ANALISIS PEUBAH RESPONS KONTINU NON NEGATIF DENGAN REGRESI GAMMA DAN REGRESI INVERSE GAUSSIAN 1. Kismiantini

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 9 ANALISIS PEUBAH RESPONS KONTINU NON NEGATIF DENGAN REGRESI GAMMA DAN REGRESI INVERSE GAUSSIAN Ksmantn Jurusan Penddkan Matematka, FMIPA Unverstas Neger Yogyakarta Emal : ksm@uny.ac.d Abstrak Peubah respons kontnu pada bdang asurans sepert peubah waktu antara pelaporan klam dengan penyelesaan basanya merupakan blangan non-negatf dan mempunya ukuran kemrngan ke kanan. Sehngga apabla ngn mengetahu hubungan antara peubah respons (peubah tak bebas) kontnu non negatf dengan peubah bebas maka regres lnear klask tdak tepat dgunakan. Pada makalah n akan mengka alternatf regres yang mampu mengatas permasalahan peubah respons kontnu non negatf dengan menggunakan regres gamma dan regres nverse gaussan. Kata-kata kunc: peubah non kontnu, regres gamma, regres nverse gaussan. PENDAHULUAN Pada bdang asurans, peubah yang menad pangamatan sepert lau klam, waktu antara pelaporan klam dengan penyelesaan dan rata-rata baya klam merupakan peubah respons kontnu non negatf serta mempunya tngkat ukuran kemrngan yang cenderung ke kanan. Sehngga regres lnear klask tdak tepat dgunakan dalam permasalahan tersebut. Pada regres lnear klask, peubah respons dasumskan sebaga peubah kontnu yang berdstrbus normal sehngga nla < Y <. Alternatf regres yang dapat dgunakan untuk mengatas permasalahan peubah respons non kontnu adalah regres gamma dan regres nverse Gaussan (Jong & Heller, 8). Regres n dplh dengan alasan bahwa memuat nla peubah respons non negatf dan termasuk dalam dalam keluarga eksponensal sehngga model lnear terampat (Generalzed Lnear Model) dapat dgunakan untuk menyelesakan permasalahan tersebut dan tdak memerlukan pemenuhan asums sepert pada model regres lnear klask. KELUARGA EKSPONENSIAL Peubah pengamatan Y dasumskan memlk fungs peluang keluarga eksponensal yang dapat dmodelkan sebaga berkut (Jong & Heller, 8): yθ a ( ) ( ) ( θ ) f yθ, φ = c y, φ exp () φ dengan θ dan φ adalah parameter kanonk dan parameter dspers dan a(φ ), b(θ ) dan c(y, φ ) adalah suatu fungs yang dketahu. Fungs log-lkelhood adalah log f ( yθ,φ), dtuls sebaga l( θ, φ y), merupakan suatu fungs dar θ dan φ dengan y dketahu. Nla harapan dan ragam Y dapat dtentukan dengan mengevaluas fungs turunan dar l( θ, φ y) yang bersesuaan yatu : E ( Y ) = = b ( θ ) dan Var ( Y ) = σ = b ( θ ) a( φ) dengan b ( θ ) dan b ( θ ) adalah turunan pertama dan kedua dar b ( θ ). Beberapa dstrbus peluang yang termasuk dalam dstrbus keluarga eksponesal adalah Makalah n dsampakan pada Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA yang dselenggarakan oleh FMIPA Unverstas Neger Yogyakarta pada tanggal 6 Me 9 M-3

2 Ksmantn / Analss Peubah Respons dstrbus bnomal, Posson, normal, gamma, nverse Gaussan dan negatve bnomal. Bnomal, ( ) n,π Posson, ( ) Tabel. Dstrbus keluarga eksponensal dan parameternya Var Dstrbus θ a ( θ ) φ ( Y ) Var = π θ B ln π n ln ( + e ) n π n π ( π ) P ln θ e Normal, (,σ ) Gamma, ( ),ν N θ G Inverse Gaussan, (,σ ) Negatve Bnomal, NB (,κ ) MODEL LINEAR TERAMPAT (GENERALIZED LINEAR MODEL) Bla peubah respons Y tdak lag mengkut sebaran normal namun sepert Gamma atau Inverse Gaussan (asalkan termasuk dalam keluarga eksponensal) dan ragam Y merupakan fungs dar nla tengahnya sehngga dapat dpastkan bahwa ragam tdak homogen maka dgunakanlah suatu model yang dsebut model lnear terampat (Generalzed Lnear Model/GLM). GLM merupakan pengembangan dar model lnear klask dengan peubah respons Y merupakan suatu komponen yang bebas dengan nla tengah. Ada tga komponen utama dalam GLM (McCullagh & Nelder, 989):. Komponen acak, yatu komponen dar Y yang bebas dan fungs sebaran peluang Y termasuk dalam keluarga sebaran eksponensal dengan E ( Y ) =.. Komponen sstematk, yatu X, p yang menghaslkan penduga lnear η dmana η = β + βx β p X p. 3. Fungs penghubung (lnk functon) g(.), menggambarkan hubungan antara penduga lnear η dengan nla tengah. Hubungan n dapat dtuls dengan η = g(). Dalam model lnear klask, komponen () menyebar normal dan komponen (3) merupakan fungs denttas. Sedangkan dalam GLM, komponen () mungkn berasal dar salah satu anggota keluarga sebaran eksponensal lannya dan komponen (3) merupakan fungs monoton lannya. Berkut Tabel tentang fungs hubung kanonk untuk berbaga dstrbus. Tabel. Fungs hubung Fungs hubung g ( ) Penghubung kanonk untuk dstrbus Identty Normal Log ln Posson Power p Gamma (p = -) Inverse Gaussan (p = -) Square root Logt ln Bnomal PENDUGAAN PARAMETER PADA GLM Pendugaan parameter β dan φ dapat dlakukan dengan metode Maxmum Lkelhood Estmaton (MLE) yatu dengan memaksmumkan fungs log-lkehood sebaga berkut : n n yθ a( θ ) ( β, φ) = ln f ( y ; β, φ) = ln c( y, φ) + = = () φ dengan mengasumskan bahwa y adalah peubah respons keluraga eksponensal yang bebas. ( θ ) ln ν IG θ ln ln( κe θ ) κ + κ κ ( Y ) E ( ) σ σ 3 ( + κ ) φ M-4

3 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 9 Lalu MLE untuk masng-masng parameter terhadap β yatu n =, β = β dengan y a( θ ) y η = =, = = x φ φ β η β η dketahu bahwa η = x β dan x adalah komponen dar x, kemudan β = (yang merupakan konds orde pertama dalam memaksmumkan fungs lkelhood) maka akan ddapatkan penduga dar β dan φ. Namun pada konds order pertama tersebut basanya sult dperoleh secara langsung kecual untuk kasus normal dengan fungs hubung denttas. Untuk mengatas hal tersebut dapat dgunakan dengan teras Newton-Raphson (Jong & Heller, 8). β adalah dengan menurunkan ( β,φ) REGRESI GAMMA Peubah respons dalam model regres gamma merupakan peubah kontnu non negatf ( Y > ) dengan ukuran kemrngan ke kanan yang dtentukan oleh besarnya ν dan fungs padat peluangnya Y Gamma,ν, (McCullagh & Nelder, 989): ~ ν νy νy = exp, >, >, ( ) y ν Γ ν y Y sebaga berkut ( ) f ( y ) >, =,,, n (3) Berdasarkan fungs padat peluang tersebut dperoleh E ( ) = dan Var ( ) ν = σ Berkut Gambar tentang parameter ν menyatakan bentuk dstrbusnya. Y =. Gambar. Dstrbus gamma Pada model regres gamma, parameter ν = σ dasumskan konstan untuk semua pengamatan, sehngga fungs denstasnya mempunya bentuk yang sama untuk semua pengamatan. Model regres gamma merupakan suatu model yang tergolong dalam model lnear terampat Y Gamma,ν, (Generalzed Lnear Model), dengan mengasumskan bahwa peubah respons ~ ( ) E ( ) = X β dengan fungs hubung adalah g ( ) Y = fungs hubung log natural (Czado, 4)., kadangkala uga menggunakan REGRESI INVERSE GAUSSIAN Peubah respons Y pada model regres nverse Gaussan uga merupakan peubah non negatf dengan fungs padat peluang sebaga berkut ~ (, σ ) = Y IG, (Dnh et al., 3) : M-5

4 Ksmantn / Analss Peubah Respons y f ( y ) = exp, >, >, > 3 y σ (4) σ πy y σ 3 Nla harapan dan ragam dar peubah respons Y adalah E ( Y ) =, Var ( Y ) = σ. Parameter σ merupakan parameter bentuk. Gambar. Dstrbus nverse Gaussan Model regres nverse Gaussan n uga tergolong dalam model lnear terampat, dengan Y ~ IG, σ, E ( Y ) = = X β dan fungs hubungnya g, kadangkala uga menggunakan fungs hubung log natural (Jong & Heller, mengasumskan peubah respons ( ) = adalah ( ) 8). UJI GOODNESS OF FIT U goodness of ft dgunakan untuk mengetahu apakah model yang dgunakan layak atau tdak. Berkut langkah-langkah penguan (Jong & Heller, 8) : Hpotess : H : Model layak H : Model tdak layak Taraf nyata : α Statstk U : Devance (lhat Tabel 3) Krtera Keputusan : H dtolak ka Devance > χ α ( n p) n : banyaknya pengamatan, p : banyaknya parameter. Perhtungan Kesmpulan : Jka nla devance χ α ( n p), maka dapat dsmpulkan bahwa model layak. Tabel 3. Devance untuk dstrbus gamma dan nverse Gaussan Dstrbus Devance Gamma n y y ˆ ν ln + = ˆ ˆ Inverse Gaussan n ( y ˆ ) σ ˆ y = ILUSTRASI REGRESI GAMMA DAN REGRESI INVERSE GAUSSIAN Sebaga lustras dgunakan data yang dambl dar Baxter et al. (98) dalam McCullagh & Nelder (989) yatu tentang rata-rata baya klam kepemlkan mobl prbad yang rusak bla kendaraan tersebut dasuranskan. Peubah pengamatan (respons) adalah rata-rata baya klam, sedangkan peubah-peubah penelas yang damat adalah umur pemegang pols (terdr 8 golongan yatu umur 7-, -4, 5-9, 3-34, 35-39, 4-49, 5-59, 6+ tahun), kelompok mobl (terdr 4 M-6

5 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 9 level yatu A, B, C dan D), umur kendaraan (terdr 4 level yatu -3, 4-7, 8-9, + tahun). Data n ada sebanyak 3 pengamatan. 3 Hstogram of Y 5 Frequency Gambar 3. Hstogram peubah respons (rata-rata baya klam) Berdasarkan Gambar 3 dperoleh bahwa data tentang rata-rata baya klam bernla non negatf dan memlk kemrngan ke kanan sehngga peluang bahwa model regres gamma dan model regres nverse Gaussan layak dgunakan cukup besar. Analss menggunakan SAS 9. melput: PROC GENMOD dengan fungs hubung log natural untuk mendapatkan βˆ dar model regres gamma dan model regres nverse Gaussan. Pada kasus n dgunakan fungs hubung log natural karena apabla dgunakan fungs hubung default ( ) untuk model regres nverse Gaussan maka penduga dar koefsen regresnya tdak dapat dperoleh. Pada SAS yang dmaksud nla devance adalah nla scalled devance (Jong & Heller, 8). Berkut beberapa hasl dar ouput SAS 9.. Persamaan regres gamma dugaan : X +.754X +.888X 3.46X 4.475X 5+.8X 6 ˆ = exp +.454X 7.473X 8.444X 9.375X X +.64X +.33X 3 Persamaan regres nverse Gaussan dugaan : X +.8X X 3.4X 4.78X 5.6X 6 ˆ = exp +.588X X 8.394X 9.897X +.778X +.659X +.359X dengan X, 7 merupakan peubah ndkator dar umur pemegang pols 8 9 peubah ndkator dar kelompok mobl dan X 3 peubah ndkator dar umur kendaraan. Tabel 4. Rngkasan output SAS 9. dengan fungs hubung log Parameter db βˆ Standard Error χ p-value Gamma IG Gamma IG Gamma IG Gamma IG Intersep <. <. Umur Pemegang Pols tahun.... Kelompok Mobl A <..3 B <..4 C <..6 D Y M-7

6 Ksmantn / Analss Peubah Respons Umur Kendaraan <. < <. < < Goodness Value Value/DF DF of ft Gamma IG Gamma IG Devance Berdasarkan Tabel 4, secara keseluruhan u bag masng-masng parameter (dlhat dar p- value) memberkan hasl yang sama bla dplh α =. 5 untuk model regres gamma dan model regres nverse Gaussan, kecual pada parameter umur pemegang pols antara 7- tahun. Goodness of ft dengan krtera devance dperoleh nla Value/DF untuk masng-masng model lebh kecl dar χ 4. sehngga dapat dkatakan bahwa model regres gamma maupun,5(9) model regres nverse Gaussan layak dgunakan. Demkan pula dar Gambar 4, ttk-ttk pengamatan tdak membentuk suatu pola tertentu (acak) untuk kedua plot, sehngga dapat dambl kesmpulan bahwa model regres gamma maupun model regres nverse Gaussan layak dgunakan. Regres Gamma Regres Inverse Gaussan 5. 4 Standardzed Devance Resdual Standardzed Devance Resdual Ftted Value Ftted Value 4 5 Gambar 4. Plot nla dugaan dengan ssaan devance dbakukan SIMPULAN Model regres gamma dan model regres nverse Gaussan sama baknya (dengan fungs hubung log natural) dalam menangan permasalahan peubah respons kontnu non negatf dan mempunya ukuran kemrngan ke kanan. DAFTAR PUSTAKA Czado, C. 4. Gamma regresson. [terhubung berkala]. lec8.pdf [3 Desember 8]. Dnh, K.T., Nguyen N.T., & Nguyen, T.T. 3. A regresson characterzaton of nverse Gaussan dstrbutons and applcaton to edf goodness-of-ft test. IJMMS 9: Jong, P.D. & Heller, G.Z. 8. Generalzed Lnear Models for Insurance Data. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. McCullagh, P. dan Nelder, J. A Generalzed Lnear Models nd Edton. London: Chapman & Hall. SAS Insttute Inc. 4. SAS/STAT 9. User s Gude. North Carolna: SAS Insttute Inc. M-8