Parameter Quantile-like dalam Pendugaan Area Kecil Melalui Pendekatan Penalized-Splines

Transkripsi

1

2 Statstka, Vol. 8, No. 1, Unsba Bandung, Me 2008 Parameter Quantle-lke dalam Pendugaan Area Kecl Melalu Pendekatan Penalzed-Splnes Kusman Sadk Departemen Statstka IPB, Bogor Jl. Merant, Kampus IPB Darmaga, Bogor, Abstrak Pada beberapa tahun terakhr n, para statsts mula mengembangkan metodolog yang berkatan dengan pendugaan untuk daerah atau doman surve yang memlk sampel kecl atau bahkan tdak memlk sampel satupun. Data yang dperoleh melalu teknk surve yang tepat akan sangat efektf dan memlk sfat relabltas untuk menduga total atau rataan peubah tertentu. Sfat penduga yang demkan dapat dcapa apabla data sampel dar surve mencakup daerah atau doman yang besar. Msalnya, beberapa surve ekonom yang dlakukan d Indonesa berskala nasonal. Pada surve yang demkan banyaknya sampel rumah tangga untuk tap kecamatan dalam suatu kabupaten sangat kecl (small area). Bahkan bsa terad suatu kecamatan tertentu tdak terplh sebaga daerah surve sehngga sampel rumah tangga dar kecamatan tersebut tdak ada. Persoalannya adalah bagamana menduga parameter, msalnya tngkat kemsknan d level kecamatan tersebut sementara sampelnya sangat kecl. Salah satu metode yang banyak dkembangkan untuk pendugaan area kecl (small area estmaton / SAE) adalah model yang berbass pada generalzed lnear mxed model (GLMM). Beberapa pendekatan lan saat n mula ddskuskan oleh para statsts d duna. Salah satu metode alternatf tersebut adalah pemodelan yang ddasarkan pada kuantl yang dkenal dengan M-quantle P-splnes. Aspek pentng dar metode n adalah adanya sfat tegar (robust) terhadap penclan (outlers) dan bebas sebaran (dstrbuton free). Kata Kunc : drect estmaton, ndrect estmaton, general lnear mxed model (GLMM), emprcal best lnear unbased predcton (EBLUP), M-quantle regresson, robust estmaton, penalzed splnes, teratvely reweghted penalzed least squares (IRPLS). Pendahuluan Surve menad salah satu bagan pentng dar proses pengamblan keputusan yang berbass pada data. Sehngga surve sudah dlakukan bak d lembaga peneltan swasta maupun neger. Bahkan kebakan publk suatu negara sangat dpengaruh oleh datadata hasl surve. Sangat beragam persoalan yang dtemu dalam surve. Namun demkan, ada dua topk utama yang menad perhatan para statsts selama tahun-tahun terakhr n. Topk tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknk penarkan sampel (samplng technque) dan pengembangan metodolog pendugaan parameter pupulas (estmaton methods). Basanya statstk dperoleh dar suatu surve yang ddsan untuk memperoleh statstk nasonal. Artnya surve semacam n ddsan untuk nferensa bag daerah (doman) yang luas. Persoalan muncul ketka dar surve sepert n ngn dperoleh

3 nformas untuk area yang lebh kecl, msalnya nformas pada level propns, kabupaten, bahkan mungkn level kecamatan. Statstk area kecl (small area statstc) telah menad perhatan para statsts duna secara sangat serus seak sepuluh tahun terakhr n (msalnya Dol, 1991; Ghosh and Rao, 1994; Chand dan Alexander, 1995; Carln, 1998; dan Rao, 2003). Berbaga metode pendugaan area kecl (small area estmaton) telah dkembangkan khususnya menyangkut metode yang berbass model (model-based area estmaton). Pendugaan langsung umumnya ddasarkan pada teknk penarkan sampelnya (samplng technque). Teknk semacam n telah dkembangkan oleh Cochran (1977), Sewnson dan Wretman (1992), dan Thompson (1997). Metode yang ddasrak pada pemodelan (model-based) uga telah dkembangkan, msalnya sepert yang dlakukan oleh Dorfman dan Royall (2001). Pada pendugaan yang berbass pada rancangan surve (desgn-based), pembobot rancangan w (s) memlk peranan pentng dalam membentuk penduga berbass rancangan Yˆ bag Y. Pembobot n tergantung pada s dan elemen (s). Salah satu bentuk pembobot yang pentng adalah w (s)=1/, dmana = {s:s} p(s), =1, 2,.., N. Apabla tdak nformas penyerta (auxlary nformaton), maka penduga langsung dapat dekspreskan sebaga Yˆ = {s:s} w (s)y. Dalam kasus n, rancangan tdak berbas apabla terpenuh {s:s} p(s)w (s) = 1 untuk =1, 2,, N. Pembobot n merupakan bentuk umum dar penduga Horvtz-Thompson (Cochran, 1977). Pendugaan Area Kecl (Small Area Estmaton) Pendugaan area kecl merupakan konsep terpentng dalam pendugaan parameter secara tdak langsung d suatu area yang relatf kecl dalam persampelan surve (survey samplng). Metode pendugaan area kecl dgunakan untuk menduga karakterstk dar subpopulas (doman yang lebh kecl). Pendugaan langsung (drect estmaton) pada suppopulas tdak memlk press yang memada karena keclnya umlah sampel yang dgunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Alternatf metode lan adalah dengan cara menghubungkan area tersebut dengan area lan melalu model yang tepat. Dengan demkan dugaan tersebut merupakan dugaan tdak langsung (ndrect estmaton), dalam art bahwa dugaan tersebut mencakup data dar doman yang lan. Rao (2003) menyebutkan bahwa prosedur pendugaan area kecl pada dasarnya memanfaatkan kekuatan area sektarnya (neghbourng areas) dan sumber data dluar area yang statstknya ngn dperoleh. Pendugaan tdak langsung dapat menggunakan pendekatan model secara umum. Msalkan dasumskan bahwa = g( Y ) untuk beberapa spesfkas g(.) dhubungkan dengan data penyerta spesfk pada area, z = (z 1,, z p ) T melalu suatu model lnear = z T + b v, = 1,, m dmana b adalah konstanta postf yang dketahu dan adalah vektor berukuran px1. Sedangkan v adalah pengaruh acak (random effects) spesfkas area yang dasumskan bebas dan menyebar dentk (ndependent and dentcally dstrbuted, d) dengan E m (v ) = 0 dan V m (v ) = v 2 ( 0), atau v d (0, v 2 )

4 Pendugaan tdak langsung untuk rataan populas d area kecl, ( Y ), dperlukan nformas mengena penduga langsungnya yatu Yˆ. Dengan menggunakan metode James-Sten akan dperoleh: ˆ g(yˆ ) = + e ˆ z T + b v + e, = 1,, m dmana galat penarkan sampel (samplng error) e adalah bebas dengan E p (e ) = 0 dan V p (e ) =, atau v d (0, v 2 ) General Lnear Mxed Model Rao(2003) mengatkan model-model d atas sebaga bagan dar general lnear mxed model (GLMM) yang menggabungkan antara pengaruh tetap (fxed effects) dan pengaruh acak (random effects) dalam suatu model umum. Datta dan Ghosh (1991) mengemukakan formulas model GLMM sebaga berkut : y P = X P + Z P v + e P Pada model n v dan e P bebas dengan e P N(0, 2 P ) dan v N(0, 2 D()), dmana P adalah matrk defnt postf yang dketahu dan D() adalah matrk defnt postf yang strukturnya dketahu. Sedangkan X P dan Z P adalah matrk rancangan dan Y P adalah vektor N x 1 dar nla y populas. Matrk koragam bag v dan e masngmasng adalah G dan R. Persamaan d atas dapat pula dtuls sebaga berkut: P y X Z e y v y * X * Z * e * dmana bagan yang dtanda astersk (*) menunukkan unt yang tdak tercakup dalam sampel (nonsampled). Vektor untuk total (Y ) pada area kecl adalah berbentuk Ay + m T m T m Cy* dengan A = 1 1n dan C = 1 1N n dmana 1 A u = blockdag(a 1,, A m ). Pada GLMM n dlakukan pendugaan terhadap kombnas lnear dar parameter yatu = 1 T + m T v. Rao (2003) mengemukakan bahwa untuk tertentu yang dketahu maka penduga BLUP (best lnear unbased predcton) bag adalah H ~ = t(, y) = 1 T ~ + m T ~ v = 1 T ~ + m T GZ T V -1 (y - X ~ ) dmana ~ = ~ () = (X T V -1 X) -1 X T V -1 y v~ = v ~ () = GZ T V -1 (y - X ~ ) Model untuk pendugaan tdak langsung, yatu ˆ z T + b v + e, = 1,, m, sebenarnya merupakan kasus khusus dar model GLMM, yatu y = ˆ, X = z T, Z = b dan v = v, e = e, = ( 1,, p ) T sedangkan G = 2 v, R =

5 sehngga V = + v 2 b 2 dan = = z T + b v Apabla persamaan pendugaan tdak langsung dsubsttuskan ke dalam pendugaan GLMM akan dperoleh penduga BLUP bag atau yatu: ~ H = T z ~ + ( ˆ - z T ~ ), dmana = 2 v b 2 /( + 2 v b 2 ), dan ~ = ~ ( v 2 ) = m z z T m vb 1 z ˆ 2 v b 2 M-quantle P-Splnes dalam Pendugaan Area Kecl Chambers dan Tzavds (2006) mengusulkan suatu pendekatan baru untuk pendugaan area kecl ddasarkan pada parameter quantle-lke pada sebaran bersyarat dar peubah yang menad perhatan untuk beberapa kovarat yang dberkan. Model nonparametrk n dmungknkan dapat memberkan keuntungan pentng apabla bentuk fungsonal hubungan antar peubah yang menad perhatan dan kovaratnya adalah tdak lner. Spesfkas yang salah tentang model dapat menyebabkan bas dalam pendugaan parameter area yang kecl. Pengembangan M-quantle dalam pendugaan area kecl merupakan salah satu pendekatan model apabla bentuk fungsonal dar hubungan antar peubah dan kovaratnya tdak dapat dspesfkaskan. Sementara regres Penalzed-splne, serng dkenal sebaga P-splnes, adalah suatu metoda nonparametrk yang akhr-akhr n cukup populer karena fleksbltasnya (lhat Ruppert, Wand, dan Carrol, 2003). P- splnes uga mula ddskuskan sebaga salah satu metode alternatf dalam pendugaan area kecl yang ddasarkan pada model pengaruh campuran/mxed effects models (Opsomer et al., 2005). Gambar 1. Hubungan antar Peubah yang tdak Lner Pada generalzed lnear mxed model mengasumskan bahwa keragaman yang berhubungan dengan sebaran bersyarat bag y ka dketahu vektor kovarat x bsa

6 dnyatakan sebaga struktur hrark yang sebelumnya telah dspesfkaskan. Suatu pendekatan alternatf ke pemodelan keragaman dar sebaran bersyarat n adalah melalu regres lner M-quantle yang tdak tergantung pada struktur hrark data (Chambers dan Tzavds, 2006). Regres M-quantle mengntegraskan konsep regres quantle dan regres expectle d dalam suatu kerangka umum yang ddefnskan oleh suatu generalsas quantle-lke dar regres berdasarkan pada fungs pengaruh. Prates et al. (2006) mengembangkan regres M-quantle untuk suatu kasus dmana hubungan antara peubah yang dmnat (y) dengan peubah kovaratnya (x) tdak lner melalu P-splnes dan dgunakan untuk pendugaan area kecl. Msalkan dgunakan kovarat tunggal yatu x. Suatu model P-splne untuk kuantl bersyarat ke-q bag y apabla dberkan x adalah : q K p p 0 ( q) 1 ( q) x... p ( q) x ( pk ) ( q)( x k ) k1 Q ( x, ) dmana adalah fungs pengaruh yang dspesfkas, (t) p + = t p ka t > 0 dan 0 untuk selannya, p adalah deraat dar splne, dan k untuk k = 1,, K adalah gugus smpul (knots), nla smpul K dplh besar dan pengaruh smpul dletakkan sebaga pembatas bag ukuran koefsen splne. Suatu vers penalzed dar M-penduga general bsa dgunakan untuk memperoleh penduga: n K 2 ( y Qq ( x, )) ( ) ( pk ) 2 1 damana fungs memberkan kontrbus pada masng-masng ssaan pada fungs tuuan, adalah pengganda Lagrange yang mengendalkan taraf pemulusan pada hasl fttng, dan n adalah banyaknya unt sampel. Penduga bag parameter regres nonparametrk model M-quantle bsa dperoleh melalu pemecahan persamaan : n 1 k 1 q ( y xβ) x ( pk ) menggunakan teratvely reweghted penalzed least squares (IRPLS). Penduga rataan untuk area kecl dapat dnyatakan sebaga berkut: 1 ˆ N ˆ n yˆ ( ) ˆ ( ˆ ) ( ( ˆ tdfcd, t y xβ q y xβ q )) N s r n s n n dmana Fˆ ( ) adalah dugaan fungs sebaran kumulatf untuk masng-masng area CD, t kecl, qˆ adalah nla rataan koefsen sampel M-quantle untuk semua unt dalam area, s n dan r dnotaskan sebaga sampel dan non-sampel dalam area, dan N adalah ukuran populas dalam area. Nla y yang tdak teramat untuk unt populas r dpredks menggunakan x ˆ ( ˆ ). β q K k 1 0 Contoh Kasus Sebaga salah satu contoh kasus dgunakan data smulas untuk melhat beberapa karakterstk dar hasl pendugaannya. Pada smulas n dgunakan 20 area ( = 1, 2,, 20), dan masng-masng dulang sebanyak 100 kal. Ddalamnya menggunakan 3 (tga)

7 kovarat. Hasl pendugaan area kecl melalu Generalzed Lnear Mxed Model (GLMM) dan M-quantle P-splne terdapat pada Tabel 1. Tabel 1. Hasl Pendugaan Melalu GLMM dan M-quantle P-splne Nla GLMM M-q P-s Area Sebenarnya ( ) ˆ StdErr ˆ StdErr StdErr : Standard Errror Berdasarkan hasl pada Tabel 1, pendugaan melalu M-quantle P-splne menghaslkan standard error yang lebh kecl dbandngkan dengan pendugaan melalu GLMM. Hal n mungkn dsebabkan karena adanya penclan (outler) pada kovaratnya. Artnya, hasl pendugaan melalu M-quantle P-splne bersfat lebh tegar (robust) dbandngkan GLMM. Kesmpulan Metode pendugaan area kecl (small area estmaton) dapat dgunakan untuk menngkatkan keakuratan pendugaan dengan cara menngkatkan efsens penggunaan

8 sampel melalu fungs hubung (lnk functon) antara penduga langsung dengan pengaruh tetap dan pengaruh acak pada suatu area tertentu. Metode M-quantle P-splne dapat dadkan sebaga salah satu metode alternatf dsampng GLMM, khususnya apabla bentuk fungsonal dar hubungan antar peubah dan kovaratnya tdak dapat dspesfkaskan. Atau hubungannya tdak bersfat lner, sementara dalam GLMM hubungan tersebut dasumskan lner. Pustaka Chambers, R., Tzavds, N. (2006). M-quantle Models for Small Area Estmaton, forthcomng n Bometrka. Rao, J.N.K. (2003). Small Area Estmaton. John Wley & Sons, Inc. New Jersey. Rao, J.N.K., dan Yu, M. (1994). Small Area Estmaton by Combnng Tme Seres and Cross-Sectonal Data. Proceedngs of the Secton on Survey Research Method. Amercan Statstcal Assocaton. Ruppert, R., M. Wand, dan R. Caroll (2003). Semparametrc Regresson. Cambrdge Unversty Press. Swenson, B., dan Wretman., J.H. (1989). The Weghted Regresson Technque foe Estmatng the Varance of Generalzed Regresson Estmator. Bometrka, 76, Thompson, M.E. (1997). Theory of Sample Surveys. London: Chapman and Hall.