BAB V Model Bayes Pendugaan Area Kecil untuk Respon Binomial dan Multinomial Berbasis Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama

Transkripsi

1 BAB V Model Bayes Pendugaan Area Kecl untuk Respon Bnomal dan Multnomal Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama 5.1. Pendahuluan Pada umumnya pengembangan model SAE dan pendugaannya dlakukan dengan menganggap semua area terwakl dalam contoh atau menganggap contoh area dplh dengan peluang yang sama (Pfeffermann, 2010). Beberapa penelt yatu Kott (1990), Arora dan Lahr (1997) serta Prasad dan Rao (1999), yang mengembangkan model SAE yang memperhatkan peluang pengamblan contoh menyatakan bahwa pendugaan yang dlakukan tanpa memperhatkan peluang penarkan contoh akan menghaslkan penduga yang berbas. Model SAE yang dkembangkan dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh umumnya untuk peubah respon bertpe kontnu khususnya peubah respon yang memlk dstrbus normal. Lehtonen et al. (2009) mengaplkaskan Model Generalzed Regreson (GREG) mengaplkaskan metode PTLTE untuk pendugaan parameter area dengan menyertakan bobot unt contoh. Peneltan oleh Lehtonen R (2009) tersebut menghaslkan penngkatan akuras dan mengurang bas. Dengan memberkan bobot pada unt contoh, You dan Rao (2002) mengembangkan model SAE dengan mengaplkaskan metode Pseudo PTLTE untuk pendugaan parameter area kecl. Model tersebut dterapkan untuk menduga produks jagung d wlayah kecl (kota) dan dhaslkan bahwa metode PTLTE semu (pseudo EBLUP) menghaslkan KTG yang sedkt lebh kecl dbandngkan dengan metode PTLTE. Dalam bukunya Rao (2003) juga membahas model SAE untuk peubah respon normal dmana pendugaan parameter mengaplkaskan PTLT semu ( Pseudo BLUP) atau PTLTE. semu (Pseudo EBLUP) Pfefferman et al. (1998) juga telah membahas pengaruh peluang penarkan contoh dar proses penarkan contoh gerombol dua tahap (multstage cluster samplng) terhadap kualtas penduga model SAE. Pfefferman et al.(1998) mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh memlk korelas dengan 62

2 karakterstk area atau unt percontohan, oleh karena tu dsebut sebaga percontohan nformatf (nformatve samplng). Selanjutnya berdasarkan de Pfefferman tersebut, Edeh dan Nathan (2009) mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh memlk hubungan dalam bentuk fungs eksponensal dengan karakterstk area dan unt. Pengembangan model SAE yang dlakukan oleh Edeh dan Nathan (2009) yatu dengan menyertakan model eksponensal tersebut ke dalam model SAE. Sepert telah djelaskan sebelumnya bahwa tujuan utama peneltan n adalah mengembangkan model SAE yang dapat daplkaskan dalam menduga Indeks Penddkan yang merupakan salah satu komponen IPM d area kecl dmana data dasar yang dgunakan adalah Susenas yang penarkan contohnya berpeluang tdak sama. Oleh karena de pengembangan metode SAE yang memperhatkan peluang penarkan contoh sepert yang telah dlakukan oleh para penelt d atas dgunakan sebaga dasar pengembangan model SAE dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh yang dapat dgunakan untuk menduga komponen Indeks Penddkan yatu model SAE untuk respon bnomal dan multnomal. Pendugaan parameter area kecl dlakukan dengan pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut akan daplkaskan untuk menduga angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan, Provns Jawa Tmur Penyertaan Peluang Penarkan Contoh pada Model SAE. Mengacu pada peneltan Pfefferman (1998), Edeh dan Nathan (2009) mengembangkan model SAE berbass peluang tdak sama dengan penarkan contoh dua tahap yang mengasumskan bahwa peluang penarkan contoh bak untuk penarkan contoh area dan penarkan contoh unt memlk hubungan dengan karakterstk area dan unt dalam bentuk fungs eksponensal. Pada tahap pertama, msalkan pengaruh area yang dnyatakan dengan peubah u memlk hubungan dengan karakterstk area z, sehngga hubungan antara peubah u dan z dnyatakan oleh fungs ' u = z γ +η, nd η ~ N(0, σ ) u (5.1) Untuk tahap ke dua, dasumskan terdapat peubah penyerta x j =(x j1,...,x jr ) yang mempengaruh y j yang terseda untuk semua kelompok percontohan maka hubungan antara y j dan x j dnyatakan oleh fungs: 63

3 dmana y j ' j = µ + x β + e j, e j nd 2 e ~ N(0, σ ) (5.2) Dengan cara lebh sederhana maka gabungan dar persamaan (5.1) dan (5.2) adalah: Mengkut cara yang dkembangkan oleh Pfefferman (1998) yatu dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, maka, fungs kepadatan peluang untuk dalam percontohan area ke- adalah: dmana. (5.3) Edeh dan Nathan (2009) mengasumskan bahwa rata-rata peluang teramblnya area ke- sebaga contoh dapat dnyatakan sebaga fungs eksponensal dar peubah yang menggambarkan karaketrstk area sebaga berkut:. (5.4) Msalkan model matematk yang menghubungkan peluang penarkan contoh ke- dengan peubah area dnyatakan dalam bentuk fungs eksponensal sebaga berkut: E s { b b' z )} ( π µ, z ) = 1/ E ( π µ, z ) = exp ( µ + p (5.5) dmana z adalah peubah yang menyatakan karakterstk area ke- dan b adalah parameter yang menghubungkan kedua peubah. Jka = 1/ π menyatakan bobot dar area ke-, maka persamaan (5.5) dapat dnyatakan sebaga: w { ( b b' z )} Es ( w µ, z ) = 1/ E p ( π µ, z ) = exp µ + Berdasarkan persamaan (5.3), maka fungs kepadatan peluang untuk pengaruh acak u dapat dtuls sebaga: dmana: (5.6) (5.7). (5.8) 64

4 Dengan cara yang sama maka pada tahap kedua, fungs kepekatan peluang untuk y j dapat dtulskan dalam formula: (5.9) Selanjutnya peluang teramblnya contoh unt ke j pada area ke- yatu damsumskan memlk hubungan dengan karakterstk unt yang dnyatakan sebaga peubah x j dalam bentuk fungs eksponensal sebaga berkut: π j /. (5.10) Sama dengan peluang area, model matematk yang menghubungkan peluang ( π j / ) atau bobot ( w j / = 1/ π j / ) teramblnya unt ke-j pada area ke- dengan peubah penyerta adalah: E p ( π ' j yj, x j, µ ) = exp( dyj + d xj Oleh karena tu fungs kepadatan peluang untuk y j untuk µ dan x j adalah: ) (5.11) (5.12) tertentu (5.13) dmana (5.14) Persamaan (5.8) dan (5.14) menunjukkan bahwa jka dasumskan peluang penarkan contoh memlk hubungan dengan karakterstk area dan unt dalam bentuk fungs eksponensal, maka terjad pergeseran rata-rata sebesar untuk pengaruh area dan untuk unt. Dengan mendefnskan b = ( b 0, b1,..., bq )', z = (1, z2,..., zq )', d = ( d0, d1,... d r )' dan x j = ( 1, xj2,..., xjr )', maka dengan menggunakan metode penduga KM, pendugaan vektor parameter B dan D adalah (5.15) (5.16) dmana. Untuk y j yang dasumskan memlk sebaran normal dan dengan menyertakan peluang teramblnya contoh maka bentuk fungs kepadatan 65

5 peluang y j untuk µ dan x j dketahu dapat dnyatakan oleh persamaan (5.14). Nla harapan dan ragam dar sebaran tersebut adalah: (5.17) + (5.18) (5.19) 1) Pendugaan Parameter Model SAE Selanjutnya pendugaan parameter model SAE dlakukan dengan memaksmumkan fungs kemungknan bak untuk area dan unt yang terambl sebaga contoh serta untuk area dan unt yang tdak terambl sebaga contoh. Dalam pendugaan paramater, Edeh dan Nathan (2009) mengaplkaskan dua cara yatu melalu metode Kemungknan Maksmum (Maxmum Lkelhood ) dan metode Pendugaan Kemungknan Maksmum Semu (KMS) atau Pseudo Maxmum Lkelhood ). Metode KM tdak memperhtungkan bobot penarkan contoh sehngga rancangan percontohan dabakan, sedangkan metode KMS memperhtungkan bobot penarkan contoh. Jka m adalah jumlah contoh pada area ke dan penarkan contoh dlakukan secara acak, maka untuk j=1,2...m, sebaran y j akan salng bebas dan masng-masng memlk sebaran normal dengan rataan dan ragam, koragam sepert dnyatakan oleh persamaan (5.17), (5.18) dan (5.19). Oleh karena tu fungs peluang bersama antara ( y j,... y m ) untuk percontohan area ke- adalah: x. (5.20) Metode Kemungknan Maksmum Fungs kemungknan dperoleh dar mentransformaskan persamaan (5.20) dengan transformas logartma natural, yatu: 66

6 Jka ddefnskan, maka fungs lkelhood datas menjad lebh sederhana dan merupakan fungs dar, yatu:. ( 5.21) Dengan memaksmumkan fungs kemungknan yang dnyatakan oleh persamaan (5.21) datas maka akan dperoleh penduga. Jka parameter nformatf tdak dketahu maka parameter b dan d yang dgunakan untuk menghtung 2 0 µ β = bσ dan 2 0 dσ e γ = dapat dduga dengan menggunakan persamaan (5.15) dan (5.16). Metode Kemungknan Maksmum Semu Alternatf lan untuk pendugaan parameter model SAE adalah dengan menggunakan metode Kemungknan Maksmum Semu (KMS). Metode KMS n dkembangkan oleh beberapa penelt sepert Bnder (1983), Asparouhov (2006) dan Edeh dan Nathan (2009). Pada kasus penarkan contoh dua tahap, peluang penarkan contoh untuk unt ke- pada area ke j adalah π = π π, =1,2...,N ; j=1,2...,m. Oleh j j / karena tu bobot percontohan adalah w j =w w j/ dmana w =1/ π dan 67

7 w j / 1/ π j / =, =1,2...N. Edeh dan Nathan (2009) menyatakan bahwa kontrbus dar area ke- pada log-lkelhood sensus (untuk seluruh populas) adalah: Sehngga fungs kemungknan yang harus dmaksmumkan adalah: Oleh karena tu penduga fungs kemungknan adalah: (5.22) Secara sngkat persamaan (5.31) dtuls dalam bentuk:. (5.23) Penduga KMS adalah nla-nla yang dperoleh dengan cara memaksmumkan persamaan (5.23) menggunakan metode numerk. Pendugaan Ragam dmana. (5.24) 2) Pendugaan parameter pengaruh area Sebaran percontohan bersyarat µ y,... y tergantung pada sebaran 1 m percontohan dar efek area pada tahap pertama dan sebaran y µ pada tahap j kedua. Untuk µ y,... y yang dasumskan menyebar normal, maka 1 m penduga Bayes untuk µ y merupakan nla tengah dar sebaran posteror 68

8 f( yang dperoleh dar: f( Nla tengah untuk sebaran posteror f( adalah: Parameter rataan untuk sebaran normal d atas dapat dnyatakan sebaga: dmana: (5.25) dan Sehngga: (5.26). Pendugaan paramater d area yang terambl sebaga contoh dmana. (5.27) 69

9 Pendugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh Untuk area yang tdak terambl sebaga contoh, maka peluang untuk tdak terambl sebaga contoh adalah. Karena tdak ada unt yang damat atau terambl dalam percontohan maka pengaruh area yang tdak terambl sebaga contoh bukan merupakan fungs dar percontohan unt, sehngga: µ j, c y s ' 2 2 { bˆ( z 0.5 ˆ j ˆ) γ + b ˆ σ µ { bˆ( z } ' y) + 0.5) bˆ ˆ σ 2 2 gˆ( z ) ˆ ˆ exp ' j bσ µ = z ˆ jγ. (5.28) 1 gˆ( z )exp j j µ } Menurut Edeh dan Nathan (2006) Untuk model SAE sepert yang dnyatakan oleh persamaan y = x ' β + µ + e j j j dmana µ + = µ η, maka pendugaan parameter area ke- yang terambl sebaga contoh adalah: ' 2 2 ˆ µ s, = φ ( y x β ˆ) + (1 φ )( ˆ) µ + (1 φ ) bσ µ φdσ e (5.29) dmana Sedangkan dugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh dnyatakan oleh persamaan : ˆ µ c, j bσ µ exp( b ˆ µ + 0.5b σ µ ) = ˆ µ. (5.30) exp( b ˆ µ + 0.5b σ ) µ 5.3. Pendugaan Area Kecl Menggunakan Model Campuran Lner Terbobot. Rao (2003) membahas model SAE berbass penarkan contoh berpeluang tdak sama untuk peubah respon normal. Model SAE dkembangkan dengan memberkan bobot pada area surve dengan manggunakan rata-rata bobot level w = w / w = w / w unt j j k j. k y w j j j j = x T w j T j = w y = w ( x β + µ + e ) β + µ + e w j (5.31) 70

10 dmana e = w e dengan ( ) = 0 w j j j E dan V ( e w ) = σ e wj = σ e δ w e w j dan x w w j j x =. Selanjutnya pendugaan parameter dlakukan dengan j mengaplkaskan metode PTLT atau PTLTE untuk persamaan (5.31) d atas. Rao (2003) menyebut metode pendugaan untuk unt contoh berpeluang tdak sama dengan stlah PTLT semu (pseudo BLUP) atau PTLTE semu (pseudo EBLUP). You dan Rao (2002) mencoba menerapkan metode PTLTE semu untuk menduga produks jagung d wlayah kecl (kota) dan dhaslkan bahwa metode PTLTE semu menghaslkan KTG yang sedkt lebh kecl dbandngkan dengan PTLTE Pengembangan Model Bayes SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama untuk Respon Bnomal Sepert telah djelaskan pada Bab III, setap ndvdu dalam populas dklasfkaskan berdasarkan pada 2 peubah demograf yatu usa (yang terdr dar 5 katagor) dan jens kelamn (terdr dar 2 katagor) sehngga terdapat maksmum k=10 katagor. Jumlah ndvdu yang berada dalam area ke dan katagor ke j (j=1,...k ) merupakan peubah Bnomal dengan peluang p j. Selanjutnya peubah respon y j ddefnskan sebaga fungs logt(p j ) yatu y j pj = logt( pj ) = 1 p j. Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, maka dalam peneltan n pendugaan area kecl melalu pendekatan Bayes untuk peubah respon Bnomal ddasarkan pada pengembangan 2 model SAE sebaga berkut: 1) Menggunakan model lner terampat untuk sebaran respon logt normal dengan memberkan bobot penarkan contoh pada peubah respon y j = logt (p j ) dan peubah predktor x j. 2) Menggunakan model SAE dengan menyertakan peluang percontohan dalam bentuk fungs eksponensal sepert yang dkembangkan oleh Edeh dan Nathan (2009). Kedua metode d atas dbandngkan dengan metode SAE yang tdak memperhtungkan bobot peluang dengan menggunakan model sepert pada persamaan (3.23). Pendugaan propors d area kecl menggunakan pendekatan 71

11 Bayes dengan mengaplkaskan formula Bayes sepert yang dtunjukkan oleh persamaan (3.25) Penentuan Bobot Bobot percontohan untuk penarkan contoh merupakan kebalkan dar peluang penarkan contoh. Msalkan pada penarkan contoh dua tahap sepert yang dlakukan dalam Susenas, maka bobot percontohan dhtung dar perkalan fraks penarkan contoh pada tahap satu dan tahap dua. Jka d kecamatan tertentu contoh dambl dalam dua tahap dmana pada tahap pertama dplh blok sensus secara pps (proportonal to sze) dengan sze banyaknya rumah tangga hasl lstng SP2010 ( N ), maka peluang contoh pada N blok sensus ke- untuk terplh sebaga percontohan adalah π = M N = N N. Dar M area atau blok sensus yang ada dplh m area kecl (blok sensus), sehngga fraks penarkan contoh tahap pertama adalah: N n N f = n =. N N N (5.32) Bla pada blok sensus yang terplh dtark sejumlah rumah tangga (n ) dengan peluang yang sama, maka peluang bersyarat terplhnya ndvdu ke-j pada blok sensus ke- dnyatakan sebaga π j, dmana π j = 1 N. Jumlah ndvdu yang terplh adalah n, sehngga fraks penarkan contoh pada tahap kedua n adalah f j =. Sehngga overall samplng fracton adalah: N f j m N n m n = f f j = =. (5.33) N N N Dengan demkan desgn weght dapat drumuskan sebaga berkut: dengan: w j N = m n w : bobot ndvdu ke-j, blok sensus ke- j N : banyaknya populas lstng SP2010 d kecamatan tertentu (5.34) 72

12 m : banyaknya contoh blok sensus yang dambl d kecamatan tertentu n : banyaknya contoh ndvdu d blok sensus ke Metode Pendugaan Parameter Area Kecl dengan Menyertakan Peluang Penarkan Contoh yang Bersfat Eksponensal. Hubungan antara peluang penarkan contoh dengan karakterstk area dan unt dnyatakan dalam bentuk fungs eksponensal sepert djelaskan oleh persamaan (5.15) dan (5.21). Dalam peneltan n bobot peluang teramblnya contoh dhtung berdasarkan penarkan contoh dua tahap sehngga bobot peluang penarkan contoh untuk tahap satu adalah w = mn N dan bobot peluang N untuk unt sepert dnyatakan oleh persamaan (5.43) yatu wj =. m n Peubah yang dduga memlk hubungan dengan peluang penarkan contoh adalah peubah respon yatu logt (p ) untuk penarkan contoh area dan logt (p j ) untuk unt. Peluang penarkan contoh untuk area adalah pps, tergantung pada jumlah penduduk, dmana jumlah penduduk sangat dpengaruh oleh maju tdaknya suatu wlayah. D Indonesa, semakn maju suatu wlayah, maka jumlah penduduknya semakn besar dan tngkat penddkannya juga makn bak artnya angka melek hurufnya makn tngg. Karena tu jka penarkan contoh area (blok sensus) dlakukan secara pps, maka akan sangat beralasan menghubungkan peluang penarkan contoh dengan angka melek huruf. Dengan kata lan peluang area ke- terambl sebaga contoh ( ) dasumskan memlk hubungan dengan p atau logt (p ). melalu formula: w = exp dmana y =logt (p ). (5.35) by Sedangkan untuk level unt, (p j ) melalu formula: w = exp j dy j dasumskan memlk hubungan dengan logt dmana y j =logt (p j ), (5.36) oleh karena tu koefsen z dan x j pada persamaan (5.6) dan (5.12) dambl sama dengan nol. Jka seluruh area kecl dalam populas dbedakan atas area yang terambl sebaga contoh dan yang tdak terambl sebaga contoh, maka dengan menggunakan formula (5.29) dan (5.30), parameter area ke- yang terambl sebaga contoh dduga dengan: 73

13 ' 2 2 ˆ µ s, = φ ( y x β ˆ) + (1 φ )( ˆ) µ + (1 φ ) bσ µ φdσ e (5.37) sedangkan pendugaan parameter untuk area yang tdak terambl sebaga contoh: ˆ µ c, j bσ µ exp( b ˆ µ + 0.5b σ µ ) = ˆ µ 2 2 (5.38) 1 exp( b ˆ µ + 0.5b σ ) µ dmana dan Metode Pendugaan Parameter Area Kecl menggunakan Model Lner Campuran Terbobot Dengan memperhatkan peluang penarkan contoh, pengaruh bobot penarkan contoh untuk pendugaan area kecl dwujudkan dalam model-logt normal terbobot mengacu kepada cara Rao (2003) yang dnyatakan dalam persamaan (5.31). Dalam peneltan n bobot tap ndvdu yang berada pada klasfkas ke j pada area ke- adalah w j, sehngga model SAE untuk y j =logt (p j ) terbobot adalah: j j j T j j T w w y = w ( x β + µ + e ) = x β + µ + e dmana y logt( p ) = log[ p /(1 p )] j = j j j dan w j j 2 e j 2 j 2 e V ( e w ) = σ w = σ δ w w (5.39) e = w e, E ( ) = 0, Pendugaan parameter pada model (5.39) menggunakan metode KMB yang dterapkan untuk model lner logstk terbobot. ~ ~ ~ T ~ µ = X β + γ ( y x β ) (5.40) j T a a e w dmana ~ = log t p µ j j. Predks yang dperoleh adalah y j terbobot yatu yˆ ' j = w yˆ, sehngga j j penduga y j tanpa bobot adalah y ˆ = yˆ / w. Selanjutnya pendugaan area kecl j ' j j menggunakan pendekatan Bayes sepert yang djelaskan pada persamaan (3.25) Evaluas Terhadap Penduga Evaluas terhadap kualtas penduga ddasarkan pada besarnya smpangan dar nla dugaan terhadap nla parameter populas yang dukur dar 74

14 Rata-rata Bas Relatf (RBR), Akar dar Rata-rata Kuadrat Bas Relatf (ARKBR) dan Kuadrat Tengah Galat (KTG): (5.41) (5.42). (5.43) Smulas Dalam rangka mengevaluas sfat penduga, maka dlakukan stud smulas dengan mengambl salah satu kecamatan d Kabupaten Sumenep yatu kecamatan Lenteng yang terdr dar 16 blok sensus dengan jumlah penduduk jwa. Jumlah penduduk berusa 10 tahun keatas jwa, terdr dar lak-lak dan perempuan. Jumlah penduduk berusa 10 tahun ke atas d tap blok sensus sangat bervaras, yatu antara 559 jwa sampa 7110 jwa. Propors penduduk yang bsa baca tuls sektar 74%, untuk lak-lak sebesar 80,53% dan perempuan hanya 69,32%. 1) Proses Penarkan contoh dan penentuan bobot Pada surva Susenas, blok sensus dplh secara acak dengan peluang proportonal to sze, oleh karena tu blok sensus merupakan area kecl yang damat. Dalam smulas n, metode penarkan contoh dlakukan sesua dengan metode Susenas yatu penarkan contoh dua tahap dmana pada tahap pertama dplh 5 blok sensus secara pps (Probablty Proportonal to Sze) dengan sze banyaknya rumah tangga hasl senara SP2010 (N ) dan pada tahap kedua, dar setap blok sensus terplh dplh sejumlah 16 rumah tangga basa secara acak berdasarkan hasl lstng SP2010. Penarkan contoh dulang sebanyak 100 kal Fraks penarkan contoh pada tahap pertama sesua dengan persamaan (5.34) dan untuk tahap kedua sesua dengan persamaan (5.35), yatu: Tahap pertama, peluang teramblnya contoh area (blok sensus) tertentu adalah dmana N adalah jumlah populas pada blok sensus ke dan N adalah jumlah populas d seluruh kecamatan. Tahap kedua, peluang teramblnya contoh da area ke- adalah 75

15 2) Pendugaan Area Kecl Sesua dengan proses yang telah djelaskan pada sub bab 5.3, pendugaan parameter model dlakukan dengan 3 cara yatu: a. Dengan menggunakan model SAE dengan tdak memperhtungkan bobot sepert pada persamaan (3.23). Pendugaan propors d area kecl menggunakan pendekatan Bayes dengan mengaplkaskan formula Bayes sepert yang dtunjukkan oleh persamaan (3.25) b. Dengan memperhtungkan bobot penarkan contoh yang dasumskan memlk hubungan eksponensal sepert dtunjukkan oleh persamaan (5.35) dan (5.36). Pendugaan area kecl menggunakan rumus (5.37) dan (5.38) c. Dengan memperhtungkan bobot penarkan contoh sepert dtunjukkan oleh persamaan (5.39) Evaluas terhadap kualtas penduga ddasarkan pada besarnya smpangan dar nla dugaan terhadap nla parameter populas yang dukur dengan RBR, ARKBR dan KTG sepert pada rumus (5.41), (5.42) dan (5.43). 3) Hasl Smulas Nla dugaan angka melek huruf (propors penduduk usa 10 tahun ke atas yang bsa baca tuls) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep sepert djelaskan pada Tabel 5.2 dan dalam bentuk grafk dtunjukkan pada Gambar 5.1. Gambar 5.2 menjelaskan besarnya bas dugaan dar masngmasng metode. Gambar 5.1 maupun Gambar 5.2 menunjukkan bahwa metode pendugaan parameter melalu pendekatan Bayes dengan menggunakan model logt normal campuran terbobot memberkan hasl yang terbak. Sedangkan untuk pendugaan parameter yang menyertakan fungs peluang dalam bentuk eksponensal memlk bas yang lebh besar. 76

16 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 Dugaan Angka Melek Huruf Populas Model Eksponensal Model logt normal Tanpa Bobot Model Logt normal dengan bobot Gambar 5.1 Plot hasl smulas pendugaan p (angka melek huruf) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep 0,500 0,400 Bas Dugaan Angka Melek Huruf 0,300 0,200 0,100 0,000-0, ,200 Bas Model Eksponensal Bas Model logt normal Tanpa Bobot Bas Model Logt normal dengan bobot Gambar 5.2 Plot hasl smulas bas pendugaan p untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Hasl smulas n juga menunjukkan bahwa model logt normal campuran terbobot dengan pendekatan Bayes memberkan nla ARKBR dan KTG palng kecl yatu sebesar 0,0107 dbandngkan metode yang lan (lhattabel 5.1). Namun hasl perhtungan nla rata-rata bas relatf (RBR) lebh tngg dbandngkan dengan dengan SAE yang menyertakan model peluang eksponensal. Tnggnya nla KTG untuk model SAE eksponensal tersebut dsebabkan karena bas pada area (blok sensus) ke-7 sangat tngg dan model 77

17 nla pendugaan dar hasl smulas lebh menyebar dbandngkan dengan metode yang lan. Tabel 5.1. Nla rata-rata bas relatf dan rata-rata kuadrat bas relatf untuk model terbobot dan model eksponensal pˆ EB KTG RBR RKBR Model Logt Normal 0,824 0,0203 0,1122 0,1430 Model Logt Normal Terbobot (W) 0,835 0,0107 0,0414 0,1298 Model Eksponensal 0,740 0,1172-0,0009 0,2266 Populas 0,741 Tabel 5.2. Hasl Smulas Dugaan p (propors penduduk usa 10 tahun ke atas yang bsa baca tuls) untuk tap blok sensus d Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep Blok ModelCampuran Logt Normal Tanpa Bobot Model Campuran Logt Normal Terbobot Model- Eksponensal Populas pˆ EB -TB pˆ EB -B pˆ EB - Exp p Angka Melek Huruf Kecamatan Lenteng Aplkas : Pendugaan Angka Melek Huruf d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provns Jawa Tmur Berdasarkan hasl smulas, metode terbak untuk pendugaan parameter propors adalah model logt normal terbobot dmana pendugaan parameter area dlakukan melalu pendekatan Bayes. Selanjutnya metode tersebut dgunakan untuk menduga angka melek huruf d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. Hasl 78

18 pendugaan parameter model SAE dengan menggunakan metode PQL dapat dlhat pada Tabel 5.3 Gambar 5.3. menunjukkan hasl dugaan angka melek huruf d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Predks angka melek huruf d kabupaten Sumenep adalah 0,8189 dmana nla parameter populas 0,7589. Propors 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0, Kode Kecamatan Populas Model Bobot B a s 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0,20-0,25-0, Kode Kecamatan rata-rata bas = (a) Nla parameter vs dugaan angka melek huruf (b) Nla bas dugaan angka melek huruf Propors Gambar 5.3 Nla dugaan, parameter populas dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Sumenep 1,0000 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0, Populas Kode Kecamatan Model Bobot B a s 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0, Kode Kecamatan rata-rata bas = Kec. Bej (a) Nla parameter vs dugaan angka melek huruf (b) Nla bas dugaan angka melek huruf Gambar 5.4. Nla dugaan, parameter populas dan bas dugaan angka melek huruf d Kabupaten Pasuruan 79

19 Sedangkan untuk kabupaten Pasuruan, nla predksnya adalah 0,8808 dengan nla parameter populas: 0,9044. Terlhat bahwa perbedaan antara nla dugaan dan nla parameter populas relatf sangat kecl, artnya Model Logt Normal Terbobot dapat menghaslkan bas yang sangat kecl. Nla KTG untuk dugaan tersebut adalah 0,0149 untuk Kabupaten Sumenep dan untuk Kabupaten Pasuruan sedkt lebh besar yatu 0,0202. Tnggnya nla KTG d Kabupaten Pasuruan dsebabkan karena bas dugaan yang relatf tngg d salah satu kecamatan yatu d Kecamatan Tosar karena propors penduduk berusa 10 tahun keatas yang bsa baca tuls d kecamatan tersebut sangat rendah dbandngkan dengan kecamatan yang lan yatu hanya sektar 50% Model SAE Berbass Penarkan Contoh Berpeluang Tdak Sama Untuk Peubah Respon Multnomal Pengembangan model SAE: Model Campuran Logt Multnomal Terbobot y Sebaran marjnal dar setap komponen multnomal y k adalah bnomal: B( n, p ). Jka X k merupakan vektor kovarat tetap dan dasumskan tdak k ~ k tdak tergantung pada dan k, maka model lner yang ddasarkan pada raso θ = log k q 1 ( p / p ) = log p / 1 p k q k k k = 1 (4.2) adalah θ k = xkβk + uk, untuk =1,...m dan k=1,...q sepert yang dnyatakan oleh persamaan Hasl pengembangan model SAE untuk respon bnomal sebelumnya telah dsmpulkan bahwa model SAE terbak untuk respon bnomal yang menyertakan peluang penarkan contoh adalah model campuran logt-normal terbobot. Oleh karena tu dalam peneltan n, bobot peluang juga dperhtungkan dalam model SAE untuk peubah respon multnomal. Bobot peluang dberkan kepada setap unt percobaan sehngga pada model SAE yang djelaskan oleh persamaan (4.2) adalah w = w / n dmana w jk adalah bobot pengamatan ke j pada katagor k j jk k. ke k d area ke. Sehngga model SAE untuk logt (p k ) terbobot dar peubah respon multnomal adalah: y = w y = w [ x β + u + e ] kw k k k k k k k (5.52) 80

20 dmana q 1 y = log p / p = log p / 1 p dar percontohan. k k q k k k = 1 Selanjutnya pendugaan parameter model dlakukan dengan metode PQL dan REML sama sepert pada pendugaan parameter model SAE untuk respon bnomal untuk memperoleh pendugaan βˆ danσˆ dar model terbobot. kw kυw Untuk X k, yatu peubah penyerta dar populas dketahu, maka nla dugaan dar logt (p kw ) adalah ˆ θ = X ˆ β + u. Untuk mendapatkan nla kw k kw k ˆ θ = log p / p k maka k q katagor yatu 1/w k. θˆ dkalkan dengan kebalkan bobot untuk setap kw Pendugaan parameter model (5.22) menggunakan metode PQL yang dterapkan untuk model lner logstk terbobot. Predks yang dperoleh adalah y k terbobot yatu yˆ ' = k w k yˆ k, sehngga penduga y k tanpa bobot adalah y ˆ = yˆ' / w k k w. Selanjutnya pendugaan area kecl menggunakan pendekatan Bayes sepert yang djelaskan pada persamaan (3.25) yatu dengan menduga * komponen y dar persamaan k p k = f y + f y. p k adalah propors unt k k * ( 1 k ) k populas pada katagor ke-k d area ke- yang dnyatakan sebaga jumlah dar komponen percontohan dan komponen bukan percontohan dmana f k = n k /N k adalah fraks percontohan untuk katagor ke k. y k * y k adalah rata-rata contoh (propors) d area ke dan katagor ke k adalah rata-rata dar unt-unt yang tdak dambl contohnya pada Pendugaan katagor ke-k dalam area * yk dturunkan dengan cara yang sama dengan penduga Bayes untuk model SAE dengan peubah respon multnomal pada Bab IV yatu dengan persamaan (4.8). Penduga Bayes emprk untuk p k katagor ke k d area ke ) yatu p EB = k pˆ B ( ˆ, β ˆ σ ) k υ (propors pada Pendugaaan KTG ( pˆ EB ) dlakukan dengan metode Jackknfe sepert k yang dlakukan pada pendugaan SAE untuk peubah respon Bnomal pada Bab III atau respon multnomal tanpa bobot pada Bab IV yatu dengan menggantkan 81

21 p ˆ EB = k ( y, ˆ, µ ˆ) σ dan pˆ EB = k ( y, ˆ µ, ˆ σ ) dalam persamaan (4.5) k k k k, l k k l l sampa dengan persamaan (4.6) untuk memperoleh Mˆ dan 1k Mˆ 2k. Dengan demkan nla KTG KTG ( pˆ EB ) = k Mˆ + Mˆ. 1k 2k untuk pendugaan pada katagor ke k dan area ke Aplkas: Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah d Tngkat Kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Model SAE untuk respon multnomal terbobot sepert djelaskan oleh persamaan (5.22) daplkaskan untuk menghtung rata-rata lama sekolah kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan. Pendugaan ratarata lama sekolah d tap kecamatan ddasarkan pada model area kecl yatu blok sensus. Melalu pendekatan Bayes, dengan menggunakan rumus (3.25), nla penduga propors penduduk d tap jenjang penddkan dan rata-rata nla KTG berdasarkan model SAE yang dperoleh dtunjukkan oleh Lampran 17 dan Lampran 19 dan secara grafs dtunjukkan oleh Gambar 5.5 dan Gambar 5.6. Dalam satu kecamatan, propors penduduk d tap jenjang penddkan relatf sama dar satu blok sensus ke blok sensus yang lan relatf homogen, sehngga dengan metode Jackknfe, penduga KTG relatf sangat kecl yatu untuk Kabupaten Sumenep antara 3,9 x sampa 1,2 x10-5, sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan antara 1, sampa 1, Gambar 5.7 menunjukkan rata-rata lama sekolah d tap kecamatan berdasarkan model SAE logt multnomal terbobot. Untuk Kabupaten Sumenep, rata-rata lama sekolah antara 3.99 tahun sampa 8,36 tahun dan d Kabupaten Pasuruan antara 4,11 tahun sampa 10,97 tahun. Beberapa kecamatan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan bahkan memlk rata-rata lama sekolah relatf rendah yatu sektar 4 tahun. 82

22 0,7000 Dugaan propors d tap jenjang penddkan Kab. Sumenep (dengan pembobotan) Dugaan KTG (dengan pembobotan) Propors 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, MSE 9,00E-05 8,00E-05 7,00E-05 6,00E-05 5,00E-05 4,00E-05 3,00E-05 2,00E-05 1,00E-05 0,00E Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Gambar 5.5. Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep Pendugaan Tngkat Penddkan Kab. Pasuruan (dengan pembobotan) MSE Pendugaan Tngkat Penddkan Kab. Pasuruan (dengan pembobotan) Propors 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT MSE 9,00E-03 8,00E-03 7,00E-03 6,00E-03 5,00E-03 4,00E-03 3,00E-03 2,00E-03 1,00E-03 0,00E Tdak Sekolah SD SMA Kecamatan Putus SD SMP PT Gambar 5.6. Nla dugaan propors penduduk pada tap jenjang penddkan tertentu dan dugaan KTG menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Pasuruan 83

23 Rata-rata Lama Sekolah d tap kecamatan, Kabupaten Sumenep 9,500 10,500 Rata-rata Lama Sekolah d tap kecamatan,kabupaten Pasuruan 8,500 7,500 6,500 5,500 4,500 3,500 8,36 6,31 5,68 5,37 7,68 7,49 7,23 7,11 6,94 6,84 6,81 6,38 4,66 4,84 4,15 5,48 5,68 7,18 7,14 7,887,95 3,99 6,98 6,72 5,51 4, Tahun Tahun 9,500 8,500 7,500 6,500 5,500 4,500 3,500 9,32 8,318,27 8,46 7,99 7,68 7,26 6,61 6,29 6,46 6,16 6,38 6,21 5,97 5,535,62 5,30 5,41 5,03 4,45 4,65 4,60 4, Kecamatan Kecamatan Gambar 5.7 Nla dugaan rata-rata lama sekolah menggunakan model SAE logt multnomal terbobot d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan 5.6. Perhtungan Indeks Penddkan d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan Berdasarkan predks angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah, berkut n dhtung nla Indeks Penddkan d tap kecamatan menggunakan rumus sebaga berkut: Indeks Penddkan = 2/3 I MH +1/3 IRLS dmana: Indeks AMH/RLS: (X X mn )/ (X max X mn ) AMH: Angka melek huruf IMH: Indeks melek huruf RLS: Rata-rata lama sekolah IRLS : Indeks Rata-rata lama sekolah Dalam bentuk grafk nla ndeks penddkan d tap kecamatan dkabupaten Sumenep dan Pasuruan dapat dlhat pada Gambar 5.8. Sedangkan dalam peta tematk ndeks penddkan d Kabupaten Sumenep dan pasuruan dtunjukkan pada Gambar 5.9. dan Gambar

24 Kabupaten Sumenep Kabupaten Pasuruan Indeks 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 Indeks 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Kecamatan Kecamatan Gambar 5.8. Predks Indeks Penddkan d kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan menggunakan model SAE Gambar 5.9. Peta Tematk Indeks Penddkan d kabupaten Sumenep 85

25 Gambar Peta Tematk Indeks Penddkan d kabupaten Pasuruan 5.7. Pembahasan Model SAE untuk respon Bnomal dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh. Hasl smulas menunjukkan bahwa metode pendugaan area kecl menggunakan sebaran pror logt normal melalu pendekatan Bayes emprk yang dkembangkan dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh memberkan penduga parameter propors area kecl yang palng bak karena dapat menurunkan bas dan KTG dar penduga. Sementara tu metode pendugaan area kecl yang dkembangkan berdasarkan penarkan contoh nformatf yatu dengan menyertakan model peluang penarkan contoh dalam bentuk fungs eksponensal memberkan rata-rata bas relatf yang rendah namun memberkan akar rata-rata kuadrat bas relatf maupun KGT yang lebh tngg dbandngkan dengan metode pendugaan menggunakan sebaran pror logt normal terbobot. Besarnya nla KTG lebh banyak dsebabkan karena ragam pendugaan yang relatf besar sehngga walaupun memberkan bas yang kecl maka KTG akan cenderung tngg. Penurunan bas dar model SAE eksponensal n menunjukkan 86

26 bahwa memperhtungkan peluang penarkan contoh dalam model SAE akan dapat menurunkan bas. Pfefferman (2010) mengatakan bahwa mengabakan peluang penarkan contoh dalam model SAE akan menghaslkan bas pendugaan karena dengan mengabakan peluang penarkan contoh, maka pendugaan parameter model untuk area/unt yang terambl sebaga contoh sama dengan area/unt yang tdak terambl sebaga contoh. Dengan mengaplkaskan model SAE logt normal terbobot melalu pendekatan Bayes, dhaslkan perbedaan antara nla parameter populas dengan predksnya relatf kecl, rata-rata bas relatf mutlak untuk Kabupaten Sumenep 0,0628 dengan KTG sebesar 0,0149. Untuk Kabupaten Pasuruan, rata-rata bas relatf mutlak adalah 0,0136 dengan nla KTG sebesar 0,0202. Oleh karena tu, berdasarkan hasl smulas maupun aplkas d Kabupaten Sumenep dan Pasuruan menunjukkan bahwa model SAE untuk peubah respon Bnomal menggunakan model campran logt normal terbobot memberkan hasl yang palng akurat dalam pendugaan parameter propors area kecl Model SAE untuk respon Multnomal dengan memperhtungkan peluang penarkan contoh. Oleh karena model campuran logt normal terbobot memberkan hasl yang palng bak pada pendugaan area kecl untuk respon bnomal, maka dterapkan cara yang sama pada pendugaan area kecl untuk respon multnomal. Untuk Kabupaten Sumenep, nla pendugaan rata-rata lama sekolah antara 3,99 tahun sampa 8,36 tahun. Untuk Kabupaten Pasuruan rata-rata lama sekolah antara 4,11 tahun sampa 10,92 tahun. Nla dugaan KTG menggunakan metode Jackknfe relatf sangat kecl, tertngg adalah 0,00137 karena pada umumnya konds blok sensus d tap kecamatan relatf sama. Besarnya KTG tersebut sangat dpengaruh oleh homogentas atau heterogentas dar nla respon dar area yang satu ke area yang lan. 87