MODIFIKASI MODEL PENJALARAN GELOMBANG MULTI ARAH. Marwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala Banda Aceh

Transkripsi

1 MODIFIKASI MODEL PENJALARAN GELOMBANG MULTI ARAH Marwan Jurusan Matematia FMIPA Universitas Syiah Kuaa Banda Aceh Abstract In this paper we derived a modification of the mode of waves evoution in twodirectiona spatia coordinates Using KP equation as the basic mode we improved dispersive property in spatia coordinate and named it as improved KP (ikp) equation ikp has an eact dispersion reation in spatia coordinate Using this mode we derived second order reguar waves and anayzed the epression of Maimum Tempora Ampitude Keywords : KP equation ikp equation Maimum Tempora Ampitude PENDAHULUAN Artie ini merupaan hasi awa dari studi interasi geombang dan apiasinya pada pembangitan geombang estrim fous ajian adaah geombang dengan segaa arah (muti directiona waves) Mode matematia daam peneitian tersebut adaah persamaan KP (Kadomtsev-Petviashvii) sedangan masaah yang diaji tentang periau interasi geombang yang menghasian geombang estrim Daam artie ini disajian mode perbaian (improved) terhadap mode penjaaran geombang muti arah yang dinyataan oeh persamaan KP standar yang diajuan daam peneitian sebeumnya Persamaan KP standar sebagai mode penjaaran geombang muti arah memiii eterbatasan hususnya daam mengcover biangan-biangan geombang daam domain interasi geombang yang menghasian deformasi geombang ihat [7 ] Perbaian mode penjaaran muti arah ini difousan pada bagian dispersif geombang yaitu pada bagian inear hususnya pada bagian spatia Perbaian tersebut hanya pada arah dominan dimana geombang menjaar Dengan memperbaii sifat dispersif geombang dihasian persamaan ikp (improved KP) sebagai perbaian dari persamaan KP standar Dengan mode ini diturunan juga hampiran seesaian yang berupa geombang reguar dan MTA geombang untu geombang yang menjaar hampir satu arah Persamaan improved KP (ikp) Persamaan geombang panjang dengan ampitudo eci yang merambat dua arah daam variabe norma (tanpa dimensi) dinyataan oeh persamaan beriut tu + u + u + ( u ) + µ yyu = 6 () Persamaan ini diena sebagai persamaan KP (Kadomtsev-Petviashvii) ihat [] Untu µ = persamaan ini diena sebagai persamaan KdV (Korteweg de Vries) Persamaan () merupaan persamaan ta inear dengan bagian inear berbentu tu + u + u + µ yu = 6 Bagian inear persamaan () memiii reasi dispersi ω = + µ () 6 Bagian spatia memiii reasi dispersi ( ) ω = 6 secara grafi reasi dispersi ini diberian oeh Gambar beriut ini 7

2 Jurna Matematia Vo No Apri 9:7- Gambar Grafi Reasi Dispersi Fungsi ( ) ω memiii masimum dengan demiian range dari ( ) ω adaah ( ) Untu ajian interasi geombang freuensi geombang yang digunaan (daam variabe yang dinormaisasi) berada pada interva ( ± 5) ihat [7 ] Dengan demiian range freuensi persamaan KP standar hususnya untu variabe spatia tida memenuhi eadaan di aboratorium Oeh arena itu apabia mode ini aan digunaan sebagai mode geombang penjaaran dua arah maa peru diauan perbaian (improved) pada bagian dispersi inearnya Pada ajian ini perbaian dihususan pada variabe spatia dengan asumsi arah penjaaran ebih dominant pada variabe tersebut Untu memperbaii reasi disperse aan diauan dengan menggunaan anaogi perbaian pada geombang satu arah Perbaian diauan dengan angahangah beriut: perhatian bahwa reasi dispersi () dapat dituisan sebagai ( ) ω = + µ = ω + µ 6 persamaan diferensia diferensia yang terait tu = u u µ yu () 6 yang diperoeh dari pengaitan i i ω i Perhatian y t bahwa persamaan () adaah bagian inear dari persamaan KP () Dengan demiian apabia didefinisian fungsi KP ( ) Λ ( ) = + µ = ω + µ 6 () maa reasi dispersi () dapat dituis Λ( ) sebagai ω = Ω ( ) = Seanjutnya persamaan KP () bia dituisan seperti operator disperse (dispersion ie operator) adaah sebagai beriut KP tu Λ ( i i y ) u + ( u ) = (5) Seperti dietahui bahwa geombang permuaan air memiii reasi disperse esa ihat [ 6 ] tanh( ) ω eact = Oeh arena itu bia disubstitusi dengan ω diperoeh eact ( ) ω pada () maa aan Λ = ω + µ = tanh( ) + µ (6) eact ( ) eact Catatan: Apabia diauan perbaian reasi disperse pada edua arah penjaarannya maa (6) dapat dituisan sebagai tanh( ) tanh( ) ( ) Λ = + µ Dengan perbaian (6) persamaan ikp (improve KP) dituisan sebagai beriut eact tu Λ ( i i y ) u + ( u ) = Untu epentingan penuisan seanjutnya memudahan penuisan persamaan ikp dituisan embai menjadi tu Λ( i i y ) u + ( u ) = (7) Karateristi Geombang muti arah Persamaan ikp Sebeum mengaji ebih jauh tentang geombang muti arah yang 8

3 Marwan (Modifiasi Mode Penjaaran Geombang Muti Arah ) dimodean oeh persamaan (7) terebih dahuu aan diaji profi geombang inearnya Bagian inear dari persamaan (7) memiii reasi dispersi (6) dengan demiian espresi matematia geombang dapat dinyataan sebagai beriut: u ( y t) = q cos( + y ωt) dengan memenuhi reasi dispersi (6) Profi geombang untu suatu niai tertentu disajian daam gambar beriut: Gambar Arah penjaaran geombang mutiarah Berdasaran sifat arah penjaaran geombang muti arah dengan tida mengurangi eumuman pengajian terhadap dinamia geombang muti arah maa biangan geombang dapat dinyataan daam bentu Gambar Profi geombang arah untu suatu watu tertentu Tampa pada Gambar di atas dua jenis geombang Geombang pada bidang spatia dan geombang pada bidang spatia y Kedua geombang tersebut memiii arah penjaaran geombang tertentu Arah penjaaran geombang tersebut dapat diidentifiasi dari phase geombang θ = + y ωt untu θ tertentu ω θ y = + t + y = + C rδ r δ = = (8) Arah penjaaran geombang untu watu tertentu dinyataan oeh gradien m = δ δ Evousi Ta Linear Geombang Reguar Mutiarah Orde Dua Pada bagian ini aan dibahas hampiran seesaian persamaan ikp (7) yang berupa geombang monoromati Hampiran seesaian tersebut dinyataan oeh u = εu () + ε u () + ε u () (9) dengan seesaian pada orde pertama berbentu = + θ = + ω () () iθ u qe c c y t dengan dan ω memenuhi reasi dispersi 9

4 Jurna Matematia Vo No Apri 9:7- Λ( ) tanh( ) ω ( ) µ = Ω = = + Serta memenuhi syarat pada posisi awa () ( j) u ( t) = q cos( ωt) u ( t) = j = Oeh arena () buan seesaian persamaan (7) maa aan menghasian residu Residu ini terdiri dari suu-suu residu yang diantaranya memuat suu resonansi hususnya suu residu orde etiga Kehadiran suu resonansi harus dieiminasi oeh arena itu seesaian () harus dimodifiasi hususnya pada biangan geombang Tida hanya ampitude yang diespansi tetapi biangan geombang juga harus diespansi Espansi biangan geombang diauan dengan metode Linstead-Poincare [ ] dimana edua biangan geombang diespansi sebagai beriut () () () = + ε + ε + () () () () = + ε + ε + Hubungan antara () dengan (8) adaah sebagai beriut () () () r = r + εr + ε r + () ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) = δr = δ r Substitusi hampiran (9) dengan espansi biangan geombang () e daam persamaan (7) menghasian persamaan residu sebagai beriut: res = ε ( res ) + ε ( res ) + ε ( res) + O( ε ) () Suu residu orde pertama diberian oeh () () () iθ res = q ω Λ ( ) e + c c () suu residu ini harus dibuat seeci mungin dengan ata ain suu ini aan () () () berniai apabia ω Λ ( ) = atau reasi dispersi untu dinyataan oeh yang () () Λ( ) ω = Ω = () () () () ( ) () Suu residu orde dua berbentu res () () iθ ( i ) u q ( ) e () = ut Λ y () () () Λ( ) ω () () () iθ ( ) qe () + Λ () (5) suu ini memuat suu resonansi; ditandai i oeh fator e θ Oeh arena itu suu ini harus dihiangan dengan piihan = = (6) () () Seanjutnya suu residu orde dua juga harus dibuat seeci mungin menghasian persamaan yang harus () dipenuhi oeh u u ( y t) = u ( y t) + u ( y t) (7) () () () bw free dimana () iθ ubw = q se + c c () iθ( ω ) u free = q se + c c dengan s = dan ω ( ) () () () Ω Θ ( ω ) = + y ω t (8) Catatan: Biangan geombang diperoeh dari proses inversi Λ( ) ω = Proses invers ini aan ebih mudah apabia biangan geombang tersebut dinyataan daam r seperti yang dinyataan daam (8) Dengan menuisan daam r persamaan tersebut dinyataan oeh

5 Marwan (Modifiasi Mode Penjaaran Geombang Muti Arah ) tanh( rδ ) δ ω = rδ + µ r (9) rδ δ Suu residu orde etiga berbentu res = u Λ i i u + F () () () () t ( y ) res () Suu F res merupaan suu yang menimbuan resonansi suu ini diperoeh () dari interasi inear dari u pada bagian inear persaman (7) yang dinyataan oeh () () () q Λ( ) () ω () () iθ ( ) e () + Λ () () Suu seanjutnya diperoeh dari interasi ta inear pada () () ( u) = ( εu + ε u + ) O( ε ) memuat suu-suu () () () () () () u u + u u + u u seteah fungsi menghasian () u disubstitusian () () ( ) () () () i q θ u u + i u e + c c () Suu () menjadi suu resonansi bia bagian onjugate dioperasian dengan () fungsi u pada (7) yang menghasian 9 ( ) () i q s e θ () Dengan demiian dari () dan () maa suu F berbentu () res 9 q s () () () () ( ) + Λ( ) ω () F res = () () () iθ ( ) qe () + Λ () () Catatan: suu residu () yang juga merupaan suu resonansi harus dieiminir agar seesaian orde rendah persamaan (7) tida terjadi resonansi Agar suu resonansi ini dapat dieiminir ada beberapa piihan yang dapat diauan: a) b) = dan ; atau () () dan () () = ; atau () () c) dan Piihan yang pertama tentu saja membawa onseuensi terhadap tida adanya oresi terhadap biangan geombang terhadap arah y Demiian sebainya untu piihan yang edua Pertanyaan yang timbu adaah apaah memang tida ada oresi terhadap biangan geombang-biangan geombang tersebut? Tentu saja pertanyaan ini tida secara mudah dapat dijawab arena menyangut seberapa besar ontribusi geombang pada arah masingmasing Piihan etiga aan memberian ontribusi adanya oresi biangan geombang untu masing-masing arah Persoaan yang timbu pada saat piihan ini diambi adaah edua oresi biangan geombang masing-masing teriat secara impisit sehingga tida secara mudah dapat ditentuan Seanjutnya dengan menggunaan hubungan () oefisien resonansi () dapat diredusi menjadi: () Λ () () δr ( ) ω () () () 9 () ( ) + q ( ) = () Λ + δ r () s (5) Seesaian (5) terhadap r () menghasian r () ( ) () 9q s = Λ () () Λ () () δ ( () ) ω δ ( () ) + (6) Catatan: Untu asus δ = persamaan (6) menjadi r () ( ) () 9q s = Λ () () ( () ) ω

6 Jurna Matematia Vo No Apri 9:7- perhatian bahwa bagian penyebut suu ini Λ () () memuat ( () ) ω Secara sepintas oefisien oresi (6) tersebut tida sama dengan pada asus geombang yang menjaar satu arah ihat [] Tetapi perhatian bahwa pada reasi dispersi Ω ( ) = Λ( ) Ω Λ ( ) + ω = ( ) () () () () () () Ω () () Λ () () ( () ) = ( () ) ω dan () () () () () () = δ r = r = δ r = r = δ r = = δ r = () () () () Dengan demiian untu asus δ = persamaan (6) dapat dituisan menjadi () () () 9 q s r = = Ω () ( () ) seperti pada asus geombang yang menjaar D ihat [ ] Dengan demiian oresi biangan geombang diformuasian sebagai beriut = + ε + ε = + ε () () () () () () () () () () = + ε + ε = + ε (7) dengan () () diperoeh sebagai fungsi r() pada (6) Koresi ini diena sebagai reasi disperse ta inear (noninear dispersion reation; NDR) ihat [7] Seanjutnya espresi engap geombang reguar order dua (9) dapat dituisan sebagai beriut ini () () () u = u + u + u bw iθ iθ iθ( ω ) = qe + q s( e e ) c c + (8) u( t) = qcos( ω t) free Phase-Ampitudo Geombang Reguar Mutiarah Orde Dua Pada bagian ini aan diaji evousi signa geombang (8) terebih dahuu persamaan tersebut dituisan daam bentu ampitudo dan phase tungga sebagai beriut: u qe iθ q sae iϕ = + + c c a = cos [ θ Θ( ω ) + π ] iψ ϕ = [ θ + Θ( ω )] = A( y t) e + c c dengan 9 A( y t) = q + q s a + q sacos Θ( ω ) (9) q q sa [ ] arctan ψ = θ + ϕ + tan [ θ ϕ] q + q sa () Persamaan (9) dan () menyataan persamaan evousi ampitude dan phase persamaan geombang (8) untu sebarang variabe spatia y dan watu t Evousi geombang ampitudo A( y t ) untu sebarang t dan y = y dinyataan oeh gambar beriut: Gambar Profi A( y t ) untu y = ω = 987 δ = 999 µ = dan sebarang t Dari gambar tersebut dapat diperoeh informasi dari signa u( t ) pada posisi awa = signa memiii ampitude dengan profi fungsi cos Dengan berjaannya watu geombang mengaami deformasi hususnya pada ± geombang mengaami deformasi terbesarnya Seanjutnya geombang

7 Marwan (Modifiasi Mode Penjaaran Geombang Muti Arah ) embai seperti profi semua pada ± 5 Kejadian demiian beruang dengan periode tertentu aan diaji ebih deti pada bagian seanjutnya Gambar 6 Profi A( y t ) dan Amas ( y t) untu sebarang t dan y = dan ω = 987 δ = 999 µ = Gambar 5 Profi signa u( t ) untu beberapa niai ω = 987 δ = 999 µ = Bagian yang berosiasi pada geombang ampitude pada Gambar adaah aibat ontribusi suu cos Θ ( ω) Ampitudo (enveope) dari geombang yang berosiasi tersebut dapat diperoeh dengan mengambi bagian yang berosiasi tersebut mempunyai niai masimum; yaitu cos Θ ( ω) = Dengan niai tersebut aan diperoeh 9 A mas ( y t) = q + q s a + q sa = q + q s sin θ Θ( ω ) () Profi A( y t ) dan Amas ( y t ) diperihatan pada gambar beriut Representasi Amas ( y t ) pada () merupaan MTA yang didefinisian sebagai ma α ( y) = u( y t) t Representasi () sesuai dengan yang diperoeh pada penjaaran geombang satu arah ihat [ ] KESIMPULAN Teah disajian pembahasan tentang perbaian terhadap mode penjaaran geombang muti arah perbaian didasari aasan untu memperbaii sifat dispersif geombang Persamaan KP sebagai mode penjaaran geombang muti arah memiii eterbatasan untu mengcover interasi geombang pende pada arah spatia Dengan perbaian tersebut dihasian persamaan ikp yang memiii reasi disperse esa pada arah spatia Persamaan ikp yang dihasian memiii eebihan untu mengcover interasi geombang dengan omponen geombang pende Hasi ajian terhadap geombang reguar ordo dua muti arah dihasian fenomena yang sama yang terjadi pada geombang satu arah Geombang reguar ordo dua mengaami deformasi apabia di amati pada posisi yang berbeda Dengan menuisan geombang reguar ordo dua daam bentu phase-ampitudo deformasi dapat diperihatan secara anaitis

8 Jurna Matematia Vo No Apri 9:7- Espresi MTA (Maimum Tempora Ampitude) yang diperoeh memperihatan espresi yang sama untu asus geombang satu arah DAFTAR PUSTAKA [] Andonowati WM Kusumawinahyu Marwan E van Groesen On The Deformation of Bichromatic Waves and Their Maimum Ampitudes (Progress report II- RUTI ) etended abstract submitted to the Internationa Symposium on Shaow Fows TUDeft June 6-8 [] Andonowati Marwan Perubahan Bentu pada Perambatan Signa biromati dan Pengaruhnya terhadap Ampitude Masimum (Progress report II- RUTI ) ecture presented at Seminar MIPA III Institut Tenoogi Bandung - Otober [] Edi Cahyono () Anaitica Wave Codes for Predicting Surface Waves in a Laboratory Basin PhD Thesis Univ of Twente [] Toto Nusantara () MTA Geombang Reguar Jurna Natura vo 7 no [5] Toto Nusantara () Deformasi Geombang Reguar Jurna MIPA tahun no [6] E van Groesen (998) Wave Groups in Uni-directiona Surface Wave Modes JEng Math : 5-6 [7] E van Groesen Andonowati ESoewono (999) Non-Linear Effects in Bichormatic Surface Waves ProcEstonian Acad Sci Mathematics and Physics 8 : 6-9 [8] E van Groesen J Westhuis () Modeing and Simuation of Surface Water Waves Journa Mathematics and Computers in Simuation 59 : -6 [9] CT Stansberg (998) On the noinear behaviour of ocean wave groups Ocean Wave Measurement and Anaysis Proc Of the Third Internationa Symposium WAVES 97 Editor: BL Edge JM Hemsey American Society of Civi Engineers (ASCE) Reston VA USA no : 7- [] Witham GB (97) Linear and Non-inear Waves John Wiey and Sons New Yor [] J Westhuis E van Groesen RHM Huijsmans () Eperiments and Numerics of Bichromatic Wave Groups J Waterway Port Coasta and Ocean Engineering 7: - [] J Westhuis RHM Huijsmans () Unstabe Bichromatics Wave Groups MARIN Report No 595 Wageningen The Netherands