METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK DAN BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODEL STATE SPACE KUSMAN SADIK

Transkripsi

1 METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK DAN BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODEL STATE SPACE KUSMAN SADIK SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 009

2 PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI DAN SUMBER INFORMASI Dengan n saya menyatakan bahwa dsertas yang berjudul Metode Predks Tak-bas Lnear Terbak dan Bayes Berhrark untuk Pendugaan Area Kecl Berdasarkan Model State Space adalah hasl karya saya sendr dengan arahan koms pembmbng dan belum pernah dajukan kepada perguruan tngg mana pun. Sumber nformas yang berasal atau dkutp dar karya penuls lan telah dcantumkan d dalam teks dan Daftar Pustaka dsertas n. Bogor, November 009 Kusman Sadk NIM. G

3 ABSTRACT KUSMAN SADIK. Best Lnear Unbased Predcton and Herarchcal Bayes Methods for Small Area Estmaton Usng State Space Models. Under gudance of KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, BUDI SUSETYO, and I WAYAN MANGKU. There have been two man topcs developed by statstcans n a survey,.e. samplng technques and estmaton methods. The current ssues are estmaton methods related to estmaton of a partcular doman havng small sze of samples or, n more extreme cases, there s no sample avalable for drect estmaton. Sample survey data provde effectve relable estmators of totals and means for large area and domans. But t s recognzed that the usual drect survey estmator for a parameter of small area, have unacceptably large standard errors, due to the crcumstance of small sample sze n the area. The most commonly used models for ths case, usually n small area estmaton, are based on generalzed lnear mxed models. Some tme happened that some surveys are carred out perodcally so that the estmaton could be mproved by ncorporatng both the area and tme random effects. In ths dssertaton we propose a state space model whch accounts for the two random effects and s based on two equatons, namely transton equaton and measurement equaton. Based on an evaluaton crteron, the proposed herarchcal Bayes estmator turns out to be superor to both estmated best lnear unbased predcton (BLUP) and the drect survey estmator. The posteror varances whch measure accuracy of the herarchcal Bayes estmates are always smaller than the correspondng varances of the BLUP and the drect survey estmates. Keywords: Generalzed lnear mxed model, herarchcal Bayes, best lnear unbased predcton, pror and posteror functon, generalzed varance functon, block dagonal covarance, state space model.

4 RINGKASAN KUSMAN SADIK. Metode Predks Tak-bas Lnear Terbak dan Bayes Berhrark untuk Pendugaan Area Kecl Berdasarkan Model State Space. Dbmbng oleh KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, BUDI SUSETYO, dan I WAYAN MANGKU. Terkat dengan persoalan surve, ada dua topk utama yang menjad perhatan para statsts selama tahun-tahun terakhr n. Topk tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknk penarkan contoh dan pengembangan metodolog pendugaan parameter pupulas. Sebagamana dketahu, pada umumnya surve rutn yang dlakukan oleh pemerntah suatu negara ddesan untuk memperoleh statstk nasonal. Artnya, surve semacam n ddesan untuk nferensa bag daerah yang luas. Persoalan muncul ketka dar surve sepert n ngn dperoleh nformas untuk area yang lebh kecl, msalnya nformas pada level propns, kabupaten, bahkan mungkn level kecamatan. Ukuran contoh pada level area tersebut basanya sangat kecl sehngga statstk yang dperoleh akan memlk ragam yang besar. Bahkan bsa saja pendugaan tdak dapat dlakukan karena area tersebut tdak terplh menjad contoh dalam surve. Oleh karena tu dkembangkan metode pendugaan parameter yang dapat mengatas hal n. Metode tersebut dkenal dengan metode pendugaan area kecl (small area estmaton, SAE). Berbaga metode pendugaan area kecl telah dkembangkan khususnya menyangkut metode yang berbass model. Area kecl tersebut ddefnskan sebaga hmpunan bagan dar populas dmana suatu peubah menjad perhatan. Pendekatan klask untuk menduga parameter area kecl ddasarkan pada aplkas model desan penarkan contoh (desgn-based) yang dkenal sebaga pendugaan langsung (drect estmaton). Namun, metode pendugaan langsung pada subpopulas tdak memlk press yang memada karena keclnya jumlah contoh yang dgunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Oleh karena tu dkembangkan metode pendugaan secara tdak langsung (ndrect estmaton) d suatu area yang relatf kecl dalam percontohan surve. Tujuan tulsan n adalah untuk mengkaj konsep dan sfat-sfat statstk pada model campuran lnear terampat (generalzed lnear mxed model) untuk SAE serta mengkaj konsep dan sfat-sfat statstk model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu berdasarkan model state space melalu pendekatan kemungknan maksmum dan Bayes berhrark. Nla tengah pada area kecl dapat dekspreskan sebaga kombnas lnear dar pengaruh tetap dan pengaruh acak. Predks tak-bas lnear terbak (best lnear unbased predcton) dlakukan dengan cara memnmumkan fungs kuadrat tengah galat (mean square of error), sehngga penduga bag predks tak-bas

5 lnear terbak (PTLT) memlk kuadrat tengah galat (KTG) yang palng kecl dantara semua penduga tdak bas lnear. Metode kemungknan maksmum terkendala (restrcted maxmum lkelhood) dapat dgunakan untuk menduga komponen ragam atau koragam. Penggunaan komponen dugaan n dalam penduga PTLT akan dperoleh penduga secara dua tahap sebaga PTLT emprk atau PTLTE. Penerapan metode pendugaan tdak langsung pada area kecl untuk data Susenas menunjukkan bahwa nla akar kuadrat tengah galatnya (AKTG) lebh kecl dbandngkan dengan AKTG pada metode pendugaan langsung. Sementara pada data deret waktu (tme seres data) Susenas, AKTG lebh kecl pada metode pemodelan area kecl PTLTE deret waktu dbandngkan dengan AKTG pada metode PTLTE data penampang melntang (cross-sectonal data). In menunjukkan bahwa pengaruh acak area dan waktu maupun pengaruh sntetk vektor kovarat berfungs memperbak hasl pendugaan metode PTLTE yang hanya ddasarkan pada data surve pada satu tahun saja. Berdasarkan data smulas dapat dketahu bahwa nla akar kuadrat tengah galat relatf (AKTGR) metode PTLTE deret waktu cenderung jauh mengecl dbandngkan dengan nla AKTGR metode PTLTE non-tme seres pada waktu T dan korelas dr yang sama-sama besar. Artnya, pengaruh pengamatan antar waktu yang dakbatkan oleh banyaknya waktu T dan korelas dr dapat memperbak pendugaan parameter pada area kecl yang dndkaskan dengan menurunnya nla AKTGR tersebut. Metode PTLT pada SAE memerlukan banyak konds tertentu yang harus dpenuh, dantaranya adalah pengasumsan bahwa parameter peubah tetap dan ragam penarkan contohnya adalah konstanta atau tdak memlk fungs sebaran tertentu. Padahal kenyataannya, sangat dmungknkan parameter tersebut bukan suatu konstanta, melankan memlk suatu fungs sebaran tertentu. Metode Bayes dapat dgunakan untuk mengatas persoalan tersebut. Sehngga motode Bayes lebh fleksbel darpada metode PTLT yang memerlukan berbaga konds tertentu. Penerapan pada data deret waktu Susenas, dketahu bahwa nla AKTG lebh kecl pada metode pemodelan area kecl Bayes berhrark dbandngkan dengan AKTG pada metode PTLTE. Hal n mengndkaskan bahwa metode Bayes berhrark lebh bak darpada PTLTE dalam menurunkan AKTG. Penurunan AKTG n sebaga akbat adanya penguraan komponen ragam yang terdapat d dalam model, termasuk komponen ragam yang dakbatkan oleh fluktuas tngkat pengeluaran perkapta antar tahun. Berdasarkan kajan analtk pada model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu, penduga PTLT yang berbass pada metode kemungknan maksmum terbatas dan penduga Bayes berhrark sama-sama bersfat tdak bas. Namun, resko atau KTG yang dhaslkan penduga Bayes lebh kecl darpada penduga PTLT, artnya dalam hal n penduga Bayes lebh bak darpada penduga PTLT.

6 @ Hak Cpta Mlk Insttut Pertanan Bogor (IPB), Tahun 009 Hak Cpta Dlndung Undang-undang 1. Dlarang mengutp sebagan atau seluruh karya tuls n tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber: a. Pengutpan hanya untuk kepentngan penddkan, peneltan, penulsan karya lmah, penyusunan laporan, penulsan krtk atau tnjauan suatu masalah. b. Pengutpan tdak merugkan kepentngan yang wajar IPB.. Dlarang mengumumkan atau memperbanyak sebagan atau seluruh karya tuls n dalam bentuk apapun tanpa zn IPB.

7 METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK DAN BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODEL STATE SPACE KUSMAN SADIK Dsertas sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor pada Program Stud Statstka SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 009

8 Penguj Luar Koms pada Ujan Tertutup, 30 Oktober Prof. Dr. Ir. Aunuddn, MSc. (Dosen Dept. Statstka IPB). Dr. Ir. Aj Hamm Wgena, MSc. (Dosen Dept. Statstka IPB) Penguj Luar Koms pada Ujan Terbuka, 3 November Dr. Bambang Heru Santosa, MEc. (Badan Pusat Statstk, Jakarta). Dr. Ir. Ank Djuradah, MS. (Dosen Dept. Statstka IPB)

9 Judul Dsertas Nama Mahasswa NIM Program Stud : Metode Predks Tak-bas Lnear Terbak dan Bayes Berhrark untuk Pendugaan Area Kecl Berdasarkan Model State Space : Kusman Sadk : G : Statstka Dsetuju, Koms Pembmbng Prof. Dr. Ir. Kharl Anwar Notodputro, MS Ketua Dr. Ir. Bud Susetyo, MS Anggota Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc Anggota Dketahu, Ketua Program Stud Statstka, Dekan Sekolah Pascasarjana IPB, Dr. Ir. Aj Hamm Wgena, MSc Prof. Dr. Ir. Kharl Anwar Notodputro, MS Tanggal Ujan Terbuka : 3 November 009 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puj syukur penuls panjatkan ke hadrat Allah SWT, karena atas rahmat dan hdayah-nyalah akhrnya dsertas n dapat dselesakan. Selama pelaksanaan peneltan dan penyelesaan tulsan n, penuls banyak mendapatkan bantuan dar berbaga phak dantaranya adalah Koms Pembmbng, seluruh dosen dan karyawan Departemen Statstka FMIPA IPB, seluruh staf dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB, penelt dan karyawan d BPS Jakarta, dosen dan karyawan d Jont Program n Survey Methodology (JPSM) Unversty of Maryland Amerka Serkat, keluarga, dan berbaga phak yang tdak dapat penuls sebutkan semuanya. Dengan segala keterbatasan dan kekurangannya, akhrnya dsertas yang berjudul Metode Predks Tak-bas Lnear Terbak dan Bayes Berhrark untuk Pendugaan Area Kecl Berdasarkan Model State Space dapat dselesakan dengan bak. Pada kesempatan n, secara khusus penuls mengucapkan terma kash kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Ir. Kharl Anwar Notodputro, Bapak Dr. Ir. Bud Susetyo, dan Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, selaku dosen pembmbng yang telah banyak memberkan arahan, saran, dan bmbngan.. Bapak Prof. Dr. Ir. Aunuddn dan Bapak Dr. Ir. Aj Hamm Wgena selaku penguj luar koms pada saat Ujan Tertutup. 3. Bapak Dr. Bambang Heru Santosa, MEc dan Ibu Dr. Ir. Ank Djuradah selaku penguj luar koms pada saat Ujan Terbuka. 4. Seluruh dosen dan karyawan Departemen Statstka FMIPA IPB yang telah menjad teman dskus, memberkan saran, dan dorongan morl. 5. Seluruh dosen dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB yang telah memberkan layanan pengajaran dan admnstras yang bak. 6. Para penelt dan karyawan d BPS Jakarta yang banyak membantu memberkan data dan penjelasannya terkat data Susenas dan Podes.

11 7. Prof. Partha Lahr, yang telah memberkan arahan dan pengajaran terkat konsep teor dan metodolog Small Area Estmaton selama penuls melaksanakan Program Sandwch d Jont Program n Survey Methodology, Unversty of Maryland, Amerka Serkat. 8. Drektorat Penddkan Tngg, yang telah memberkan berbaga bantuan baya penddkan dan peneltan. 9. Seluruh anggota keluarga penuls, yang senantasa memberkan dorongan semangat dan doa yang khlas. 10. Serta berbaga phak lan yang tdak dapat penuls sebutkan seluruhnya secara satu persatu. Akhr kalam, dengan segala kerendahan hat, penuls menyadar bahwa dsertas n mash jauh dar kesempurnaan. Namun demkan, penuls berharap tulsan n dapat bermanfaat bag mereka yang memerlukannya. Aamn.

12 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Sumenep pada tanggal 1 September 1969, sebaga anak kedua dar pasangan Muhammad Durr (alm) dan St Ahmadyah (almh). Penddkan sarjana dtempuh d Jurusan Statstka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Insttut Pertanan Bogor (IPB), lulus pada tahun Pada tahun 1996 penuls dterma d Program Magster Statstka pada Program Pascasarjana IPB, dan menyelesakannya pada tahun Pada tahun 005 penuls mendapat kesempatan untuk mengkut Program Doktor pada Program Stud Statstka, Sekolah Pasacasarjana IPB, dengan beasswa penddkan (BPPS) dperoleh dar Drektorat Jendral Penddkan Tngg, Depdknas RI. Pada tahun 008, penuls mengkut Program Sandwch ke Unversty of Maryland, Amerka Serkat, untuk mengkut kulah dan melakukan peneltan terkat dengan metode pendugaan area kecl yang menjad fokus dalam dsertas n. Pada saat n penuls bekerja sebaga dosen pada Departemen Statstka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, IPB. Penuls menkah dengan Kurnawat Rahm Wjaya, S.S dan telah dkaruna tga orang anak, yatu Fryal Rahman Shdq, Muhammad Sayydurrahman Ash Shdq, dan Radhwa Rahmanyah Ash Shdq. Selama mengkut program S3, penuls telah mempresentaskan beberapa karya lmah dalam semnar nasonal dan nternasonal, dan sebagannya dpublkaskan dalam jurnal lmah nasonal. Karya-karya lmah tersebut adalah: 1. Sadk, K. and Notodputro, K.A Herarchcal Bayes Estmaton Usng Tme Seres and Cross-sectonal Data : A Case of Percapta Expendture n Indonesa. Conference of Small Area Estmaton, 9 Jun 01 Jul 009, Elche, Spanyol.. Sadk, K Herarchcal Bayes Approach n Small Area Estmaton. Makalah Semnar Reguler d Jont Program n Survey Methodology, Unversty of Maryland, USA. Oktober, Sadk, K., Notodputro, K.A., Susetyo, B., Mangku, I.W Small Area Estmaton Wth Tme and Area Effects Usng A Dynamc

13 Lnear Model. The 3 rd Internatonal Conference on Mathematcs and Statstcs (ICoMS-3). Insttut Pertanan Bogor, Indonesa, 5-6 August Sadk, K. and Notodputro, K.A A State Space Model n Small Area Estmaton. The 9 th Islamc Countres Conference on Statstcal Scences 007 (ICCS-IX), Kuala Lumpur: 1-14 December Sadk, K. dan Notodputro, K.A Model State Space pada GLMM untuk Pendugaan Area Kecl (Small Area Estmaton). Prosdng pada Semnar Nasonal Statstka: 4 Me 007, Unsba Bandung. 6. Sadk, K. dan Notodputro, K.A Pendekatan P-Splne M- Quantle dalam Pendugaan Area Kecl (Small Area Estmaton). Jurnal Matematka Aplkas dan Pembelajaran, Vol. 5 No. Jld 1, p:14-147, Unverstas Neger Jakarta, Jakarta. 7. Sadk, K. dan Notodputro, K.A Small Area Estmaton wth Tme and Area Effects Usng Two Stage Estmaton. Proceedng at the Frst Internatonal Conference on Mathematcs and Statstcs, MSMSSEA, 19-1 June 006, Bandung. 8. Sadk, K., Notodputro, K.A., Susetyo, B., Mangku, I.W Pendugaan Area Kecl (Small Area Estmaton) Berdasarkan Model yang Mengandung Langkah Acak (Random Walk). Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Konferda IndoMS wlayah Jabar & Banten, Aprl 006, Jurusan Matematka UNPAD, Bandung.

14 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... xv xv xx I. PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Peneltan Ruang Lngkup Kebaruan / Novelty... 4 II. TINJAUAN METODE PENDUGAAN AREA KECIL Pendahuluan Keuntungan dan Keterbatasan Penarkan Contoh Valdtas, Relabltas, dan Keakuratan Pendugaan Ukuran Contoh Perkembangan Metode SAE Metode Pendugaan Tdak Langsung untuk Area Kecl Pendekatan Model Campuran Lnear Terampat Pengaruh Penarkan Contoh pada Pendugaan Tdak Langsung Metode SAE dan Model State Space Statstk Area Kecl untuk Data BPS Jens Data yang Dkumpulkan Rancangan Penarkan Contoh Susenas Pendugaan Data Rumah Tangga Persoalan Ukuran Contoh pada Susenas... 8 III. METODE PREDIKSI TAK-BIAS LINEAR TERBAIK UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODEL STATE SPACE Pendahuluan MCLT dengan Pengaruh Acak Area dan Waktu xv

15 3.3. Model State Space pada Pendugaan Area Kecl Pendugaan Parameter Model dengan KMT Penduga Tak-bas Lnear Terbak (PTLT) Penduga Dua Tahap Pendekatan Orde Kedua untuk KTG Evaluas terhadap Penduga KTG Penerapan pada Data Susenas dan Smulas Data Susenas Data Smulas Smpulan IV. METODE BAYES BERHIRARKI UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL BERDASARKAN MODEL STATE SPACE Pendahuluan Metode Bayes Emprk Metode Bayes Berhrark Kasus Dketahu Kasus Tdak Dketahu Bayes Berhrark untuk Model State Space Penduga Bag KTG Metode Gbbs Samplng Penerapan pada Data Susenas dan Smulas Data Susenas Data Smulas Smpulan V. PEMBAHASAN UMUM Pendahuluan Keunggulan Metode Bayes darpada Metode PTLT pada Model SAE Secara Analtk Hasl Stud Kasus pada Data Lesson Learned VI. SIMPULAN DAN SARAN Smpulan Saran xv

16 DAFTAR PUSTAKA DAFTAR ISTILAH DAN SINGKATAN LAMPIRAN... 1 xv

17 DAFTAR TABEL Tabel.1. Perbandngan Antara Ukuran Contoh Susenas 005 (n) dengan Jumlah n Mnmum pada Batas d = Tabel 3.1. Perbandngan Antara Metode Pendugaan Langsung dengan Metode Pendugaan Tdak Langsung untuk Rata-rata Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas 005 Wlayah Kota Bogor Tabel 3.. Perbandngan Antara Metode PTLTE Penampang Melntang dengan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor... 6 Tabel 3.3. Nla Rata-rata Bas Relatf Mutlak (BRM) pada Metode PTLTE Penampang Melntang dan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Smulas Tabel 3.4. Nla Rata-rata AKTGR pada Metode PTLTE Penampang Melntang dan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Smulas Tabel 4.1. Perbandngan Antara Metode PTLTE dengan Metode Bayes Berhrark Model 1 pada Data Deret Waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor... 9 Tabel 4.. Perbandngan Antara Metode Bayes Berhrark Model 1 dengan Model pada Data Deret Waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Tabel 4.3. Nla Rata-rata Bas Relatf Mutlak (BRM) pada Metode Bayes Berhrark Model 1 dengan Model untuk Data Smulas Tabel 4.4. Nla Rata-rata AKTGR pada Metode Bayes Berhrark Model 1 dengan Model untuk Data Smulas Tabel 5.1. Perbandngan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan Bayes Berhrark pada Data Deret waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Tabel 5.. Perbandngan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan Bayes Berhrark pada Data Deret waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Tabel 5.3. Nla Rata-rata AKTGR pada Metode PTLTE dan Bayes Berhrark untuk Data Smulas Deret Waktu xv

18 DAFTAR GAMBAR Gambar.1. Dagram Alur Metode Penarkan Contoh Susenas... 7 Gambar 3.1. Plot Antara AKTG Penduga Langsung dengan AKTG Hasl Metode PTLTE Data Penampang Melntang... 6 Gambar 3.. Plot Antara AKTG Metode PTLTE Penampang Melntang dengan AKTG Metode PTLTE Deret Waktu Gambar 4.1. Plot Antara AKTG Metode PTLTE dengan AKTG Metode Bayes Berhrark Model Gambar 4.. Plot Antara AKTG Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.3. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) 0 untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.4. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) 1 untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.5. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.6. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) 3 untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.7. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) 4 untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model Gambar 4.8. Karakterstk Penduga Parameter Peubah Tetap (Fxed) 5 untuk Metode Bayes Berhrark Model 1 dan Model xv

19 DAFTAR LAMPIRAN Lampran 1. Program R untuk Bayes Berhrark Model Lampran. Program R untuk Bayes Berhrark Model Lampran 3. Program R untuk Smulas Data Lampran 4. Perbandngan Antara Metode Pendugaan Langsung dengan Metode Pendugaan Tdak Langsung untuk Rata-rata Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas 005 Wlayah Kota Bogor Lampran 5. Perbandngan Antara Metode PTLTE Penampang Melntang dengan Metode PTLTE Deret Waktu untuk Data Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Lampran 6. Perbandngan Antara Metode PTLTE dengan Metode Bayes Berhrark Model 1 pada Data Deret Waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Lampran 7. Perbandngan Antara Metode Bayes Berhrark Model 1 dengan Model pada Data Deret Waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Lampran 8. Perbandngan KTG dan AKTG Antara Metode PTLT dengan Bayes Berhrark pada Data Deret Waktu Tngkat Pengeluaran Perkapta Perbulan (dalam Rbuan Rupah), Susenas Wlayah Kota Bogor Lampran 9. Metode Pendugaan Langsung yang dgunakan oleh BPS untuk Data Susenas (BPS, 005) xx

20 BAB I 1. Pendahuluan 1.1. Latar Belakang Surve merupakan salah satu bagan pentng dar proses pengamblan keputusan yang berbass pada data. Karena tu, surve serng dlakukan secara rutn bak d lembaga peneltan swasta maupun neger. Terkat dengan persoalan surve tersebut, ada dua topk utama yang menjad perhatan para statsts pada tahun-tahun terakhr n. Topk tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknk penarkan contoh dan pengembangan metodolog pendugaan parameter populas untuk area dengan contoh kecl. Surve rutn yang dlakukan oleh pemerntah suatu negara, umumnya ddesan untuk memperoleh statstk nasonal. Artnya, surve semacam n ddesan untuk nferensa bag daerah yang luas. Persoalan muncul ketka dar surve sepert n ngn dperoleh nformas untuk area yang lebh kecl, msalnya nformas pada level propns, kabupaten, bahkan mungkn level kecamatan. Ukuran contoh pada level area tersebut basanya sangat kecl sehngga statstk yang dperoleh akan memlk ragam yang besar. Bahkan bsa saja pendugaan tdak dapat dlakukan karena area tersebut tdak terplh menjad contoh dalam surve. Oleh karena tu dkembangkan metode pendugaan parameter yang dapat mengatas hal n. Metode tersebut dkenal dengan metode pendugaan area kecl (small area estmaton, SAE). Statstk area kecl semacam tu telah menjad perhatan para statsts duna secara sangat serus sejak sepuluh tahun terakhr n (msalnya Ghosh and Rao, 1994; Chand dan Alexander, 1995; You dan Rao, 000; Rao, 003; Russo et.al., 005; Chambers dan Chandra, 006; Lahr, 008). Berbaga metode SAE telah dkembangkan khususnya menyangkut metode yang berbass model. Area kecl tersebut ddefnskan sebaga hmpunan bagan dar populas dmana suatu peubah menjad perhatan. Pendekatan klask untuk menduga parameter area kecl 1

21 ddasarkan pada aplkas model desan penarkan contoh (desgn-based) yang dkenal sebaga pendugaan langsung (drect estmaton). Namun, metode pendugaan langsung pada sub-populas tdak memlk press yang memada karena keclnya jumlah contoh yang dgunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Oleh karena tu dkembangkan metode pendugaan secara tdak langsung (ndrect estmaton) d suatu area yang relatf kecl dalam percontohan surve (Lahr dan Rao, 1995; Russo et al, 005) Menurut Lahr (008), metode pendugaan tdak langsung pada area kecl pada dasarnya memanfaatkan kekuatan area sektarnya (neghbourng areas) dan sumber data d luar area yang statstknya ngn dperoleh. Dalam hal n, model dkembangkan dengan asums bahwa keragaman ddalam area kecl peubah respon dapat dterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaan pada nformas penyerta (auxlary) yang berupa pengaruh tetap, sedangkan keragaman specfk area kecl dasumskan dapat dterangkan oleh nformas tambahan yang berupa pengaruh acak area. Menngkatnya kebutuhan terhadap metode SAE saat n terjad serng dengan menngkatnya kebutuhan pemerntah dan para pengguna statstk (termasuk duna bsns) terhadap nformas yang lebh rnc, cepat, dan handal, tdak saja untuk lngkup negara tetap pada lngkup yang lebh kecl sepert provns, kabupaten, bahkan kecamatan atau kelurahan. D Indonesa pentngnya statstk area kecl semakn drasakan serng dengan era otonom daerah dmana sstem ketatanegaraan bergeser dar sstem sentralsas ke sstem desentralsas. Pada sstem desentralsas pemerntah daerah memlk kewenangan yang lebh besar untuk mengatur drnya sendr. Kebutuhan statstk pada level kabupaten, dengan demkan, menjad kenscayaan sebaga dasar bag pemerntah daerah untuk menyusun sstem perencanaan, pemantauan dan penlaan pembangunan daerah atau kebjakan pentng lannya. Menurut Sadk et al (006, 008), model pendugaan parameter area kecl akan sangat membantu khususnya dalam menyedakan kebutuhan data dan nformas yang akurat untuk kebutuhan daerah d Indonesa sepert level propns, kabupaten/kota atau bahkan kecamatan dengan memanfaatkan keakuratan data BPS pada level nasonal, tanpa harus mengeluarkan baya besar untuk

22 mengumpulkan data sendr. Dengan demkan, secara nasonal akan cukup banyak baya yang bsa dhemat sehngga dapat dalokaskan untuk pembayaan pembangunan lannya. 1.. Tujuan Peneltan Secara umum tujuan peneltan n adalah untuk mengkaj sfat-sfat statstk pada: a. Model campuran lnear terampat (generalzed lnear mxed model) sebaga model dasar SAE. b. Model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu (state space) melalu pendekatan predks tak-bas lnear terbak (best lnear unbased predcton). c. Model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu (state space) melalu pendekatan Bayes berhrark Ruang Lngkup Fokus peneltan n adalah kajan terhadap metode SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu berdasarkan model state space. Pendekatan yang dgunakan untuk pendugaan parameter model tersebut adalah metode predks takbas lnear terbak (PTLT) dan Bayes berhrark. Penelaahan terhadap konsep dan sfat-sfat statstk model dlakukan secara analtk dan emprk. Pada Bab II dbahas tnjauan metode SAE secara umum mencakup perkembangan metode SAE, metode pendugaan tdak langsung pada area kecl, pendekatan model campuran lnear terampat (MCLT) pada SAE, pengaruh penarkan contoh pada pendugaan tdak langsung, serta persoalan statstk area kecl pada data Badan Pusat Statstk (BPS). Sementara kajan tentang metode PTLT pada pendugaan area kecl berdasarkan model state space dpaparkan pada Bab III yang mencakup pendekatan MCLT pada model SAE dengan pengaruh acak area dan waktu, metode PTLT, pendekatan kuadrat tengah galat / KTG (mean square error / MSE) dengan orde kedua, evaluas terhadap penduga KTG, serta stud kasus penerapan pada data Susenas dan data smulas. 3

23 Metode Bayes berhrark pada pendugaan area kecl berdasarkan model state space dbahas pada Bab IV. Pembahasan tersebut mencakup konsep metode Bayes emprk dan berhrark, pendekatan Bayes berhrark pada model state space, penduga bag KTG, metode Gbbs samplng, serta stud kasus penerapan pada data Susenas dan data smulas. Pembahasan umum pada Bab V bertujuan untuk membandngkan sfat-sfat statstk model SAE state space antara metode PTLT dengan metode Bayes berhrark bak secara emprk maupun analtk. Sementara Bab VI memaparkan smpulan dar peneltan secara keseluruhan dan saran untuk peneltan selanjutnya khususnya menyangkut hal-hal keterbatasan pada peneltan n Kebaruan / Novelty Pemkran tentang SAE yang berbass pada model telah mendapatkan perhatan para statsts duna hngga saat n khususnya setelah JNK Rao (003) mengeluarkan buku tentang SAE. Buku tersebut merupakan buku pertama yang membahas tentang pendugaan area kecl dengan cara mengkomplas beberapa hasl peneltan yang telah dpublkaskan d berbaga jurnal lmah nternasonal. Sampa saat n banyak dlakukan konferens statstka nternasonal terkat dengan pengembangan metode pendugaan area kecl tersebut. Peneltan yang menjad topk dalam dsertas n merupakan perluasan kajan SAE dar beberapa hasl kajan para statsts duna yang mereka publkaskan dalam jurnal lmah. Ada dua kebaruan yang dsajkan dalam dsertas n. Pertama adalah penjabaran dan pembuktan secara analtk terhadap sfat-sfat statstk pada model SAE yang berbass pada model state space. Kedua, kajan metode PTLT dan Bayes berhrark untuk SAE berdasarkan model state space serta penerapannya pada data Susenas BPS merupakan kajan yang pertama kal dlakukan d Indonesa. Sehngga hasl kajan dalam dsertas n dharapkan dapat memberkan sumbangsh pemkran pada perkembangan perstatstkaan d Indonesa. 4

24 BAB II. Tnjauan Metode Pendugaan Area Kecl.1. Pendahuluan Surve dgunakan untuk mendapatkan nformas mengena parameter populas dengan mengefektfkan baya yang terseda. Secara lebh luas surve secara prakts tdak hanya dgunakan untuk menduga total populas tetap juga untuk menduga keragaman subpopulas atau doman. Doman dapat ddefnskan sebaga daerah geografk, soso-demograf, dan sebaganya. Dalam konteks surve, penduga dkatakan langsung (drect estmator) apabla pendugaan terhadap parameter populas d suatu doman hanya ddasarkan pada data contoh yang dperoleh dar doman tersebut. Msalnya, pendugaan rata-rata tngkat pengeluaran rumah tangga perbulan d suatu kabupaten ddasarkan hanya pada data surve yang dperoleh dar kabupaten tersebut. Informas lan yang berada d luar doman kabupaten tersebut tdak dperhtungkan. Pendugaan langsung umumnya ddasarkan pada teknk penarkan contohnya (samplng technque). Teknk semacam n telah dkembangkan oleh Cochran (1977), Swenson dan Wretman (1989), dan Thompson (1997). Metode yang ddasarkan pada pemodelan (model-based) juga telah dkembangkan. Surve contoh termasuk dalam kelompok non-percobaan (non-expermental) yang lazm dsebut stud observasonal. Tujuan utamanya adalah menduga nla sejumlah peubah yang terdapat dalam populas. Meskpun sejumlah hpotess dapat duj berdasarkan data yang dperoleh dar suatu surve, namun hal n umumnya merupakan tujuan sekunder dalam surve (Levy dan Lemeshow, 1999). Surve contoh dapat dkategorkan kedalam dua kelompok besar berdasarkan pada metode pemlhan contoh, yatu contoh berpeluang (probablty samples) dan contoh tak-berpeluang (nonprobablty samples). Contoh berpeluang memlk karakterstk bahwa setap elemen dalam populas dketahu peluangnya untuk terplh sebaga contoh. Sedangkan pada contoh tak-berpeluang tdak 5

25 memlk karakterstk n, yatu peluang suatu elemen dalam populas untuk terplh sebaga contoh tdak dketahu berapa besar peluangnya. Pada penarkan contoh berpeluang, karena setap elemen dketahu peluangnya untuk terplh, maka penduga tdak bas parameter populas yang berupa fungs lnear dar pengamatan (rataan populas, propors, total) dapat dformulaskan dar data contoh. Demkan juga, galat baku bag penduga n bsa dperoleh sehngga relabltas dan valdtas dapat devaluas. Pada surve contoh mencakup dua hal pentng, yatu perencanaan penarkan contoh (samplng plan) dan prosedur pendugaan parameter. Perencanaan penarkan contoh adalah metodolog yang dgunakan untuk pemlhan contoh dar populas. Sedangkan prosedur pendugaan parameter merupakan algortma atau formula yang dgunakan untuk memperoleh dugaan nla populas dar data contoh dan untuk menduga relabltas dar penduga tersebut (Levy and Lemeshow, 1999)..1.1.Keuntungan dan Keterbatasan Penarkan Contoh Penarkan contoh memlk beberapa keuntungan dbandngkan dengan enumeras secara lengkap terhadap populas, dantaranya adalah lebh ekonoms, lebh pendek jedah waktunya (tme-lag), cakupannya lebh luas, dan mutu pekerjaan lebh bak karena lebh terencana (Som, 1996). Penarkan contoh memerlukan sumberdaya yang lebh bak untuk merancang dan melaksanakannya sehngga baya per unt pengamatan adalah lebh tngg darpada enumeras secara lengkap. Namun total baya untuk penarkan contoh adalah lebh kecl darpada enumeras secara lengkap dalam suatu cakupan populas tertentu. Demkan juga, dengan jumlah pengamatan yang lebh kecl, penarkan contoh memungknkan untuk lebh cepat dbandngkan dengan enumeras secara lengkap. Penarkan contoh memlk cakupan yang lebh luas darpada enumeras secara lengkap.1..valdtas, Relabltas, dan Keakuratan Sebagamana dsebutkan sebelumnya bahwa pada contoh berpeluang, relabltas dan valdtas penduga dapat devaluas. Relabltas (relablty) penduga parameter populas merujuk pada bagamana penduga tersebut dhaslkan 6

26 apabla surve yang sama dlakukan secara berulang-ulang. Apabla dasumskan bahwa tdak ada kesalahan pengukuran dalam surve, maka relabltas suatu penduga parameter dapat dgambarkan oleh ragam penarkan contohnya atau ekuvalen dengan galat bakunya. Sehngga penduga yang memlk galat baku terkecl, maka penduga tersebut memlk relabltas terbesar. Valdtas (valdty) penduga parameter populas (θˆ ) merupakan gambaran tentang bagamana rataan dar penduga-penduga suatu parameter yang dperoleh dar proses surve yang dlakukan secara berulang-ulang berbeda dar nla parameter yang sebenarnya (). Apabla dasumskan bahwa tdak ada kesalahan pengukuran dalam surve, maka valdtas suatu penduga parameter dapat devaluas dar nla bas penduga tersebut, yatu E( - θˆ ). Penduga yang memlk bas terkecl merupakan penduga yang memlk valdtas terbesar. Sementara keakuratan (accuray) suatu penduga menunjukkan tentang seberapa jauh penympangan nla dugaan dar nla parameter yang sebenarnya. Keakuratan suatu penduga umumnya devaluas berdasarkan nla kuadrat tengah galat / KTG (mean square error / MSE) atau berdasarkan nla akar kuadrat tengah galat / AKTG (root mean square error / RMSE) yatu E ( θ θˆ)..1.3.pendugaan Ukuran Contoh Salah satu persoalan pentng dalam perancangan contoh adalah menentukan berapa besar contoh yang dperlukan untuk memperoleh penduga yang memlk tngkat relabltas tertentu sesua dengan tujuan surve. Secara umum, ukuran contoh yang lebh besar akan memberkan tngkat relabltas yang juga lebh besar terhadap hasl pendugaan. Kesalahan relatf,, dalam pendugaaan parameter dapat dkontrol pada saat melakukan penarkan contoh. Pada penarkan contoh acak sederhana dapat dnyatakan bahwa ˆ P ξ α (.1 ) dmana adalah nla peluang tertentu. Sebagamana telah djabarkan sebelumnya bahwa ˆ dapat dasumskan menyebar normal dengan ragam V(ˆ ) yatu 7

27 8 V(ˆ ) = n N n N N n y N n N y N 1 σ 1) ( ) ( ) ( sehngga = z / ) (ˆ V = z / n N n N y σ. Penyelesan untuk ukuran contoh n adalah n = / / / / ξ ψ ) ( ψ ) ( ξ σ 1 1 ξ σ N z z N Y z N Y z y y y y dmana y ψ = / σ y merupakan koefsen keragaman. Sebuah pendekatan untuk menentukan ukuran contoh kadang-kadang dapat dkembangkan bla keputusan prakts dbuat dar hasl-hasl contoh. Dasar keputusan akan menjad lebh jelas jka pendugaan contoh mempunya kesalahan yang rendah darpada jka mempunya kesalahan yang tngg. Mash memungknkan untuk menghtung masalah keuangan, kerugan l(h) yang muncul dalam sebuah keputusan dengan sebuah kasalahan dalam pendugaannya. Meskpun nla sebenarnya dar h tdak dapat dramalkan sebelumnya, teor penarkan contoh menunjukkan bahwa untuk mendapatkan sebaran frekuens f(h, n) dar h, yang untuk metode penarkan contoh tertentu akan tergantung pada ukuran contoh n. Dengan demkan kerugan yang dharapkan untuk ukuran contoh tertentu adalah: dh n h f h l n L ), ( ) ( ) (. Tujuan dar pengamblan contoh adalah untuk mengurang kerugan n. Jka C(n) adalah baya dar ukuran contoh n, sebuah prosedur yang beralasan adalah dengan memlh n untuk memnmumkan: C(n) + L(n) karena n adalah total baya yang dperlukan dalam pengamblan contoh dan dalam pembuatan keputusan berdasarkan hasl-hasl contoh. Pemlhan ukuran (. )

28 contoh n dtentukan oleh ukuran contoh yang optmum dan tngkat keteltan yang palng tngg. Sebaga alternatf, pendekatan yang sama dapat dsajkan dalam keuntungan ekonoms (monetary gan) yang dperoleh dar contoh yang dmlk, bukannya kerugan yang tmbul dar kesalahan nformas contoh. Jka keuntungan keuangan yang dgunakan, maka dapat dbentuk suatu harapan keuntungan G(n) dar sebuah contoh berukuran n, dengan G(n) adalah nol jka tdak ada contoh yang dambl. Berart harus memaksmumkan G(n) - C(n). Aplkas yang sangat sederhana terjad bla fungs kerugan, l(h), adalah h, dengan adalah konstanta, sehngga dapat dnyatakan bahwa L(n) = E(h ). Msalkan ˆ adalah penduga dar dan h = ˆ -, maka L( n) λv ( ˆ) λσ y 1 1 n N jka yang dgunakan adalah penarkan contoh acak sederhana. Sementara bentuk sederhana dar fungs baya untuk contoh adalah C(n) = c 0 + c 1 n dmana c 0 adalah baya tetap. Berdasarkan fungs baya dan kerugan, nla dar n yang memnmumkan baya dan kerugan adalah σ y n λ. c 1 (.3 ).. Perkembangan Metode SAE Persoalan statstk area kecl telah menjad perhatan serus para statsts sejak 10 tahun terakhr n, meskpun dasar pemkrannya telah dmula jauh sebelumnya. Pendugaan karakterstk area kecl berdasarkan model pengaruh tetap merujuk pada synthetc estmator (Levy, 1971), composte estmator (Schable et. al., 1977) dan predcton estmator (Holt et. al., 1979). Model pengaruh tetap menerangkan seluruh keragaman peubah respon d dalam area kecl oleh keragaman faktor-faktor yang dketahu. 9

29 Fay dan Herrot (1979) mengajukan suatu metode pemodelan untuk menduga pendapatan perkapta untuk suatu area kecl berdasarkan data surve Bro Sensus Amerka Serkat (U.S. Bureau of the Cencus). Area kecl yang dmaksudkan oleh Fay dan Herrot sama dengan Levy dan Holt d atas, yatu suatu area surve dmana ukuran contoh pada area tersebut sangat kecl. Perbedaannya, Fay dan Herrot memasukkan pengaruh acak pada modelnya. Asums dasar dalam pengembangan model untuk pendugaan area kecl (SAE) tersebut adalah bahwa keragaman d dalam area kecl peubah respon dapat dterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaan pada nformas tambahan yang dsebut sebaga pengaruh tetap. Asums lannya adalah bahwa keragaman specfk area kecl tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecl. Gabungan dar dua asums tersebut membentuk model pengaruh campuran (mxed models). Dbandngkan dengan model pengaruh tetap, model campuran memlk cakupan aplkas yang lebh luas. Model Fay-Herrot tersebut menggunakan model campuran yang telah menjad kajan para statsts sebelumnya. Salah satu sfat yang menark dalam model campuran adalah kemampuannya dalam menduga kombnas lnear dar pengaruh tetap dan pengaruh acak. Henderson ( ) mengembangkan teknk penyelesaan model pengaruh campuran untuk memperoleh predks tak-bas lnear terbak / PTLT (best lnear unbased predcton / BLUP). Metode PTLT yang dkembangkan tersebut mengasumskan dketahunya ragam pengaruh acak dalam model campuran (komponen ragam). Padahal dalam prakteknya, komponen ragam tdak bsa dketahu dan harus dduga berdasarkan data. Selanjutnya, Harvlle (1977) melakukan kajan terhadap beberapa metode pendugaan komponen ragam, dengan memasukkan metode maxmum lkelhood dan resdual maxmum lkelhood. Penduga PTLT yang dperoleh dengan cara terlebh dahulu menduga komponen ragamnya dsebut sebaga predks tak-bas lnear terbak emprk / PTLTE (emprcal best lnear unbased predcton / EBLUP) sepert yang dkembangkan Harvlle (1990) dan Robnson (1991). Metode PTLTE tersebut mengasumskan bahwa pengaruh acak memlk sebaran normal. Schall (1991), McGlchrst dan Asbett (1991), Breslow dan 10

30 Clayton (1993), Breslow dan Ln (1995), McGlchrst (1994), dan Marker (1999) mengembangkan PTLTE untuk model lnear terampat (generalzed lnear models) yang pengaruh acaknya dasumskan memlk sebaran keluarga eksponensal. Zeger dan Karm (1991) memperkenalkan pendekatan Gbbs samplng untuk penyelesaan model campuran. Teknk komputas Monte Carlo Expectaton- Maxmzaton dan Monte Carlo Newton-Raphson dgunakan oleh McCulloch (1994 dan 1997). Sementara Datta dan Ghosh (1991), Ghosh dan Rao (1994), Pfeffermann (1999), Ghosh dan Lahr (1987), Rao (1999, 003), serta Chambers dan Tzavds (006) menggunakan model campuran untuk menngkatkan akuras pendugaan pada kasus area kecl berdasarkan data survey atau data sensus. Selan PTLTE, pendugaan dan nferensa pada SAE juga menggunakan Bayes emprk (emprcal Bayes) dan Bayes berhrark (herarchcal Bayes). Pada pendekatan Bayes emprk, pendugaan dan nferensa berdasarkan pada sebaran posteror yang dduga dar data. Adapun pada pendekatan Bayes berhrark, parameter model yang tdak dketahu (termasuk komponen ragam) dperlakukan sebaga komponen acak yang masng-masng memlk sebaran pror tertentu. Sebaran posteror untuk parameter yang menjad perhatan dperoleh berdasarkan seluruh sebaran pror tersebut. Ghos dan Rao (1994) mengulas penggunaan Bayes berhrark pada SAE. Deely dan Lndley (1991), Mat (1998), Datta et al (1996, 1999) menggunakan non-nformatve pror untuk kasus hperparameter pada penggunaan Bayes berhrark. You dan Rao (000) menggunakan Bayes berhrark untuk menduga rataan area kecl berdasarkan model pengaruh acak. Malec et al (1999) mengembangkan model yang dgunakan pada Malec et al (1997) dengan memasukkan komponen oversamplng d dalam lkelhood. Farrell et al (1997) mengembangkan model logstk campuran yang dgunakan oleh MacGbbon dan Tomberln (1989). Moura dan Mgnon (001) lebh mengembangkan model tersebut dengan memasukkan komponen struktur korelas spasal pada data respon bner. Saat n peneltan dan pengembangan metode SAE semakn menngkat semenjak JNK Rao menerbtkan buku yang berjudul Small Area Estmaton pada tahun 003, sebaga buku pertama d duna yang membahas tentang metode SAE. Semnar dan konferens nternasonal tentang SAE saat n banyak 11

31 dselenggarakan d berbaga negara. Salah satunya dselenggarakan d Spanyol pada Jul 009 yang dhadr oleh berbaga statsts duna termasuk JNK Rao. Pada konferens tersebut ddskuskan berbaga problem SAE termasuk aplkasnya pada data surve d berbaga negara. Perkembangan dan aplkas metode SAE d Indonesa pada konferens tersebut dkemukakan oleh Sadk dan Notodputro (009)...1.Metode Pendugaan Tdak Langsung untuk Area Kecl Ukuran contoh pada sub-area surve terkadang berukuran kecl sehngga statstk yang dperoleh akan memlk ragam yang besar atau bahkan pendugaan bsa saja tdak dapat dlakukan pada sub-area tertentu karena sub-area tersebut tdak terplh menjad contoh. Metode SAE dkembangkan untuk menyelesakan masalah tersebut. Area kecl tersebut ddefnskan sebaga hmpunan bagan dar populas dmana suatu peubah menjad perhatan. Pendekatan klask untuk menduga parameter area kecl ddasarkan pada aplkas model desan penarkan contoh yang menghaslkan metode pendugaan langsung (Rao, 003; Chambers dan Chandra, 006; Lahr, 008). Informas tambahan dapat dgunakan untuk menngkatkan akuras dan press suatu penduga. Pada SAE, nformas tambahan tersebut dapat berupa nla parameter dar area kecl lan yang memlk karakterstk serupa dengan area kecl yang menjad perhatan, atau nla pada waktu yang lalu, atau nla dar peubah yang memlk hubungan dengan peubah yang sedang damat. Pendugaan paramater dan nferensanya yang berdasarkan pada nformas tambahan tersebut, dnamakan pendugaan tdak langsung atau model-based. Metode dengan memanfaatkan nformas tambahan tersebut secara statstk memlk sfat penguatan (borrowng strength) dar hubungan antara nla peubah respon dan nformas tambahan tersebut. Asums dasar dalam pengembangan model untuk SAE adalah bahwa keragaman ddalam area kecl peubah respon dapat dterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaan pada nformas tambahan yang dsebut sebaga pengaruh tetap. Asums lannya adalah bahwa keragaman specfk area kecl tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan dan merupakan pengaruh acak area 1

32 kecl. Gabungan dar dua asums tersebut membentuk model pengaruh campuran (mxed models). Model pengaruh tetap menerangkan seluruh keragaman peubah respon d dalam area kecl oleh keragaman faktor-faktor yang dketahu. Pendugaan karakterstk area kecl berdasarkan model pengaruh tetap merujuk pada synthetc estmator (Levy, 1971), composte estmator (Schable et. al., 1977) dan predcton estmator (Holt et. al., 1979; Sarndal, 1984; dan Marker, 1999). Pendugaan langsung umumnya ddasarkan pada teknk penarkan contohnya. Teknk semacam n telah dkembangkan oleh Cochran (1977), Swenson dan Wretman (1989), dan Thompson (1997). Metode yang ddasarkan pada pemodelan juga telah dkembangkan, msalnya sepert yang dlakukan oleh You dan Rao (000). Pada pendugaan yang berbass pada rancangan surve, pembobot rancangan w j (s) memlk peranan pentng dalam membentuk penduga berbass rancangan Yˆ bag Y. Pembobot n tergantung pada s dan elemen j (js). Salah satu bentuk pembobot yang pentng adalah w j (s)=1/ j, dmana j = {s:js} p(s), j=1,,.., N. Apabla tdak nformas penyerta, maka penduga langsung dapat dekspreskan sebaga Yˆ = {s:js} w j (s)y j. Dalam kasus n, rancangan tdak berbas apabla terpenuh {s:js} p(s)w j (s) = 1 untuk j=1,,, N. Pembobot n merupakan bentuk umum dar penduga Horvtz-Thompson (Cochran, 1977). Pendugaan langsung n dapat pula menggunakan nformas penyerta yang ada pada doman yang bersangkutan. Msalkan nformas penyerta dalam doman tertentu, X = (X 1,, X p ) T, terseda dan vektor xj untuk js terobservas, sehngga data (y j, x j ) untuk setap elemen js terobservas. Suatu penduga yang mengefsenkan nformas penyerta n adalah generalzed regresson (GREG) yang bsa dtuls sebaga berkut: dmana Xˆ = {s:js} w j (s)x j dan Yˆ GR Yˆ ( X Xˆ ) Bˆ ( B ˆ,..., ˆ ) 1 B p T T Bˆ (.4 ) adalah solus dar persamaan kuadrat terkecl terbobot dar contoh, yatu ( {s:js} w j (s)x j x T j /c j ) Bˆ = {s:js} w j (s)x j y j /c j dengan c j (>0) sebaga konstanta spesfk. 13

33 Pendugaan tdak langsung dapat menggunakan pendekatan model secara umum. Msalkan dasumskan bahwa = g( Y ) untuk beberapa spesfkas g(.) dhubungkan dengan data penyerta spesfk pada area, x = (x 1,, x p ) T melalu suatu model lnear = x T + b v, = 1,, m dmana b adalah konstanta postf yang dketahu dan adalah vektor berukuran px1. Sedangkan v adalah pengaruh acak spesfkas area yang dasumskan bebas dan menyebar dentk dengan E m (v ) = 0 dan V m (v ) = v ( 0), atau v d (0, v ). Pendugaan tdak langsung untuk rataan populas d area kecl, ( Y ), dperlukan nformas mengena penduga langsungnya yatu Yˆ. Dengan menggunakan metode James-Sten akan dperoleh: ˆ g(yˆ ) = + e ˆ x T + b v + e, = 1,, m (.5 ) dmana galat penarkan contoh (samplng error) e adalah bebas dengan E p (e ) = 0 dan V p (e ) =, atau v d (0, v )....Pendekatan Model Campuran Lnear Terampat Rao(003) mengatkan model-model pendugaan tdak langsung (modelbased) d atas sebaga bagan dar model campuran lnear terampat / MCLT (generalzed lnear mxed model / GLMM) yang menggabungkan antara pengaruh tetap dan pengaruh acak dalam suatu model umum. Datta dan Ghosh (1991) mengemukakan formulas model MCLT sebaga berkut : y P = X P + Z P v + e P. (.6 ) Pada model n v dan e P bebas dengan e P N(0, P ) dan v N(0, D()), dmana P adalah matrks defnt postf yang dketahu dan D() adalah matrks defnt postf yang strukturnya dketahu. Sedangkan X P dan Z P adalah matrks rancangan dan Y P adalah vektor N x 1 dar nla y populas. Matrks koragam bag v dan e masng-masng adalah G dan R. Persamaan d atas dapat pula dtuls sebaga berkut: 14

34 y P y X Z e v (.7 ) y * X * Z * e * dmana bagan yang dtanda astersk (*) menunjukkan unt yang tdak tercakup dalam contoh. Vektor untuk total (Y ) pada area kecl adalah berbentuk Ay + Cy* m m m dengan A = 1 1 dan C = 1 1 dmana 1 A u = blockdag(a 1,, A m ). T n T N n Pada MCLT n dlakukan pendugaan terhadap kombnas lnear dar parameter yatu = 1 T + m T v. Rao (003) mengemukakan bahwa untuk tertentu yang dketahu maka penduga PTLT bag adalah H ~ = t(, y) = 1 T ~ + m T ~ v = 1 T ~ + m T GZ T V -1 (y - X ~ ) (.8 ) dmana ~ = ~ () = (X T V -1 X) -1 X T V -1 y v~ = v ~ () = GZ T V -1 (y - X ~ ). Model untuk pendugaan tdak langsung, yatu ˆ x T + b v + e, = 1,, m, sebenarnya merupakan kasus khusus dar model MCLT, yatu dan sedangkan sehngga y = ˆ, X = x T, Z = b v = v, e = e, = ( 1,, p ) T G = v, R = V = + v b dan = = x T + b v. Apabla persamaan pendugaan tdak langsung dsubsttuskan ke dalam pendugaan MCLT akan dperoleh penduga PTLT bag atau yatu: ~ H = T x ~ + ( ˆ - x T ~ ), dmana = v b /( + v b ), dan ~ = ~ ( v ) = m 1 x x T 1 m v b 1 b x ˆ Ada tga pendekatan standar untuk SAE ddasarkan pada model MCLT tersebut, yatu PTLTE, Bayes emprk, dan Bayes berhrark. Metode PTLTE basanya membutuhkan metode kemungknan maksmum terkendala / KMT v. (.9 ) 15

35 (restrcted maxmum lkelhood / REML) untuk pendugaan parameternya yang berkatan dengan pengaruh area acak, yang dentk dengan Bayes emprk dan Bayes berhrark dalam beberapa keadaan...3.pengaruh Penarkan Contoh pada Pendugaan Tdak Langsung Sebagamana djabarkan d atas bahwa pada pendugaan tdak langsung, metode penarkan contoh akan mempengaruh metode penghtungan nla kuadrat tengah galatnya. Artnya, pada pendugaan tdak langsung juga mempertmbangkan metode pendugaan langsungnya bag penduga parameternya maupun keragaman yang terdapat dalam penduga langsung tersebut. Pada model d atas yatu, ˆ g(yˆ ) = + e ˆ x T + b v + e, = 1,, m (.10 ) pengaruh penarkan contoh dperhtungkan pada komponen e penarkan contoh (samplng error) yang bebas dengan E p (e ) = 0 dan V p (e ) =, atau v d (0, v ). sebaga galat Pada persamaan (.10 ) d atas, penduga langsung yang berbass pada metode penarkan contoh tertentu berkontrbus pada nla ˆ dan V p (e ) =. Untuk penarkan contoh acak sederhana (smple random samplng) yang memlh n unt dar N sehngga setap elemen dar N C n contoh yang berbeda mempunya kesempatan yang sama untuk dplh maka ˆ = y pada suatu area kecl tertentu dmana ( N 1)! n!( N n)! E( y ) = ( y1 y... yn ) ( n 1)!( N n)! nn! ( y y... yn ) = Y N 1. (.11 ) Sehngga y merupakan penduga tdak bas bag nla tengah populas Y. Sedangkan = ragam bag y untuk area kecl tertentu yang dapat dnyatakan sebaga E( y Y ), yatu = V( y ) = E( y Y ) 1 = n n n 1 [ 1 {(y 1 Y ) +. + (y N Y ) } N N 1 16

36 17 = N y Y N nn n N 1 ) ( 1) ( = n N n N N n Y y N n N N 1 σ y 1) ( ) ( ) ( dmana 1) ( ) ( σ 1 N Y y N y, sedangkan penduga bag ragam y adalah ) ˆ( n s N n N y V y pada penduga ragam bag y tersebut, 1) ( ) ( 1 n y y s n y merupakan penduga tdak bas bag ragam populas σ y. Untuk penarkan contoh dengan pengembalan, ragam bag y yatu = V( y ) = 1 n N N j j N n y y N N n y 1 1) ( = 1 ) ( 1 ) ( N Y y nn N Y y nn N N = n N N y 1 σ. Pada penarkan acak contoh berlaps, populas N untnya dbag ke dalam subpopulas, masng-masng N 1, N,..., N L unt, dmana N N L 1, sehngga subpopulas n tdak boleh tumpang tndh. Penduga langsung bag yatu ˆ pada persamaan pendugaan area kecl (.10 ) adalah ˆ = st y, yatu L h h h L h h h st y W N y N y 1 1 dmana W h = N h /N merupakan pembobot lapsan. Apabla dalam setap lapsan penduga contohnya, h y, adalah tdak bas, maka st y merupakan penduga tdak bas bag nla tengah populas Y, yatu (.13 ) (.14 ) (.1 )