Penduga Maksimum Likelihood untuk Parameter Dispersi Model Poisson-Gamma dalam Konteks Pendugaan Area Kecil

Transkripsi

1 Penduga Maksmum Lkelhood untuk Parameter Dspers Model Posson-Gamma dalam Konteks Pendugaan Kecl The Maxmum Lkelhood of Estmatng Dsperson Parameter for Posson-Gamma Model n Small Estmaton Context Alfan F. Had ) Nusrwan ) Kharl Anwar Notodputro ) ) Mahasswa Program Doktor Statstka Sekolah Pascasarjana Insttut Pertanan Bogor afhad@unej.ac.d ) Guru Besar Statstka, Departemen Statstka, Insttut Pertanan Bogor Abstract The Posson-Gamma (Negatve Bnomal) dstrbuton s consdered to be able to handle overdsperson better than other dstrbutons. Estmaton of the dsperson parameter, φ, s thus mportant n refnng the predcted mean when the Emprcal Baes (EB) s used. In GLM s sense dsperson parameter (φ) have effects at least n two was, () for Exponental Dsperson Faml, a good estmator of φ gves a good reflecton of the varance of Y, () although, the estmated β doesnt depend on φ, estmatng β b maxmzng log-lkelhood brng us to Fsher s nformaton matrx that depends on ts value. Thus, φ does affect the precson of β, () a precse estmate of φ s mportant to get a good confdence nterval for β. Several estmators have been proposed to estmate the dsperson parameter (or ts nverse). The smplest method to estmate φ s the Method of Moments Estmate (MME). The Maxmum Lkelhood Estmate (MLE) method, frst proposed b Fsher and later developed b Lawless wth the ntroducton of gradent elements, s also commonl used. Ths paper wll dscuss the use of those above methods estmatng φ n Emprcal Baes and GLM s of Posson-Gamma model that s appled on Small Estmaton. Kewords: Small Estmaton, Emprcal Baes, Posson-Gamma, Negatve Bnomal, dsperson parameter, MLE, MME. PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam pendugaan area kecl (small area estmaton), berbaga metode telah dkembangkan khususna menangkut metode ang berbass model (model-based area estmaton). Metode tersebut adalah penduga predks tak bas lner terbak emprk atau emprcal best lnear unbased predcton selanjutna dsebut EBLUP, Baes emprk atau emprcal Baes dsngkat EB, dan Baes herarkh atau Herarchcal Baes ang dsngkat HB. Metode EBLUP merupakan metode untuk data kontnu sedangkan EB dan HB adalah metode untuk data bner atau cacahan. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-63

2 S ebaran posson mempuna peran ang pentng dalam metode emprcal baes. Hal n dsebabkan antara lan oleh dapat dtemukanna rataan posson tanpa pendugaan sebaran pror secara explst. Namun model posson mempuna keterbatasan akn pada kesamaan nla tengah dan ragamna, sehngga umumna djumpa fenomena overdspers. Penanganan overdspers, serngkal dlakukan melalu pendekatan model campuran Model Posson-Gamma (Negatve Bnomal). Model n telah dkenal luas untuk menangan pengaruh acak dengan overdspers secara lebh bak dar pendekatan/dstrbus ang lan. Model bnomal negatf (atau secara umum pada keluarga sebaran eksponental berdspers) memuat suatu parameter φ ang dsebut parameter dspers. Dalam pemodelan GLM, φ berperan dalam sedktna dua, () pada keluarga sebaran eksponensal berdspers, nla ragam Y proportonal terhadap nla parameter φ, artna penduga φ mereflekskan ragam Y () meskpun, nla dugaan parameter regres, β tdak bergantung pada φ, tetap pendugaan β dengan MLE dlakukan melalu matrks turunan kedua, nformas Fsher, dan tergantung pada φ. Sehngga φ menentukan press penduga β, () penduga φ ang bak dperlukan untuk mendapatkan selang kepercaaan ang bak bag β. Beberapa metode pendugaan φ telah dusulkan. Dantarana adalah metode momen (MME), metode ang cukup sederana untuk menduga φ. Metode Maxmum Lkelhood (MLE) adalah ang palng umum dpaka, pertama kal dusulkan oleh Fsher dan kemudan dkembangkan oleh Lawles melau gradent elements. Pendugaan parameter dspers, φ, sangat pentng dalam memperbak penduga, khususna bla menggunakan Baes Emprk. Pendugaan n berperan mendapatkan φ ang akan dgunakan sebaga hperparameter. Permasalahan Meskpun pendugaan φ terpsah dar pendugaan β, namun peranna tdak dapat dabakan. Dalam konteks penduga area kecl, menark untuk devaluas bagamana pengaruh pendugaan parameter dspers n terhadap performa penduga kompost Baes Emprkna, bukan pada parameter dspers tu sendr. Tulsan n akan membcarakan penggunaan kedua metode d atas untuk menduga parameter dspers, φ dalam skema Baes Emprk dan model Posson-Gamma ang dgunakan pada penduga area kecl. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-64

3 Smulas dlakukan untuk () membandngkan metode momen dan maksmum lkelhood untuk pendugaan parameter dspers model poson-gamma dengan dan tanpa peubah tambahan (auxlar varable) dan () membandngkan performa penduga Baes Emprk pada konteks penduga area kecl ang dbangun dar pendugaan parameter dspers dstrbus negatf bnomal melalu kedua metode. SMALL AREA ESTIMATION kecl ddefnskan sebaga subpopulas ang memlk ukuran contoh ang kecl sehngga pendugaan langsung tdak dapat menghaslkan pendugaan ang telt (Rao, 3). kecl dapat berupa kota, kabupaten, kecamatan, desa/kelurahan, kelompok suku, kelompok jens kelamn atau kelompok umur. Small area estmaton (SAE) merupakan suatu teknk statstka ang dgunakan untuk menduga parameter-parameter area kecl. Teknk n dgunakan dengan memanfaatkan data dar hasl surve doman besar sepert data sensus atau data Surve Sosal Ekonom Nasonal (SUSENAS) untuk menduga peubah ang menjad perhatan pada area kecl. Pendugaan langsung (drect estmaton) adalah pendugaan dengan berdasarkan penerapan model penarkan sampel. Pendugaan n tdak mampu memberkan keteltan ang bak jka ukuran contoh dalam area kecl dan statstk ang dperoleh akan memlk ragam ang besar bahkan terkadang pendugaan n tdak mampu dlakukan karena sampel tdak mewakl populas. SAE dkembangkan sebaga teknk pendugaan alternatf ang mampu mengatas semua masalah datas, atu dengan pendugaan tdak langsung (ndrect estmaton). Pendugaan n bersfat memnjam kekuatan dar pengamatan contoh area ang berdekatan dengan memanfaatkan nformas tambahan akn dar data sensus atau surve berskala nasonal (Rao, 3). Proses pendugaan tdak langsung merupakan pendugaan pada suatu doman dengan cara menghubungkan nformas pada area tersebut dengan area lan melalu model ang tepat. Hal n berart bahwa dugaan tersebut mencakup data dar doman lan. Small Estmaton Model Salah satu model dasar area kecl (Rao, 3) atu Basc area level (tpe A) model, atu model ang ddasarkan pada ketersedaan data pendukung ang hana ada untuk Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-65

4 level area tertentu. Msalkan x ) dan parameter ang akan dduga T ( x,..., x p, dasumskan mempuna hubungan dengan x. Data pendukung tersebut dgunakan T untuk membangun model: x β b v, dengan,,m dan ~N(, ) sebaga v σ v pengaruh acak ang dasumskan normal serta β ( β,..., β ) T p adalah vektor koefsen regres berukuran p. Sedangkan b adalah konstanta bernla postf ang dketahu. Untuk melakukan nferens mengena model penduga langsung terseda, atu: ddapatkan dengan mengasumskan bahwa e, dmana,,m dengan samplng error e ~N(, e ) dan e dketahu. Pada akhrna, kedua model dgabungkan dan menghaslkan model gabungan: σ σ T x β b v e, dmana,,m. Model tersebut merupakan bentuk khusus dar model lner campuran (generalzed lnear mxed model) ang terdr dar pengaruh tetap (fxed effect), atu pengaruh acak (random effect) atu v (Rao, 3, Kurna & Notodputro 6). β dan MODEL POISSON-GAMMA Model posson adalah model peluang standar untuk data cacahan. Model n akan mengalam keterbatasan dalam rataan dan ragam ketka dgunakan untuk pendugaan parameter tunggal. Umumna, data cacahan (sepert data jumlah) mengalam overdspers. Oleh karena tu, dkembangkan suatu formulas posson ang mengakomodas ragam ekstra dar pengamatan data contoh. Maka, dperkenalkan model dua tahap untuk data cacahan, ang dkenal dengan model campuran posson-gamma. Model posson-gamma dmana berdstrbus posson dengan parameter, sedangkan sendr berdstrbus gamma dengan parameter-parameter ang bersesuaan dengan nla tengah dan keragaman total. Untuk menentukan parameter-parameter sebaran gamma bag marlah kta perhatkan model posson-gamma bag area level ang dgunakan atu: X ' β v e e X ' β v Dengan Posson( ), E( ) X ' β, Var( ) E( ) X ' β ~ E( e ) ; Var( ) σ e e ; E( v ) ; Var( v ) σ Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-66

5 σ gamma, σ ~ ; ; E( ) Var ( ) σ Emprcal Baes Dasar perkembangan pendekatan statstk Baes adalah hukum Baes ang dbuat oleh Thomas Baes. Hukum n dperkenalkan oleh Rchard Prce tahun 763, dua tahun setelah Thomas Baes wafat. Tahun 774 dan 78, Laplace memberkan analss lebh rnc dan lebh relevan untuk statstk Baes sekarang (Gll, ). Metode Baes akan sangat sult dgunakan dan kadang sangat senstf karena membutuhkan penaksran peluang tertentu ang sult untuk dtaksr. Maka dperkenalkan metode Emprcal Baes (EB) dengan mengasumskan bahwa pror tdak dketahu, selanjutna data dgunakan untuk memperoleh dugaan parameter pror. Rao (3) menatakan bahwa metode EB dan HB (Herarchcal Baes) ang cocok dgunakan dalam menangan data bner dan cacahan pada pendugaan area kecl. Metode EB dalam konteks pendugaan area kecl secara rngkas adalah:. Mendapatkan fungs kepekatan peluang akhr (posteror) dar parameter area kecl ang menjad perhatan.. Menduga parameter model dar fungs kepekatan peluang margnal 3. Menggunakan fungs kepekatan peluang posteror dugaan untuk membuat nferens parameter area kecl ang menjad perhatan. Pendugaan Parameter Dspers Untuk mendapat penduga baes emprk, parameter-parameter pada sebaran pror (hperparameter) harus dduga. Pendugaan parameter dspers, φ, sangat pentng dalam memperbak penduga Baes Emprk. Pendugaan n berperan mendapatkan φ ang akan dgunakan sebaga hperparameter. Lebh dar tu, pada kasus tertentu, nla dugaan φ dapat langsung menjad salah satu komponen dalam pembobot kompost penduga area kecl. Bagan n akan memperkenalkan dua metode penduga parameter dspers, atu MME dan MLE. Method of Moments Estmate (MME) Untuk sebuah sebaran bnom negatf, ragam σ, rataan µ dan parameter dspers φ memlk hubungan. Berdasarkan hubungan n, MME dkembangkan dan Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-67

6 dduga dengan, ˆ φ ˆ α dmana dan s adalah momen contoh takbas pertama s dan kedua. Perhatkan bahwa menduga φ hana mungkn jka s > karena φ >. Untuk mendapat penduga φ dengan bak melalu MME, sangat pentng untuk mengetahu ragam karena perubahan sedkt saja pada nla ragam mengakbatkan varas besar nla φ. Masalah n makn besar jka ukuran contoh makn kecl (Zang, et all, 4). Maxmum Lkelhood Estmator (MLE) Pada kasus tertentu, solus bag penduga maksmum lkelhood tdak dapat djumpa dalam bentuk tertutup (close form). Namun pendugaan dapat dperoleh secara numerk. Fungs log-lkelhood akan mencapa maksmum jka vektor graden sama dengan nol. Atau dengan kata lan kta akan memaksmumkanna melalu deferensal tehadap φ j dan β j, l/ φ j dan l/ β j, sehngga kta akan memperoleh parameters φ j dan β j ang memenuh konds n berlaku untuk data set ang kta perhatkan. McCullagh and Nelder (989) menjelaskan algortna Iteratve (re)weghted Lnear Regresson (metode scorng) ang dapat dgunakan untuk memperoleh dugaan parameter dalam Model Lner Terampat. Untuk menduga nla parameter φ j (ang tdak dketahu) dalam bnomal negatf dapat dgunakan metode skorng ang merupakan modfkas dar algortma Newton Raphson untuk mencar akar-persamaan. Dan solus dar persamaan model lner Bnomal Negatf dapat dperoleh dar algortma Newton Raphson klask (Dobson 99). Dan untuk tu dperlukan nla awal untuk φ j dan β j. Bnomal negatf adalah sebuah sebaran dengan sebuah parameter tambahan φ pada fungs ragam. SAS dengan PROC GENMOD menduga φ dengan maxmum lkelhood, menurut McCullagh & Nelder (989) atau Lawless (987). METODE BAYES EMPIRIK TANPA PEUBAH PENJELAS BAGI MODEL POISSON-GAMMA Model Posson-Gamma merupakan model ang serng dgunakan untuk mengakomodas permasalahan overdspers (ragam melebh rataan) pada model Posson. Dua tahapan model Posson-Gamma adalah : nd ( ),, m ~ Posson K, Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-68

7 d ~ gamma α (, α ) () dengan adalah banakna pengamatan pada area ke-, adalah nla harapan dan ragam, dan m menatakan jumlah area, sedangkan α merupakan parameter pror ang belum dketahu. Sebaga pror dasumskan bahwa ( ) d ~ (, α ) gamma α dengan E, Var / Berdasarkan kedua asums tersebut maka ddapatkan sebaran posteror untuk ( ) α nd atu, α ~ gammaα, serta penduga Baes bag α dan ragam posteror bag adalah : dan (, α ) ( α ˆB ( α) E ) α Var, ( α ) α ( α ) g ( α, ) Penduga Baes n mensaratkan terlebh dulu dketahu nla parameter sebaran pror. Permasalahanna, serngkal nformas mengena parameter pror belum dketahu. Pendekatan Baes emprk atau emprcal Baes (EB) dapat dgunakan untuk mengatasna. Pada metode n, nformas parameter pror dapat dperoleh dengan memaksmumkan fungs sebaran margnal d α ~ bnomal negatf, mesk bentuk tertutup untuk bag penduga parameterna tdak ada (Claton & Kaldor 987), kta dapat memanfaatkan model null bnomal negatf, untuk menduga α. Zang, et al. (6) menggunakan penduga momen sederhana untuk memperoleh dugaan parameter dspers bnomal-negatf atu: ˆ φ ˆ α s Dengan mensubsttus αˆ dperoleh penduga EB bag atu ˆ EB ˆ ( ˆ α ) ˆ γ ˆ ( ˆ γ ) ˆ B snt dengan ˆ γ ( ˆ α ), ˆ sebaga penduga langsung dar, menatakan banakna pengamatan, ˆ adalah penduga sntetk (Rao, 3). snt Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-69

8 METODE BAYES LINIER EMPIRIK BAGI MODEL POISSON-GAMMA Metode Baes lner emprk (Emprcal Lnear Baes/ELB) merupakan suatu metode ang menghndar adana asums sebaran pada metode Baes emprk (Rao 3). Metode n hana menggunakan momen pertama dan kedua dalam menentukan penduga lnerna. Secara umum, model dua tahap pada pendugaan Baes lner adalah : Dengan model lner posson-gamma, ( ) Posson ~, dan pror dstrbuton gamma σ σ, ~, maka dperoleh posteror Baes α β β α ', X X ' gamma Nla tengah posterorna adalah ( ) α α, melalu manpulas nla tengah dperoleh penduga baes: ( ) ( )( ) ( ) β γ γ γ α ' * X, dperoleh pembobot bag penduga baes adalah: α β β γ α γ ' ' * X X Penduga Emprcal baes dperoleh dengan menduga α dan β melalu Generalzed Lnear Mxed Model, dengan memanfaatkan sebaran margnalna atu Negatve- Bnomal. Dmana adalah penduga parameter regres bnomal-negatf sedangkan βˆ αˆ adalah penduga bag dsperson parameter dstrbus negatve-bnomal ( ). Bla model ang dgunakan adalah lner dan model posson-gamma (bnom-negatf) dalam fungs lnk logartmk maka parameter regres ang dperoleh perlu deksponensalkan terlebh dahulu. φˆ Dengan denkan penduga baes adalah: ( ) TL L EB γ γ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, dengan penduga langsung bag adalah dan penduga taklangsungna adalah. βˆ X ' Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-7

9 EB PENDEKATAN JACKKNIFE UNTUK PENDUGA MSE( ) ˆ Pendekatan jackknfe merupakan metode ang serng dgunakan dalam surve karena konsepna ang sederhana (Jang, Lahr dan Wan ). Metode n dperkenalkan Tuke pada tahun 958 dan berkembang menjad suatu metode ang dapat mengkoreks bas suatu penduga, atu dengan menghapus observas ke- untuk,,m dan selanjutna melakukan pendugaan parameter. Langkah-langkah pendekatan jackknfe dalam menduga MSE dugaan emprcal Baes adalah sebaga berkut (Kurna & Notodputro. 6): m m m. Anggap bahwa ˆEB (, ˆ, β ˆ k α ), ˆEB (, ˆ, ˆ k β α ), lalu EB Mˆ ( ˆ ˆ. Dengan mencar EB ) l ˆ β dan α ang merupakan penduga kemungknan maksmum ang dperoleh dar data ke- ang dhapus, maka dhtung Mˆ m m g ( ˆ, β ˆ, α ) [ g m ( ˆ β, ˆ α, ) g ( ˆ, β ˆ, α )] m 3. Penduga Jackknfe bag kuadrat tengah galat penduga Baes emprk dberkan oleh ( ˆ ) ˆ EB ktgj M M ˆ METODOLOGI Skenaro Smulas Smulas dlakukan dengan dua skenaro, () skenaro tanpa peubah penjelas, dan () dengan peubah penjelas. Dengan parameter sebagamana tabel. Dengan penetapan n, perlu dgarsbawah bahwa nla Xβ semakn besar dar area ke area. Dua hal perlu dperhatkan menangkut hal n () Xβ adalah nla harapan Y sehngga nla dan Xβ-dugaan akan membesar pula, () Xβ adalah keragaman total, artna keragaman menak dar area ke area. Tabel. Parameter-parameter dalam smulas X X mu_ X X mu_ β- β Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-7

10 Tahapan Smulas Pembangktan data untuk kedua skenaro smulas sama, berbeda pada saat fttng model. Model tanpa X dft dengan model null, model dengan X dengan regres.. Tetapkan X, β, dan σ ; dengan X ' β. Bangktkan σ ~ gamma, ; α σ σ ; kemudan ~ Posson( ) 3. Menduga Parameter Dspers untuk model tanpa X dengan metode momen (MME) dan maksmum lkelhood (MLE). Dengan Proc Genmod model null. 4. Menduga Parameter Dspers untuk model dengan X dengan MME dan MLE. Parameter regres dduga dengan maksmum lkelhood, menggunakan Proc Genmod. 5. Menentukan penduga Emprcal Baes bag langkah 3 dan 4 6. Menghtung KTG/ MSE jackknfe bag penduga baes. 7. Evaluas smulas dlakukan dengan memerksa MSE dan Bas, serta dengan membandngkan dua statstka atu Mean Absolute Relatve Error (MARE) dan Average Relatve Root Mean Square Error (RRMSE). MARE mengukur beda absolute antara parameter pendugana sedangkan RRMSE menghtung keragaman penduga. MARE ˆ, RRMSE MSE. ˆ Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-7

11 HASIL DAN DISKUSI Tanpa Peubah Penjelas Pada skenaro n peubah X ang merupakan pembentuk nla tengah dan ragam bag Y dabakan. Sehngga pendugaan bak tu penduga langsung maupun sntetkna dperoleh tanpa nformas tambahan ang seharusna ada. Mesk demkan, perbandngan pada metode pendugaan nla parameter dspers sebaran margnal bnomal negatf dlakukan pada konds ang sama-sama mengabakan nformas X. Gambar menunjukkan bas MLE tampak nak dengan nakna nla harapan dan ragam. Sedangkan bas dar metode momen relatf rendah pada nla ang sedang, pada nla ang rendah dan tngg, bas MME cenderung sama dengan bas MLE. Bas Average MSE Average Bas Average MSE Gambar. Rataan Bas dan Rataan MSE bag model null EB Posson-Gamma Bla kta perhatkan maka MLE lebh bak karena MSEna lebh rendah dar MME. Hal n berart MLE mempuna keteltan ang lebh bak, karena mesk basna lebh tngg, varansna rebh rendah dar MME. Pada RRMSE gambar, nla dugaan MME menngkat pada area-area dengan nla harapan dan ragam ang besar. Hal n sesua dengan apa ang dsebut oleh Zhang, et all. bahwa perubahan sedkt saja pada nla ragam mengakbatkan ragam ang besar pada nla dugaan φ. Mean Absolute Relatve Error Average Relatve Root Mean Square Error.7.7 MARE Average RRMSE Gambar. MARE dan RRMSE bag model null Emprcal Baes Posson-Gamma Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-73

12 Keteltan metode MLE dbandng MME n berasal dar pembobot ang lebh besar dar pembobot MME (gambar 3). MME lebh banak dtentukan oleh penduga sntetk ang dalam kasus n dperoleh dengan mengabakan pengaruh X. Sebalkna, pada MLE bobot bag penduga langsung lebh besar. Pembobot Rataan Pembobot Seluruh Ulangan Pembobot Rataan Pembobot per Gambar 3. Rataan Pembobot Seluruh dan per bag model null Emprcal Baes Posson-Gamma Dengan Peubah Penjelas Pada skenaro n peubah X dmodelkan dengan penduga maksmum lkelhood dalam model regres bnomaal-negatf. Nla penduga baes emprk dtentukan oleh dua hal () pendugaan parameter regres sebaga penduga tak langsung dan () pembobot kompost bag penduga langsung dan tak langsung. Namun dalam model possongamma n keduana sangat tergantung pada pendugaan parameter regres. Bas Average MSE Average Bas.5 Average MSE Gambar 4. Rataan Bas dan Rataan MSE bag Model Lner Emprcal Baes Posson-Gamma Bak MME maupun MLE tampak memlk bas ang menak dengan nakna nla harapan dan ragam. Namun bas dar MLE tampakna selalu lebh besar dar bas MME (gambar 4). Demkan pula dengan bas relatfna, tampak MLE selalu menghaslkan bas ang lebh tngg dar MME. Namun gambar 5 menunjukkan bahwa pada MSE terjad ang sebalkna, MLE tampak lebh bak. Hal n menunjukkan bahwa ragam dar MLE sangat rendah, karena dengan Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-74

13 bas ang lebh tngg MLE memlk MSE ang lebh redah. Artna MLE memberkan penduga area kecl ang lebh bak keteltanna. Mean Absolute Relatve Error Average Relatve Root Mean Square Error MARE Average RRMSE Gambar 5. Rataan Bas dan Rataan MSE bag Model Lner Emprcal Baes Posson-Gamma Bla kta perhatkan gambar 6, tampak besarna pembobot kompost pada kedua metode, terlhat bahwa metode momen selalu memberkan pembobot ang rendah. Artna, penduga area keclna akan lebh banak dtentukan oleh penduga tak langsung atu pengaruh X β..8 Rataan Pembobot Seluruh.9 Rataan Pembobot per.7.8 Pembobot Pembobot Ulangan Gambar 6. Rataan Pembobot Seluruh dan per bag Model Lner Emprcal Baes Posson-Gamma Bas pada MLE dperkrakan berasal dar penduga langsung, mesk secara teortk penduga n tak bas namun pada kasus posson, nlana sangat rentan terhadap nla tengah ang mendekat nol. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-75

14 PENUTUP Beberapa hal dapat kta catat dsn adalah:. Secara umum pendugaan parameter dspers dengan MLE memberkan penduga area kecl ang lebh telt meskpun tdak sangat tepat, bak tu melbatkan peubah penjelas ataupun tdak.. Keteltan metode MLE dbandng MME pada model null berasal dar pembobot ang lebh besar dar pembobot MME. MME lebh banak dtentukan oleh penduga sntetk ang dalam kasus n dperoleh dengan mengabakan pengaruh X. Sebalkna, pada MLE bobot bag penduga langsung lebh besar. 3. Bas pada MLE dperkrakan berasal dar penduga langsung, mesk secara teortk penduga n tak bas namun pada kasus posson, nlana sangat rentan terhadap nla tengah ang mendekat nol. 4. Penduga lan bag parameter dspers, ang mungkn dapat dkaj adalah penduga ang berbass ssaan model atu Devance scale dan Pearson scale. DAFTAR PUSTAKA Claton, D.G. and Kaldor, J Emprcal Baes estmates of age-standardzed relatve rsks for use n dsease mappng. Bometrcs 43, Gll J.. Baesan Methods:A Socal and Behavoral Scences Approach. Boca Raton: Chapman and Hall. Dobson, A.J. 99. An Introducton to generalzed lnear models. Chapman and Hall, New York. Jang, J., P. Lahr, S. Wan.. A Unfed Jackknfe Theor For Emprcal Best Predcton Wth M-Estmaton. The Annals of Statstcs. Vol. 3, No. 6, 78 8 Kurna A, KA Notodputro. 6. Penerapan Metode Jackknfe dalam pendugaan Kecl. Forum Statstka dan Komputas, Aprl 6, p:-5. Ksmantn. 7. Pendugaan Statstk Kecl Berbass Model Posson-Gamma [Tess] Bogor: Insttut Pertanan Bogor, Fakultas Matematka dan Pengetahuan Alam. Lawless, J.F. Negatve Bnomal and Mxed Posson Regresson. The Canadan Journal of Statstcs 5, pp. 9-5, 987. McCullagh, P. and J.A. Nelder Generalzed Lnear Models. nd ed. Chapman and Hall, London. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-76

15 Power J. H. & E. B. Moser, 999. Lnear model analss of net catch data usng the negatve bnomal dstrbuton. Can. J. Fsh. Aquat. Sc. 56: 9. Rao JNK. 3. Small Estmaton. New York: John Wle & Sons. Ruoan, M. 4. Estmaton of Dsperson Parameters n GLMs wth and wthout Random Effects. Mathematcal Statstcs. Stockholm Unverst Examensarbete 4:5. Wakefeld J. 6. Dsease mappng and spatal regresson wth count data. [4 Aprl 8]. Zang Y, Z. Ye, & D. Lord, 4. Estmatng the Dsperson Parameter of the Negatve Bnomal Dstrbuton for Analzng Crash Data Usng a Bootstrapped Maxmum Lkelhood Method. Zachr Department of Cvl Engneerng. Texas A&M Unverst. Workng Paper. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 8-77