PENDEKATAN GENERAL LINEAR MIXED MODEL PADA SMALL AREA ESTIMATION

Transkripsi

1 Forum Statstka dan Komputas, Oktoberl 005, p: 1 16 Vol. 10 No. PENDEKATAN GENERAL LINEAR MIXED MODEL PADA SMALL AREA ESTIMATION Kharl A. Notodputro dan Anang Kurna Departemen Statstka FMIPA IPB Abstract Small area estmaton s commonly used to descrbe smaller doman or subpopulaton. Small area estmaton s an mportant measurng nstrument to estmate parameter of smaller doman borrowng strength of populaton parameter estmate through statstcal models wth random nfluence. In ths paper we showed the contrbuton of statstcal methods n small area estmaton usng general lnear mxed models. Keywords : small area estmaton, general lnear mxed model PENDAHULUAN Dalam suatu survey tngkat nasonal serngkal kta dhadapkan pada masalah tngkat akuras hasl yang berbeda antara level nasonal dengan level dbawahnya bak propns maupun kabupaten/kota. Tngkat akuras pada level nasonal akan berlpat kal lebh bak darpada tngkat akuras pada level kabupaten/kota. Suatu metode yang dkembangkan untuk menangan kasus tersebut adalah small area estmaton yang merupakan hmpunan dar berbaga metode statstka yang berupaya untuk memanfaatkan keakuratan/kekuatan penduga parameter pada level nasonal untuk menduga parameter pada level kabupaten/kota atau propns. Small area basanya dterjemahkan sebaga wlayah yang lebh kecl dar suatu wlayah populas. Jka Indonesa merupakan wlayah populas, maka propns atau kabupaten/ kota adalah yang dmaksud dengan small area karena geograf. Dalam lmu statstk, perhatan terhadap small area merupakan bagan atau parts dar wlayah populas bak berdasarkan geograf, sosalekonom, budaya atau yang lannya. Dalam makalah n dperlhatkan kontrbus metode statstka dalam small area estmaton melalu composte estmaton dengan menggunakan konsep general lnear mxed model. KAJIAN PUSTAKA Model Lnear Campuran Bentuk umum model lnear campuran dsajkan sebaga berkut: y = Xβ + Zb + e (1) X adalah matrks (n x p) dan Z berukuran (n x q), sedangkan β merupakan pengaruh tetap dan b pengaruh acak dmana e ~ N(0, Σ) serta b ~ N(0, D). Σ dan D merupakan komponen ragam yang tdak dketahu dan basa dduga dar data dmana Σ = σ I n dan D = σ b I n. Nla harapan y jka b dketahu adalah E(y b) = Xβ + Zb dengan ragam Σ () Dar (1) margnal dstrbuton bag y adalah normal dengan nla tengah Xβ dan ragam V = Σ + ZDZ sehngga logkemungknan bag (β,θ) untuk θ =(σ, σ b ) adalah log L(β,θ)= 1 log V 1 (y xβ) V 1 (y xβ) (3) Jka θ fxed (tetap), penduga bag β adalah penyelesaan dar (X V 1 X)β = X V 1 y (4) yang tdak lan adalah penyelesaan melalu generalzed atau weghted leastsquare. Perhatkan logkemungknan untuk seluruh parameter (β,θ,b) L(β,θ,b) = p(y b) p(b) (5) Berdasarkan konds () dan b ~ N(0, D), maka log L(β,θ,b) = 1 log Σ 1 (y Xβ Zb) Σ 1 (y Xβ Zb) 1 log D 1 b D 1 b (6) 1

2 Forum Statstka dan Komputas, Oktoberl 005, p: 1 16 Vol. 10 No. Untuk (β,θ) yang dketahu, turunan (6) terhadap b adalah dlog L db = Z Σ 1 (y Xβ Zb) D 1 b (7) dan penduga bag b adalah penyelesaan dar (Z Σ 1 Z + D 1 ) b = Z Σ 1 (y Xβ) (8) Penduga tersebut dkenal sebaga Best Lnear Unbased Predctor (BLUP) dan dalam prakteknya parameterparameter yang tdak dketahu akan dsubsttus dengan penduganya sehngga kemudan dsebut Emprcal Best Lnear Unbased Predctor (EBLUP). Perhatkan jka b kta anggap sebaga peubah acak, maka fungs kemungknan dapat dnterpretaskan sebaga fungs kepekatan peluang. Dengan demkan p(b) dapat dpandang sebaga sebaran awal (pror dstrbuton) bag b sehngga posteror dstrbuton bag b akan memlk nla tengah bˆ dan ragam (Z Σ 1 Z + D 1 ) 1, dmana (Z Σ 1 Z + D 1 ) 1 = (I(bˆ )) 1 dperoleh dar turunan kedua (7) terhadap b yang tdak lan adalah Informas Fsher bag bˆ. Penurunan lengkap dapat dlhat pada Pawtan (001). Interpretas tersebut tdak lan adalah konsep Emprcal Bayes (EB). Model Small Area Estmaton Suatu wlayah populas W dasumskan terdr dar partsparts wlayah (subpopulas) W yang lebh kecl dan tdak salng berrsan untuk = 1,, 3,..., k. Secara umum ada tga pendekatan untuk melakukan pendugaan parameter pada masalah small area : (1) Drect estmaton, () Indrect estmaton, dan (3) Composte estmaton. Suatu penduga bag parameter ϒ dar suatu subpopulas W secara langsung dapat dperoleh berdasarkan anggota contoh pada subpopulas tersebut (drect / desgnbased estmator). Menurut Ramsn et all (001) penduga tersebut merupakan penduga tak bas tetap memlk ragam yang besar karena dperoleh dar ukuran contoh yang kecl. Masalah lan akan tmbul apabla pada suatu subpopulas W tdak terwakl ddalam survey, sehngga yang mungkn dlakukan adalah pendekatan/pendugaan secara tdak langsung dan dsebut sebaga ndrect estmator, Bredt (001). Penduga tersebut dperoleh dengan memanfaatkan nformas peubah lan yang berhubungan dengan parameter yang damat, sehngga serng juga dsebut modelbased estmator, Ramsn et al (001). Dalam hal n, dua de utama dgunakan untuk mengembangkan model untuk small area estmaton (Sae dan Chambers, 003) yatu (1) asums bahwa keragaman ddalam subpopulas peubah respon dapat dterangkan seluruhnya oleh hubungan keragaman yang bersesuaan pada nformas tambahan, kemudan dsebut model pengaruh tetap (fxed effect), () asums keragaman spesfk subpopulas tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan dan merupakan pengaruh acak subpopulas (random effect). Gabungan dar dua asums tersebut membentuk model pengaruh campuran (mxed models). Namun demkan kelemahan terjad jka model yang dbuat tdak merepresentaskan konds sebenarnya, Bredt(001). Fay dan Herrot (1979) secara umum menggunakan persamaan (1) dengan Z hanya mengandung ntersep, dengan kata lan model hanya melput pengaruh acak area, untuk menduga ratarata pendapatan subpopulas (<1000) menggunakan data sensus 1970 d Amerka Serkat. Model FayHerrot tersebut merupakan model dasar bag pengembangan pemodelan small area yatu y = ω + e ; ω = x β + υ, dmana e dan υ salng bebas dengan E(e ) = E(υ ) = 0 serta Var(e ) = Σ dan Var(υ ) = D ( = 1,, 3,..., k). Russo et.al (005 menjabarkan lebh lanjut model small area dengan memperjelas pengaruh acak subpopulas d dalam model. 1. x = (x 1, x,..., x p) vektor data pendukung. ω = x β + z υ untuk = 1,,..., k merupakan parameter yang menjad perhatan dan dasumskan memlk hubungan dengan data pendukung pada (1) sedang υ pengaruh acak dengan nla tengah nol dan ragam σ υ. 3. ωˆ = ω + e drect estmate untuk subpopulas ke dengan samplng error 4. ωˆ = x β + z υ + e untuk = 1,,..., k model tersebut terdr dar pengaruh acak dan pengaruh tetap sehngga merupakan bentuk general lnear mxed model dengan struktur peragam yang dagonal. Model regres merupakan upaya untuk membentuk model umum dan memanfatkan kekuatan dan keakuratan pendugaan pada level populas, sedangkan devas subpopulas untuk menangkap kekhasan yang terjad pada setap subpopulas dan bersfat acak. Dengan demkan jka kta hanya akan memanfaatkan nformas 13

3 Forum Statstka dan Komputas, Oktoberl 005, p: 1 16 Vol. 10 No. umum maka ω = x β, dan jka pengaruh umum dan lokal kta adops, dperoleh ω = x β + υ. Secara statstka model pada pont (4) datas melbatkan pengaruh acak akbat desan samplng (desgnednduced, e ) dan pengaruh acak pemodelan subpopulas (modelbased, υ ) serta model tersebut merupakan bentuk khusus general lnear mxed model. Solus BLUP merupakan rataan terbobot dar desgnbased estmator ( ωˆ ), dan regressonsynthetc estmator (x ~ β ) serta dnotaskan sebaga berkut : Y ~ = γ Ŷ + (1 γ ) x ' β ~ (9) σ v dmana γ =. σ v + σ e Model tersebut dapat dkatakan mengambl keuntungan dengan menggabungkan keragaman (devas) subpopulas dan ketepatan pendugaan berdasarkan drect estmaton (Rao, 003). PENERAPAN PADA DATA BPS Untuk menngkatkan akuras perencanaan dan pengendalan pembangunan suatu wlayah sudah barang tentu dperlukan data pendukung yang akurat. Dalam lustras n dsajkan peta kemsknan d Propns Jawa Barat dengan kabupaten/ kota sebaga subpopulas yang menjad perhatan. Peubah yang damat dan menjad perhatan dalam lustras n adalah tngkat kemsknan yang ddefnskan sebaga raso jumlah keluarga mskn terhadap total jumlah keluarga. Suatu keluarga dkatakan mskn jka pengeluaran perkaptanya dbawah Rp , (poverty lne 00). Sedangkan sumber data yang dgunakan adalah SUSENAS 003 dengan mater nformas berbass rumah tangga. Dalam model small area estmaton, tngkat kemsknan merupakan peubah respon atau yang akan dduga dan peubah bebasnya adalah peubahpeubah yang dasumskan mempengaruh dan atau menggambarkan tngkat kemsknan, sepert: 1. propors rumah bukan mlk sendr. propors atap terluas rumah bukan beton/genteng 3. propors jens dndng rumah terluas bukan tembok 4. propors jens lanta rumah terluas tanah 5. luas lanta per jumlah anggota rumah tangga 6. propors sumber ar mnum terbuka (sumur tak terlndung, mata ar, ar sunga, ar hujan dan lannya) 7. propors penggunaan fasltas ar mnum tdak sendr 8. propors penggunaan fasltas buang ar besar tdak sendr 9. propors daya PLN terpasang 450 VA atau tanpa meteran 10. ratarata pengeluaran non makanan sebulan per kapta. Langkahlangkah pendugaan parameter dapat dsederhanakan sebaga berkut: 1. defnskan model y = X β + Z b + e. ŷ = y + e, dmana ŷ adalah desgnbased estmator yang dperoleh secara langsung berdasarkan data dan desan survey. 3. perbak model pada (1) menjad ŷ = X β + Z b + e 4. tentukan besaran penduga tngkat kemsknan y ~ dengan γ = γ yˆ = σ + (1 γ σ v v + σ e ) x ' β ~ Hasl analss dperoleh tngkat kemsknan d Propns Jawa Barat berdasarkan desgnbased estmator adalah 10.30% dengan RSE.1%. RSE yang relatf lebh kecl jka dbadngkan dengan RSE untuk kabupaten/ kota menggambarkan tngkat keakuratan yang lebh bak pada level propns dbandngkan dengan level kabupaten/ kota. Tabel 1 menyajkan pendugaan tngkat kemsknan pada kabupaten/kota d Provns Jawa Barat berdasarkan data SUSENAS tahun 003. Secara umum penduga berdasarkan composte estmaton menghaslkan RSE yang lebh kecl kecual untuk Kota Depok, Kota Bekas, Kabupaten Bekas, dan Kabupaten Karawang, hasl sejalan juga dperlhatrkan oleh penduga berbass model. Hal tersebut mungkn dsebabkan oleh model yang kurang bagus dalam menggambarkan konds kabupaten/kota tersebut karena keheterogenan dan keterbatasan data. Selan tu, yang juga menjad perhatan adalah RSE Kota Depok dan Kota Bekas datas 70%, suatu statstk yang sangat besar dalam suatu pendugaan parameter, yang secara aljabar dduga karena keclnya penduga tngkat kemsknan d dua wlayah tersebut. Interpretas lan yang bsa dambl, menjelaskan bahwa wlayah Jawa Barat bagan selatan relatf mash tngg tngkat kemsknannya. 14

4 Forum Statstka dan Komputas, Oktoberl 005, p: 1 16 Vol. 10 No. Tabel 1. Pendugaan tngkat kemsknan (dalam persen) berdasarkan desgnbased, modelbased dan composte estmator Kabupaten/Kota DesgnBased Estmator ModelBased Estmator Composte Estmator Statstk RSE Statstk RSE Statstk RSE 301 Kab. Bogor Kab. Sukabum Kab. Canjur Kab. Bandung Kab. Garut Kab. Taskmalaya Kab. Cams Kab. Kunngan Kab. Crebon Kab. Majalengka Kab. Sumedang Kab. Indramayu Kab. Subang Kab. Purwakarta Kab. Karawang Kab. Bekas Kota Bogor Kota Sukabum Kota Bandung Kota Crebon Kota Bekas Kota Depok PENUTUP Metode berbass model dan composte yang dgunakan untuk pendugaan tngkat kemsknan dalam makalah n memlk potens untuk dapat dpercaya dengan dukungan RSE yang lebh kecl jka dbandngkan dengan pendugaan yang dlakukan secara langsung. Namun demkan, pengembangan dan perbakan metodolog serta pemodelan untuk menngkatkan keakuratan pendugaan mash harus dkembangkan. Ilustras dalam makalah n mengasumskan kelnearan model serta pembatasan peubah karakterstk rumah tangga berdasarkan data SUSENAS. Pengembangan model serta memperluas cakupan peubah bsa dlakukan untuk memperbak pendugaan. Namun demkan, ketersedaan, kelengkapan dan kualtas data juga perlu menjad perhatan. DAFTAR PUSTAKA Bredt, F.J., (004), Small Area Estmaton for Natural Resource Surveys, < armap/pps/bredt.msts.pdf>, [8 Aprl 005] Fay, R.E. and Herrot, R.A., (1979), Estmates of ncome for small places: an applcaton of JamesSten procedures to Census data. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, Vol. 74, p Pawtan, Y., (001), In All Lkelhood: Statstcal Modellng and Inference Usng Lkelhood, Oxford : Clarendon Press. Ramsn, B. et.all, (001), Unnsured Estmates by County: A Revew of Optons and Issues, 15

5 Forum Statstka dan Komputas, Oktoberl 005, p: 1 16 Vol. 10 No. < hsrfq7.pdf>, [5 Me 005] Rao, J.N.K., (003), Small Area Estmaton, New York : John Wley and Sons. Russo, C., M. Sabbatn dan R. Salvatore, (005), General Lnear Models n Small Area Estmaton : an assessment n agrcultural surveys, Paper presented n The Mexsa Conference. < ajos/t44.pdf>, [9 Aprl 005] Sae, A. dan R. Chambers, (003), Small Area Estmaton: A Revew of Methods Based on the Applcaton of Mxed Models, S 3 RI Methodolog Workng Paper M03/16, Unversty of Southampton, UK. 16