PEMBANDINGAN MEAN SQUARED ERROR (MSE) METODE PRASAD-RAO DAN JIANG-LAHIRI-WAN PADA EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) (Skripsi)

Transkripsi

1 PEMBNDINGN MEN SQURED ERROR (MSE) MEODE PRSD-RO DN JING-LHIRI-WN PD EMPERICL BES LINER UNBISED PREDICION (EBLUP) (Skrps) Oleh RIF RHM PERIWI JURUSN MEMIK FKULS MEMIK DN ILMU PENGEHUN LM UNIVERSIS LMPUNG BNDR LMPUNG 2017

2 BSRC COMPRISON OF MEN SQURED ERROR (MSE) PRSD-RO ND JING-LHIRI-WN MEHODS IN EMPIRICL BES LINER UNBISED PREDICION (EBLUP) By Rfa Rahma Pertw EBLUP s one of the methods n small area estmaton whch used for contnues data by substtutng the unknown varance of random effects nto BLUP estmaton. ccuraton of an estmator can be known by evaluatng t s mean squared error. Several methods have been developed to estmate mean squared error of EBLUP. Prasad-Rao (1990) developed the estmator of MSE (θ EBLUP ) wth expanson of aylor seres. Jang-Lahr-Wan (2002) developed the estmator of MSE (θ EBLUP ) wth jackknfe method. he am of ths research s to compare the value of mean squared error n EBLUP wth that two methods. Comparson s done emprcally wth the smulaton data and helped by R software. he result showed that estmaton of mean squared error EBLUP wth Jang-Lahr- Wan method s better because the values are smaller than MSE Prasad and Rao. Kata kunc: Small rea Estmaton, Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP), Mean Squared Error (MSE).

3 BSRK PEMBNDINGN MEN SQURED ERROR (MSE) MEODE PRSD-RO DN JING-LHIRI-WN PD EMPIRICL BES LINER UNBISED PREDICION (EBLUP) Oleh Rfa Rahma Pertw Metode EBLUP merupakan salah satu metode pendugaan pada area kecl yang dgunakan pada data kontnu dengan mensubsttuskan komponen ragam yang tdak dketahu ke dalam penduga BLUP. Keakuratan penduga dapat dperoleh dengan cara mengukur mean squared error-nya. Beberapa metode telah dkembangkan dalam pendugaan MSE EBLUP. Prasad dan Rao (1990) mengembangkan penduga bag MSE (θ EBLUP ) dengan menggunakan ekspans deret aylor. Jang-Lahr-Wan (2002) mengembangkan penduga bag MSE (θ EBLUP ) dengan menggunakan metode jackknfe. Peneltan n bertujuan untuk membandngkan nla dugaan mean squared error pada EBLUP dengan kedua metode tersebut. Perbandngan dlakukan secara emprs melalu data smulas dengan bantuan software R Hasl peneltan n menunjukkan bahwa metode pendugaan mean squared error EBLUP dengan metode Jang-Lahr-Wan relatf lebh bak karena menghaslkan nla yang lebh kecl dbandng MSE Prasad dan Rao. Kata kunc: Pendugaan rea Kecl, Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP), Mean Squared Error (MSE).

4 PEMBNDINGN MEN SQURED ERROR (MSE) MEODE PRSD-RO DN JING-LHIRI-WN PD EMPERICL BES LINER UNBISED PREDICION (EBLUP) Oleh Rfa Rahma Pertw Skrps Sebaga Salah Satu Syarat untuk Mencapa Gelar SRJN SINS Pada Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan lam JURUSN MEMIK FKULS MEMIK DN ILMU PENGEHUN LM UNIVERSIS LMPUNG BNDR LMPUNG 2017

5

6

7 PERNYN Saya yang bertanda tangan d bawah n : Nama : Rfa Rahma Pertw NPM : Dengan n menyatakan bahwa skrps saya yang berjudul Pembandngan Mean Squared Error (MSE) Metode Prasad-Rao Dan Jang-Lahr-Wan Pada Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP) adalah benar hasl karya saya sendr. Dalam skrps n tdak terdapat keseluruhan atau sebagan tulsan orang lan yang saya aku seolah sebaga tulsan saya. Bandar Lampung, September 2017 Rfa Rahma Pertw

8 RIWY HIDUP Penuls merupakan anak kedua dar tga bersaudara yang lahr d Kemlng pada tanggal 4 Februar 1996 dar pasangan Bapak M. Yunus dan Ibu Erma Yun Wat. Penddkan penuls dmula pada tahun 2000 d K Budaya Bandar Lampung, pada tahun 2001 penuls melanjutkan penddkan d SD Neger 2 Sumberejo dan menyelesakannya pada tahun 2007, sekolah menengah pertama d SMP Neger 14 Bandar Lampung dan dselesakan pada tahun 2010 serta dlanjutkan d SM Persada Bandar Lampung yang dselesakan tahun Selanjutnya, penuls terdaftar sebaga mahassw Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan lam Unverstas Lampung melalu jalur Seleks Bersama Masuk Perguruan ngg Neger (SBMPN) pada tahun Selama menjad mahasswa, penuls terdaftar dalam anggota Bro Kesekretaratan Hmpunan Mahasswa Jurusan Matematka (HIMIK) dan ROIS FMIP UNIL ahun 2014/2015. Pada tahun 2016 penuls melaksanakan Kerja Praktek d Badan Pusat Statstk Kota Bandar Lampung dan Kulah Kerja Nyata d Kampung Gunung gung, Lampung engah. Kn dengan penuh kerja keras, doa dan proses pembelajaran, akhrnya penuls dapat menyelesakan penddkan Strata 1 d Jurusan Matematka FMIP Unla tahun 2017.

9 hs undergraduate thess s dedcated to My parents M. Yunus & Erma Yun Wat My dearest brother and ssters Nova Nk Pertw Shnta Sar Pertw (lm.) Muhammad Jefr r-rahan My lecturers and my frends

10 For ndeed, wth hardshp [wll be] ease. Indeed, wth hardshp [wll be] ease. [Quran 94 : 5-6]

11 SNWCN Puj dan syukur penuls panjatkan kepada llah SW, karena berkat rdho dan rahmat-nya skrps n dapat dselesakan. Salawat serta salam semoga selalu tercurah kepada sur tauladan kta Nab Muhammad SW yang kta nantkan syafaatnya d yauml kyamah kelak, aamn. Skrps dengan judul Pembandngan Mean Squared Error (MSE) Metode Prasad-Rao dan Jang-Lahr-Wan Pada Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP) adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sans d Unverstas Lampung. Dalam kesempatan n penuls mengucapkan terma kash kepada: 1. Ibu Wdart, S.S., M.S., selaku dosen pembmbng utama yang telah dengan sabar meluangkan waktu, pkran, tenaga dan membag lmu serta mengarahkan penuls sehngga skrps n dapat terselesakan. 2. Bapak gus Sutrsno, S.S., M.S., selaku dosen pembmbng kedua sekalgus dosen pembmbng akademk yang telah member saran dan mengarahkan penuls bak semasa perkulahan maupun dalam penyusunan skrps n. 3. Bapak Drs. Nusyrwan, M.S., selaku dosen penguj atas saran dan krtk yang telah dberkan. 4. Ibu Wamlana, M.Sc., P.hD., selaku Ketua Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan lam Unverstas Lampung.

12 5. Bapak Prof. Warsto, S.S., D.E.., P.hD., selaku Dekan Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan lam Unverstas Lampung. 6. Kedua orang tua tercnta, Ibu Erma Yun Wat dan Bapak M. Yunus yang selalu memberkan doa, semangat dan dukungan bak moral maupun materl. 7. Kakak penuls, Mbak Kk yang selalu memberkan semangat dan menjad pendengar yang bak selama proses penulsan skrps n, juga adk Rahan atas canda tawa yang dberkan. 8. eman teman seperjuangan Galuh, yas, Dta, La, Nafsah, Nna, ulanda, Hanfah, Imelda. eman satu bmbngan Shella, Della, Chaterne juga teman-teman lan sepert Efrzal, Dmas, Dafr, Pranoto, Shnta, temanteman Matematka 2013, Bang Gerry serta seluruh phak yang tdak dapat dsebutkan satu per satu atas bantuan dan semangat dalam penyusunan skrps n. Penuls menyadar bahwa skrps n mash jauh dar kesempurnaan, akan tetap semoga skrps n dapat berguna serta menjad bahan evaluas untuk kedepannya. Bandar Lampung, 2017 Penuls, Rfa Rahma Pertw

13 DFR ISI DFR BEL Halaman DFR GMBR DFR SIMBOL I. PENDHULUN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ujuan Peneltan Manfaat Peneltan... 3 II. INJUN PUSK 2.1 Pendugaan rea Kecl Model rea Kecl Basc rea Level (ype ) Model Basc Unt Level (ype B) Model Model Fay-Herrot Metode Emprcal Best Lnear Unbased Predctons (EBLUP) Mean Squared Error (MSE) pada EBLUP MSE EBLUP Prasad dan Rao MSE EBLUP Dengan Metode Jackknfe Jang-Lahr-Wan III. MEODE PENELIIN 3.1 Waktu dan empat Peneltan Data Peneltan Metode Peneltan IV. HSIL DN PEMBHSN 4.1 Smulas dengan Software R Hasl Perolehan Mean Squared Error V. KESIMPULN DFR PUSK LMPIRN

14 DFR BEL abel Halaman 4.1 Nla dugaan bag ragam pengaruh acak  Perolehan nla β Nla MSE Prasad-Rao dan Jang-Lahr-Wan ( m = 30 ) Nla MSE Prasad-Rao dan Jang-Lahr-Wan ( m = 60 ) Nla MSE Prasad-Rao dan Jang-Lahr-Wan ( m = 60 ) Rata-rata nla MSE... 30

15 DFR GMBR Gambar Halaman 4.1 Plot Perbandngan Nla MSE Prasad Rao dan Jang-Lahr-Wan (m=30) Plot Perbandngan Nla MSE Prasad Rao dan Jang-Lahr-Wan (m=60) Plot Perbandngan Nla MSE Prasad Rao dan Jang-Lahr-Wan (m=60)... 28

16 DFR SIMBOL y : nla pendugaan langsung θ : parameter small area yang ngn damat x : peubah penyerta v : pengaruh acak area kecl dmana v ~N0, : ragam pengaruh acak : dugaan ragam pengaruh acak u : dugaan ragam pengaruh acak setelah data area ke-u dhapus β β β : vektor parameter berukuran px1 : penduga bag β dengan mensubsttuskan nla : penduga bag β dengan mensubusttuskan nla β u : penduga bag β setelah data area ke-u dhapus e : samplng error dmana e ~ N0, D D : ragam error m p : banyaknya area : banyaknya peubah penyerta MSE PR (θ EBLUP ) MSE JLW θ EBLUP : mean squared error EBLUP Prasad dan Rao : mean squared error EBLUP Jang-Lahr-Wan

17 I. PENDHULUN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Suatu area dsebut kecl apabla contoh yang dambl pada area tersebut tdak mencukup untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasl yang akurat. Pendekatan klask untuk menduga parameter area kecl ddasarkan pada aplkas model desan penarkan sampel (desgn-based) yang dkenal sebaga pendugaan langsung (drect estmaton). Dalam konteks surve, penduga dkatakan langsung apabla pendugaan terhadap parameter populas d suatu area hanya ddasarkan pada data sampel yang dperoleh dar area tersebut. Pendugaan langsung pada suatu area kecl merupakan penduga tak bas tetap memlk ragam yang besar karena dperoleh dar ukuran sampel yang kecl (Rao, 2003). Pendugaan tdak langsung (ndrect estmaton) merupakan salah satu upaya untuk menekan ragam yang besar pada area kecl yatu dengan memanfaatkan nformas dar area sektarnya yang berhubungan dengan parameter yang damat. Pendugaan tdak langsung tersebut dkenal sebaga pendugaan area kecl atau lebh dkenal dengan Small rea Estmaton (SE). Berbaga metode pendugaan area kecl (small area estmaton) telah dkembangkan khususnya menyangkut metode yang berbass model (model-based estmator). Beberapa metode yang tergolong dalam metode berbass model adalah metode Emprcal Bayes (EB),

18 2 Herarchcal Bayes (HB), dan Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP). Metode EB dan HB dgunakan untuk data bner atau cacahan sedangkan metode EBLUP dgunakan pada data kontnu. Metode EBLUP merupakan perluasan dar metode BLUP. Pada metode BLUP dasumskan komponen ragam dketahu. Namun dalam kenyataannya, komponen ragam sult untuk dketahu sehngga dperlukan pendugaan terhadap komponen ragam melalu data sampel. Metode EBLUP mensubsttuskan komponen ragam yang tdak dketahu ke dalam penduga BLUP. Keakuratan penduga dapat dperoleh dengan cara mengukur mean squared errornya. Semakn kecl mean squared error suatu penduga maka penduga semakn akurat. Beberapa metode telah dkembangkan dalam pendugaan MSE (θ EBLUP ). Prasad dan Rao (1990) mengembangkan penduga bag MSE (θ EBLUP ) dengan menggunakan ekspans deret aylor. Jang-Lahr-Wan (2002) mengembangkan penduga bag MSE (θ EBLUP ) dengan menggunakan metode jackknfe. Jackknfe merupakan suatu teknk resamplng yang secara khusus dgunakan untuk menentukan ragam dan bas dugaan. Prnsp metode Jackknfe adalah dengan cara menghlangkan satu buah data dan mengulangnya sebanyak jumlah sampel data yang ada. Peneltan sebelumnya Jang, Lahr dan Wan (2002) dalam Rao (2003) membandngkan MSE EBLUP tersebut namun tanpa peubah penyerta. Berdasarkan uraan tersebut, pada peneltan n penuls tertark untuk membandngkan nla dugaan mean squared error pada penduga EBLUP menggunakan metode yang dkembangkan Prasad dan Rao dengan metode yang

19 3 dkembangkan Jang-Lahr-Wan dengan mengkutsertakan peubah penyerta. Perbandngan akan dlakukan secara emprs melalu data smulas dengan bantuan software R ujuan Peneltan ujuan dar peneltan n adalah membandngkan nla dugaan mean squared error pada penduga EBLUP menggunakan metode yang dkembangkan Prasad dan Rao dengan metode yang dkembangkan Jang-Lahr-Wan. 1.3 Manfaat Peneltan Manfaat dar peneltan n adalah menambah nformas mengena perbandngan nla dugaan mean squared error pada penduga EBLUP menggunakan metode yang dkembangkan Prasad dan Rao dengan metode yang dkembangkan Jang- Lahr-Wan.

20 II. INJUN PUSK 2.1 Pendugaan rea Kecl Suatu area dsebut kecl apabla contoh yang dambl pada area tersebut tdak mencukup untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasl dugaan yang akurat. Penaksran parameter d area kecl dapat dlakukan dengan dua cara, yatu penaksran langsung (drect estmaton) dan penaksran tdak langsung (ndrect estmaton). Model desan penarkan sampel dgunakan pada penaksran langsung. kan tetap, penaksran n tdak dapat menghaslkan keteltan yang cukup jka ukuran sampel dar small area yang damat sangat kecl. Untuk membuat dugaan yang akurat dalam area kecl, maka dgunakan pendugaan tdak langsung, yatu dengan memnjam kekuatan dar peubah pendukung yang berkatan dengan parameter yang ngn dduga (Rao, 2003). Pendugaan tdak langsung pada area kecl nlah yang basa dsebut pendugaan area kecl (small area estmaton). Menurut Longford (2005) pendugaan area kecl merupakan suatu metode yang dgunakan untuk menduga parameter pada area kecl dengan memanfaatkan nformas dar luar area, dar dalam area tu sendr, dan dar luar surve.

21 5 2.2 Model rea Kecl Model area kecl merupakan model dasar dalam pendugaan area kecl. Dalam pendugaan area kecl terdapat dua jens model dasar yang dgunakan (Rao, 2003), yatu : Basc rea Level (ype ) Model Basc rea Level Model atau dapat dsebut sebaga model berbass area merupakan model yang ddasarkan pada ketersedaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, yatu x =,,, p. Parameter small area yang ngn damat adalah θ. Parameter small area n berhubungan lnear dengan x mengkut model lnear berkut : θ = x β + v =,,, m (2.1) dengan v ~, sebaga pengaruh acak yang dasumskan menyebar normal, sedangkan merupakan konstanta postf yang dketahu dan β =,, p adalah vektor koefsen regres berukuran. Kesmpulan mengena θ dapat dketahu dengan mengasumskan bahwa model penduga langsung telah terseda, yatu : = θ + e = 1, 2,..., m (2.2) dengan samplng error e ~, dan dketahu. Dar kombnas persamaan (2.1) dan (2.2) ddapatkan model gabungan :

22 6 = x β + v + e = 1, 2,..., m (2.3) dengan asums v dan e salng bebas. Rao (2003) menyatakan bahwa model tersebut merupakan bentuk khusus dar model lnear campuran Basc Unt Level (ype B) Model Basc Unt Level Model atau model berbass unt merupakan suatu model dmana data pendukung yang terseda bersesuaan secara ndvdu dengan data respon, msal x =,, p artnya untuk masng-masng anggota populas j dalam masng-masng area kecl, namun terkadang cukup dengan rata-rata populas X dketahu saja. 2.3 Model Fay-Herrot Model n dperkenalkan oleh Fay dan Herrot (1979) sebaga model dasar untuk menaksr pendapatan per kapta pada small area (dengan populas yang kurang dar jwa penduduk) d merka Serkat menggunakan model dua level berkut : Level 1 : θ ~θ, Level 2 : θ ~, Model dua level datas dapat dtulskan sebaga model lnear campuran : = θ + e = x β + v + e =,,, m (2.4) Model Fay-Herrot n merupakan kasus model area level sepert pada persamaan (2.3) dengan =, sementara v ~, dan e ~,.

23 7 2.4 Metode Emprcal Best Lnear Unbased Predctons (EBLUP) sums dasar dalam pengembangan untuk model pendugaan area kecl adalah keragaman d dalam area kecl peubah respon dapat dterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaan pada nformas tambahan yang dsebut pengaruh tetap. sums lannya yatu bahwa keragaman spesfk area kecl tdak dapat dterangkan oleh nformas tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecl. Gabungan dar dua asums tersebut membentuk model pengaruh campuran. Salah satu sfat yang menark dalam model campuran adalah kemampuan dalam hal menduga kombnas lnear dar pengaruh tetap dan pengaruh acak. Henderson mengembangkan teknk penyelesaan model pengaruh campuran untuk memperoleh predks tak-bas lnear terbak (best lnear unbased predcton / BLUP). Menurut Rao (2003), BLUP merupakan suatu pendugaan parameter yang memnmumkan mean squared error (MSE) dantara kelas-kelas pendugaan parameter lnear tak bas lannya. BLUP dhaslkan dengan asums bahwa komponen ragam dketahu. Namun faktanya, komponen ragam sult bahkan tdak dketahu. Oleh karena tu, dperlukan pendugaan komponen ragam tersebut melalu data sampel. Model dasar dalam pengembangan pendugaan area kecl ddasarkan pada bentuk model lner campuran sebaga berkut : = x β + v + e Dmana : nla pendugaan langsung berdasarkan rancangan surve x : vektor varabel pendukung yang elemen-elemennya dketahu β : vektor parameter berukuran px1

24 8 v : pengaruh acak area kecl dengan asums v ~, e : samplng error yang tdak terobservas dengan asums e ~, Menurut Rao (2003) penduga BLUP yang terbentuk bag θ = x β + v adalah : θ L = x β + v = x β + x β (2.5) Sementara penduga bag pengaruh acak v dar penduga BLUP menurut McCulloh dan Searle dacu dalam Nssnen (2009) dhaslkan dar : v = v = v + vv, [v ] [ ] = + [ + ] [ x β ] = + ( x β = ( x β. Sedangkan β merupakan penduga bag β yang dapat dperoleh dengan metode generalzed least square dengan mendferensalkan Xβ V Xβ terhadap β dmana =, X = x dan V = + sebaga berkut : ( Xβ V Xβ β = V X V β + X β V Xβ β = X V + X V Xβ Untuk memperoleh nla penduga bag β, hasl tersebut dsamakan dengan nol, sehngga X V + X V Xβ = X V Xβ = X V X V Xβ = X V

25 9 β = X V X X V β = m x x = + m x y + = (2.7) Sehngga persamaan (2.5) menjad θ L = x β + ( x β = x m x x = + m x y + = + + ( x m x x = + m x y + = ) (2.8) Penduga BLUP pada persamaan (2.8) mash bergantung pada komponen ragam yang pada prakteknya tdak dketahu nlanya, sehngga harus dtaksr dar data. Dengan mensubsttus ke pada persamaan (2.8) dperoleh penduga EBLUP bag θ = x β + v sebaga berkut : θ L = x β + x β (2.9) Dengan Dan =, untuk =,,, m. + β = m x x = + m x y + = (2.10) Dmana dan β merupakan nla dan β saat dsubsttuskan dengan nla dugaannya.

26 10 Menurut Wan (1999) nla tersebut dapat dperoleh dengan metode moment yatu = max, Dmana = Dengan Dan m m p [( x β L = h ] (2.11) h = x ( m m = x x x β L = ( = x x = x m 2.5 Mean Squared Error (MSE) Pada EBLUP Msalkan θ merupakan suatu parameter dan θ merupakan taksran dar parameter θ. MSE dar θ ddefnskan sebaga berkut : Msalkan E[θ ] = a, yang belum tentu θ, MSE[θ ] = E [(θ θ ] = E [(θ a + a θ ] = E [(θ + (θ θ + θ ] = E [(θ ] + E[(θ ] θ + E[ θ ] = E [(θ ] + E[(θ ] θ + E θ MSE[θ ] = v[θ ] + [θ ] ; karena E[(θ ] = =

27 11 Berdasarkan defns MSE tersebut, jka θ yang dperoleh unbased, maka MSE dar θ akan sama dengan varans dar θ. Sedangkan standar error dar θ ddefnskan sebaga akar kuadrat postf dar MSE[θ ]. Nla MSE dar suatu taksran parameter memlk peranan pentng untuk dketahu, dantaranya adalah untuk mengukur seberapa bak taksran parameter yang dperoleh MSE EBLUP Prasad dan Rao Prasad dan Rao (1990) mendefnsakan MSE θ EBLUP sebaga berkut : MSE θ EBLUP = E θ EBLUP θ BLUP EBLUP BLUP = MSEθ + E[θ θ ] (2.12) Dmana MSEθ BLUP djabarkan sebaga berkut : MSE(θ BLUP = E θ BLUP θ = E [θ BLUP (x β + v ] = E [(x β + + x β ) (x β + v ] = E [(x β + + x + β ) (x β + v ] = E x β + + x + β + x β x β + x [( + β (x β + v x + β ) ]

28 12 = E [(x β + + x + β + x β x β x + β + x + β) (x β + v ] = E [(x β + + x β + x β β x + β β) (x β + v ] = E [(x β + + x β + (x x + ) β β) (x β + v ] = E (x β + + x β (x β + v ) [ + (x + x ) β β ] = E [(x β + + x β (x β + v )] + E [(x x + ) β β] + v[, ] = E [(x β + + x β (x β + v )] + E [(x x + ) β β]. Dengan E [(x β + + x β (x β + v )] = E [(x β + v + + e (x β + v )] = E [ v + + e v ] = E [( v + + e v ). ( v + + e v ) ] = E [( v + + e v ). ( v + + e v )]

29 13 = E [( v + + e v ). ( v + + e v )] = E [( v + + e ). ( v + + e )] E ( v + + e v ) E ( v + + e v ) + E v v = ( ) + E v v v e v e + e e ( ) E v + v e v ( ) E v + v v e + E v v = ( ) + [E v v Ev e Ev e + Ee e ] ( ) [E v + v Ee v ] ( ) [E v + v Ev e ] + E v v = ( ) + = ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = + = + + = + + = + = g.

30 14 Dan E [(x x + ) (β β] = ( ) E [x + (β β] = ( ) E[x + (β β. (β βx ] = ( ) E [x + (β β (β β x ] = E [( ) x + (β β] = ( ) x + E [(β β (β β ] x. (β β = x x + = x x x x = x v + x e x x ( x + ) v e x x. v e x = x x x x x v x e x x = x v + e x x. Dengan mensubsttuskan persamaan (2.16) ke persamaan (2.15) dperoleh : = ( ) x + E [(β β (β β ] x = ( ) + x E [ x v + e x x v + e x ] x x = ( ) x + x E [ v + e v + e x x x ] x x x = ( ) + = ( ) + x x [ E v v + Ev e + Ev e + Ee e x x x ] x x x x x [ x x x ] x x x

31 15 = ( x x ) + x x + x x x x = ( x x ) + x x + = ( ) x + + x x x = g. (malana, 2012) Sehngga, dengan mensubsttuskan persamaan (2.14) dan (2.17) ke persamaan (2.13), dperoleh MSE(θ BLUP = g + g = + ( ) x x x x. Oleh karena tu persamaan (2.12) menjad : MSE (θ EBLUP = MSE(θ BLUP + E[θ EBLUP θ BLUP ] = g + g + E[θ EBLUP θ BLUP ] (2.19) Prasad dan Rao (1990) menggunakan aproksmas deret aylor untuk menghtung E[θ EBLUP θ BLUP ] sebaga berkut : θ EBLUP = θ dan θ BLUP = θ Dengan menggunakan aproksmas deret aylor orde pertama dar θ EBLUP dsektar, maka θ EBLUP θ BLUP + (θ BLUP ( θ EBLUP θ BLUP (θ BLUP ( [θ EBLUP θ BLUP ] [ (θ BLUP ( ]

32 16 (θ BLUP x β + x β Dengan asums (θ BLUP Sehngga x β + + x β + x + x β x β + x + (β β + x β + x β β + x β β + x β β, maka dperoleh [θ EBLUP θ BLUP ] + x β [ ) ( ] E [θ EBLUP θ BLUP ] + x β E [ ) ( ] E + + v + e ) v + e ) [ ] E [( ( ] E + ) v + e v + e + ) [ ] v( + ) E[v + e e + v + ] ) v(

33 17 + ) E[v e + v v + e e + e v + ] ) v( + + ) [ ] ) v( + + ) + ) v( dengan + ) = ( + = = + + Sehngga dperoleh : + = E[θ EBLUP θ BLUP ] ( + ) v( = v( + = + m + = m + = g.

34 18 Sehngga persamaan (2.19) menjad : MSE (θ EBLUP = MSE(θ BLUP + E[θ EBLUP θ BLUP ] = g + g + g (2.21) Sepert yang telah djelaskan sebelumnya, bahwa pada EBLUP nla yang dgunakan adalah dugaan pengaruh acak (. Dengan mensubsttuskan ke persamaan (2.11) maka dperoleh : MSE (θ EBLUP = MSE(θ BLUP + E[θ EBLUP θ BLUP ] = g( + g( + g( (2.22) Namun, g( tersebut bersfat bas terhadap g sehngga perlu dcar nla g( yang tak bas. Prasad dan Rao (1990) memperoleh nla g( yang tak bas dengan menggunakan ekspans deret aylor dar g( dsektar dan selanjutnya menghtung ekspektasnya. Sehngga dperoleh bahwa g = g( + g(. Sehngga MSE EBLUP yang dperoleh sebaga berkut : Dengan MSE (θ EBLUP = g( + g( + g( (2.23) g( = g( = +, x + + x x x, g( = m ( + (Prasad dan Rao, 1990)

35 MSE EBLUP Dengan Metode Jackknfe Jang-Lahr-Wan Jang, Lahr dan Wan (2002) mengembangkan penduga jackknfe untuk MSE EBLUP sebaga berkut : MSE θ EBLUP = E θ EBLUP θ BP = E [θ θ ] EBLUP + E[θ θ BP ] Dmana E [(θ BP θ ] merupakan MSE(θ BP = g = + ( persamaan (2.14) ), sehngga MSE θ EBLUP = E [θ BP θ ] + E[θ EBLUP θ BP ] = MSE(θ BP + E[θ EBLUP θ BP ] = g + E[θ EBLUP θ BP ] (2.24) Karena pada EBLUP nla tdak dketahu sehngga perlu dlakukan pendugaan terhadap nla tersebut dengan persamaan (2.10). Dengan mensubsttuskan nla ke maka dperoleh : MSE θ EBLUP = g( + E[θ EBLUP θ BP ] (2.25) Dmana g( = +, Sepert yang telah djelaskan sebelumnya, bahwa g( = + bersfat bas, berbeda dengan Prasad dan Rao yang medapatkan nla tersebut dengan ekspans deret aylor, Jang-Lahr-Wan menggunakan konsep jackknfe untuk mengoreks bas g( sebaga berkut :

36 20 MSE θ EBLUP = g( + E[θ EBLUP θ BP ] + E[θ EBLUP θ BP ] m m = g( m g( u g( + E[θ EBLUP θ BP ] u= Bas koreks bag g( Selanjutnya menggunakan konsep jackknfe untuk mengestmas bas E[θ EBLUP θ BP ] = m m m θ ( ; u θ ( ; Sehngga dperoleh mean squared error Jang-Lahr-Wan sebaga berkut : JLW θ L = g( Dmana m m m u= m g( u g( + u= m m θ ( ; u θ ( ;. u= θ ( ; = θ L = x β + + x β θ ( ; u = x β u + u u + x β u g( = + g( u = u u + u dan β u merupakan penduga dan β setelah menghapus data area ke-u. Sehngga pada JLWθ L n, untuk mendapatkan nla θ ( ; u harus dlakukan pendugaan ulang terhadap u dan β u untuk setap area ke-u yang dhapus sejumlah banyaknya area.

37 III. MEODE PENELIIN 3.1 Waktu dan empat Peneltan Peneltan n dlakukan pada semester genap tahun akademk 2016/2017, bertempat d Jurusan Matematka, Fakultas Ilmu Pengetahuan lam, Unverstas Lampung, Lampung. 3.2 Data Peneltan Data yang dgunakan dalam kajan skrps n adalah berupa data smulas dengan bantuan software R dan sebaran data berdstrbus normal. Pada kajan n penuls menetapkan nla dan D serta banyaknya area m berdasarkan peneltan sebelumnya dmana Jang, Lahr dan Wan (2002) dalam Rao (2003) menetapkan nla = D = dan banyaknya area m = 30, 60 dan Metode Peneltan Metode pendugaan MSE yang dgunakan dalam peneltan n yatu mean squared error Prasad dan Rao (1990) yang dkembangkan dengan aproksmas deret aylor serta Jang-Lahr-Wan (2002) dengan konsep jackknfe.

38 22 Model dasar yang dgunakan dalam peneltan n adalah model dua tahap Fay Herrot, dmana Model Fay-Herrot n merupakan kasus model area level. Level 1 : θ ~θ, D Level 2 : θ ~x β, Model dua level n dapat dtuls sebaga model lnear campuran sepert pada persamaan (2.4). Smulas pada software R 1. Membangktkan peubah acak sebaga peubah penyerta bag varabel respon, dgunakan empat peubah penyerta sebaga berkut : ~,, ~.,., ~,, ~.,. Nla tengah dan ragan masng masng varabel x tersebut dambl dar nla tengah dan ragam varabel penyerta yang memengaruh pengeluaran per kapta setap kecamatan d Kabupaten Brebes tahun 2013 dmana pada peneltan sebelumnya Nngtyas et al (2015) menggunakan data jumlah kelahran penduduk (X1), jumlah kematan penduduk (X2), jumlah penduduk yang memlk kendaraan roda 2 (X3) dan jumlah sarana kesehatan (puskesmas, polklnk kesehatan desa, bala pengobatan, rumah sakt khusus, rumah bersaln dan rumah sakt umum) (X4). Masng masng dbangktkan sejumlah banyaknya area yatu 30, 60 dan Membangktkan data e = e, e,, e m sebaga samplng error dengan e ~, 3. Menetapkan nla β, pada peneltan n dgunakan empat nla β yatu

39 , , , yang dperoleh dar peneltan sebelumnya oleh Nngtyas et al (2015) menggunakan data pengeluaran per kapta setap kecamatan d Kabupaten Brebes tahun Membangktkan data θ ~x β, sejumlah banyaknya area yatu 30, 60 dan Memperoleh data sebaga nla pendugaan langsung dmana = θ + e 6. Menghtung nla dugaan ragam pengaruh acak ( 7. Menghtung nla dugaan mean squared error Prasad dan Rao (1990) SE PRθ EBLUP dengan mensubsttuskan hasl dugaan ragam pengaruh acak ( (langkah 6) ke persamaan (2.23) 8. Menghtung nla dugaan mean squared error Jang-Lahr-Wan (2002) SE JLWθ EBLUP dengan persamaan (2.26) dengan langkah sebaga berkut : a. Menghtung β dengan persamaan (2.10) b. Menghtung θ ( ; ) = θ EBLUP dengan mensubsttuskan hasl dan β pada langkah (6) dan (8.a) ke persamaan (2.9) c. Menghtung nla dugaan ragam pengaruh acak untuk setap area ke-u yang dhapus ( u d. Menghtung β untuk setap area ke-u yang dhapus (β u e. Menghtung θ ( ; u ) dengan mensubssttuskan hasl u dan β u f. Mensubsttuskan hasl, u, θ ( ; ) dan θ ( ; u ) ke persamaan (2.26) sehngga dperoleh hasl dugaan mean squared error Jang-Lahr- Wan (2002) SE JLWθ EBLUP 9. Membandngkan hasl (7) dan (8)

40 V. KESIMPULN Berdasarkan hasl perolehan dan perbandngan MSE EBLUP dengan metode Prasad dan Rao yang dkembangkan dengan deret aylor juga metode Jang- Lahr-Wan dengan metode jackknfe, dapat dsmpulkan bahwa metode pendugaan mean squared error EBLUP dengan metode Jang-Lahr-Wan lebh bak karena menghaslkan nla yang lebh kecl dbandng MSE Prasad dan Rao. Selan tu, semakn besar jumlah area (m) nla MSE EBLUP keduanya relatf semakn kecl.

41 DFR PUSK malana, L Penaksran Mean Squared Error (MSE) Emprcal Best Lner Unbased Predcton (EBLUP) Pada Model Fay-Herrot. (Skrps). Unverstas Indonesa. Depok. Fay, R.E., and Herrot, R Estmates of Income for Small Places: an pplcaton of James-Sten Procedure to Cencus Data. Journal of mercan Statstcal ssocaton. 74, Jang, J., Lahr, P., and Wan, S Unfed Jackknfe Method. nnals of Statstcs. 30, Longford, N Mssng Data and Small rea Estmaton : Modern nalytcal Equpment for the Survey Statstcan. Sprnger Scence + Busness Meda, Inc., New York. Nngtyas, R., Rahmawat, R., dan Wlandar, Y Penerapan Metode Emprcal Best Lnear Unbased Predcton (EBLUP) Pada Model Penduga rea Kecl Dalam Pendugaan Pengeluaran Per Kapta D Kabupaten Brebes. Jurnal Gaussan. 4, Nssnen, K Small rea Estmaton wth Lnear Mx Models from Unt- Level Panel and Rotatng Panel Data. Unversty Prntng House Jyvaskyla. Unversty of Jayvaskyla Fnland. Prasad, N.G.N., and Rao, J.N.K he Estmaton of Mean Squared Errors of Small rea. Estmators. Journal of the mercan Statstcal ssocaton. 85, Rao, J.N.K Small rea Estmaton. John Wlley and Sons, Inc., New York.

42 Wan, S. M Jackknfe Methods n Small rea Estmaton and Related Problems. (Dssertaton). Unversty of Nebraska. Lncoln.