TINGKAT EFISIENSI PENAKSIR M TERHADAP PENAKSIR LMS DALAM MENAKSIR KOEFISIEN GARIS REGRESI

Transkripsi

1 INGKA EFISIENSI PENAKSIR M ERHADAP PENAKSIR LMS DALAM MENAKSIR KOEFISIEN GARIS REGRESI Harm Sugart (harm@ut.ac.d) And Megawarn Jurusan Statstk FMIPA Unverstas erbuka ABSRAC he usng of OLS method to estmate the regresson coeffcents n multple lnear regresson model presupposed assumpton that there s no outler n the data. Alternatvel robust regresson methods can be used. hs paper ams to nvestgate the effcenc of M method and LMS method to estmate the regresson coeffcents. Besdes applcaton data smulaton data generated b MINIAB and SYSA package program were used. he nvestgaton shows the LMS method s more effcent than the M method when there s outler n the data. Otherwse the M method s more effcent than the LMS method. Ke words : effcenc LMS estmator M estmator outler robust regresson Efsens suatu penaksr terhadap penaksr lanna dperlukan untuk mengetahu bahwa penaksr tersebut merupakan penaksr terbak atu penaksr dengan varans terkecl. Penggunaan metode ang tdak sesua dengan konds data ang ada akan menghaslkan penaksr ang tdak tepat. Oleh karena tu penggunaan suatu metode sangat menuntut dpenuhna asums-asums tertentu. Sebagamana dketahu bahwa penggunaan metode kuadrat terkecl (ordnar least square OLS) dalam menentukan penaksr parameter dar model regres Y 0 1 X1 X... p X p 1... n salah satuna menuntut dpenuhna asums data tdak mengandung penclan (outler) (Draper & Smth 1981). Adana pengamatan penclan (outler) dalam data dapat mengakbatkan penaksr koefsen gars regres ang dperoleh tdak tepat. Untuk mengatas kelemahan-kelemahan dar metode ang ada perlu dcoba metode lan ang bersfat tdak senstf terhadap pelanggaran asums-asums atu metode regres robust (robust regresson). Beberapa metode pendugaan/penaksran koefsen gars regres ang bersfat robust telah dkembangkan dantarana adalah metode pendugaan parameter regres berdasarkan pada penduga M (maxmum lkelhood estmator) dan penduga LMS (least medan of square estmator). ngkat efsens dar metode dapat dgunakan sebaga ndkator untuk menentukan metode mana ang lebh bak. Pada peneltan pendahuluan telah dperoleh hasl bahwa untuk data ang mengandung outler secara umum metode regres robust dengan menggunakan pembobot Huber lebh efsen dbandng metode OLS begtu juga untuk data ang tdak mengandung outler metode regres robust lebh efsen dbandng metode OLS (Sugart 008). Peneltan n bertujuan untuk mengkaj tngkat efsens penggunaan metode M dan metode LMS dalam menaksr koefsen gars regres.

2 Sugart ngkat Efsens Penaksr M terhadap Penaksr LMS Pengamatan Penclan dan Berpengaruh Serngkal model regres dbangun dar data ang banak mengandung kekurangan dantarana adalah adana pengamatan penclan atu pengamatan dengan ssaan ang cukup besar. Penolakan begtu saja suatu penclan bukanlah prosedur ang bjaksana karena adakalana pengamatan penclan memberkan nformas ang cukup berart msalna karena penclan tmbul dar kombnas keadaan ang tdak basa ang mungkn saja sangat pentng dan perlu dseldk lebh lanjut. Pengamatan penclan dapat merupakan pengamatan ang berpengaruh artna pengamatan ang dapat mempengaruh hasl pendugaan koefsen regres. Oleh karena tu tndakan membuang pengamatan ang berpengaruh akan mengubah secara berart persamaan regres serta kesmpulanna (Draper & Smth 1981). Menurut Mers (1990) untuk mendeteks adana pengamatan penclan ang berpengaruh dapat dgunakan nla perbedaan dugaan peubah tak bebas terbakukan atu DFFIS (dfferences n the fts) ang drumuskan sebaga: ˆ ˆ ( DFFIS) s h dmana: ˆ nla pendugaan ˆ nla pendugaan tanpa pengamatan ke- s dugaan smpangan baku tanpa pengamatan ke- dan h unsur ke- dar dagonal matrks top. Jka p menatakan banakna parameter dan n menatakan banakna pengamatan maka suatu pengamatan akan merupakan pengamatan berpengaruh dalam persamaan regres apabla mempuna nla DFFIS ( p n ). Metode Regres Robust dengan Penduga M Menurut Staudte dan Sheather (1990) jka hubungan lnear antara satu peubah respons dengan peubah-peubah bebasna dmodelkan sebaga: Y X dmana X menatakan bars ke- dar matrks rancangan X menatakan parameter model dan menatakan suku galat. Penduga kemungknan maksmum (M-estmator) ˆ untuk model dengan p parameter dperoleh dengan cara memnmumkan ˆ persamaan: ˆ 0 x e x e x x atau mencar penelesaan dar x x x dmana x e ang dapat dturunkan dan memenuh x x e untuk berbaga fungs konveks 0 0. Karena penduga ˆ ang dperoleh n bukan merupakan skala nvarant atu jka ssaanna e ˆ x dgandakan dengan suatu konstanta akan dperoleh penelesaan ang tdak sama sepert sebelumna; maka untuk e mendapatkan skala nvarant dgunakan nla sebaga penggant e dmana adalah faktor skala ang juga perlu dduga. Dengan demkan persamaan ang ada menjad: e ˆ x x ˆ x x x x x w 0 91

3 Jurnal Matematka Sans dan eknolog Volume 11 Nomor September e ˆ x x dmana w w x adalah fungs pembobot ang bernla antara 0 e dan 1. Secara umum fungs pembobot drumuskan sebaga berkut: ˆ x ( x ) e w w x c e ( x ) dmana c adalah nfluence functon dan ( x ) adalah suatu fungs ang tdak dketahu dan tergantung pada x nla melalu leverage. Dengan memlh fungs Huber c ang berbentuk e c jka c e e e c ( ) jka c e c jka c dan menentukan nla (1 h ( ) ) x serta ˆ s ( ) nla pembobot w menjad tergantung h pada kombnas besarna leverage dan studentzed resdual melalu DFFIS. Secara sngkat nla pembobot w dnatakan dalam bentuk: ˆ x e p / n w x w x mn 1 DFFIS e Fungs Huber c dan fungs pembobot Huber w x masng-masng dapat dlhat pada Gambar 1 dan Gambar. ( e / ) w( e / ) e/ e/ Selanjutna persamaan x ˆ w x 0 dapat dtulskan dalam bentuk matrks X WX X WY ang kta kenal sebaga persamaan normal kuadrat terkecl tertmbang dengan W adalah matrks dagonal ang bers pembobot. Solus persamaan normal tersebut akan memberkan 1 dugaan untuk atu: ˆ X WX X WY dan penduga M untuk dperoleh dengan cara 9

4 Sugart ngkat Efsens Penaksr M terhadap Penaksr LMS melakukan teras sampa dperoleh suatu hasl ang kovergen cara n basa dkenal sebaga metode kuadrat terkecl tertmbang secara teratf (teratvel reweghted least square). Berdasakan pembobot w ˆ dan penaksr M untuk parameter matrks varans kovarans untuk ˆ akn n dapat ddekat dengan persamaan berkut: n X D X X D X X D X n p dmana D 1 adalah matrks dagonal dengan elemen- e elemen dagonalna c v( x ) dagonalna w e (Staudte & Sheather1990). dan D adalah matrks dagonal dengan elemen-elemen Metode Regres Robust dengan Penduga LMS Salah satu metode regres robust ang juga serng dgunakan adalah metode LMS (least medan of squares). Metode n mempuna keuntungan untuk mengurang pengaruh dar ssaan (resdual). Menurut Rousseeuw dan Lero (003) penduga LMS dperoleh dengan mencar model regres ang memnmumkan medan dar h kuadrat ssaan ( e ) atau ddefnskan sebaga: ˆ arg mn medan e dengan e x ˆ ; 1... n. Ukuran sebaran dar galat dapat dtaksr dengan cara menentukan terlebh dahulu nla awal 1 Faktor (075) dusulkan karena medan z 1 (075) z berdstrbus N 0 untuk setap pengamatan atu w. Selanjutna nla awal taksran dhtung berdasarkan ˆ 0 1 jka r s jka r s 5 s /( n p) medan e. merupakan penaksr konssten untuk jka 0 s dgunakan untuk menentukan pembobot n n 1 1 w. Berdasarkan pembobot w nla akhr w e w p dan matrks varans kovarans untuk ˆ dperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecl terbobot akn: ˆ ˆ s X WX 1 Efsens Efsens dar dua penaksr adalah raso dar ukuran sampel ang dperlukan untuk mendapatkan keakuratan ang sama. Jka ˆ dan ˆ masng-masng adalah penaksr tak bas untuk parameter maka efsens relatf ˆ terhadap dkatakan lebh efsen dbandng ˆ jka ˆ ˆ & Scheaffer 008). ˆ adalah ˆ eff ˆ var var atau var ˆ var ˆ var ˆ var ˆ 1. Penaksr ˆ (Wackerl Mendenhall 93

5 Jurnal Matematka Sans dan eknolog Volume 11 Nomor September MEODE PENELIIAN ujuan data metode dan alat ang dgunakan dalam peneltan dsajkan dalam Gambar 3 ujuan umum Data Metode Alat Mengkaj tngkat efsens penggunaan metode M dan metode LMS dalam menaksr koefsen gars regres Data Smulas Data Nla mahasswa: ugas uton Partspas uton UAS Analss regres: Metode M Metode LMS MINIAB SYSA Gambar 3. ujuan Data Metode dan Alat Peneltan Guna memudahkan pemahaman tentang kajan metode ang ada dgunakan dua macam data atu data smulas berupa data bangktan ang dperoleh dengan bantuan program MINIAB vers 13.1 serta data sekunder berupa nla nla ugas utoral Onlne (uton) Nla Partspas uton dan nla UAS mata kulah MMPI5103 Statstka masa ujan Adapun langkah-langkah ang akan dlakukan dalam peneltan n adalah: 1. membangktkan sebanak 40 pasang data sebaga peubah bebas ( X1 X ) dan data galat ( ) dengan ~ NIID (0 ). menentukan peubah tak bebas ( Y ) melalu asums nla 0 1 tertentu Untuk model Y 0 1 X1 X 3. mendapatkan pengamatan penclan (outler) dengan menggant sejumlah tertentu pengamatan Y dengan nla ekstrm sedemkan sehngga dperoleh pengamatan penclan ang berpengaruh ˆ untuk data smulas dengan atau tanpa 4. mencar penaksr M untuk koefsen gars regres penclan 5. mencar penaksr LMS untuk koefsen gars regres ˆ untuk data smulas dengan atau tanpa penclan 6. menghtung eff ˆ ˆ ˆ var var ˆ untuk data smulas dengan atau tanpa penclan 7. menentukan metode ang lebh efsen antara metode M dan LMS dalam menaksr koefsen gars regres untuk data smulas. 8. mendapatkan data nla mahasswa berupa Nla UAS sebaga peubah tak bebas ( Y ) Nla ugas ( X 1) dan Nla Partspas uton ( X ) sebaga peubah tak bebas 9. mencar penaksr M untuk koefsen gars regres 10. mencar penaksr LMS untuk koefsen gars regres ˆ untuk data nla mahasswa ˆ untuk data nla mahasswa 94

6 Sugart ngkat Efsens Penaksr M terhadap Penaksr LMS 11. menghtung ˆ ˆ eff var ˆ var ˆ untuk data nla mahasswa 1. menentukan metode ang lebh efsen antara metode M dan LMS dalam menaksr koefsen gars regres untuk data nla mahasswa. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebanak empat puluh galat berdstrbus Normal dengan mean 0 dan varans 1 dan varabel ( X1 X ) dbangktkan secara random dengan paket program MINIAB. Dengan mengasumskan akn Y 1 X1 X smulas memberkan empat puluh pasang data ( Y X1 X ) ang dapat dlhat pada Lampran. Pada abel 1 dapat dlhat bahwa pada data ang tdak mengandung outler penaksr M mash cukup efsen dbandng penaksr LMS hal n ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 116 eff ˆ ˆ 574 dan dapat dlhat dar besarna nla eff akn eff eff ˆ ˆ 167. Nla-nla tersebut mempuna art bahwa untuk mendapatkan varans ang sama tentang penaksran parameter 0 metode LMS memerlukan 116% data dbandng metode M begtu juga tentang penaksran parameter 1 metode LMS memerlukan data sebesar 574% dbandng metode M serta memerlukan 167% untuk parameter. abel 1. Nla Efsens untuk Data anpa Outler Parameter ˆ ( ˆ ) M LM M LMS ˆ eff ˆ Pada abel dapat dlhat bahwa untuk data ang mengandung 5% outler penaksr LMS eff ˆ ˆ 1 akn masng-masng cukup efsen dbandng penaksr M hal n dapat dlhat dar nla eff ˆ ˆ 09 eff ˆ ˆ 04 dan eff ˆ ˆ Nla-nla tersebut mempuna art bahwa untuk mendapatkan varans ang sama tentang penaksran parameter 0 metode LMS hana memerlukan 9% data dbandng metode M begtu juga tentang penaksran parameter 1 metode LMS memerlukan data sebesar 4% dbandng metode M dan memerlukan 37% untuk parameter. abel. Nla Efsens untuk Data dengan 5% Outler Parameter ˆ ( ˆ ) M LM M LMS ˆ eff ˆ

7 Jurnal Matematka Sans dan eknolog Volume 11 Nomor September Pada abel 3 dapat dlhat bahwa untuk data ang mengandung 10% outler penaksr LMS eff ˆ ˆ ang sangat kecl sangat efsen dbandng penaksr M hal n dapat dlhat dar nla masng-masng adalah eff ˆ ˆ eff ˆ ˆ dan eff ˆ ˆ 010. Nla-nla tersebut mempuna art bahwa untuk mendapatkan keakuratan ang sama tentang penaksran parameter 0 metode LMS hana memerlukan 6% dar data ang dgunakan metode M begtu juga tentang penaksran parameter 1 metode LMS memerlukan sebesar 11% data ang dgunakan oleh metode M dan memerlukan 10% data untuk parameter. abel 3. Nla Efsens untuk Data dengan 10% Outler Parameter ˆ ( ˆ ) M LM M LMS ˆ eff ˆ Hasl erapan Data nla mahasswa berupa nla ugas utoral Onlne (uton) nla Partspas uton dan nla UAS mata kulah MMPI5103 Statstka masa ujan dapat dlhat pada abel 4. Jka nla DFFIS dbandngkan dengan nla ( p n ) maka dapat dlhat bahwa terdapat tga pengamatan ang mempuna DFFIS atu pengamatan nomor dan 16. Hal n menunjukkan bahwa data tersebut mengandung tga outler akn pengamatan ang berpengaruh dalam menentukan persamaan regres. abel 4. Data Nla Mahasswa Observas UAS ugas Partspas DFFIS

8 Sugart ngkat Efsens Penaksr M terhadap Penaksr LMS Pada abel 5 dapat dlhat bahwa untuk data nla mahasswa penaksr LMS kurang efsen eff ˆ ˆ 1 akn dbandng penaksr M untuk parameter 0 dan 1. Hal n dapat dlhat dar nla eff 0 0 dan eff 1 1 penaksr M karena ˆ ˆ eff 1 akn eff. Untuk parameter penaksr LMS lebh efsen dbandng. Nla-nla tersebut mempuna art bahwa untuk mendapatkan keakuratan ang sama tentang penaksran parameter 0 metode LMS memerlukan 167% dar data ang dgunakan metode M; begtu juga tentang penaksran parameter 1 metode LMS memerlukan sebesar 149% data dbandngkan metode M. Untuk penaksran parameter metode LMS hana memerlukan 34% data dbandngkan metode M. Meskpun data nla mahasswa mengandung outler namun hasl analss menunjukkan bahwa penduga LMS relatf kurang efsen dbandng penduga M hal n mungkn dsebabkan model lnear kurang sesua untuk data ang ada. abel 5. Nla Efsens untuk Data Nla Mahasswa Parameter ˆ s ( ˆ ) ˆ eff ˆ M LM M LMS Konstan ( 0 ) ugas ( 1 ) Partspas ( ) KESIMPULAN Secara umum dapat dsmpulkan bahwa metode LMS memberkan penaksr koefsen gars regres ang tdak jauh berbeda dengan metode M. Dalam hal data tdak mengandung outler metode LMS kurang efsen dbandng metode M dalam menaksr koefsen gars regres; namun metode LMS sangat efsen dbandng metode M dalam menaksr koefsen gars regres jka data mengandung outler. Secara khusus jka model tdak sesua dengan data meskpun data mengandung outler maka metode LMS menjad tdak efsen dbandng metode M dalam menaksr koefsen gars regres. REFERENSI Draper N.R. & Smth H. (1981). Appled regresson analss ( nd ed). New York: Wle. Mers R.H. (1990). Classcal and modern regresson wth applcatons ( nd ed). Boston: PWS- Kent. Rousseeuw P.J. & LeroA.M. (003). Robust regresson and outler detecton. New York: Wle. Staudte R.G. & Sheather S.J. (1990). Robust estmaton and testng. New York: Wle. Sugart H. (008). Resstens dan efsens fungs pembobot Huber pada metode regres robust. Makalah pada Konferens Nasonal Matematka XIV tanggal 4-7 Jul 008 d Unverstas Srwjaa Palembang. WackerlD.D. MendenhallW. & ScheafferR.L. (008). Mathematcal statstcs wth applcatons (7 th ed). Duxbur: homson. 97

9 Jurnal Matematka Sans dan eknolog Volume 11 Nomor September LAMPIRAN Observas Y X1 X Observas Y X1 X