2. ANALISIS DATA LONGITUDINAL

Transkripsi

1 . ANALISIS DATA LONGITUDINAL Data longtudnal merupakan salah satu bentuk data berkorelas. Pada data longtudnal, peubah respon dukur pada beberapa ttk waktu untuk setap subyek. Dalam stud longtudnal dmungknkan untuk mempelajar perubahan respon antar waktu beserta faktor-faktor yang mempengaruh perubahan tersebut, bak pada level populas maupun level ndvdu. Data longtudnal dcrkan oleh fakta bahwa pengamatan berulang dalam subyek yang sama cenderung berkorelas (Zeger et al. 988), sehngga modelmodel untuk analss data longtudnal harus mengenal hubungan antara pengamatan berkala dalam subyek yang sama (Lard & Ware 98). Korelas antar pengamatan berulang dapat dmodelkan secara eksplst (melalu pola matrks kovaran), maupun secara mplst (melalu pengaruh acak). Untuk memodelkan keheterogenan antar subyek, ada dua pendekatan dalam analss data longtudnal (Zeger et al. 988). Pertama dengan memodelkan keheterogenan secara eksplst, dkenal sebaga pendekatan spesfk subyek, msalnya melalu model campuran dmana pengaruh spesfk subyek dasumskan mengkut suatu sebaran parametrk tertentu. Untuk data longtudnal kontnu, model lnear campuran dar Lard dan Ware (98) merupakan model yang serng dgunakan. Kedua, respon rataan populas dapat dmodelkan sebaga fungs dar kovarat tanpa secara eksplst memperhtungkan keheterogenan dar subyek ke subyek. Pendekatan n dkenal sebaga model rataan populas. Dalam pendekatan n, matrks kovaran dar peubah respon secara langsung dmodelkan melalu struktur kovaran bag galat ntra-subyek. Model spesfk subyek dkenal juga sebaga model bersyarat, sedangkan model rataan populas serng dsebut model margnal (Pnhero ). Perbedaan mendasar dar kedua model d atas adalah model spesfk subyek memungknkan nferens terhadap subyek tertentu, sedangkan pada model rataan populas tdak... Model Lnear Campuran Model lner campuran untuk peubah respon kontnu bag subyek ke- (=,,...,n) adalah sebaga berkut (Lard & Ware 98): Y β Z b ε,,, n

2 7 Dalam hal n Y Y,, ) adalah vektor peubah respon dar subyek ke-, n = ( Y m total banyaknya subyek, dan m = banyaknya deret data longtudnal dar subyek ke-. Adapun dan Z adalah matrks rancangan masng-masng berdmens m x p dan m x q yang bersesuaan dengan vektor pengaruh tetap (px) dan vektor pengaruh acak b (qx), sedangkan merupakan vektor galat ntra-subyek berdmens m x. Pada model d atas, dasumskan bahwa q vektor pengaruh acak b menyebar normal ganda dengan nlatengah dan matrks kovaran D, yakn b ~ N(,D). Demkan pula ~ N(,R ), serta b dan salng bebas. Hal n bermplkas sebaran margnal dar Y adalah normal dengan nlatengah E(Y ) = dan matrks kovaran V = Z DZ + R. Matrks D dan R keduanya merupakan matrks smetrk defnt postf... Metode Pendugaan Parameter Metode pendugaan yang umum dgunakan untuk menduga parameter dalam model lner campuran adalah metode kemungknan maksmum (maxmum lkelhood/ml) atau metode kemungknan maksmum berkendala (restrcted maxmum lkelhood/reml). Jka adalah parameter pengaruh tetap, dan adalah parameter kovaran, fungs kepekatan peluang normal ganda bag Y, f(y, ) adalah: n f ( y β, θ) ( ) V exp[ ( y β) V ( y )] β Fungs kemungknannya dapat dtulskan sebaga: L ( β, θ) f ( y β, θ) ( ) V exp[ Dengan demkan fungs log-kemungknannya adalah: n ( y β) V ( y β ( n, θ) ln L( β, θ) ln( ) ln V ( y β) V ( y β l β ) (.) sedangkan n = n adalah banyaknya amatan dalam gugus data. Walaupun memungknkan untuk menduga parameter dan secara smultan dengan memaksmumkan fungs d atas, banyak algortma komputas yang menyederhanakan optmas dengan cara menyembunykan (proflng out) parameter dar fungs log-kemungknan. )]

3 8 Dengan asums, dan sebaga akbatnya V dketahu, maka fungs logkemungknan, l(, ) menjad fungs dar saja, yatu: ( β ) ( y β) V ( y β q ) Dengan generalzed least squares (GLS), penduga bag secara analtk sebaga berkut: dapat dperoleh βˆ V V y (.) Penduga d atas memlk sfat statstk yang dngnkan, yakn merupakan penduga tak bas lner terbak (BLUE) bag. Pendugaan parameter kovaran dan pengaruh tetap dengan asums tdak dketahu durakan sebaga berkut. Pertama untuk menduga dbentuk fungs profl log-kemungknan l ML ( ), yatu dengan menggantkan parameter dalam persamaan (.) dengan penduganya pada persamaan (.), yatu: lml ( θ) n ln( ) ln V r V r sedangkan r y V V y Pada umumnya pemaksmuman l ML ( ) terhadap merupakan optmas tak lner, dengan kendala terhadap sedemkan sehngga persyaratan defnt postf bag matrks D dan R terpenuh. Nla dugaan bag dapat dperoleh dengan cara teras sampa konvergen. Setelah penduga ML bag dperoleh melalu proses teras, nla βˆ dapat dhtung tanpa teras dengan menggunakan persamaan (.3) dan (.4) sebaga berkut: Vˆ Z DZ ˆ Rˆ (.3) βˆ Vˆ Vˆ y (.4)

4 9 Karena V dgantkan oleh penduganya Vˆ, maka βˆ pada persamaan (.4) dkatakan sebaga penduga tak bas lner terbak emprk (Emprcal Best Lnear Unbased Estmator/EBLUE) bag. Ragam bag βˆ merupakan matrks ragam-peragam berdmens pxp, yatu: var( β ˆ) Vˆ Karena tdak mempertmbangkan hlangnya derajat bebas sebaga akbat menduga, maka penduga ML bag merupakan penduga yang berbas. Untuk mengelmnas bas n dkembangkan bentuk alternatf dar metode ML yakn pendugaan REML. Penduga REML bag dperoleh berdasarkan optmas fungs logkemungknan REML sebaga berkut: ( n p) lreml ( θ) ln( ) ln V r V r ln V Deskrps dan pembandngan berbaga metode pendugaan dalam model lner campuran dapat djumpa msalnya dalam Searle et al. 99. Nla predks bag pengaruh acak merupakan nla harapan bersyarat dar pengaruh acak jka nla peubah respon dketahu, yang dapat dnyatakan sebaga: b ˆ ( b Y y ) DZ ˆ Vˆ ( y E βˆ) Nla harapan beryarat d atas merupakan predktor tak bas lnear terbak emprs (Emprcal Best Lnear Unbased Predctor/EBLUP) bag pengaruh acak b, karena dperoleh berdasarkan nla dugaan matrks kovaran matrks kovaran bag predktor pengaruh acak ˆb adalah: Vˆ. Adapun Var (ˆ b ) DZ ˆ ( Vˆ Vˆ ( Vˆ ) Vˆ ) Z Dˆ.3. Pengujan Hpotess dan Pembandngan Model Tersarang Hpotess dar dua model yang memlk hubungan tersarang dapat dbuat menjad suatu formula. Model reference (model penuh) merupakan model yang lebh umum yang mencakup kedua hpotess (H dan Ha), sedangkan model yang hanya mencakup H dsebut model nested (model tersarang). Model penuh mengandung semua parameter yang duj sedangkan model tersarang hanya

5 mengandung sebagan dar parameter tersebut. Uj yang dgunakan untuk membandngkan kedua model tersebut adalah Lkelhood Rato Tests (LRTs). LRTs merupakan suatu uj yang membandngkan nla fungs lkelhood untuk kedua model dengan persamaan: L -log( L tersarang penuh ) = - log (L tersarang) (-log(l penuh ))~ df sedangkan: L tersarang = nla fungs lkelhood pada model tersarang L penuh df = nla fungs lkelhood pada model penuh = selsh banyaknya parameter antara model penuh dan model tersarang LRTs juga dapat dgunakan untuk menguj hpotess parameter acak dan tetap d dalam model. Pengujan parameter tetap dalam model menggunakan pendugaan ML, sedangkan dalam pengujan parameter acak dgunakan pendugaan REML. Statstk ujnya adalah selsh (- ML/REML log lkelhood) antara model penuh dan model tersarang sepert dnyatakan dalam persamaan d atas..4. Penerapan terhadap Data Kasus HIV/AIDS Data yang dgunakan untuk analss data longtudnal merupakan hasl suatu percobaan klns untuk membandngkan kemanjuran dan keamanan dua jens obat antretrovral dalam menangan pasen-pasen yang gagal atau tdak toleran terhadap terap zdovudne (AZT). Percobaan melbatkan n = 47 pasen ternfeks HIV yang terdagnosa sebaga penderta AIDS atau memlk jumlah sel CD4 + 3 per ml 3 darah. Pasen dbag secara acak untuk menerma salah satu dar dua jens obat, yatu ddanosne (ddi) atau zalztabne (ddc). Banyaknya sel CD4 + dcatat pada saat terlbat dalam stud (t = ), dan kunjungan pada bulan ke,, dan 8, sehngga maks m = 5. Data n dgunakan oleh Guo dan Carln (4) untuk pemodelan bersama data longtudnal dan data daya tahan hdup (waktu sampa terjadnya kematan) dar penderta HIV. Data dambl dar Peubah penjelasnya adalah Drug (ddi =, ddc = ), Gender (male =, female = -), PrevOI (AIDS dagnoss at study entry =, no AIDS dagnoss = -), dan Stratum (AZT falure =, AZT ntolerance = -).

6 Sqrt(CD4) CD4 Sebelum dmodelkan dengan model lner campuran, terlebh dahulu dlakukan eksploras terhadap data. Boxplot banyaknya sel CD4 + pada lma ttk waktu pengamatan untuk kedua jens obat dsajkan pada Gambar.. Dar Gambar. tampak bahwa sebaran banyaknya sel CD4 + sangat menjulur ke kanan dengan banyak penclan, mengndkaskan perlunya dlakukan transformas data sebelum analss berkutnya. Boxplot of CD4 ddc ddi Obstme Panel varable: Drug-Type Gambar.. Boxplot data asal Transformas akar dplh untuk mengurang kemenjuluran pola sebaran sekalgus untuk menstablkan ragam, juga karena datanya merupakan data cacahan. Boxplot setelah data dtransformas dapat dlhat pada Gambar.. Setelah dtransformas data terlhat lebh homogen serta lebh smetrk. Boxplot of Sqrt(CD4) 5 ddc ddi Obstme Panel varable: Drug Type Gambar.. Boxplot data hasl transformas akar

7 Mean Efek pengobatan umumnya tdak sama antar waktu, yatu memungknkan adanya nteraks antara jens obat dengan waktu pengamatan. Pemerksaan nteraks antara jens obat dengan waktu pengamatan secara grafs dsajkan melalu plot nteraks data hasl transformas pada Gambar.3. Dar Gambar.3 dapat dlhat adanya perbedaan pola jumlah sel CD4 + antar waktu untuk kedua jens obat. Untuk kelompok ddi, terjad kenakan jumlah sel CD4 + begtu dberkan obat ddi sampa bulan ke-, namun turun lag pada bulan ke-, nak lag sedkt pada bulan ke-, kemudan terus menurun sampa bulan ke-8. Adapun untuk kelompok ddc terjad penurunan jumlah sel CD4 + sampa bulan ke-, namun kemudan jumlah sel CD4 + nak terus sampa bulan ke-8. Berdasarkan hasl n efek nteraks akan dmasukkan dalam pemodelan. 8, 7,5 Interacton Plot for Sqrt(CD4) Data Means Drug-Type ddc ddi 7,,5, Obstme 8 Gambar.3. Plot nteraks antara waktu pengamatan dengan jens obat Data longtudnal hasl transformas akar banyaknya sel CD4 + dalam submodel- selanjutnya dmodelkan sebaga model lner campuran dengan persamaan sebaga berkut: w j 5 Tme Stratum,,,47 j j b b Tme,,, m j Tme j Drug sedangkan b ( b, b ) ~ N ( η, Σ) dan ~ N(, ) j j, 3 Gender 4 Pr evoi Pada persamaan d atas, β,,,,, ) merupakan parameter ( efek tetap, sedangkan b b, ) merupakan parameter efek acak untuk pasen ke- ( b

8 3. Dalam hal n b merupakan ntersep acak untuk subyek ke-, dan b adalah laju perubahan peubah respon per satuan waktu untuk pasen ke-. Adapun j merupakan galat ntra-subyek yang dasumskan menyebar normal dengan ragam yang sama. Hasl pemodelan dengan menggunakan model lner campuran dsajkan pada Tabel., sedangkan output SAS dsajkan pada Lampran. Tabel.. Nla dugaan parameter beserta hasl uj dan SK 95% Parameter Nla dugaan Galat baku t Nla-p SK 95% Intercept (β ) < Tme (β ) < Tme x Drug (β ) Gender (β 3 ) PrevOI (β 4 ) < Stratum (β 5 ) σ bo < σ bo,b σ b < σ < Berdasarkan Tabel. dapat dlhat bahwa peubah bebas yang berpengaruh nyata pada banyaknya sel CD4 + penderta HIV adalah obstme dan prevoi dengan nla-p kurang dar.. Peubah prevoi yang nyata menunjukkan bahwa penderta yang terdeteks AIDS pada awal stud memlk jumlah sel CD4 + lebh rendah dbandngkan yang tdak terdeteks AIDS, dengan rata-rata perbedaan jumlah sel CD4 + antara pasen yang tdak terdagnoss AIDS pada awal stud dan yang terdeteks AIDS sebesar.35. Adapun peubah gender dan stratum tdak nyata pengaruhnya terhadap jumlah sel CD4 + pada α = 5%. Untuk kelompok obat ddi, nla dugaan koefsen regresnya untuk Tme sebesar = -.38, sedangkan untuk kelompok ddc sebesar -.8. Dengan kata lan rata-rata penurunan jumlah sel CD4 + sebesar kelompok ddi sebesar.38 per bulan, sedangkan untuk kelompok ddc sebesar.8 per bulan. Namun perbedaan n tdak nyata sepert dapat dlhat dar nla-p sebesar.33.

9 slope 4 Semua komponen ragam pada model n nyata pada taraf nyata 5%. Dar Tabel. dperoleh ragam jumlah sel CD4 + antar waktu untuk setap pasen berksar antara.77 dan pada taraf kepercayaan 95% dengan nla dugaan ttk sebesar 3.7. Nla dugaan bag ragam ntersep sebesar 5.9, dengan selang kepercayaan 95% yatu (3.8453, ), yang berart ada keragaman jumlah sel CD4+ awal antar pasen sewaktu masuk dalam stud. Ragam slope juga nyata dengan nla dugaan ragam sebesar.854, artnya laju penurunan jumlah sel CD4+ per bulan bervaras antar pasen dengan keragaman berksar antara.99 dan.459. Terdapat korelas negatf antara ntersep dan slope, yang dtunjukkan oleh nla peragam antara ntersep dan slope sebesar -.3, atau korelasnya sebesar Hasl pengujan nyata pada α = 5%, yang berart penurunan jumlah sel CD4 + antar pasen dpengaruh oleh jumlah sel CD4 + yang dmlk sebelumnya (sewaktu masuk dalam stud). Semakn besar jumlah sel CD4 + awal yang dmlk, semakn rendah laju penurunan jumlah sel CD4 + per bulan. Dagram pencar antara ntersep dan slope serta boxplot untuk kedua pengaruh acak tersebut dapat dlhat pada Gambar.. Margnal Plot of slope vs ntersep,,4,, -, -, ntersep 5 Gambar.4. Korelas antara ntersep dan slope