan nla optmum dar KTG, dmana ˆ B ) ( ˆ B KTG θ = E θ θ ), selalu lebh kecl dbandngkan dengan θ Jang et al. (00) menyatakan bahwa ( dan lner atau non lner dalam θˆ. θˆ B dsebut predks terbak (Best Predcton: BP) dar penduga θ karena dperoleh dengan tanpa mengasumskan parameter model. 7

39 Penduga Bayes θˆ B tergantung pada parameter model β dan dduga dengan menggunakan metode ML atau REML dar sebaran marjnal : σ υ yang ˆ nd T θ ~ N( z β, b σ υ + ψ ).. (.4) Penduga parameter dnotaskan dengan βˆ dan σ ˆυ, sehngga dengan menggantkan βˆ untuk β dan σ ˆυ untuk (Emprcal Bayes Predcton: EBP) untuk θ adalah: σ υ, maka Penduga Bayes Emprk ˆEB ˆB θ = θ ( ) ˆ T ˆ, β ˆ σ = ˆ γ θ + ( ˆ γ ) z ˆ β. υ (.5) dengan Penduga BE, ( θ ˆ, θ ˆ, β ˆ σ υ ) EB θˆ adalah dentk dengan penduga PTLTE yang dnotaskan H θˆ juga merupakan rataan dar estmas denstas posteror, f dar ˆ. EB θ, yatu N( θ, ˆ γ ψ ).4. Peluang Penarkan Contoh Metode pengamblan contoh berbass peluang telah banyak dbahas oleh beberapa penelt. Metode pengamblan contoh berbass peluang yang banyak dbahas dan serng daplkaskan adalah metode pengamblan contoh acak sederhana (smple random samplng), metode pengamblan contoh berstrata (stratfed samplng), metode pengamblan contoh bergerombol (cluster samplng) dan metode pengamblan contoh sstematk (systematc samplng). Masngmasng metode pengamblan contoh memlk konsekuens terhadap perhtungan pendugaan parameter. Dalam rangka mendapatkan penduga yang tak berbas maka bobot peluang tersebut harus dperhtungkan dalam pendugaan parameter. Msalkan akan dduga parameter total Y = U y j atau rataan Y = Y / N, dengan menggunakan contoh s yang dambl dar populas U dengan peluang p(s), maka dengan mengasumskan semua elemen j s dapat dobservas, maka Yˆ adalah penduga berbass rancangan dar Y dan dkatakan tak bas jka: E ( Yˆ) = p( s) Yˆ Y. (.6) p s = 8

40 Ragam untuk Yˆ adalah [ ] V ( Yˆ) = E Yˆ E ( Yˆ) dan penduga untuk (Yˆ ) p yang dnotaskan dengan v ( Yˆ) s ( Yˆ p = ) dkatakan tak berbas jka E = [ S ( Yˆ)] V ( Yˆ). p = p p Untuk pengamblan contoh yang drancang dengan bobot w j, dmana w j merupakan jumlah elemen-elemen dalam populas yang drepresentaskan oleh contoh j sehngga, jka wj j π j p adalah peluang teramblnya contoh ke j maka = / π. Bobot w j tergantung pada s dan elemen j (j s), sehngga V p π j = { s, j s} p( s), j=,,...,n dan {s: j s} menyatakan jumlah dar semua contoh s yang memuat elemen j. Oleh karena tu penduga Y dapat dtuls sebaga: Yˆ = s w y (.7) j j dmana Σ s menyatakan jumlah j s. Besarnya bobot w j dtentukan oleh metode penarkan contoh yang dterapkan. Msalkan untuk pengamblan contoh acak sederhana setap unt percobaan memlk bobot yang sama untuk terambl sebaga contoh yatu /N dmana N adalah jumlah unt percobaan dalam populas yang dtelt. Sedangkan metode penarkan contoh berbass peluang yang lan akan memlk bobot yang berbeda tergantung kepada metode penarkan contoh yang dgunakan. Pada Cochran (977) dan Shao J (999) telah dbahas cara perhtungan bobot untuk masng-masng metode penarkan contoh. Metode pendugaan parameter secara langsung dengan memperhtungankan bobot percontohan dkenal sebaga Horvtz-Thompson Estmator untuk berbaga cara penarkan contoh (Shao 999). Jka w adalah adalah bobot untuk contoh ke-, maka untuk berbaga metode penarkan contoh perhtungan bobot w sebaga berkut:. Penarkan Contoh Acak Sederhana (PCAS) w = n / N.. Penarkan Contoh Berstrata (PCB) Jka dalam stratum h, maka : w = nh / Nh. 3. Penarkan Contoh Gerombol (PCG) 9

41 Msalkan dmana M y P adalah sebuah kelompok (cluster) dan y = y,... y adalah ukuran dar cluster ke-, =,...N. Jumlah unt dalam P N adalah N = M N =. Penarkan Contoh Gerombol Satu Tahap Penarkan contoh dlakukan dengan cara memlh y dengan mengobservas semua y j. Oleh karena tu jka dgunakan cara PCAS dengan w =k/n maka total contoh adalah n = k N = ˆ M Ys = k dan N y j S j= = M k Y S (.8) dmana ragam penduganya adalah: ˆ N k M Var( Ys ) = Y k( M ) M = Y M (.9) S adalah penarkan contoh tahap pertama. Jka pemlhan contoh proposonal terhadap ukuran populas (propotonal to sze: pps) maka w =kn /N. Sehngga Horvtz-Thompson estmator: Yˆ pps = N k N y N j S j= = N k S Y. N (.30) Penarkan contoh bergerombol dua tahap Untuk pemlhan secara acak sederhana (PCAS) pada tahap pertama dan pada tahap kedua dplh m contoh dar setap cluster y, w = km /( MN ) maka penduga Horvtz-Thompson adalah Yˆ s = M k S N n j S y j (.3) dmana S menyatakan perontohan gerombol pada tahap ke dua. Untuk pemlhan secara pps pada tahap pertama dan n adalah contoh dar y yang dplh pada tahap ke dua, maka: ˆ N (.3) Ypps = yj. k n S j S 0

42 4. Penarkan contoh Sstematk P={y,...y N } adalah populas dengan ukuran N=nk. Untuk memlh contoh berukuran n maka pada pemlhan pertahap dambl contoh j secara acak dar {,...k} sehngga contoh yang terambl adalah: { y j, y j+k,,..,y j+(n-)k ), maka w =k -. Penduga Horvtz-Thompson adalah dmana Yˆ = n sy k y j + ( t) k t= E( Yˆ sy ) = Y. (.33).5. Model SAE dengan Memperhtungkan Peluang Penarkan Contoh. Pfefferman et al (998) memperhtungkan peluang penarkan contoh dalam pengembangan model SAE berdasarkan penarkan contoh dua tahap. Ddefnskan peubah ndkator I dan I j dmana I = jka area ke terambl sebaga contoh dan I j = jka unt ke j dambl sebaga contoh dar area ke yang sudah terambl sebaga contoh atau s. Dengan membag U ke dalam M area dengan N adalah banyaknya unt d area ke-, sehngga M = N = N, maka penarkan contoh dua tahap pada polulas U tersebut adalah sebaga berkut: ) Tahap pertama memlh m area dengan peluang π = P( s). ) Tahap ke dua dambl n unt dengan peluang π = P( j s ) j / s dar area yang telah terambl sebaga contoh pada tahap pertama, maka bobot penarkan contoh tahap satu adalah = / π dan untuk w tahap ke dua adalah w j / / π j / =. Pada tahap pertama, fungs kepadatan peluang (probablty densty functon: pdf) untuk pengaruh u dbedakan atas area yang terambl dan tdak terambl sebaga contoh: Pada area yang terambl sebaga contoh ( s ): s def f ( u ) = f ( u I bayes = ) = P( I = u ) f P( I = ) p ( u ) Pada area yang tdak terambl sebaga contoh ( s ) : (.34) def bayes P( I = 0 u) f p( u) f c( u) = f ( u I = 0) = (.35) P( I = 0)

43 Pada tahap ke dua, fungs kepadatan peluang percontohan (sample pdf) dan fungs kepadatan peluang komplemen percontohan (sample-complement pdf) dar y j ), ( ), ( ),, ( ),, ( ), ( j j j j p j j j j j j def j j s u y I P u x y f u x y I P I u x y f u x y f = = = = = ddefnskan serupa dengan (.34) dan (.35), yatu : Untuk unt yang terambl sebaga contoh adalah (.36) Untuk unt yang tdak terambl sebaga contoh ), 0 ( ), ( ),, ( 0),, ( ), ( j j j j p j j j j j j def j j c u y I P u x y f u x y I P I u x y f u x y f = = = = = (.37) Jka ), ( υ υ dukur pada elemen-elemen U dan ), ( w π menyatakan peluang contoh (sample ncluson probabltes) dan bobot percontohan (samplng weght), dengan mendefnskan Ep adalah nla harapan dbawah populas, Es adalah nla harapan dbawah percontohan dan Ec adalah nla harapan dbawah komplemen contoh, maka fungs kepadatan peluang dar ), ( υ υ adalah: Untuk area yang terambl sebaga contoh: ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( p p p s E f E s f f υ π υ υ υ υ π υ υ υ υ = = (.38) sehngga: ) ( ) ( ) ( s s p w E w E E υ υ υ υ υ = (.39) dmana: ) ( ) ( s p w E E υ υ π = (.40) Untuk area yang tdak terambl sebaga contoh adalah: ] [( ) ( ], ) [( ] [( ) ( ], ) [( ), ( ) ( s s s p p p c w E f w E E f E s f f υ υ υ υ υ υ π υ υ υ υ π υ υ υ υ = = = (.4)

44 Oleh karena tu nla harapan dar komplemen contoh adalah: E ( υ υ ) = c E [( π ) υ υ ] Es[( w ) υ, υ ] = E [( w υ ] s p p E [( π υ ) (.4).6. Indeks Pembangunan Manusa (IPM) Indeks Pembangunan Manusa (IPM) / Human Development Index (HDI) adalah pengukuran perbandngan dar tngkat penddkan, kesehatan dan standar hdup layak untuk semua negara seluruh duna. IPM dgunakan untuk mengklasfkaskan apakah sebuah wlayah/negara adalah wlayah/negara maju, berkembang atau terbelakang dan juga untuk mengukur pengaruh dar kebjaksanaan ekonom terhadap kualtas hdup. Indeks n pada tahun 990 dkembangkan oleh pemenang nobel Inda Amartya Sen dan Mahbub ul Haq seorang ekonom Pakstan dbantu oleh Gustav Rans dar Yale Unversty dan Lord Meghnad Desa dar London School of Economcs dan sejak tu dpaka oleh Program pembangunan PBB dan dpublkaskan dalam laporan IPM tahunan. Komponen pembentuk IPM yatu komponen kesehatan, penddkan dan standar hdup layak, masng masng dukur dengan Indeks Kesehatan, Indeks Penddkan dan Indeks Standar Hdup Layak. Indeks Kesehatan dhtung berdasarkan jumlah anak lahr hdup dar wanta usa 5 49 tahun (Chldren even born: CEB) dan jumlah anak mash hdup dar wanta usa 5 49 tahun (chldren survvng : CS). Indeks Penddkan dukur berdasarkan angka melek huruf dan rata rata lama sekolah penduduk usa 0 tahun ke atas, sedangkan Indeks Standar Hdup Layak dukur dengan rata-rata pengeluaran konsums rl per kapta pertahun D Indonesa, pengukuran IPM dlakukan oleh Badan Pusat Statstk (BPS). Perhtungan dan publkas IPM dlakukan oleh BPS tap tahun untuk tngkat propns (yang membandngkan tngkat keberhaslan pembangunan antar propns), dan tngkat kabupaten/kota (membandngkan IPM antar kabupaten/kota). 3

45 .6.. Cara Perhtungan IPM Data dasar yang dgunakan dalam pendugaan IPM pada umumnya adalah data hasl surve Susenas yang dselenggarakan oleh BPS tap tahun. BPS dan UNFPA (998) menjelaskan tentang cara penghtungan IPM dmana komponen yang akan dhtung berdasarkan data survey adalah Indeks Kesehatan (yang dduga berdasarkan angka harapan hdup dan angka kematan bay), Indeks Penddkan (yang dduga dar rata-rata lama sekolah dan angka melek huruf) serta Daya Bel (raso antara penghaslan dan harga d wlayah tertentu) sepert yang dtunjukkan oleh Tabel.. Tabel.. Peubah dan sumber data dar masng-masng komponen IPM Komponen IPM Peubah Sumber data Penddkan/pengetahuan*) Angka melek huruf Susenas (BPS) Rata-rata lama sekolah Kesehatan Jumlah anak lahr hdup dar Susenas (BPS wanta usa 5-49 tahun Profl Kesehatan (Chldren Even Born: CEB) (Kemenkes) Jumlah anak mash hdup dar wanta berusa 5-49 tahun (Chldren Survvng: CS) Standar hdup layak Pengeluaran konsums rl per kapta per tahun Susenas (BPS) *) Berdasarkan UNDP patokan usa penduduk 5 tahun ke atas, namun BPS menggunakan patokan usa d atas 0 tahun Keterangan: a. Indeks Penddkan dukur dengan dua ndkator yatu Angka Melek Huruf /AMH (lteracy rate) dan Rata-rata Lama Sekolah/RLS (Mean Years of Schoolng: MYS). Angka melek huruf dolah dar peubah kemampuan membaca dan menuls, sedangkan rata-rata lama sekolah dhtung menggunakan tga varabel secara smultan yatu partspas sekolah, tngkat/kelas yang sedang/ pernah djalan, dan jenjang penddkan tertngg yang dtamatkan b. Indeks Kesehatan dhtung berdasarkan jumlah anak lahr hdup dar wanta usa 5 49 tahun (Chldren even born: CEB) dan jumlah anak mash hdup dar wanta usa 5 49 tahun (chldren survvng: CS).Usa Hdup yang dukur dengan angka harapan hdup waktu lahr (e 0 ). Metode 4

46 n menggunakan dua macam data dasar yatu rata-rata anak yang dlahrkan hdup (lve - brths) dan rata-rata anak yang mash hdup (stll lvng) per wanta usa 5 49 tahun menurut kelompok umur lma tahunan. c. Indeks Kesejahteraan (Standar Hdup Layak) dukur dengan rata-rata pengeluaran konsums rl per kapta pertahun. Standar Hdup Layak, serngkal dhtung dengan menggunakan rata-rata pengeluaran per kapta rl yang dsesuakan (adjusted real per capta expendture). Perhtungan ndeks masng-masng komponen IPM dhtung dengan formula sebaga berkut : Indeks (X ) : = (X X mn )/(X max X mn ) (.43) dmana : X : Indkator komponen pembangunan manusa ke ( =,,3). X mn : Nla mnmum X (lhat Tabel.) X max : Nla maksmum X (lhat Tabel.) Nla mnmal Indeks (X) adalah 0 dan maksmum, namun untuk mempermudah cara membaca skala dnyatakan dalam 00 (persamaan.43) dkalkan 00, sehngga 0 < Indeks (X ) <00). Angka IPM adalah dhtung dengan rumus rata-rata sederhana dar masng-masng Indeks X yatu : [ X () + X () (3)] IPM = / 3 + X (.44) dmana : X() : Indeks Kesehatan. X() : Indeks Penddkan = /3 (Indeks Melek Huruf) + /3 ( Indeks rata-rata lama sekolah). X(3) : Indeks standar hdup layak (serng dukur dengan konsums per kapta yang dsesuakan. Tabel. Nla Maksmum dan Nla Mnmum Indkator Komponen IPM Indkator Nla Maksmum Nla mnmum Catatan Angka Harapan Hdup 85 5 Standar UNDP Angka Melek Huruf 00 0 Standar UNDP Rata-rata lama sekolah 5 0 Konsums per kapta yang dsesuakan (a) (996) (b) (999) UNDP menggunakan GNP per capta rl yang dsesuakan 5

47 Keterangan a) Proyeks konsums per kapta yang dsesuakan untuk Jakarta tahun 08 setelah dsesuakan dengan rumus Atknson. Proyeks n berdasarkan asums pertumbuhan konsums per kapta 6,5 % selama perode b) Setara dengan dua kal gars kemsknan Propns Sulawes Selatan daerah pedesaan tahun 990. Untuk tahun 999 nla mnmum yang dsesuakan adalah (penyesuaan adanya krss ekonom)..6.. Indkator Penddkan/ Pengetahuan Indkator penddkan dhtung berdasarkan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah. Angka melek huruf dduga berdasarkan propors jumlah penduduk umur 0 tahun keatas yang mampu membaca dan menuls bak untuk huruf latn maupun huruf lannya. Sedangkan rata-rata lama sekolah dhtung berdasarkan data yang ddapat dar pertanyaan tentang jenjang dan jens penddkan tertngg yang pernah dduduk. Konvers tahun untuk tngkat penddkan yang dtamatkan dapat dlhat pada Tabel.3. Rumus yang dgunakan untuk menghtung Ratarata Lama Sekolah (RLS) adalah: dmana : f = jumlah penduduk menurut jenjang penddkan w fw RLS = f = penmbang setap jenjang penddkan. (.45) Tabel.3. Konvers tahun untuk tngkat/kelas penddkan yang dtamatkan No Tngkat penddkan Konvers Tdak pernah sekolah 0 SD 6 3 SLTP 9 4 SLTA 5 D 3 6 D 4 7 D3/akadem 5 8 D4/Sarjana 6 9 S /Master 8 0 S3/Doktor Sumber : UNDP dan BPS (00) Catatan : Bla seseorang drops out kelas dua SLTA, maka konvers tahun lama penddkannya adalah = 9 + = 0 tahun 6

48 .7. Surve Sosal Ekonom Nasonal (Susenas) Susenas adalah surva yang dselenggarakan BPS tap tahun, dtujukan untuk memontor perubahan tngkat kesejahteraan masyarakat Indonesa. Jumlah contoh dalam Susenas 00 mencakup sektar rumahtangga d 497 kabupaten/kota seluruh Indonesa, sehngga estmas bsa dlakukan sampa dengan tngkat kabupaten/kota (BPS 00). D Jawa Tmur, Susenas dlaksanakan dengan mengambl jumlah contoh sektar responden untuk 38 Kabupaten/kota atau 639 kecamatan..7.. Kerangka Percontohan dan Metode Penarkan Contoh Kerangka percontohan untuk Susenas tahun 00 berdasarkan lstng rumahtangga hasl lstng Sensus Penduduk (SP) tahun 00. Penarkan contoh dalam surva Susenas menggunakan rancangan percontohan dua tahap untuk daerah perkotaan dan tga tahap untuk daerah pedesaan (BPS 00). Kerangka percontohan pemlhan tahap pertama adalah master sampel blok sensus (BS) basa konds 5 Me 00. Master BS tersebut dserta dengan nformas banyaknya rumah tangga hasl lstng SP00, muatan blok sensus domnan (pemukman basa, pemukman mewah, pemukman kumuh), nformas daerah sult/tdak sult, dan klasfkas desa/kelurahan (rural/urban). Kerangka percontohan pemlhan tahap kedua adalah daftar rumah tangga basa hasl lstng SP00 dalam blok sensus. Metode penarkan contoh yang dgunakan yatu penarkan contoh dua tahap berstrata. Tahapan dar metode n durakan sebaga berkut: Tahap pertama, memlh blok sensus dar secara pps (Probablty Proportonal to Sze) dengan sze banyaknya rumah tangga hasl lstng SP00 (M ). Tahap kedua, dar setap blok sensus terplh dplh sejumlah rumah tangga basa (n=6) secara sstematk berdasarkan hasl lstng SP00. Jumlah contoh blok sensus untuk penduga kabupaten/kota merupakan jumlah contoh mnmum untuk pendugaan d tngkat kabupaten/kota. Contoh blok sensus dbedakan atas daerah perkotaan dan perdesaan yang ddentfkas berdasarkan daerah sult atau tdak sult. Alokas jumlah contoh menurut daerah perkotaan dan perdesaan d setap kabupaten/kota dlakukan secara 7

49 proporsonal terhadap propors akar jumlah rumah tangga dalam RBL dengan akar baya per unt. dengan: m N h c h h = H N h h= c h m h N h c h m n : Jumlah contoh blok sensus dalam strata h : Jumlah rumah tangga basa dalam strata h : Baya per unt dalam strata h : Jumlah target contoh. (.46) Kerangka contoh yang dgunakan untuk pemlhan rumah tangga adalah daftar rumah tangga basa hasl lstng SP00. Pemlhan contoh rumah tangga secara sstematk samplng dengan ukuran sampel rumah tangga yang harus dplh d setap blok sensus adalah 6 rumah tangga. Nomor urut rumah tangga yang terplh sebaga contoh sudah dtetapkan dar BPS-RI..7..Penentuan Bobot Bobot penarkan contoh dperhtungkan dalam rangka mendapatkan pendugaan tak bas untuk parameter d tap Kabupaten/Kota. Msalkan pada suatu kabupaten/kota target contoh blok sensus pada strata ke-h adalah n h yang dplh secara pps dengan sze banyaknya rumah tangga hasl lstng SP M h 00 ( ), maka peluang contoh blok sensus ke- terplh sebaga contoh menurut BPS (00) adalah P h = h M h N N h = N N h oh, (.47) sehngga fraks penarkan contoh tahap pertamanya adalah f h = m h N N h M h h mh N = N oh h. (.48) Bla pada setap blok sensus dtark sejumlah rumah tangga (fxed sze: m) dengan equal probablty, peluang bersyarat terplhnya rumah tangga ke-j blok 8

50 sensus ke- dalam strata h, dan dketahu dar blok sensus ke- Phj =, maka fraks penarkan contoh tahap kedua adalah: N h karena tu overall samplng fracton adalah: f mh N h n mh n = f h f hj = = f konstan. (.49) N N N hj = oh h oh h adalah: n f hj =. Oleh N Overall samplng fracton f konstan untuk setap blok sensus terplh, maka rancangan penarkan sampel tersebut dnamakan self-weghtng desgn. Dengan demkan desgn weght dapat drumuskan sebaga berkut: dmana: W hj Noh = m n h W hj : bobot rumah tangga ke-j, blok sensus ke- dalam strata h N oh : banyaknya populas rumah tangga basa hasl lstng SP00 m h n dalam strata h : banyaknya contoh blok sensus dalam strata h : banyaknya contoh rumah tangga d blok sensus ke-. 9

51 BAB III Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecl Berbass Peubah Respon Bnomal 3.. Pendahuluan Peubah respon y j merupakan peubah respon bner yang dukur pada area ke- dmana y j bernla atau 0. Sebaga contoh y j adalah peubah yang mengukur kemampuan baca tuls, maka y j = jka ndvdu tertentu d area ke bsa baca dan tuls dan y j =0 jka tdak bsa baca tuls. Jka peubah y j dasumskan memlk sebaran Bernoull dengan parameter p, maka fungs massa peluang dar y j adalah: j f ( yj p ) = p ( p ) y (3.) nd atau dtuls y j p ~ Bernoull( p ), untuk j=,,...n ; =,,...,m. Selanjutnya ddefnskan y = y, adalah jumlah kejadan yang menjad perhatan d area j j ke-, maka y memlk sebaran Bnomal dengan fungs peluang: n y f ( y p ) = p p y ( ) n y (3.) nd atau dtuls: y p ~ Bnomal ( n, p ). Dalam contoh kasus peneltan n, y adalah jumlah ndvdu d area ke- yang bsa membaca dan menuls. Parameter area kecl yang ngn dduga adalah propors area kecl, = Y = y j j N, dmana = j p / y y merupakan statstk mnmum cukup dar p. Jka penarkan contoh dlakukan dengan metode acak sederhana, maka penduga propors d area ke- yatu pˆ, dturunkan melalu metode pendugaan j peluang maksmum (ML), yatu p ˆ = y / n = y / n. Penduga ML n j j merupakan pendugaan langsung melalu pendekatan klask. Melalu pendekatan Bayes, pendugaan parameter p dapat dlakukan secara langsung yatu dengan tdak memanfaatkan nformas tambahan dar 30

52 peubah penyerta dan pendugaan tdak langsung yatu menggunakan model dengan memanfaatkan nformas dar peubah penyerta. Pendugaan langsung melalu pendekatan Bayes adalah menganggap parameter p merupakan peubah yang memlk dstrbus tertentu. Dalam pendugaan Bayes terdapat dua jens nformas yatu nformas pror dperoleh dar sebaran pror dan nformas dar hasl surva. Untuk peubah bnomal, sebaran pror yang dgunakan adalah sebaran beta atau logt normal. Untuk pendugaan berbass model, dgunakan transformas fungs logt terhadap pj atau logt (p j ). Beberapa penelt yang telah mengembangkan model pendugaan area kecl untuk data bner melalu pendekatan Bayes adalah Malec et al. (997) mengembangkan Model SAE untuk data bner yang daplkaskan pada data surve d bdang kesehatan berbass kombnas area dan unt. Pendugaan parameter yang dlakukan oleh Malec et al. (997) adalah metode Bayes berhrark yang dbandngkan dengan metode standar dan metode Bayes Emprk. Clarke et al. (006) mengembangkan metode SAE berdasarkan data bner untuk menduga angka pengangguran d area kecl. Pendugaan angka pengangguran ddasarkan pada data pengangguran dar Labour Force Survey (LFS) dan data admnstratf. Peubah penyerta yang dgunakan adalah usa yang dbag ke dalam 3 kelompok (6-4 tahun, 5-49 tahun dan lebh dar 50 tahun), dan jens kelamn. Pendugaan parameter model dperoleh dengan menggunakan pendugaan Kemungknan Quas Berpenalt (KQB) atau Penalzed Quas Lkelhood (PQL) untuk pendugaan β dan µ dan menggunakan Kemungknan Maksmum Berkendala (KMB) atau Restrcted Maxmum Lkelhood (REML) untuk menduga σ. Untuk membuktkan konsstens penduga parameter β dlakukan dengan cara meregreskan nla β berdasarkan dua data yatu dar pemerntah lokal dan dar parlemen, membandngkan CV (Coeffcent of Varaton) keduanya, dan membandngkan standard error masng-masng dengan standard error dar pendugaan langsung. Dperoleh hasl bahwa metode yang dgunakan memlk konsstens terhadap penduga dan memberkan nla SE lebh bak dbandngkan dengan pendugaan langsung Chandra et al. (009) mengembangkan pendugaan area kecl untuk propors dalam surva bsns. Metode pendugaan parameter yang mereka kembangkan adalah Emprcal Best Predctor (EBP) dbawah model lner campuran terampat dan Model-Based Drect Estmator (MBDE). Selanjutnya 3

53 Boostra et al. (0) mengembangkan pendugaan area kecl untuk status tenaga kerja d Australa. Model yang dgunakan adalah model berbass unt, yang merupakan model lner campuran dengan pengaruh area (dalam hal n area adalah kota). Metode pendugaan parameter model menggunakan Kemungknan Maksmum (KM). Untuk memlh kovarat dalam model dlakukan dagnostk secara grafs. Dperoleh bahwa model SAE menghaslkan KTG lebh kecl dar metode pendugaan yang lan. 3.. Metode Pendugaan Langsung Melalu Pendekatan Bayes. Melalu pendekatan Bayes Rao (003) menyatakan bahwa, metode pendugaan langsung untuk parameter p dapat dlakukan melalu dua alternatf cara yatu: ) dengan mengasumskan bahwa parameter p merupakan peubah yang memlk sebaran beta dengan parameter α dan β dan ) dengan [ p /( p )] menggunakan fungs logt logt( p ) = log atau probt Φ ( ) yang dasumskan memlk sebaran normal. Untuk alternatf, sebaran beta untuk parameter parameter p merupakan sebaran pror, sedangkan untuk alternatf, sebaran prornya adalah menggunakan sebaran normal. p 3... Pendugaan Bayes Menggunakan Sebaran Pror Beta Untuk alternatf, dmana pendugaan Bayes dturunkan dengan menggunakan sebaran pror Beta, maka parameter p danggap sebaga sebuah peubah acak yang memlk sebaran peluang Beta atau dtuls p d ~ Beta( α, β ); α > 0, β > 0. Beta (α,β) menyatakan sebaran Beta dengan parameter α dan β dengan bentuk fungs peluang: Γ( α + β ) α β f ( p α, β ) = p ( p ) ; α > 0, β > 0. (3.3) Γ( α) Γ( β ) Pendugaan Bayes untuk parameter p dperoleh dengan mencar nla ekspektas dar sebaran posteror untuk p yatu dengan mencar sebaran marjnal dar sebaran bersama dar (y, p ), yatu: n y Γ( α + β ) n y α β f ( y, p ) = p ( p ) x p ( p ). (3.4) y Γ( α) Γ( β ) 3

54 Dar persamaan (3.4) maka dperoleh sebaran posteror p yang merupakan sebaran bersayarat dar p jka y dketahu yatu: f ( p / y, α, β ) = Sebaran posteror p dan ( n y + β ), atau dtuls: nd f ( y, p / α, β ). f ( y ) (3.5) merupakan sebebaran Beta dengan parameter ( + α ) p y, α, β ~ beta( y α, n y + β ). (3.6) + Penduga Bayes dar p dan varans posterornya dberkan oleh: dan B y + α p ˆ ( α, β ) = E( p y, α, β ) = n + α + β y (3.7) ( y + α)( n y + β ) V ( p y, α, β ) =. (3.8) ( n + α + β + )( n + α + β ) Penduga Bayes Emprk untuk p dperoleh dengan menggantkan α dan β dengan penduganya yatu αˆ dan βˆ yang dapat dperoleh dengan dua cara yatu dengan menggunakan metode momen atau dengan memaksmumkan fungs kemungknan dar sebaran posteror atau dsebut sebaga metode KM (Kemungknan Maksmum), akan dperoleh nla αˆ KM dan βˆ KM. Dengan menggunakan metode penduga momen, maka dugaan untuk α dan β dperoleh dengan menyelesakan persamaan berkut: dmana ˆ α ˆ = ˆ α + ˆ β p dan s ˆ α ˆ nt s = ˆ β + pˆ( pˆ) pˆ( pˆ)( m ) p [ n n / n ( m ) ] + T T ˆ) p = ( n / n )( p p T, n T = n. Sedangkan menggunakan metode peluang maksmum, (3.9) αˆ ML dan βˆ ML dperoleh dengan memaksmumkan fungs lkelhood l(α,β) dar sebaran betabnomal nd y α, β ~ Beta Bnomal : n l( α, β ) = n Γ( α + y ) Γ( β + n y ) Γ( α + β ) x y Γ( α + β + n ) Γ( α) Γ( ) = β (3.0) dmana fungs sebarannya berbentuk: 33

55 n Γ( α + y ) Γ( β + n y ) Γ( α + β ) f ( y α, β ) = x. (3.) y Γ( α + β + n ) Γ( α) Γ( β ) Rao (003) menyatakan bahwa Fungs (3.) d atas dapat dsederhanakan menjad: m y n y n l( α, β ) = c + log( α + h) + log( β + h) log( α + β + h) (3.) = h= 0 h= 0 h= 0 y dmana log( α + h) akan sama dengan nol; jka y =0 dan log( β + h) sama h= 0 n y dengan nol jka y =n. E( ) = µ = α /( α + β ) dan τ = /( α + β ), y j ρ = Corr ( y j, y ) = /( α + β + ) untuk j k. Dengan menggunakan µ dan τ k maka bentuk fungs lkelhoodnya menjad: m y n y n l( µ, τ ) = const + log( µ + hτ ) + log( µ + hτ ) log( + hτ ). = h= 0 h= 0 h= 0 Selanjutnya penduga ML dapat dperoleh dengan metode Newton-Raphson atau metode teratf yang lan karena bentuk tertutup (closed form) untuk dan βˆ ML tdak ada. h= 0 αˆ ML Dengan menggantkan α dan β dengan αˆ dan βˆ ke dalam persamaan (3.7) dan (3.8) dperoleh penduga Bayes Emprk dar p yatu: pˆ EB = pˆ B dmana ˆ γ /( n + ˆ α + ˆ β ) ( ˆ, α ˆ) β = ˆ γ pˆ + ( ˆ γ ) pˆ n. = (3.3) Penduga Bayes Emprk dar parameter p EB ( pˆ ) adalah rata-rata terbobot dar penduga langsung pˆ. Jka n membesar maka bobot yang dberkan kepada pˆ akan lebh besar. Persamaan penduga tersebut d atas serupa dengan penduga Fay-Herot untuk model berbass area. Penduga EB pˆ mendekat tdak bas untuk p nol. EB jka m besar karena E( pˆ -p ) akan mendekat 34

56 Pendugaan KTG dapat dcar melalu metode Jackknfe, yang EB menghaslkan penduga KTG ( ˆ ) yang mendekat tak bas. Penduga Jackknfe p EB EB dar KTG ( ˆ ) yatu ktg( ˆ ) dperoleh dengan cara menghtung : dmana p p [ g ( ˆ α, ˆ β, y g ( ˆ, α ˆ, β y ] m m Mˆ = g ( ˆ, α ˆ, β y ) l l ) m l= EB EB ( ) p p (3.4) ˆ m m M =, l ˆ (3.5) m l= EB p ˆ = k EB pˆ, g ( y, ˆ, µ ˆ) σ l = k ( y, ˆ µ l, ˆ σ l ) ( ˆ, µ ˆ, σ y ) = V ( p ( y y, α, β ) = ( ˆ α + n + ˆ)( α n y + ˆ) β + ˆ β + )( ˆ α + n + ˆ) β dan g ( ˆ µ, ˆ σ, y ) dperoleh dengan menggantkan µ dan σˆ dengan l l µˆ l dan l σˆ (dperoleh dengan menghlangkan area ke-l) Penduga ML dperoleh dar {( y, n ), m} ˆ EB ktg ( p ) = M + M ˆ ˆ,..., (3.6) 3... Pendekatan Bayes Menggunakan Sebaran Pror Logt-Normal. Transformas fungs logt p log t( p ) = log[ p /( p )] memlk sebaran normal N ( µ, σ ), dtuls: d [ p /( p )] ~ N( µ, σ ). yatu dasumskan logt( p ) = log (3.7) Dengan mendefnskan z = normal standar N (0,) atau dtuls z = [logt( p ) µ ]/ σ ~ N(0,) [logt( p ) µ ]/ σ, maka z akan memlk sebaran maka p dapat dnyatakan sebaga fungs µ dan σ sebaga berkut: p = u( µ + σz e + σz ) = + e µ µ + σz. (3.8) B Penduga Bayes untuk p adalah p ˆ (, σ ) = E( p y, µ, σ ) µ yang dperoleh dar nla ekspektas p dar sebaran posteror p jka y, µ dan σ dketahu. 35

57 lmplementas dar penduga Bayes Emprk lebh kompleks untuk model logt normal karena tdak ada bentuk analtk untuk penduga Bayes dan varans posteror dar p. Untuk model logt-normal, Rao (003) mengatakan bahwa penduga Bayes dar p dapat dnyatakan sebaga raso dar ntegral berdmens satu atas dmana pˆ h B ( z ~ N(0,) sebaga berkut: E ( µ, σ ) = E( p / y, µ, σ ) = y,( µ + σz)) = ( µ + σz) y [ h ( µ + σz)exp{ h ( y, µ + σz) }] E[ exp{ h ( y, µ + σz) }] n log( + e µ + σz ). (3.9) Ragam posterornya adalah V ( p, µ, σ ) y, yang dapat danggap merupakan fungs dar ( µ,σ, y ) atau dtuls sebaga V ( p y, µ, σ ) = g ( µ, σ, y ) : V ( p B [ pˆ ( µ, σ ]. y, µ, σ ) = E( p y, µ, σ ) (3.0) Pendugaan terhadap µ dan σ dperoleh dengan memaksmumkan fungs Log lkelhood, l(µ,σ), untuk model logt-normal yatu: l( µ, σ ) = const + log m = [ E[ exp{ h ( y, µ + σz) }]]. (3.) Selanjutnya dengan menggunakan pendugaan ML dperoleh penduga EB EB B dar p, p ˆ = pˆ ( ˆ, µ ˆ σ ) dengan menggantkan µˆ dan σˆ. Pendugaan KTG EB Perhtungan mse ( ˆ ) menggunakan penduga ML cukup rumt, J p sebalknya menggunakan metode momen sepert yang dlakukan oleh Jang (998) lebh mudah dlakukan, yatu dengan menyamakan: y = n pˆ = n E[ h ( µ + σz)] T T [ ( µ + σz) ] ( y y ) n ( n ) = E h. Perhtungan E( p ) = E[ h ( µ + σz)] dan E( p ) = E[ h ( µ + σz)] dlakukan dengan menggunakan ntegras Monte Carlo. EB EB Penduga Jackknfe dar MSE ( ˆ ) yatu mse( ˆ ) dperoleh dengan p EB EB menggantkan p ˆ = k ( y, ˆ, µ ˆ σ ) dan pˆ, (, ˆ l, ˆ l = k y µ σ l ) dalam persamaan (3.4) dan (3.5). p 36

58 3.3. Metode Pendugaan Tak Langsung Melalu Pendekatan Bayes. Sesua dengan prosedur yang dlakukan oleh Malec et al. (997), dasumskan bahwa tap ndvdu dalam populas dapat dmasukkan ke dalam kelompok yang salng terpsah (mutually exclucve and exhoustve) berdasarkan pada status sosal-ekonom atau status demograf tertentu. Msalkan Y j merupakan peubah acak bner untuk ndvdu ke-j dalam area dmana =,...I; j=,...,n maka Y j merupakan peubah acak bebas Bernoull dengan (Y j = p j )=p j. Model yang menghubungkan parameter dengan kovaratnya adalah model regres logstk dengan efek acak area sebaga berkut: logt( p j ) = x j β + υ T, d υ ~ N(0, σ υ ). (3.) Model d atas dsebut sebaga model lner logstk campuran yang merupakan anggota dar model lner campuran terampat. Peubah tak bebasnya adalah logt (p j ) dan peubah bebas adalah X. Selanjutnya x j adalah vektor kovarat tetap dan dasumskan tdak tergantung pada. Untuk kasus pendugaan propors penduduk yang bsa baca tuls, maka dugaan propors penduduk yang bsa baca tuls p adalah jumlahan dar jumlah penduduk dalam percontohan yang bsa baca tuls dbag dengan jumlah percontohan d area ke- dan penduga p dar ndvdu yang tdak bsa baca tuls yang tdak terambl sebag contoh. Secara matemats dtuls sebaga berkut: p = f y + * ( f ) y (3.3) dmana: {( y, x ), j s ; = m} j j,..., s adalah percontohan berukuran n dar area ke- dan s adalah untunt yang tdak dambl contohnya. f = n /N, y adalah rata-rata contoh (propors) y * = y l s' l /( N n ) adalah rata-rata dar unt-unt yang tdak dambl contohnya dalam area. Penduga Bayes dar B ˆ ( c) * y dberkan oleh: ( p y, ) p ( c) = E β,σ υ = l s pl /( N n ) 37

59 38 dmana: y adalah dar contoh dalam area ke. ),,, ( υ σ β l l l y p y E p = untuk s l. Penduga Bayes dar * y adalah ( ) β,σ υ, ˆ ) ( ) ( c B c y p E p =, sehngga penduga Bayes dar p. ˆ ) ( ), ( ˆ ˆ ) ( B c B B p f y f p p + = = υ σ β dapat dnyatakan sebaga: (3.4) Sehngga: = = s j j T j l s j j T j l l l B c z y y x h E z y y x h p E y p E p β σ β σ σ β υ,,, exp,,, exp (,, ˆ ) ( (3.5) dmana ( ) [ ].. exp log ) (,, = s j T j s j j T j s j j T j z x y z y x z y x h σ β σ β β σ (3.6) Rao (003) mengatakan bahwa pendugaan parameter model β dan υ σ dapat dlakukan melalu berbaga cara, dantaranya algortma EM, MCMC sepert yang dsarankan oleh Mc Coullagh dan Searle (00) dan KQB. Selan tu untuk mendapatkan dugaan β dan υ σ juga dapat dgunakan metode momen. Dengan menggunakan KM ataupun metode momen maka akan dperoleh βˆ dan υ σˆ sehngga dapat dperoleh BE untuk p ) ˆ ˆ, ( ˆ υ σ β B EB p p = (propors d area ke ) yatu. Jka f B pˆ (samplng fracton) dapat dabakan, maka dapat dekspreskan sebaga:.,, / ˆ = N l l B y p E N P υ σ β (3.7) Ragam posteror P,,,,, )/ ( ( ) ˆ ( ) ( ),, / ( ) ( * + = = s l l s l l l B c y p V y p p E N p y E f y P V υ υ υ σ β σ β σ β tereduks menjad: (3.8)

60 E p l l T E ( pl exp h xj yj, y, σz, β l,, j s y β σ υ =. (3.9) T E exp h xj yj, y, σz, β j s Tdak ada bentuk analtk (closed form) untuk mendapatkan nla ekspektas d atas sehngga perhtungan nla ekspektas dlakukan dengan metode numerk. EB Pendugaaan KTG ( ˆ ) dlakukan dengan metode Jackknfe yatu p EB EB dengan menggantkan p ˆ = k ( y, ˆ, µ ˆ σ ) dan pˆ, (, ˆ l, ˆ l = k y µ σ l ) dalam persamaan (3.4) sampa dengan persamaan (3.9) sehngga dperoleh nla ˆ dan Mˆ, sekalgus dperoleh nla KTG yatu Mˆ + Mˆ. M 3.4. Aplkas : Pendugaan Angka Melek Huruf d Tngkat Kecamatan, Kabupaten Sumenep Berbass Data Susenas Model SAE yang telah dbahas pada sub bab (3.) dan (3.3) d atas daplkaskan pada pendugaan angka melek huruf d tngkat kecamatan dsalah satu Kabupaten d Jawa Tmur yatu Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provns Jawa Tmur. Data dasar yang dgunakan adalah data Surve Ekonom Nasonal (Susenas) yang dlakukan oleh BPS tahun 00. Untuk Kabupaten Sumenep, dar populas sebesar tangga dambl contoh sebanyak 307 rumah tangga dan rata-rata jumlah contoh d tap kecamatan 86 rumah tangga. Berdasarkan data Susenas Kabupaten Sumenep rata-rata propors yang bsa baca dan tuls d tap kecamatan sektar 77.6%. Gambar 3. menunjukkan bahwa terdapat dua kecamatan yang memlk propors terendah yatu kecamatan Batuputh (39.5%) dan kecamatan Talango (58%), Angka melek huruf d Kabupaten Pasuruan relatf lebh bak dbandngkan dengan Kabupaten Sumenep, rata-rata propors yang bsa baca dan tuls d tap kecamatan sektar 90,07%. D Kabupaten pasuruan terdapat tga kecamatan yang memlk propors terendah yatu kecamatan Puspo (75,5%), Lekok (75,5) dan kecamatan Ngulng (7%). 39

61 ,, p r o p o r s 0,8 0,6 0,4 0, 0 p r o p o r s 0,8 0,6 0,4 0, 0 Arjasa Sapeken Bluto Ra'As Kangayan Mandng Gayam Glgenteng Kalanget Kota Sumenep Pragaan Nonggunong Dasuk Sarongg Masalembu Batuan Gandng Lenteng Rubaru Ambunten Guluk Guluk Pasongsongan Dungkek Batang Batang Gapura Talango Batuputh Purwosar Kejayan Bangl Gempol Rejoso Wonorejo Pandaan Bej Tosar Sukorejo Tutur Prgen GondangWetan Lumbang Purwodad Grat Kraton Wnongan Pasrepan Rembang Puspo Lekok Ngulng Pohjentrek Kecamatan Kecamatan (a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan Gambar 3.. Propors Penduduk 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls berdasarkan data Susenas tahun 00 d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan 40

62

63 3.4.. Pendugaan Langsung Penduga langsung untuk propors penduduk berusa 0 tahun ke atas dan nla KTG nya adalah sebaga berkut: ) Menggunakan metode klask dengan rumus p ˆ = y / n = y / n. ) Menggunakan pendekatan Bayes dengan sebaran pror beta. Pendugaan α dan β menggunakan metode momen, yatu dengan menghtung αˆ dan βˆ menggunakan persamaan (3.9), dmana: j j s p = ( / )( pˆ pˆ) n n, n = T n T pˆ adalah propors penduduk yang bsa baca tuls dhtung dar contoh n n T : ukuran contoh d kecamatan ke- : jumlah contoh Susenas d Kabupaten Sumenep. Sedangkan penduga p dhtung dengan menggunakan rumus (3.3) dmana ˆ γ n /( n + ˆ α + ˆ β ).. = EB Untuk pendugaan KTG ( ˆ ) dlakukan dengan menggunakan p EB metode Jackknfe, dperoleh dengan menggantkan p ˆ = k ( y, ˆ, µ ˆ σ ) EB dan p = k ( y, ˆ, ˆ µ σ ) dalam persamaan (3.4) Dan g ( ˆ, µ ˆ, σ y ) dan g ˆ, l l l ( ˆ µ, ˆ σ, y ) dalam persamaan (3.5) dmana: l l g µˆ l dan l ( ˆ, µ ˆ, σ y kecamatan ke l. ) = V ( p ( y y, α, β ) = ( ˆ α + n + ˆ)( α n y + ˆ) β + ˆ β + )( ˆ α + n + ˆ) β σˆ adalah dugaan dar µ dan σ yang dhtung dar data tanpa EB EB Penduga KTG( ˆ ) adalah ktg j ( pˆ ) = Mˆ + Mˆ dperoleh dar p persamaan (3.6). 3) Menggunakan fungs logt(p ), maka penduga parameter p menggunakan rumus pada persamaan (3.9). Selanjutnya ntegral pemblang dan penyebut pada persamaan (3.9) dhtung dengan langkah sebaga berkut:. Menghtung penduga µˆ dan σˆ dar dstrbus normal logt( p ) = log d [ p /( p )] ~ N( µ, σ ) 40

64 µˆ = rata-rata dar logt (p j ) σˆ = standard devas dar logt (p j ). Membangktkan z dar dstrbus N(0,) dengan mengambl n=500, kemudan untuk tap nla z dar langkah ke dua, htung: A a = E[ h µ + σz) exp{ h ( y, µ + σ )}] Atau: A a ( z µ, a=, π = h + σz ) exp{ h ( y, µ + σz )} x exp/ z ( a a a µ + σz e dmana h ( µ + σ z) = µ + σz dan + e e = + e Sehngga: h ( y, ( µ + σz)) = ( µ + σz) y µ + σz a µ + σz a x exp( µ + σz a ) y n log( + e n log( + e µ + σ z µ + σz E[ h ( µ + σz) exp{ h ( y, µ + σz) }] = x a A Menghtung B a E a ) x µ + σ z = exp ( µ + σz ) log( + a a y n e ) x 500 [ exp{ h ( y, µ + σz) }] = Ba a 500 a ) e π a / z / za e Penduga Bayes dhtung dengan mencar raso dar hasl pada langkah ke - dan ke-3 datas Nla KTG dhtung dengan menggunakan metode Jacknfe menggunakan rumus (3.6) namun dengan menghtung varans (p ) melalu rumus: [ ] g B µ σ y ) = V ( p y, µ, σ ) = E( p y, µ, σ ) p ( µ, π ( ˆ, ˆ, ˆ σ dmana: E( p ) = E[ h ( µ + σz)] dan E( p ) = E[ h ( µ + σz)] y = n pˆ = n E[ h ( µ + σz)] ( y T T y ) = n ( n ) E h [ ( µ + σz) ] Dengan mengaplkaskan metode momen sepert yang telah djelaskan oleh persamaan (3.9), pendugaan parameter α dan β menggunakan sebaran pror Beta adalah: 4

65 Kabupaten Sumenep: αˆ = dan βˆ = Kabupaten Pasuruan: αˆ = 6,84 dan βˆ =,604.. Selanjutnya dengan menggunakan sebaran pror logt-normal pendugaan propors d area kecl (kecamatan) dlakukan dengan cara numerk menggunakan persamaan (3.9) yatu dengan membangktkan nla z dar sebaran N(0,) n=500. Hasl pendugaan parameter (p ) dengan mengaplkaskan metode pendugaan langsung dtunjukkan oleh Lampran 8 dan Lampran 9, secara grafs dtunjukkan oleh Gambar 3.. Dapat dlhat bahwa untuk pendugaan langsung, metode KM memberkan hasl yang hampr sama dengan metode Bayes yang menggunakan sebaran pror logt normal, demkan juga dengan pendekatan menggunakan sebaran pror beta. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, Pendekatan Kalsk ML Pendekatan Bayes Logt (peb Logt) Pendekatan Bayes Beta (peb Beta) 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0, Pendekatan Kalsk ML Pendekatan Bayes Logt (peb Logt) Pendekatan Bayes Beta (peb Beta) (a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan Gambar 3.. Hasl Pendugaan angka melek huruf dengan menggunakan metode klask dan Metode Bayes Pada pendugaan propors dengan menggunakan sebaran pror logt normal, sebalknya untuk sebaran pror Beta, bobot untuk komponen contoh pada ˆ γ n / n + ˆ α + ˆ β relatf besar yatu sektar untuk y yatu ( ) = Kabupaten Sumenep dan 0,87 untuk kabupaten Pasuruan. Oleh karena tu pendugaan Bayes secara langsung lebh dpengaruh oleh komponen contoh karena bobot untuk komponen populas relatf kecl sehngga tdak memberkan pengaruh yang berart pada penduga Bayes. Hasl dugaan KTG menggunakan metode Jackknfe untuk pendugaan langsung yang dtunjukkan oleh Gambar 3.3 memperlhatkan bahwa kedua 4

66 metode pendugaan langsung kurang memberkan akuras yang bagus karena menghaslkan nla MSE relatf tngg dan kurang stabl. 0,0 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,0045 0,004 0,0035 0,003 0,005 0,00 0,005 0,00 0,00 0, , KTG logt KTG beta KTG Logt KTG Beta (a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan Gambar 3.3 Plot dar nla dugaan KTG menggunakan sebaran pror Beta dan Logt-Normal melalu metode pendugaan langsung Pendugaan Tak Langsung Melalu pendugaan tak langsung, angka melek huruf dduga melalu model dengan peubah penyerta usa dan jens kelamn. Peubah usa dbaga kedalam 5 katagor yatu antara 0-30 tahun, tahun, tahun, tahun dan d atas 60 tahun dan jens kelamn dbedakan atas katagor yatu lak-lak dan perempuan. Oleh karena tu setap ndvdu d area ke dapat dklasfkaskan kedalam k kelompok, k =,...0 yang merupakan kombnas antara usa dan jens kelamn. Sedangkan peubah respon untuk model SAE adalah propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls d kelompok ke k d area ke. Karena penarkan contoh dalam Susenas dlakukan dengan cara memlh contoh blok sensus secara acak pada tahap pertama dan selanjutnya memlh contoh keluarga dalam blok sensus yang terplh pada tahap kedua, maka area kecl yang dmaksud pada peneltan n adalah blok sensus. Gambar 3.4 yang menjelaskan hubungan antara kemampuan baca tuls dengan usa dnyatakan dalam grafk, menunjukkan bahwa makn tngg propors usa, maka pendudukan yang bsa baca dan tuls semakn kecl. Terlhat bahwa propors penduduk lak-lak yang bsa baca dan tuls cenderung lebh banyak dbandngkan dengan penduduk perempuan. Berdasarkan uj korelas dengan 43

67 mengambl α=5% terbukt bahwa kemampuan baca tuls dpengaruh oleh usa dan jens kelamn. Dengan demkan pendugaan tak langsung (berbass model) dapat dlakukan dengan memanfaatkan peubah jens kelamn usa sebaga peubah penyerta ke dalam model SAE.,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,995 0,965 0,986 0, tahun 3-40 tahun Lak-lak 0, tahun 0,853 0, tahun 0,7 0,573 0,00 > 60 tahun Perempuan,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,99 0,97 0,96,00 0,95 0,84 0,76 0,8 0, tahun 3-40 tahun Lak-lak 4-50 tahun 5-60 tahun > 60 tahun Perempuan 0,37 (a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan Gambar 3.4. Hubungan kemampuan baca tuls dengan usa berdasarkan jens kelamn d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Melalu pendugaan tak langsung yatu dengan melalu model SAE, pendugaan parameter model menggunakan metode KQB yang kemudan dgunakan untuk menduga * y berdasarkan sebaran pror logt normal menggunakan pendekatan Bayes Emprk (persamaan 3.5). Perhtungan nla harapan pemblang dan penyebut dar persamaan tersebut menggunakan metode Montecarlo. Hasl pendugaan parameter dan KTG menggunakan metode pendugaan tak langsung untuk Kabupaten Sumenep dan kabupaten Pasuruan dapat dlhat pada Lampran 8 dan Lampran 9. Dalam bentuk grafk dapat dlhat pada Gambar 3.5 untuk Kabupaten Sumenep dan dan Gambar 3.6 untuk Kabupaten Pasuruan. Melalu pendekatan Bayes, berdasarkan pendugaan tak langsung, ratarata angka melek huruf kecamatan d Kabupaten Sumenep sebesar 0,87 dengan dugaan KTG sebesar 0,07. Kecamatan Batuputh yang memlk angka melek huruf terendah berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,50. Sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan, rata-rata angka melek huruf kecamatan berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,97 dengan nla KTG sebesar 44

68 0,036. Kecamatan Ngulng memlk angka melek huruf terendah yatu berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,75. p r o p o r s,000 0,950 0,900 0,850 0,800 0,750 0,700 0,650 Dugaan Angka Melek Huruf K T G,40E-0,0E-0,00E-0 8,00E-0 6,00E-0 4,00E-0 Dugaan KTG 0,600,00E-0 0,550 0,500 0,00E Kecamatan Kecamatan p r o p o r s Gambar 3.5. Plot hasl dugaan angka melek huruf dan KTG d Kabupaten Sumenep,000 0,950 0,900 0,850 0,800 0,750 0,700 Dugaan Angka Melek Huruf K T G,80E-0,60E-0,40E-0,0E-0,00E-0 8,00E-0 6,00E-0 4,00E-0,00E-0 0,00E+00 Dugaan KTG Kecamatan Kecamatan Gambar 3.6. Plot hasl dugaan paramater p (angka melek huruf) dan KTG d Kabupaten Pasuruan 3.5. Pembahasan Pendugaan angka melek huruf (propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) sepert djelaskan oleh Gambar 3. menunjukkan bahwa metode pendugaan langsung melalu pendekatan Bayes Emprk memberkan hasl yang hampr sama dengan metode pendugaan langsung secara melalu pendekatan klask. Hal n dsebabkan karena nla dugaan α dan β relatve kecl dbandngkan dengan nla n sehngga bobot untuk y yatu 45

69 ( n + ˆ α ˆ β ) ˆ γ n / + sangat besar (sektar 0.905). Demkan juga untuk pendugaan = Bayes Emprk dengan sebaran pror logt normal, bobot untuk komponen populas terlalu kecl sehngga sebaran pror tdak terlalu berpengaruh kepada penduga Bayes. Nla pendugaan KTG pendugaan langsung cenderung rendah, bak untuk pendugaan berbass sebaran pror Beta maupun sebaran logt normal. Nla KTG untuk pendugaan angka melek huruf d kecamatan Batuputh jauh lebh tngg dbandngkan kecamatan yang lan karena nla dugaan angka melek huruf d Kecamatan Batuputh sangat rendah dbandngkan dengan kecamatan lannya. Tabel 3. menunjukkan rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan d Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes. Tabel 3.. Rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan d Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes Kabupaten Sumenep Kabupaten Pasuruan Metode Rata-rata Kecamatan Rata-rata KTG Rata-rata Kecamatan Rata-rata KTG Pendugaan langsung - Pror Beta 0,7789 0,009 0,9034 0, Pror Logt-normal 0,7794 0,006 0,9046 0,00 Pendugaan Tak langsung (Model logt normal) 0,87 0,07 0,97 0,036 Tabel 3. d atas menunjukkan bahwa pendugaan Bayes berbass model menunjukkan perbedaan yang cukup sgnfkan dengan metode tak langsung bak melalu pendekatan klask maupun Bayes. Keberadaan peubah penyerta yatu usa dan jens kelamn sangat berpengaruh pada penduga p, karena bobot untuk komponen model lebh domnan dbandngkan dengan bobot untuk komponen penduga langsung dsebabkan oleh keclnya samplng fracton (f =n /N ). 46

70 BAB IV. Model SAE Berbass Sebaran Respon Multnomal Melalu Pendekatan Bayes 4.. Pendahuluan Jka setap hasl pengukuran dapat dkatagorkan ke dalam q katagor A, A,... A q, maka propors pada katagor ke k, k=,...q dnyatakan oleh p k dan dkatakan bahwa p, p,...p q adalah paramater dar sebaran multnomal. Model SAE untuk respon multnomal dtujukan untuk menduga parameter p, p,...p q untuk area kecl ke- dmana jumlah contoh da area tersebut tdak cukup representatf. Dengan memperhatkan salah satu katagor sebaga kejadan sukses dan menganggap katagor yang lan sebaga kejadan gagal, maka model SAE untuk respon multnomal dapat dkembangkan dengan cara sama dengan respon bnomal. Model SAE berbass pada sebaran multnomal telah dkembangkan oleh beberapa penelt dantaranya Molna et al. (007) yang mengembangkan metode SAE model Campuran Logt Multnomal (Multnomal Logt Mxed Model). Dalam peneltannya, Molna menerapkan Model Campuran Logt Multnomal dengan memasukkan satu pengaruh acak area ke dalam model sehngga pengaruh acak danggap sama untuk setap kelas multnomal. Scealy (00) berpendapat bahwa pengaruh acak setap katagor tdak sama, oleh karena tu Scealy mengembangkan model yang dkembangkan oleh Molna et al. (007) dengan memasukkan pengaruh acak katagor dengan memperhtungkan korelas antar katagor. Metode tersebut kemudan daplkaskan untuk pendugaan parameter angkatan kerja d area kecl. Pendugaan KTG ddekat dengan dua metode yatu parametrc bootstrap dan pendekatan analtk (analytcal approxmatons) dan kemudan membandngkan keduanya. Untuk pendugaan parameter model, bak Molna (007) maupun Scealy (00) mengaplkaskan metode pendugaan KQB dan untuk komponen ragam melalu pendekatan KM atau KMB. Vzcano et al (0) mengembangkan pendugaan area kecl berbass peubah respon multnomal untuk pendugaan ndkator angkatan kerja d Galca, Spanyol berdasarkan data Labour Force Survey (LFS). Mereka menggunakan 47

71 model Campuran Logt Multnomal dmana pendugaan parameternya menggunakan kombnas metode KQB untuk mempredks parameter β dan pendugaan terhadap pengaruh acak menggunakan metode KMB. Untuk pendugaan KTG, mereka menggunakan metode parameterc bootstrap sepert yang dlakukan oleh Gonzalez-Mantega et al. (008). Dalam peneltan n model SAE berbass pada sebaran multnomal yang dkembangkan ddasarkan pada pengembangan model yang dlakukan oleh Scealy (00) yatu dengan mengaplkaskan model Campuran Logt Multnomal. Dalam pengembangan model tersebut dmasukkan pengaruh acak area dmana pengaruh acak dalam setap area kecl tdak sama untuk setap kelas multnomal karena varans dar pengaruh acak dasumskan tdak sama dantara setap katagor. Untuk pendugaan parameter model dgunakan metode pendugaan KQB dan untuk pendugaan komponen ragam dgunakan KMB sedangkan predks area kecl dlakukan dengan pendekatan Bayes. Pendugaan KTG dengan metode Jackknfe sepert telah djelaskan pada Bab III. Selanjutnya model SAE untuk peubah respon multnomal yang dkembangkan daplkaskan untuk pendugaan propors penduduk berusa 0 tahun ke atas yang telah/sedang menduduk jenjang penddkan tertentu dalam rangka menghtung rata-rata lama sekolah d tngkat kecamatan. Lokas stud yang dambl adalah Kabupaten Sumenep dan kabupaten Pasuruan Propns Jawa Tmur. Jenjang penddkan terdr dar 6 katagor yatu Katagor I: tdak pernah bersekolah (lama sekolah 0 tahun) Katagor : putus SD (lama sekolah -3 tahun) Katagor 3: SD (lama sekolah 4-6 tahun) Katagor 4: SLTP (lama sekolah 7-9 tahun) Katagor 5: SLTA (lama sekolah 0- tahun) Katagor 6: Perguruan tngg (lama sekolah 3 tahun ke atas) 4.. Model SAE untuk Respon Multnomal Untuk kasus multnomal, setap hasl pengukuran hanya dapat dkatagorkan ke dalam sejumlah katagor tertentu, msalnya q katagor. Untuk area (u ) tertentu sebaran peluang multnomal dapat dnyatakan sebaga: y u ~ M ( n, p,... p ) (4.) k q 48

72 Jka ddefnskan (4.) adalah : γ q = p + p p q. Maka sebaran peluang multnomal dmana y k θ = log k n y yq P ( Y = y,..., Y = y n, u ) = p... pq,=,...m (4.) k q q y... y q y = n k n + q, k=,,...q-. q Sebaran marjnal dar setap komponen multnomal y k adalah Bnomal: ~ B( n, pk ). Jka X k merupakan vektor kovarat tetap dan dasumskan tdak tergantung pada dan k, maka model lner yang ddasarkan pada raso dmana : q ( p / p ) = log p / p k k q k k k k k = k adalah: θ = x β + u, untuk =,...m dan k=,...q (4.3) β k x u k k adalah vektor parameter adalah vektor peubah penyerta pada katagor ke-k. adalah pengaruh acak katagor ke-k pada area ke-, Dasumskan bahwa u u ~ N( 0, W ) dengan fungs sebaran peluang: f ( u / memlk sebaran multvarate normal t ) = exp u W u (4.4) π W dmana dan u salng bebas dengan matrks varans kovarans dengan W = dag ( ϕ ). Peluang dar katagor ke k dalam area ke- adalah: k q k p k exp{ θk } = q, =,,...m dan k=,...q-. (4.5) + exp{ θ } l= l 4... Pendugaan Parameter Model Molna et.al. (007) menduga parameter model β k dan u dengan menggunakan metode KQB. Keuntungan menggunakan metode KQB adalah metode tersebut mudah daplkaskan walaupun menurut Hazel et.al (00) 49

73 metode KQB dapat menghaslkan bas terutama jka jumlah contoh dalam kelas multnomal n jk kecl. Pendugaan parameter dar model (4.3) dturunkan dar fungs kemungknan untuk β, φ dan t t t t = ( u. u,..., um. Dengan y j = (y j,...y jq ) t untuk =,...,m dan u ) j =,...,n j, maka menurut Pawtan (00), fungs kemungknan untuk parameter β, φ dan u adalah adalah: m n m L( β, ϕ, u) = f ( y u) f ( u) = (,... f yj yjq u f ( u ). (4.6) = j= = Idealnya pendugaan β dan φ dlakukan dengan menggunakan metode kemungknan maksmum yatu dengan memaksmumkan L(β, φ) dmana: L( β, ϕ) = = [ f ( y u) f ( u) ] = j= m m = n f ( u ) n j= f ( y = j m = j=,... y n jq f ( y j u du,... y d jq... du u dq. m = f ( u ) du (4.7) Dengan memaksmumkan fungs kemungknan (4.7), pendugaan β dan φ dapat dperoleh dengan menggunakan metode Monte-Carlo sepert dlakukan oleh Hartzel et al (00) atau ntegras numerk atau dengan metode Newton Raphson. Molna et al (007) menggunakan metode KQB yang dperkenalkan oleh Breslow dan Clayton (993). Jka dasumskan φ dketahu, maka fungs kemungknan menjad: m m n q t l(β, u) = c uw u + yjk log pjk (4.8) = = j= k dmana c adalah konstanta. Penduga kemungknan maksmum dperoleh dengan menurunkan satu kal mersamaan (4.8) dan menyamakannya dengan 0 sehngga ddapat penyelesaan dar sstem persamaan tersebut. Msalkan parameter β terdr dar b k komponen, karena masng-masng level katagor dasumskan memlk nla parameter β k yang berbeda, maka dengan mendefnskan ndeks komponen β k dan X jk dan komponen ke-b dar masng-masng parameter d level ke k adalah β k(b). Oleh karena tu dengan mendefnskan: 50

74 untuk p jk e x t jk β k = q k= + e + u x t jk k β u k =,..., q ; k ' =,..., q ; j =,..., n ; =,..., m b=,...,b j maka dapat dperoleh : log p β k '( l) jk x = x ' Untuk k =,..., q k '( l) ( p jk '( l) p jk ' jk ' ) jka k = k' selan tu. log( β, u) m n = xjk '( l) ( yjk ' n β = j= k '( l) j p jk ' Turunan pertama terhadap pengaruh acak u adalah: log p u ' k ' jk p' = p' jk 0 jk ' dan untuk j =,...q-, maka dperoleh: ( m n = j= k= u q ' k ' ' y jk jka k = k' dan = ' jka k k' dan ' log p jk ) = ) selan tu n j= ( y ' jk ' m ' j p ' jk ' ). (4.9) Selanjutnya dcar dan untuk =,...m dan W ϕ = ϕ q ϕ q ϕ. q Untuk mendapatkan penduga dengan metode Newton Raphson dbutuhkan turunan kedua dar, dan Pendugaan parameter model untuk adalah (4.0) dmana: 5

75 dengan (4.) 4... Pendugaan Ragam Untuk pendugaan komponen ragam dgunakan metode kemungknan maksmum (KM) atau metode kemungknan maksmum berkendala (KMB). Pendekatan KM untuk pendugaan komponen ragam menghaslkan penduga yang berbas sepert dnyatakan oleh Harvlle (997) yang dkutp oleh Sceally (00). Oleh karena tu Molna et al (007) menggunakan pendekatan KMB untuk menduga komponen ragam. Melalu metode KMB komponen pengaruh tetap β dpandang sebaga parameter penggangu, sehngga sedapat mungkn dupayakan menghlangkan pengaruh dar β untuk membentuk ML marjnal untuk komponen ragam. Dalam model lner campuran normal serngkal dlakukan transformas sedemkan 5

76 53 hngga bebas dar unsur β, kemudan dcar ML untuk komponen ragam dar data baru hasl transformas. Sceally (00) menyatakan bahwa pendekatan REML dalam kasus multnomal adalah: X V X t log (ϕ) l (4.) dmana ˆ. ˆ log log ) ( u W u W ΣZ Z W + = t t l ϕ (4.3) Suku ke dua dar persamaan (4.) dsebut sebaga bagan penalty. Penduga KMB dturunkan dengan memaksmumkan persamaan (4.) terhadap semua komponen ragam. Menurut Sceally (00), metode KMB memang dapat mengurang bas namun ada kemungknan akan menghaslkan ragam yang lebh besar dbandngkan dengan metode KML. Untuk menurunkan penduga komponen ragam dengan metode KMB dbutuhkan turunan pertama dan ke dua dar X X V t log. Turunan pertamanya adalah ( ) = X V X X X V X X V t t a t a Tr ϕ ϕ log, dmana: = = V Z W Z V V V V V t a a a ϕ ϕ ϕ, sehngga: ( ) = X X X X V X X V t t log V Z W Z V Tr t a t ϕ a ϕ. Sedangkan turunan ke duanya adalah: ( ) ( ) ( ). log = X V Z W Z V X X V X X V Z W Z V X X V X X V Z W Z V Z W Z V X X V X X V X t t t t b b b a a b Tr Tr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Mengkut cara yang dlakukan Sceally (00), ddefnskan * ϕ S dan * ϕ J sebaga:

77 54 t q q q S S = * log... log, log,... log ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X V X X V X X V X X V X dan = * log... log log.. log... log log log... log log q q q q q J J ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X V X X V X X V X X V X X V X X V X X V X X V X X V X sehngga dengan β dan u dketahu dan dengan maka penduga φ adalah:. ) ( * * ϕ ϕ ϕ ϕ S J sebelumnya baru = (4.4) Pendugaan Parameter Area Melalu Pendekatan Bayes Peubah respon y jk danggap merupakan peubah acak bner untuk ndvdu ke-j dalam area dalam katagor ke-k dmana =,...I; j=,...,n, k=,...q- sehngga y jk merupakan peubah acak bebas Bernoull dengan (Y jk = p jk )=p jk Model yang menghubungkan parameter dengan kovaratnya adalah model regres logstk dengan efek acak area sepert dnyatakan oleh persamaan 4.. Jka L menyatakan banyaknya grup dar kombnas katagor dar peubah pembantu dan s menyatakan kumpulan ndvdu yang terambl sebaga contoh sedangkan s adalah kumpulan ndvdu yang tdak terambl sebaga contoh, maka jumlah ndvdu pada area ke dapat dnyatakan sebaga:. = = + = L l s l L l s l y y Y ' (4.5) dmana t q l l s l y y y ),... ( ) ( = dan s' l y adalah vektor yang tdak dketahu dar unt yang tdak terambl contohnya. Scealy (00) mengatakan bahwa untuk mendapatkan penduga dar Y ' s y l maka dduga dengan:

78 e q + t x ˆ ˆ ˆ u lβ+ u x lq βq + s' s' yl = nl q ˆ t t x β + u x β k e lk k e,..., + t k e q lk q + uˆ k t. (4.6) Dengan asums s' = q n l y area ke- p k adalah: p k = f k y k dmana: f k = n k /N k, y k k= + s' jk f * ( k ) k dketahu, maka propors unt pada katagor ke-k d y adalah rata-rata contoh (propors) d area ke dan katagor ke k (4.7) y * k = y l s ' kl /( N k n k ) adalah rata-rata dar unt-unt yang tdak dambl contohnya dalam area pada katagor ke-k. Penduga Bayes dar y * k dturunkan dengan cara yang sama dengan penduga Bayes untuk respon bnomal yang telah dbahas pada Bab III, yatu: dmana B pˆ ( k ) h k = E p l kl y k, β, σ υ E ( pkl exp hk x l j sk = T E exp hk xjk y j sk j sk x T j y jk, σ, = k z β k j sk j slk x T jk jk T j log ykj, yk, σ k z, β k, yk, σ k z, β k y jk β k + ( σ k z) y T [ + exp( x β + σ z) ]. j k k k (4.8) (4.9) Dengan menggantkan βˆ k dan dperoleh penduga Bayes emprk untuk p k EB B ke ) yatu p = pˆ ( ˆ, β ˆ σ ). k k υ ˆ σ k υ pada persamaan (4.9) dapat (propors pada katagor ke k d area EB Pendugaaan KTG ( ˆ ) dlakukan dengan metode Jackknfe sepert yang p k dlakukan pada pendugaan SAE untuk peubah respon Bnomal pada Bab III 55

79 EB EB yatu dengan menggantkan p ˆ = k ( y, ˆ, µ ˆ σ ) dan p k ( y, µ, ) k k k ˆ k, k k ˆ l ˆ l = σ dalam persamaan (4.5) sampa dengan persamaan (4.6) sehngga dperoleh nla ˆ dan ˆ k, sehngga dperoleh nla MSE untuk pendugaan pada katagor ke M k M k dan area ke- yatu ˆ + Mˆ k. M k l 4.3. Aplkas: Pendugaan Rata-Rata Lama Sekolah Tngkat Kecamatan d Jawa Tmur Berbass Data Susenas Pengukuran Peubah Respon dan Peubah Penyerta. Dalam peneltan n, d setap area kecl populas dbag dalam kelas-kelas yang merupakan kombnas peubah penyerta yatu usa dan jens kelamn. Usa dbag dalam 5 kelas dan jens kelamn dbag dalam kelas (lak-lak dan perempuan). Peubah respon yang damat adalah propors penduduk yang telah berada pada jenjang penddkan tertngg yang pernah dtempuh dmana jenjang penddkan dklasfkas menjad 6 sepert djelaskan oleh Tabel 4.. Data yang dgunakan dalam peneltan n adalah data Susenas tahun 00 dan data Sensus Penduduk tahun 00 d Jawa Tmur khususnya untuk Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Tabel 4.. Klasfkas tngkat penddkan tertngg penduduk usa 0 tahun ke atas Katagor (k) Lama sekolah (th) Ttk tengah *) >3 6 *) maksmum 9 tahun Propors penduduk d tap jenjang penddkan dpengaruh oleh usa dan jens kelamn (lhat Lampran 0). Semakn tngg usa maka propors yang pernah menempuh penddkan menengah dan tngg makn kecl. Sebalknya makn tngg usa maka penduduk yang tdak pernah bersekolah makn banyak. Bersarnya propors d tap level penddkan berbeda antara penduduk lak-lak dan perempuan. Oleh karena tu usa dan jens kelamn dapat dduga akan 56

80 memberkan pengaruh kepada nla propors d tap jenjang penddkan dan layak untuk djadkan peubah penyerta Hasl Eksploras Data D Kabupaten Sumenep, hasl eksploras data (Gambar 4.) menunjukkan bahwa penduduk berusa 0 tahun ke atas yang belum pernah bersekolah cukup tngg yatu,7%. Penduduk yang hanya menamatkan penddkan sekolah dasar adalah yang palng tngg yatu 8,5%, selanjutmya penduduk yang bsa menyelesakan penddkan SMP,5%, SMA hanya % dan perguruan tngg tdak sampa 4%. 30,0% 8,% 35,0% 34,% t a h u n 5,0% 0,0% 5,0% 0,0%,7%,5%,9% t a h u n 30,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 7,8% 5,% 3,9% 5,0% 0,0% 4,5%4,% 0,7%,%,3%,7%,9%,0%,8%,7% 0,% 0,9% 0,6% Lama Sekolah 5,0% 0,0%,3% 3,5%4,5%5,0%4,9%,4%,3%,%0,9% 0,%0,% 0,6%,0% Lama Sekolah (a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan Gambar 4. Propors penduduk berusa 0 tahun ke atas berdasarkan lama sekolah berdasarkan data Susenas 00 d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan penduduk berusa 0 tahun ke atas yang belum pernah bersekolah cukup tngg yatu 8%. Penduduk yang hanya menamatkan penddkan sekolah dasar 34.4%, selanjutmya penduduk yang bsa menyelesakan penddkan SMP 5%, SMA sektar 4% dan perguruan tngg tdak sampa 4% Grafk pada Lampran 0 menunjukkan hubungan antara jenjang penddkan tertngg yang pernah dtempuh oleh penduduk usa 0 tahun dengan usa dan jens kelamn. Terlhat dar grafk tersebut bahwa d Kabupaten Sumenep, untuk penduduk yang tdak pernah bersekolah. Semakn tngg usa maka propors penduduk yang tdak pernah bersekolah makn tngg, dmana penduduk lak-lak memlk propors lebh rendah dbandngkan dengan 57

81 penduduk perempuan. Sebalknya semakn tngg usa maka penduduk yang mampu menamatkan sekolah SD, SLTP dan SLTA juga man kecl. Penduduk lak-lak memlk propors yang lebh tngg dbandngkan dengan perempuan Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah d Tngkat Kecamatan. Sepert telah djelaskan d atas bahwa y k merupakan peubah respon multnomal, dalam peneltan n mengukur jumlah penduduk berusa 0 tahun ke atas yang memlk jenjang penddkan ke k, k=,...6 pada area ke-. Selanjutnya model lner yang dduga adalah θ = x β q fungs logt (p k ( ) k k k + u ) yatu θ k = log pk / pq = log pk / pk. k = k dmana θ k adalah Dengan menggunakan data Susenas 00, pendugaan parameter β dan φ dalam peneltan n adalah menggunakan metode PQL dengan cara memaksmumkan fungs lkelhood sepert yang dnyatakan oleh persamaan (4.6). Selanjutnya pendugaan ragam mengkut metode yang dsarankan oleh Molna et al (007) yatu menggunakan pendekatan REML yang dlakukan dengan memaksmumkan persamaan (4.). Hasl pendugaan p k (propors penduduk berusa sepuluh tahun ke atas pada jenjang penddkan ke k), k=,...,6) dapat dlhat pada Gambar 4. untuk Kabupaten Sumenep dan Gambar 4.3. untuk Kabupaten Pasuruan. Predks propors d tap jenjang penddkan penduduk dapat dlhat pada Lampran 0. Gambar 4. dan Gambar 4.3 juga menjelaskan pendugaan KTG menggunakan metode Jackknfe. Secara rnc dugaan propors untuk tap katagor penddkan dan nla dugaan KTG dapat dlhat pada Lampran. Nla KTG untuk masng-masng model sangat rendah, hal n menunjukkan bahwa nla bas dan ragam dar dugaan sangat kecl (lhat Tabel 4.). Tabel 4.. Rata-rata dugaan propors penduduk pada jenjang penddkan tertentu dan rata-rata nla KTG dugaan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Parameter Katagor Kabupaten Sumenep Rata-rata propors Rata-rata KTG.54E E E-09.0E E-0 6.4E-0 Kabupaten Pasuruan Rata-rata propors Rata-rata KTG.06E-03.5E E E-03 6.E-03.8E-0 58

82 p r p o r s 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,000 0,000 0,0000 Nla dugaan propors penduduk d tap jenjang penddkan K T G 3,00E-08,50E-08,00E-08,50E-08,00E-08 5,00E-09 0,00E+00 Nla dugaan KTG Kecamatan Kecamatan Tdak Sekolah Lulus SD Lulus SMA Putus SD Lulus SMP PT Tdak Sekolah Lulus SD Lulus SMA Putus SD Lulus SMP PT Gambar 4.. Plot Hasl dugaan propors penduduk berusa 0 tahun keatas d tap jenjang penddkan dan nla dugaan KTG d Kabupaten Sumenep p r o p o r s Nla dugaan propors penduduk d tap jenjang penddkan 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 K T G 6,00E-0 5,00E-0 4,00E-0 3,00E-0 Nla dugaan KTG 0,000,00E-0 0,000 0,0000,00E ,00E+00 Kecamatan Tdak Sekolah Lulus SD Lulus SMA Putus SD Lulus SMP PT Tdak Sekolah Lulus SD Lulus SMA Putus SD Lulus SMP PT Gambar 4.3. Plot Hasl dugaan propors penduduk berusa 0 tahun keatas d tap jenjang penddkan dan nla dugaan KTG d Kabupaten Pasuruan 59

83 Predks rata-rata lama sekolah d tap kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan dapat dlhat pada Gambar 4.4. Terlaht bahwa rata-rata lama sekolah d Kabupaten Pasuruan lebh tngg dbandngkan dengan rata-rata lama sekolah d tap kecamatan d Kabupaten Sumenep. Sebagan besar kecamatan d Kabupaten Sumenep memlk rata-rata lama sekolah kurang dar 6 tahun. Nla dugaan rata-rata Lama Sekolah (tahun) d Kabupaten Sumenep Nla dugaan rata-rata Lama Sekolah (tahun) d Kabupaten Pasuruan l a m a s e k o l a h 9,50 8,50 7,50 6,50 5,50 4,50 3,50,50,50 6,40 5,77 5,68 7,49 4,76 4,59 8,57 4,75 4,70 5,49,0 6,8 4,84 4,36 4,5 5,7 5,5 4,97 4,66 4,66 3,95 3,67 3,97,87 7,45 6,98 l a m a s e k o l a h,50 0,50 9,50 8,50 7,50 6,50 5,50 4,50 3,50,50,50 6,95 6,3 5,53 5,30 5,5 4,65 4, 0,07 9,77 8,74 8,76 8,3 8,08 8,0 0,97 5,03 5, 6,60 6, 4,80 5,8 4,68 4, Kecamatan Kecamatan Gambar 4.4. Plot Hasl dugaan angka melek huruf dan nla KTG dugaan d Kabupaten Sumenep 4.4. Pembahasan Dalam peneltan n, pengaruh peubah penyerta yatu usa dan jens kelamn terhadap peubah respon pada model SAE dengan peubah respon multnomal dbedakan atas katagor. Untuk katagor (tdak pernah bersekolah) dan (putus sekolah dasar) memlk nla dugaan parameter β postf, namun untuk jenjang penddkan lebh tngg nla β negatf. Untuk model SAE khusus untuk jenjang penddkan SD memlk nla KTG yang relatf lebh besar dbandngkan dengan jenjang penddkan yang lan karena propors penduduk pada jenjang penddkan SD lebh bervaras dar kecamatan ke kecamatan bak untuk Kabupaten Sumenep maupun kabupaten Pasuruan. Sebalknya nla KTG untuk pendugaan propors penduduk yang 60

84 putus sekolah SD (lama sekolah 0-3 tahun) sangat kecl karena propors penduduk yang putus sekolah SD d semua kecamatan hampr sama, bak untuk Kabupaten Pasuruan dan Kabupaten Sumenep. Nla KTG dengan nla peubah respon yang heterogen sepert pada jenjang penddkan SD relatf lebh tngg dbandngkan dengan model SAE yang ddasarkan pada nla peubah respon yang homogen. Kenyataan n menunjukkan bahwa pendugaan KTG dengan metode Jackknfe sangat tergantung kepada heterogentas dar propros d kecamatan, semakn homogen maka nla KTG akan makn kecl. 6

85 BAB V Model Bayes Pendugaan Area Kecl untuk Respon Bnomal dan Multnomal Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama 5.. Pendahuluan Pada umumnya pengembangan model SAE dan pendugaannya dlakukan dengan menganggap semua area terwakl dalam contoh atau menganggap contoh area dplh dengan peluang yang sama (Pfeffermann, 00). Beberapa penelt yatu Kott (990), Arora dan Lahr (997) serta Prasad dan Rao (999), yang mengembangkan model SAE yang memperhatkan peluang pengamblan contoh menyatakan bahwa pendugaan yang dlakukan tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh akan menghaslkan penduga yang berbas. Model SAE yang dkembangkan dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh umumnya untuk peubah respon bertpe kontnu khususnya peubah respon yang memlk dstrbus normal. Lehtonen et al. (009) mengaplkaskan Model Generalzed Regreson (GREG) mengaplkaskan metode PTLTE untuk pendugaan parameter area dengan menyertakan bobot unt contoh. Peneltan oleh Lehtonen R (009) tersebut menghaslkan penngkatan akuras dan mengurang bas. Dengan memberkan bobot pada unt contoh, You dan Rao (00) mengembangkan model SAE dengan mengaplkaskan metode Pseudo PTLTE untuk pendugaan parameter area kecl. Model tersebut dterapkan untuk menduga produks jagung d wlayah kecl (kota) dan dhaslkan bahwa metode PTLTE semu (pseudo EBLUP) menghaslkan KTG yang sedkt lebh kecl dbandngkan dengan metode PTLTE. Dalam bukunya Rao (003) juga membahas model SAE untuk peubah respon normal dmana pendugaan parameter mengaplkaskan PTLT semu ( Pseudo BLUP) atau PTLTE. semu (Pseudo EBLUP) Pfefferman et al. (998) juga telah membahas pengaruh peluang penarkan contoh dar proses penarkan contoh gerombol dua tahap (multstage cluster samplng) terhadap kualtas penduga model SAE. Pfefferman et al.(998) mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh memlk korelas dengan 6

86 karakterstk area atau unt percontohan, oleh karena tu dsebut sebaga percontohan nformatf (nformatve samplng). Selanjutnya berdasarkan de Pfefferman tersebut, Edeh dan Nathan (009) mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh memlk hubungan dalam bentuk fungs eksponensal dengan karakterstk area dan unt. Pengembangan model SAE yang dlakukan oleh Edeh dan Nathan (009) yatu dengan menyertakan model eksponensal tersebut ke dalam model SAE. Sepert telah djelaskan sebelumnya bahwa tujuan utama peneltan n adalah mengembangkan model SAE yang dapat daplkaskan dalam menduga Indeks Penddkan yang merupakan salah satu komponen IPM d area kecl dmana data dasar yang dgunakan adalah Susenas yang penarkan contohnya berpeluang tdak sama. Oleh karena de pengembangan metode SAE yang memperhatkan peluang penarkan contoh sepert yang telah dlakukan oleh para penelt d atas dgunakan sebaga dasar pengembangan model SAE dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh yang dapat dgunakan untuk menduga komponen Indeks Penddkan yatu model SAE untuk respon bnomal dan multnomal. Pendugaan parameter area kecl dlakukan dengan pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut akan daplkaskan untuk menduga angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan, Provns Jawa Tmur. 5.. Penyertaan Peluang Penarkan Contoh pada Model SAE. Mengacu pada peneltan Pfefferman (998), Edeh dan Nathan (009) mengembangkan model SAE berbass peluang tdak sama dengan penarkan contoh dua tahap yang mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh bak untuk penarkan contoh area dan penarkan contoh unt memlk hubungan dengan karakterstk area dan unt dalam bentuk fungs eksponensal. Pada tahap pertama, msalkan pengaruh area yang dnyatakan dengan peubah u memlk hubungan dengan karakterstk area z, sehngga hubungan antara peubah u dan z dnyatakan oleh fungs ' u = z γ +η, nd η ~ N(0, σ ) u (5.) Untuk tahap ke dua, dasumskan terdapat peubah penyerta x j =(x j,...,x jr ) yang mempengaruh y j yang terseda untuk semua kelompok percontohan maka hubungan antara y j dan x j dnyatakan oleh fungs: 63

87 dmana y j ' j = µ + x β + e j, e j nd e ~ N(0, σ ) (5.) Dengan cara lebh sederhana maka gabungan dar persamaan (5.) dan (5.) adalah: Mengkut cara yang dkembangkan oleh Pfefferman (998) yatu dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, maka, fungs kepadatan peluang untuk dalam percontohan area ke- adalah: dmana. (5.3) Edeh dan Nathan (009) mengasumskan bahwa rata-rata peluang teramblnya area ke- sebaga contoh dapat dnyatakan sebaga fungs eksponensal dar peubah yang menggambarkan karaketrstk area sebaga berkut:. (5.4) Msalkan model matematk yang menghubungkan peluang penarkan contoh ke- dengan peubah area dnyatakan dalam bentuk fungs eksponensal sebaga berkut: E s { b b' z )} ( π µ, z ) = / E ( π µ, z ) = exp ( µ + p (5.5) dmana z adalah peubah yang menyatakan karakterstk area ke- dan b adalah parameter yang menghubungkan kedua peubah. Jka = / π menyatakan bobot dar area ke-, maka persamaan (5.5) dapat dnyatakan sebaga: w { ( b b' z )} Es ( w µ, z ) = / E p ( π µ, z ) = exp µ + Berdasarkan persamaan (5.3), maka fungs kepadatan peluang untuk pengaruh acak u dapat dtuls sebaga: dmana: (5.6) (5.7). (5.8) 64

88 Dengan cara yang sama maka pada tahap kedua, fungs kepekatan peluang untuk y j dapat dtulskan dalam formula: (5.9) Selanjutnya peluang teramblnya contoh unt ke j pada area ke- yatu damsumskan memlk hubungan dengan karakterstk unt yang dnyatakan sebaga peubah x j dalam bentuk fungs eksponensal sebaga berkut: π j /. (5.0) Sama dengan peluang area, model matematk yang menghubungkan peluang ( π j / ) atau bobot ( w j / = / π j / ) teramblnya unt ke-j pada area ke- dengan peubah penyerta adalah: E p ( π ' j yj, x j, µ ) = exp( dyj + d xj Oleh karena tu fungs kepadatan peluang untuk y j untuk µ dan x j adalah: ) (5.) (5.) tertentu (5.3) dmana (5.4) Persamaan (5.8) dan (5.4) menunjukkan bahwa jka dasumskan peluang penarkan contoh memlk hubungan dengan karakterstk area dan unt dalam bentuk fungs eksponensal, maka terjad pergeseran rata-rata sebesar untuk pengaruh area dan untuk unt. Dengan mendefnskan b = ( b 0, b,..., bq )', z = (, z,..., zq )', d = ( d0, d,... d r )' dan x j = (, xj,..., xjr )', maka dengan menggunakan metode penduga KM, pendugaan vektor parameter B dan D adalah (5.5) (5.6) dmana. Untuk y j yang dasumskan memlk sebaran normal dan dengan menyertakan peluang teramblnya contoh maka bentuk fungs kepadatan 65

89 peluang y j untuk µ dan x j dketahu dapat dnyatakan oleh persamaan (5.4). Nla harapan dan ragam dar sebaran tersebut adalah: (5.7) + (5.8) (5.9) ) Pendugaan Parameter Model SAE Selanjutnya pendugaan parameter model SAE dlakukan dengan memaksmumkan fungs kemungknan bak untuk area dan unt yang terambl sebaga contoh serta untuk area dan unt yang tdak terambl sebaga contoh. Dalam pendugaan paramater, Edeh dan Nathan (009) mengaplkaskan dua cara yatu melalu metode Kemungknan Maksmum (Maxmum Lkelhood ) dan metode Pendugaan Kemungknan Maksmum Semu (KMS) atau Pseudo Maxmum Lkelhood ). Metode KM tdak memperhtungkan bobot penarkan contoh sehngga rancangan percontohan dabakan, sedangkan metode KMS memperhtungkan bobot penarkan contoh. Jka m adalah jumlah contoh pada area ke dan penarkan contoh dlakukan secara acak, maka untuk j=,...m, sebaran y j akan salng bebas dan masng-masng memlk sebaran normal dengan rataan dan ragam, koragam sepert dnyatakan oleh persamaan (5.7), (5.8) dan (5.9). Oleh karena tu fungs peluang bersama antara ( y j,... y m ) untuk percontohan area ke- adalah: x. (5.0) Metode Kemungknan Maksmum Fungs kemungknan dperoleh dar mentransformaskan persamaan (5.0) dengan transformas logartma natural, yatu: 66

90 Jka ddefnskan, maka fungs lkelhood datas menjad lebh sederhana dan merupakan fungs dar, yatu:. ( 5.) Dengan memaksmumkan fungs kemungknan yang dnyatakan oleh persamaan (5.) datas maka akan dperoleh penduga. Jka parameter nformatf tdak dketahu maka parameter b dan d yang dgunakan untuk menghtung 0 µ β = bσ dan 0 dσ e γ = dapat dduga dengan menggunakan persamaan (5.5) dan (5.6). Metode Kemungknan Maksmum Semu Alternatf lan untuk pendugaan parameter model SAE adalah dengan menggunakan metode Kemungknan Maksmum Semu (KMS). Metode KMS n dkembangkan oleh beberapa penelt sepert Bnder (983), Asparouhov (006) dan Edeh dan Nathan (009). Pada kasus penarkan contoh dua tahap, peluang penarkan contoh untuk unt ke- pada area ke j adalah π = π π, =,...,N ; j=,...,m. Oleh j j / karena tu bobot percontohan adalah w j =w w j/ dmana w =/ π dan 67

91 w j / / π j / =, =,...N. Edeh dan Nathan (009) menyatakan bahwa kontrbus dar area ke- pada log-lkelhood sensus (untuk seluruh populas) adalah: Sehngga fungs kemungknan yang harus dmaksmumkan adalah: Oleh karena tu penduga fungs kemungknan adalah: (5.) Secara sngkat persamaan (5.3) dtuls dalam bentuk:. (5.3) Penduga KMS adalah nla-nla yang dperoleh dengan cara memaksmumkan persamaan (5.3) menggunakan metode numerk. Pendugaan Ragam dmana. (5.4) ) Pendugaan parameter pengaruh area Sebaran percontohan bersyarat µ y,... y tergantung pada sebaran m percontohan dar efek area pada tahap pertama dan sebaran y µ pada tahap j kedua. Untuk µ y,... y yang dasumskan menyebar normal, maka m penduga Bayes untuk µ y merupakan nla tengah dar sebaran posteror 68

92 f( yang dperoleh dar: f( Nla tengah untuk sebaran posteror f( adalah: Parameter rataan untuk sebaran normal d atas dapat dnyatakan sebaga: dmana: (5.5) dan Sehngga: (5.6). Pendugaan paramater d area yang terambl sebaga contoh dmana. (5.7) 69

93 Pendugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh Untuk area yang tdak terambl sebaga contoh, maka peluang untuk tdak terambl sebaga contoh adalah. Karena tdak ada unt yang damat atau terambl dalam percontohan maka pengaruh area yang tdak terambl sebaga contoh bukan merupakan fungs dar percontohan unt, sehngga: µ j, c y s ' { bˆ( z 0.5 ˆ j ˆ) γ + b ˆ σ µ { bˆ( z } ' y) + 0.5) bˆ ˆ σ gˆ( z ) ˆ ˆ exp ' j bσ µ = z ˆ jγ. (5.8) gˆ( z )exp j j µ } Menurut Edeh dan Nathan (006) Untuk model SAE sepert yang dnyatakan oleh persamaan y = x ' β + µ + e j j j dmana µ + = µ η, maka pendugaan parameter area ke- yang terambl sebaga contoh adalah: ' ˆ µ s, = φ ( y x β ˆ) + ( φ )( ˆ) µ + ( φ ) bσ µ φdσ e (5.9) dmana Sedangkan dugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh dnyatakan oleh persamaan : ˆ µ c, j bσ µ exp( b ˆ µ + 0.5b σ µ ) = ˆ µ. (5.30) exp( b ˆ µ + 0.5b σ ) µ 5.3. Pendugaan Area Kecl Menggunakan Model Campuran Lner Terbobot. Rao (003) membahas model SAE berbass penarkan contoh berpeluang tdak sama untuk peubah respon normal. Model SAE dkembangkan dengan memberkan bobot pada area surve dengan manggunakan rata-rata bobot level w = w / w = w / w unt j j k j. k y w j j j j = x T w j T j = w y = w ( x β + µ + e ) β + µ + e w j (5.3) 70

94 dmana e = w e dengan ( ) = 0 w j j j E dan V ( e w ) = σ e wj = σ e δ w e w j dan x w w j j x =. Selanjutnya pendugaan parameter dlakukan dengan j mengaplkaskan metode PTLT atau PTLTE untuk persamaan (5.3) d atas. Rao (003) menyebut metode pendugaan untuk unt contoh berpeluang tdak sama dengan stlah PTLT semu (pseudo BLUP) atau PTLTE semu (pseudo EBLUP). You dan Rao (00) mencoba menerapkan metode PTLTE semu untuk menduga produks jagung d wlayah kecl (kota) dan dhaslkan bahwa metode PTLTE semu menghaslkan KTG yang sedkt lebh kecl dbandngkan dengan PTLTE Pengembangan Model Bayes SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama untuk Respon Bnomal Sepert telah djelaskan pada Bab III, setap ndvdu dalam populas dklasfkaskan berdasarkan pada peubah demograf yatu usa (yang terdr dar 5 katagor) dan jens kelamn (terdr dar katagor) sehngga terdapat maksmum k=0 katagor. Jumlah ndvdu yang berada dalam area ke dan katagor ke j (j=,...k ) merupakan peubah Bnomal dengan peluang p j. Selanjutnya peubah respon y j ddefnskan sebaga fungs logt(p j ) yatu y j pj = logt( pj ) = p j. Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, maka dalam peneltan n pendugaan area kecl melalu pendekatan Bayes untuk peubah respon Bnomal ddasarkan pada pengembangan model SAE sebaga berkut: ) Menggunakan model lner terampat untuk sebaran respon logt normal dengan memberkan bobot penarkan contoh pada peubah respon y j = logt (p j ) dan peubah predktor x j. ) Menggunakan model SAE dengan menyertakan peluang percontohan dalam bentuk fungs eksponensal sepert yang dkembangkan oleh Edeh dan Nathan (009). Kedua metode d atas dbandngkan dengan metode SAE yang tdak memperhtungkan bobot peluang dengan menggunakan model sepert pada persamaan (3.3). Pendugaan propors d area kecl menggunakan pendekatan 7

95 Bayes dengan mengaplkaskan formula Bayes sepert yang dtunjukkan oleh persamaan (3.5) Penentuan Bobot Bobot percontohan untuk penarkan contoh merupakan kebalkan dar peluang penarkan contoh. Msalkan pada penarkan contoh dua tahap sepert yang dlakukan dalam Susenas, maka bobot percontohan dhtung dar perkalan fraks penarkan contoh pada tahap satu dan tahap dua. Jka d kecamatan tertentu contoh dambl dalam dua tahap dmana pada tahap pertama dplh blok sensus secara pps (proportonal to sze) dengan sze banyaknya rumah tangga hasl lstng SP00 ( N ), maka peluang contoh pada N blok sensus ke- untuk terplh sebaga percontohan adalah π = M N = N N. Dar M area atau blok sensus yang ada dplh m area kecl (blok sensus), sehngga fraks penarkan contoh tahap pertama adalah: N n N f = n =. N N N (5.3) Bla pada blok sensus yang terplh dtark sejumlah rumah tangga (n ) dengan peluang yang sama, maka peluang bersyarat terplhnya ndvdu ke-j pada blok sensus ke- dnyatakan sebaga π j, dmana π j = N. Jumlah ndvdu yang terplh adalah n, sehngga fraks penarkan contoh pada tahap kedua n adalah f j =. Sehngga overall samplng fracton adalah: N f j m N n m n = f f j = =. (5.33) N N N Dengan demkan desgn weght dapat drumuskan sebaga berkut: dengan: w j N = m n w : bobot ndvdu ke-j, blok sensus ke- j N : banyaknya populas lstng SP00 d kecamatan tertentu (5.34) 7

96 m : banyaknya contoh blok sensus yang dambl d kecamatan tertentu n : banyaknya contoh ndvdu d blok sensus ke Metode Pendugaan Parameter Area Kecl dengan Menyertakan Peluang Penarkan Contoh yang Bersfat Eksponensal. Hubungan antara peluang penarkan contoh dengan karakterstk area dan unt dnyatakan dalam bentuk fungs eksponensal sepert djelaskan oleh persamaan (5.5) dan (5.). Dalam peneltan n bobot peluang teramblnya contoh dhtung berdasarkan penarkan contoh dua tahap sehngga bobot peluang penarkan contoh untuk tahap satu adalah w = mn N dan bobot peluang N untuk unt sepert dnyatakan oleh persamaan (5.43) yatu wj =. m n Peubah yang dduga memlk hubungan dengan peluang penarkan contoh adalah peubah respon yatu logt (p ) untuk penarkan contoh area dan logt (p j ) untuk unt. Peluang penarkan contoh untuk area adalah pps, tergantung pada jumlah penduduk, dmana jumlah penduduk sangat dpengaruh oleh maju tdaknya suatu wlayah. D Indonesa, semakn maju suatu wlayah, maka jumlah penduduknya semakn besar dan tngkat penddkannya juga makn bak artnya angka melek hurufnya makn tngg. Karena tu jka penarkan contoh area (blok sensus) dlakukan secara pps, maka akan sangat beralasan menghubungkan peluang penarkan contoh dengan angka melek huruf. Dengan kata lan peluang area ke- terambl sebaga contoh ( ) dasumskan memlk hubungan dengan p atau logt (p ). melalu formula: w = exp dmana y =logt (p ). (5.35) by Sedangkan untuk level unt, (p j ) melalu formula: w = exp j dy j dasumskan memlk hubungan dengan logt dmana y j =logt (p j ), (5.36) oleh karena tu koefsen z dan x j pada persamaan (5.6) dan (5.) dambl sama dengan nol. Jka seluruh area kecl dalam populas dbedakan atas area yang terambl sebaga contoh dan yang tdak terambl sebaga contoh, maka dengan menggunakan formula (5.9) dan (5.30), parameter area ke- yang terambl sebaga contoh dduga dengan: 73

97 ' ˆ µ s, = φ ( y x β ˆ) + ( φ )( ˆ) µ + ( φ ) bσ µ φdσ e (5.37) sedangkan pendugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh: ˆ µ c, j bσ µ exp( b ˆ µ + 0.5b σ µ ) = ˆ µ (5.38) exp( b ˆ µ + 0.5b σ ) µ dmana dan Metode Pendugaan Parameter Area Kecl menggunakan Model Lner Campuran Terbobot Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, pengaruh bobot penarkan contoh untuk pendugaan area kecl dwujudkan dalam model-logt normal terbobot mengacu kepada cara Rao (003) yang dnyatakan dalam persamaan (5.3). Dalam peneltan n bobot tap ndvdu yang berada pada klasfkas ke j pada area ke- adalah w j, sehngga model SAE untuk y j =logt (p j ) terbobot adalah: j j j T j j T w w y = w ( x β + µ + e ) = x β + µ + e dmana y logt( p ) = log[ p /( p )] j = j j j dan w j j e j j e V ( e w ) = σ w = σ δ w w (5.39) e = w e, E ( ) = 0, Pendugaan parameter pada model (5.39) menggunakan metode KMB yang dterapkan untuk model lner logstk terbobot. ~ ~ ~ T ~ µ = X β + γ ( y x β ) (5.40) j T a a e w dmana ~ = log t p µ j j. Predks yang dperoleh adalah y j terbobot yatu yˆ ' j = w yˆ, sehngga j j penduga y j tanpa bobot adalah y ˆ = yˆ / w. Selanjutnya pendugaan area kecl j ' j j menggunakan pendekatan Bayes sepert yang djelaskan pada persamaan (3.5) Evaluas Terhadap Penduga Evaluas terhadap kualtas penduga ddasarkan pada besarnya smpangan dar nla dugaan terhadap nla parameter populas yang dukur dar 74

98 Rata-rata Bas Relatf (RBR), Akar dar Rata-rata Kuadrat Bas Relatf (ARKBR) dan Kuadrat Tengah Galat (KTG): (5.4) (5.4). (5.43) Smulas Dalam rangka mengevaluas sfat penduga, maka dlakukan stud smulas dengan mengambl salah satu kecamatan d Kabupaten Sumenep yatu kecamatan Lenteng yang terdr dar 6 blok sensus dengan jumlah penduduk jwa. Jumlah penduduk berusa 0 tahun keatas 48.8 jwa, terdr dar.76 lak-lak dan 5.50 perempuan. Jumlah penduduk berusa 0 tahun ke atas d tap blok sensus sangat bervaras, yatu antara 559 jwa sampa 70 jwa. Propors penduduk yang bsa baca tuls sektar 74%, untuk lak-lak sebesar 80,53% dan perempuan hanya 69,3%. ) Proses Penarkan contoh dan penentuan bobot Pada surva Susenas, blok sensus dplh secara acak dengan peluang proportonal to sze, oleh karena tu blok sensus merupakan area kecl yang damat. Dalam smulas n, metode penarkan contoh dlakukan sesua dengan metode Susenas yatu penarkan contoh dua tahap dmana pada tahap pertama dplh 5 blok sensus secara pps (Probablty Proportonal to Sze) dengan sze banyaknya rumah tangga hasl senara SP00 (N ) dan pada tahap kedua, dar setap blok sensus terplh dplh sejumlah 6 rumah tangga basa secara acak berdasarkan hasl lstng SP00. Penarkan contoh dulang sebanyak 00 kal Fraks penarkan contoh pada tahap pertama sesua dengan persamaan (5.34) dan untuk tahap kedua sesua dengan persamaan (5.35), yatu: Tahap pertama, peluang teramblnya contoh area (blok sensus) tertentu adalah dmana N adalah jumlah populas pada blok sensus ke dan N adalah jumlah populas d seluruh kecamatan. Tahap kedua, peluang teramblnya contoh da area ke- adalah 75

99 ) Pendugaan Area Kecl Sesua dengan proses yang telah djelaskan pada sub bab 5.3, pendugaan parameter model dlakukan dengan 3 cara yatu: a. Dengan menggunakan model SAE dengan tdak memperhtungkan bobot sepert pada persamaan (3.3). Pendugaan propors d area kecl menggunakan pendekatan Bayes dengan mengaplkaskan formula Bayes sepert yang dtunjukkan oleh persamaan (3.5) b. Dengan memperhtungkan bobot penarkan contoh yang dasumskan memlk hubungan eksponensal sepert dtunjukkan oleh persamaan (5.35) dan (5.36). Pendugaan area kecl menggunakan rumus (5.37) dan (5.38) c. Dengan memperhtungkan bobot penarkan contoh sepert dtunjukkan oleh persamaan (5.39) Evaluas terhadap kualtas penduga ddasarkan pada besarnya smpangan dar nla dugaan terhadap nla parameter populas yang dukur dengan RBR, ARKBR dan KTG sepert pada rumus (5.4), (5.4) dan (5.43). 3) Hasl Smulas Nla dugaan angka melek huruf (propors penduduk usa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep sepert djelaskan pada Tabel 5. dan dalam bentuk grafk dtunjukkan pada Gambar 5.. Gambar 5. menjelaskan besarnya bas dugaan dar masngmasng metode. Gambar 5. maupun Gambar 5. menunjukkan bahwa metode pendugaan parameter melalu pendekatan Bayes dengan menggunakan model logt normal campuran terbobot memberkan hasl yang terbak. Sedangkan untuk pendugaan parameter yang menyertakan fungs peluang dalam bentuk eksponensal memlk bas yang lebh besar. 76

100 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 Dugaan Angka Melek Huruf Populas Model Eksponensal Model logt normal Tanpa Bobot Model Logt normal dengan bobot Gambar 5. Plot hasl smulas pendugaan p (angka melek huruf) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep 0,500 0,400 Bas Dugaan Angka Melek Huruf 0,300 0,00 0,00 0,000-0, ,00 Bas Model Eksponensal Bas Model logt normal Tanpa Bobot Bas Model Logt normal dengan bobot Gambar 5. Plot hasl smulas bas pendugaan p untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Hasl smulas n juga menunjukkan bahwa model logt normal campuran terbobot dengan pendekatan Bayes memberkan nla ARKBR dan KTG palng kecl yatu sebesar 0,007 dbandngkan metode yang lan (lhattabel 5.). Namun hasl perhtungan nla rata-rata bas relatf (RBR) lebh tngg dbandngkan dengan dengan SAE yang menyertakan model peluang eksponensal. Tnggnya nla KTG untuk model SAE eksponensal tersebut dsebabkan karena bas pada area (blok sensus) ke-7 sangat tngg dan model 77

101 nla pendugaan dar hasl smulas lebh menyebar dbandngkan dengan metode yang lan. Tabel 5.. Nla rata-rata bas relatf dan rata-rata kuadrat bas relatf untuk model terbobot dan model eksponensal pˆ EB KTG RBR RKBR Model Logt Normal 0,84 0,003 0, 0,430 Model Logt Normal Terbobot (W) 0,835 0,007 0,044 0,98 Model Eksponensal 0,740 0,7-0,0009 0,66 Populas 0,74 Tabel 5.. Hasl Smulas Dugaan p (propors penduduk usa 0 tahun ke atas yang bsa baca tuls) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Blok ModelCampuran Logt Normal Tanpa Bobot Model Campuran Logt Normal Terbobot Model- Eksponensal Populas pˆ EB -TB pˆ EB -B pˆ EB - Exp p Angka Melek Huruf Kecamatan Lenteng Aplkas : Pendugaan Angka Melek Huruf d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provns Jawa Tmur Berdasarkan hasl smulas, metode terbak untuk pendugaan parameter propors adalah model logt normal terbobot dmana pendugaan parameter area dlakukan melalu pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut dgunakan untuk menduga angka melek huruf d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. Hasl 78

102 pendugaan parameter model SAE dengan menggunakan metode PQL dapat dlhat pada Tabel 5.3 Gambar 5.3. menunjukkan hasl dugaan angka melek huruf d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Predks angka melek huruf d kabupaten Sumenep adalah 0,889 dmana nla parameter populas 0,7589. Propors,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0, Kode Kecamatan Populas Model Bobot B a s 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00-0,05-0,0-0,5-0,0-0,5-0, Kode Kecamatan rata-rata bas = (a) Nla parameter vs dugaan angka melek huruf (b) Nla bas dugaan angka melek huruf Propors Gambar 5.3 Nla dugaan, parameter populas dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Sumenep,0000 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0, Populas Kode Kecamatan Model Bobot B a s 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0, -0, -0, Kode Kecamatan rata-rata bas = Kec. Bej (a) Nla parameter vs dugaan angka melek huruf (b) Nla bas dugaan angka melek huruf Gambar 5.4. Nla dugaan, parameter populas dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Pasuruan 79

103 Sedangkan untuk kabupaten Pasuruan, nla predksnya adalah 0,8808 dengan nla parameter populas: 0,9044. Terlhat bahwa perbedaan antara nla dugaan dan nla parameter populas relatf sangat kecl, artnya Model Logt Normal Terbobot dapat menghaslkan bas yang sangat kecl. Nla KTG untuk dugaan tersebut adalah 0,049 untuk Kabupaten Sumenep dan untuk Kabupaten Pasuruan sedkt lebh besar yatu 0,00. Tnggnya nla KTG d Kabupaten Pasuruan dsebabkan karena bas dugaan yang relatf tngg d salah satu kecamatan yatu d Kecamatan Tosar karena propors penduduk berusa 0 tahun keatas yang bsa baca tuls d kecamatan tersebut sangat rendah dbandngkan dengan kecamatan yang lan yatu hanya sektar 50% Model SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Untuk Peubah Respon Multnomal Pengembangan model SAE: Model Campuran Logt Multnomal Terbobot y Sebaran marjnal dar setap komponen multnomal y k adalah bnomal: B( n, p ). Jka X k merupakan vektor kovarat tetap dan dasumskan tdak k ~ k tdak tergantung pada dan k, maka model lner yang ddasarkan pada raso θ = log k q ( p / p ) = log p / p k q k k k = (4.) adalah θ k = xkβk + uk, untuk =,...m dan k=,...q sepert yang dnyatakan oleh persamaan Hasl pengembangan model SAE untuk respon bnomal sebelumnya telah dsmpulkan bahwa model SAE terbak untuk respon bnomal yang menyertakan peluang penarkan contoh adalah model campuran logt-normal terbobot. Oleh karena tu dalam peneltan n, bobot peluang juga dperhtungkan dalam model SAE untuk peubah respon multnomal. Bobot peluang dberkan kepada setap unt percobaan sehngga pada model SAE yang djelaskan oleh persamaan (4.) adalah w = w / n dmana w jk adalah bobot pengamatan ke j pada katagor k j jk k. ke k d area ke. Sehngga model SAE untuk logt (p k ) terbobot dar peubah respon multnomal adalah: y = w y = w [ x β + u + e ] kw k k k k k k k (5.5) 80

104 dmana q y = log p / p = log p / p dar percontohan. k k q k k k = Selanjutnya pendugaan parameter model dlakukan dengan metode PQL dan REML sama sepert pada pendugaan parameter model SAE untuk respon bnomal untuk memperoleh pendugaan βˆ danσˆ dar model terbobot. kw kυw Untuk X k, yatu peubah penyerta dar populas dketahu, maka nla dugaan dar logt (p kw ) adalah ˆ θ = X ˆ β + u. Untuk mendapatkan nla kw k kw k ˆ θ = log p / p k maka k q katagor yatu /w k. θˆ dkalkan dengan kebalkan bobot untuk setap kw Pendugaan parameter model (5.) menggunakan metode PQL yang dterapkan untuk model lner logstk terbobot. Predks yang dperoleh adalah y k terbobot yatu yˆ ' = k w k yˆ k, sehngga penduga y k tanpa bobot adalah y ˆ = yˆ' / w k k w. Selanjutnya pendugaan area kecl menggunakan pendekatan Bayes sepert yang djelaskan pada persamaan (3.5) yatu dengan menduga * komponen y dar persamaan k p k = f y + f y. p k adalah propors unt k k * ( k ) k populas pada katagor ke-k d area ke- yang dnyatakan sebaga jumlah dar komponen percontohan dan komponen bukan percontohan dmana f k = n k /N k adalah fraks percontohan untuk katagor ke k. y k * y k adalah rata-rata contoh (propors) d area ke dan katagor ke k adalah rata-rata dar unt-unt yang tdak dambl contohnya pada Pendugaan katagor ke-k dalam area * yk dturunkan dengan cara yang sama dengan penduga Bayes untuk model SAE dengan peubah respon multnomal pada Bab IV yatu dengan persamaan (4.8). Penduga Bayes emprk untuk p k katagor ke k d area ke ) yatu p EB = k pˆ B ( ˆ, β ˆ σ ) k υ (propors pada Pendugaaan KTG ( pˆ EB ) dlakukan dengan metode Jackknfe sepert k yang dlakukan pada pendugaan SAE untuk peubah respon Bnomal pada Bab III atau respon multnomal tanpa bobot pada Bab IV yatu dengan menggantkan 8

105 p ˆ EB = k ( y, ˆ, µ ˆ) σ dan pˆ EB = k ( y, ˆ µ, ˆ σ ) dalam persamaan (4.5) k k k k, l k k l l sampa dengan persamaan (4.6) untuk memperoleh Mˆ dan k Mˆ k. Dengan demkan nla KTG KTG ( pˆ EB ) = k Mˆ + Mˆ. k k untuk pendugaan pada katagor ke k dan area ke Aplkas: Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah d Tngkat Kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Model SAE untuk respon multnomal terbobot sepert djelaskan oleh persamaan (5.) daplkaskan untuk menghtung rata-rata lama sekolah kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Pendugaan ratarata lama sekolah d tap kecamatan ddasarkan pada model area kecl yatu blok sensus. Melalu pendekatan Bayes, dengan menggunakan rumus (3.5), nla penduga propors penduduk d tap jenjang penddkan dan rata-rata nla KTG berdasarkan model SAE yang dperoleh dtunjukkan oleh Lampran 7 dan Lampran 9 dan secara grafs dtunjukkan oleh Gambar 5.5 dan Gambar 5.6. Dalam satu kecamatan, propors penduduk d tap jenjang penddkan relatf sama dar satu blok sensus ke blok sensus yang lan relatf homogen, sehngga dengan metode Jackknfe, penduga KTG relatf sangat kecl yatu untuk Kabupaten Sumenep antara 3,9 x 0 - sampa, x0-5, sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan antara, sampa, Gambar 5.7 menunjukkan rata-rata lama sekolah d tap kecamatan berdasarkan model SAE logt multnomal terbobot. Untuk Kabupaten Sumenep, rata-rata lama sekolah antara 3.99 tahun sampa 8,36 tahun dan d Kabupaten Pasuruan antara 4, tahun sampa 0,97 tahun. Beberapa kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan bahkan memlk rata-rata lama sekolah relatf rendah yatu sektar 4 tahun. 8

106 0,7000 Dugaan propors d tap jenjang penddkan Kab. Sumenep (dengan pembobotan) Dugaan KTG (dengan pembobotan) Propors 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,000 0,000 0, MSE 9,00E-05 8,00E-05 7,00E-05 6,00E-05 5,00E-05 4,00E-05 3,00E-05,00E-05,00E-05 0,00E Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Gambar 5.5. Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep Pendugaan Tngkat Penddkan Kab. Pasuruan (dengan pembobotan) MSE Pendugaan Tngkat Penddkan Kab. Pasuruan (dengan pembobotan) Propors 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,000 0,000 0, Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT MSE 9,00E-03 8,00E-03 7,00E-03 6,00E-03 5,00E-03 4,00E-03 3,00E-03,00E-03,00E-03 0,00E Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Gambar 5.6. Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Pasuruan 83

107 Rata-rata Lama Sekolah d tap kecamatan, Kabupaten Sumenep 9,500 0,500 Rata-rata Lama Sekolah d tap kecamatan,kabupaten Pasuruan 8,500 7,500 6,500 5,500 4,500 3,500 8,36 6,3 5,68 5,37 7,68 7,49 7,3 7, 6,94 6,84 6,8 6,38 4,66 4,84 4,5 5,48 5,68 7,8 7,4 7,887,95 3,99 6,98 6,7 5,5 4, Tahun Tahun 9,500 8,500 7,500 6,500 5,500 4,500 3,500 9,3 8,38,7 8,46 7,99 7,68 7,6 6,6 6,9 6,46 6,6 6,38 6, 5,97 5,535,6 5,30 5,4 5,03 4,45 4,65 4,60 4, Kecamatan Kecamatan Gambar 5.7 Nla dugaan rata-rata lama sekolah menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan 5.6. Perhtungan Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Berdasarkan predks angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah, berkut n dhtung nla Indeks Penddkan d tap kecamatan menggunakan rumus sebaga berkut: Indeks Penddkan = /3 I MH +/3 IRLS dmana: Indeks AMH/RLS: (X X mn )/ (X max X mn ) AMH: Angka melek huruf IMH: Indeks melek huruf RLS: Rata-rata lama sekolah IRLS : Indeks Rata-rata lama sekolah Dalam bentuk grafk nla ndeks penddkan d tap kecamatan dkabupaten Sumenep dan Pasuruan dapat dlhat pada Gambar 5.8. Sedangkan dalam peta tematk ndeks penddkan d Kabupaten Sumenep dan pasuruan dtunjukkan pada Gambar 5.9. dan Gambar

108 Kabupaten Sumenep Kabupaten Pasuruan Indeks 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 Indeks 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0, Kecamatan Kecamatan Gambar 5.8. Predks Indeks Penddkan d kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan menggunakan model SAE Gambar 5.9. Peta Tematk Indeks Penddkan d kabupaten Sumenep 85

109 Gambar 5.0. Peta Tematk Indeks Penddkan d kabupaten Pasuruan 5.7. Pembahasan Model SAE untuk respon Bnomal dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh. Hasl smulas menunjukkan bahwa metode pendugaan area kecl menggunakan sebaran pror logt normal melalu pendekatan Bayes emprk yang dkembangkan dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh memberkan penduga parameter propors area kecl yang palng bak karena dapat menurunkan bas dan KTG dar penduga. Sementara tu metode pendugaan area kecl yang dkembangkan berdasarkan penarkan contoh nformatf yatu dengan menyertakan model peluang penarkan contoh dalam bentuk fungs eksponensal memberkan rata-rata bas relatf yang rendah namun memberkan akar rata-rata kuadrat bas relatf maupun KGT yang lebh tngg dbandngkan dengan metode pendugaan menggunakan sebaran pror logt normal terbobot. Besarnya nla KTG lebh banyak dsebabkan karena ragam pendugaan yang relatf besar sehngga walaupun memberkan bas yang kecl maka KTG akan cenderung tngg. Penurunan bas dar model SAE eksponensal n menunjukkan 86