MAT. 12. Barisan dan Deret

Transkripsi

1 MAT.. Barisan dan Deret i

2 Kode MAT. Barisan dan Deret U, U, U3,..., Un,... Un a + (n-)b U + U +..., Un +... n?? Sn? BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 004 MAT.. Barisan dan Deret ii

3 Kode MAT. Barisan dan Deret Penyusun: Dr. Manuharawati, MS. Editor: Drs. Mega Teguh Budiyanto, M.Pd. Dra. Kusrini, M.Pd. BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 004 iii MAT.. Barisan dan Deret

4 Kata Pengantar Puji syuur ami panjatan e hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas arunia dan hidayah-nya, ami dapat menyusun bahan ajar modul manual untu SMK Bidang Adaptif, yani mata pelajaran Fisia, Kimia dan Matematia. Modul yang disusun ini menggunaan pendeatan pembelajaran berdasaran ompetensi, sebagai onseuensi logis dari Kuriulum SMK Edisi 004 yang menggunaan pendeatan ompetensi (CBT: Competency Based Training). Sumber dan bahan ajar poo Kuriulum SMK Edisi 004 adalah modul, bai modul manual maupun interatif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia erja dan industri. Dengan modul ini, diharapan digunaan sebagai sumber belajar poo oleh peserta dilat untu mencapai ompetensi erja standar yang diharapan dunia erja dan industri. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yani mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan nasah secara tertulis, emudian disetting dengan bantuan alat-alat omputer, serta divalidasi dan diujicobaan empiri secara terbatas. Validasi dilauan dengan teni telaah ahli (expertjudgment), sementara ujicoba empiri dilauan pada beberapa peserta dilat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupaan bahan dan sumber belajar yang berbobot untu membeali peserta dilat ompetensi erja yang diharapan. Namun demiian, arena dinamia perubahan sain dan tenologi di industri begitu cepat terjadi, maa modul ini masih aan selalu dimintaan masuan untu bahan perbaian atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan ondisi lapangan. Peerjaan berat ini dapat terselesaian, tentu dengan banyanya duungan dan bantuan dari berbagai piha yang perlu diberian penghargaan dan ucapan terima asih. Oleh arena itu, dalam esempatan ini tida MAT.. Barisan dan Deret iv

5 berlebihan bilamana disampaian rasa terima asih dan penghargaan yang sebesar-besarnya epada berbagai piha, terutama tim penyusun modul (penulis, editor, tenaga omputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dediasi, pengorbanan watu, tenaga, dan piiran untu menyelesaian penyusunan modul ini. Kami mengharapan saran dan riti dari para paar di bidang psiologi, pratisi dunia usaha dan industri, dan paar aademi sebagai bahan untu melauan peningatan ualitas modul. Diharapan para pemaai berpegang pada azas eterlasanaan, esesuaian dan flesibilitas, dengan mengacu pada perembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan duungan dunia usaha industri dalam ranga membeali ompetensi yang terstandar pada peserta dilat. Demiian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi ita semua, hususnya peserta dilat SMK Bidang Adaptif untu mata pelajaran Matematia, Fisia, Kimia, atau pratisi yang sedang mengembangan modul pembelajaran untu SMK. Jaarta, Desember 004 a. n. Diretur Jenderal Pendidian Dasar dan Menengah Diretur Pendidian Menengah Kejuruan, Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc. NIP MAT.. Barisan dan Deret v

6 DAFTAR ISI Halaman Sampul... i Halaman Francis... ii Kata Pengantar... iii Kata Pengantar... v Daftar Isi... vi Peta Keduduan Modul... vii Daftar Judul Modul... viii Glosary... ix I. PENDAHULUAN A. Desripsi... B. Prasyarat... C. Petunju Penggunaan Modul... D. Tujuan Ahir... E. Kompetensi... 3 F. Ce Kemampuan... 5 II. PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Peserta Dilat... 6 B. Kegiatan Belajar Kegiatan Belajar... 7 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 7 b. Uraian Materi... 7 c. Ranguman... d. Tugas... 3 e. Tes Formatif... 3 f. Kunci Jawaban Formatif Kegiatan Belajar... 6 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 6 b. Uraian Materi... 6 c. Ranguman... d. Tugas... e. Tes Formatif... f. Kunci Jawaban Formatif... 3 MAT.. Barisan dan Deret vi

7 3. Kegiatan Belajar a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 6 b. Uraian Materi... 6 c. Ranguman... 3 d. Tugas... 3 e. Tes Formatif f. Kunci Jawaban Formatif III. EVALUASI KUNCI EVALUASI IV. PENUTUP... 4 DAFTAR PUSTAKA... 4 MAT.. Barisan dan Deret vii

8 PETA KEDUDUKAN MODUL MAT.0 MAT.0 MAT.03 MAT.04 MAT.05 MAT.06 MAT.07 MAT.08 MAT.09 MAT.0 MAT. MAT. MAT.4 MAT.5 MAT.3 MAT.6 MAT.. Barisan dan Deret viii

9 Daftar Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul MAT.0 Matri MAT.0 Logia Matematia 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidasamaan 4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua 5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi 6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga 7 MAT.07 Peluang 8 MAT.08 Bilangan Real 9 MAT.09 Trigonometri 0 MAT.0 Irisan Kerucut MAT. Statistia MAT. Barisan 3 MAT.3 Aprosimasi Kesalahan 4 MAT.4 ProgramLinier 5 MAT.5 Vetor 6 MAT.6 Matematia Keuangan MAT.. Barisan dan Deret ix

10 Glossary ISTILAH KETERANGAN Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (? ) dan odomain himpunan semua bilangan real (? ). Jia U merupaan fungsi dari? e?, maa barisannya sering ditulis dengan U, U, U3,..., Un,... Pada barisan U, U, U3,..., Un,..., Un disebut unsur e n atau elemen e n dari barisan itu. Sigma Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat ditulisan dengan notasi? (dibaca: sigma). Unsur atau elemen Pada barisan U, U, U3,..., Un,..., Un disebut unsur e n atau elemen e n dari barisan itu. Deret dan suu Jia U, U, U3,..., Un,... merupaan barisan bilangan real, maa U + U + U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suu e n barisan itu. Barisan aritmatia Barisan U, U, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatia jia Un - Un- onstan. Un disebut unsur e n barisan itu, dan onstanta tersebut disebut beda, yang dinotasian dengan b. Deret aritmatia Jia U, U, U3,..., Un,... merupaan barisan aritmata, maa U + U + U Un,... disebut deret aritmatia. Un disebut suu e n dari deret itu. Barisan geometri dan Barisan U, U, U3,..., Un,... disebut barisan rasio U n geometri jia U onstan, Deret geometri n? dengan n,, 3,... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasian dengan r. Jia U, U, U3,..., Un,... merupaan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a U dan rasio r, maa U + U + U Un +... disebut deret geometri dengan Un ar. MAT.. Barisan dan Deret x

11 BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ini, anda aan mempelajari pola bilangan, barisan, dan deret diidentifiasi berdasaran ciri-cirinya. Notasi sigma dan penggunaannya dalam menyederhanaan penulisan suatu deret. Barisan dan deret aritmatia diidentifiasian berdasaran ciri-cirinya, nilai unsur e n suatu barisan aritmatia ditentuan dengan menggunaan rumus, jumlah n suu pertama suatu deret aritmatia ditentuan dengan menggunaan rumus. Barisan dan deret geometri diidentifiasian berdasaran ciri-cirinya, nilai unsur e n suatu barisan geometri ditentuan dengan menggunaan rumus, jumlah n suu pertama suatu deret geometri ditentuan dengan menggunaan rumus, jumlah tahingga deret geometri ditentuan dengan menggunaan rumus. B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah memahami operasi pada bilangan real. C. Petunju Penggunaan Modul. Pelajari daftar isi serta sema eduduan modul dengan cermat dan teliti. Karena dalam sema modul aan nampa eduduan modul yang sedang Anda pelajari ini di antara modul-modul yang lain.. Perhatian langah-langah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam memahami onsep pola bilangan, barisan maupun deret. 3. Apabila ada soal latihan, erjaanlah soal-soal tersebut sebagai latihan untu persiapan evaluasi. MAT.. Barisan dan Deret

12 4. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan emampuan Anda. Jia Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa melihat unci jawaban formatif yang sesuai. 5. Kerjaan soal-soal yang ada pada evaluasi. D. Tujuan Ahir Setelah mempelajari modul ini diharapan Anda dapat:. memahami pola bilangan, barisan, dan deret.. memahami notasi sigma dan penggunaannya dalam menyederhanaan penulisan suatu deret. 3. memahami barisan dan deret aritmatia. 4. menentuan unsur e n suatu barisan aritmatia dengan menggunaan rumus. 5. menentuan jumlah n suu pertama suatu deret aritmatia dengan menggunaan rumus. 6. memahami barisan dan deret geometri. 7. menentuan unsur e n suatu barisan geometri dengan menggunaan rumus. 8. menentuan jumlah n suu pertama suatu deret geometri dengan menggunaan rumus. 9. menentuan jumlah tahingga deret geometri dengan menggunaan rumus. MAT.. Barisan dan Deret

13 E. Kompetensi KOMPETENSI : BARISAN DAN DERET PROGRAM KEAHLIAN : program adaptif KODE : MATEMATIKA/MAT DURASI PEMBELAJARAN : menit SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR. Mengidentifiasi pola bilangan, barisan dan deret.. Menerapan onsep barisan dan deret aritmatia. - Pola bilangan, barisan, dan deret diidentifiasian berdasaran ciricirinya. - Notasi sigma digunaan untu menyederhanaan suatu deret. - Barisan dan deret aritmatia didesripsian berdasaran cirinya. - Nilai suu e-n suatu barisan aritmatia ditentuan menggunaan rumus. - Jumlah n suu suatu deret aritmatia ditentuan dengan menggunaan rumus. - Pola bilangan, barisan, dan deret. - Notasi sigma. - Barisan dan deret aritmatia. - Suu e n suatu barisan aritmatia. - Jumlah n suu suatu deret aritmatia. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN - Pola bilangan, barisan, dan deret. - Notasi sigma. - Tepat menggunaan rumus dalam menyelesaian permasalahan barisan dan deret. - Tepat menggunaan rumus dalam menyelesaian permasalahan barisan dan deret. - Barisan dan deret aritmatia. - Suu e n suatu barisan aritmatia. - Jumlah n suu suatu deret aritmatia. - Menunjuan pola bilangan dari suatu barisan dan deret. - Menggunaan notasi sigma. MAT.. Barisan dan Deret 3

14 SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR 3. Menerapan onsep barisan dan deret geometri. - Barisan dan deret geometri didesripsian berdasaran cirinya. - Nilai suu e-n suatu barisan geometri ditentuan menggunaan rumus. - Jumlah n suu suatu deret geometri ditentuan dengan menggunaan rumus. - Jumlah ta hingga suatu deret geometri ditentuan dengan menggunaan rumus. - Barisan dan deret geometri. - Suu e n suatu barisan geometri. - Jumlah n suu suatu deret geometri. - Deret geometri ta hingga. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN - Tepat - Barisan dan menggunaan deret geometri. rumus dalam - Suu e n menyelesaian suatu barisan permasalahan geometri. barisan dan - Jumlah n suu deret. deret geometri. - Deret geometri ta hingga. MAT.. Barisan dan Deret 4

15 F. Ce emampuan ) Tulisan pengertian tentang: Barisan aritmatia Barisan geometri Deret aritmatia Deret geometri ) Tulisan rumus umum: Unsur e n barisan aritmatia Jumlah n suu pertama deret aritmatia Jumlah n suu pertama deret geometri. 3) Unsur e n suatu barisan aritmatia adalah dan unsur e n+3 adalah 95. Tentuan unsur e n+4 dari barisan tersebut. 4) Tentuan jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua anga dan habis dibagi lima. MAT.. Barisan dan Deret 5

16 BAB II. PEMBELAJARAN A. RENCANA BELAJAR SISWA Kompetensi : Menerapan onsep baris dan deret. Sub Kompetensi : - Mengidentifiasi pola bilangan, barisan dan deret. - Menerapan onsep barisan dan deret aritmatia. - Menerapan onsep barisan dan deret geometri. Tulislah semua jenis egiatan yang Anda lauan di dalam tabel egiatan di bawah ini. Jia ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya emudian meminta tanda tangan epada guru atau instrutur Anda. Jenis Kegiatan Tanggal Watu Tempat Belajar Alasan perubahan Tandatangan Guru MAT.. Barisan dan Deret 6

17 B. KEGIATAN BELAJAR. Kegiatan Belajar Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari egiatan belajar ini, diharapan anda dapat: menentuan pola suatu deretan bilangan, menentuan unsur e n suatu barisan berdasaran sifat/pola yang dimilii, menentuan n unsur pertama suatu barisan jia rumus unsur e n barisan itu dietahui, menentuan suu e n suatu barisan berdasaran sifat/pola yang dimilii oleh barisan yang terait, menentuan n suu pertama suatu deret jia rumus suu e n deret itu dietahui, menyataan suatu penjumlahan dengan menggunaan notasi sigma, menentuan nilai penjumlahan yang dinyataan dalam notasi sigma, memahami beberapa sifat pada notasi sigma. b. Uraian Materi Perhatian deretan bilangan-bilangan beriut: a b c Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatah anda menentuan bilangan yang belum dietahui sesuai dengan aturan yang dipunya MAT.. Barisan dan Deret 7

18 Pada a, bilangan e 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor, mempunyai aturan: bilangan e +, bilangan e 3 bilangan e Jadi bilangan e 4 bilangan e Pada b, bilangan e 4 adalah 5, sebab deretan bilangan nomor, mempunyai aturan: bilangan e ( + ) 4, bilangan e ( + ) 3 9, bilangan e 3 (3 + ) 4 6. Jadi bilangan e 4 (4 + ) 5 5. Pada c, bilangan e 6 adalah 5, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan e 3 bilangan pertama , bilangan e 4 bilangan e , bilangan e 5 bilangan e ,. Jadi bilangan e 6 bilangan e Aturan yang dimilii oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tida tunggal. Sebagai contoh, pada deretan bilangan nomor, bilangan e n (n + ) dengan n,, 3, 4. Selanjutnya ita aan membicaraan deretan bilangan dengan pola husus yang disebut barisan dan deret. Definisi Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (? ) dan odomain himpunan semua bilangan real (? ). Jia U merupaan fungsi dari? e?, maa barisannya sering ditulis dengan U, U, U 3,..., U n,... Pada barisan U, U, U 3,..., U n,..., U n disebut unsur e n atau elemen e n dari barisan itu. Contoh..,, 3,... merupaan barisan dengan unsur e n dari barisan itu adalah U n n.., -,, -,... adalah barisan dengan unsur e n dari barisan itu adalah U n (-) n. 3. 4, 9, 6,... adalah barisan dengan unsur e n dari barisan itu adalah U n (n + ). MAT.. Barisan dan Deret 8

19 4. Unsur e n dari barisan adalah U n 3 - n. Lima unsur pertama dari barisan itu adalah, -, 0, -5, Unsur e n dari barisan adalah U n,... 7?? n 3?. Barisan itu adalah 3, 9, Definisi Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan bilangan real, maa U + U + U 3,... + U n +... disebut deret, dan U n disebut suu e n barisan itu. Contoh. ) , maa suu e n barisan itu adalah U n n. ) + (-) + + (-) +..., maa suu e n dari deret itu adalah U n (-) n. 3) , maa e 7 dari barisan itu adalah 3. 4) Jia suu e n suatu barisan adalah U n ?? n 3?, maa barisannya adalah Notasi Sigma Perhatian jumlahan bilangan-bilangan beriut Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat ditulisan dengan notasi? (dibaca: sigma). MAT.. Barisan dan Deret 9

20 Contoh.3 Tulisan jumlahan beriut dengan menggunaan notasi? , 9, U + U + U 3,... + U n +... Hitunglah hasil jumlahan beriut 3 6.? ( 3i? ) 4 7.? i? 5 Penyelesaian: ? ? 6 7 i. i. 3. 3, 9, i 6 6???? 3? ? 5 ( i? ). 5. U + U + U 3,... + U n +...? 3 6.? 4 7.? U i ( 3i? ) (3. + ) + (3. + ) + (3.3 + ) i? 5i ( + 5.) + ( + 5.) + ( ) + ( ) MAT.. Barisan dan Deret 0

21 Beberapa sifat notasi sigma. Jia c merupaan bilangan real, maa.? a i? j? a j? c c. 3. Jia c merupaan bilangan real, maa 4.? ( a i? bi )? a i +? b i? ca i c? 6. Jia n merupaan bilangan asli, maa Contoh. 4 Butian ebenaran sifat:.?.? c c. a i? j? a j n? n a i a n. a i. Penyelesaian:.?.? c c + c + c + + c sebanya suu Jadi?? j? c c. a i a + a +. + a Jadi? a j a + a +. + a a i? j? a j. MAT.. Barisan dan Deret

22 c. Ranguman? Aturan yang dimilii oleh deretan bilangan disebut pola bilangan pada deretan itu.? Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (N) dan odomain himpunan semua bilangan real (R). Jia U merupaan fungsi dari N e R, maa barisannya sering ditulis dengan U, U, U 3,..., U n,... Pada barisan U, U, U 3,..., U n,..., U n disebut unsur e n atau elemen e n dari barisan itu.? Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan bilangan real, maa U + U + U 3,... + U n +... disebut deret, dan U n disebut suu e n barisan itu.? Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat ditulisan dengan notasi? (dibaca: sigma).? Beberapa sifat notasi sigma a. Jia c merupaan bilangan real, maa? b.? a i? j? a j c. Jia c merupaan bilangan real, maa? d.? ( a i? bi )? a i +? e. Jia n merupaan bilangan asli, maa? b i n n c c. ca i c? a i a n. a i. MAT.. Barisan dan Deret

23 d. Tugas. Buatan contoh deretan bilangan yang berpola, dan tulisan polanya.. Butian bahwa: a. Jia c merupaan bilangan real, maa? b.? ( a i? bi )? a i +? c. Jia n merupaan bilangan asli, maa? 3. Hitunglah jumlahan beriut. 0 a.? 0 b.? i(i? 5) 4 ( i? ). b i n n ca i c? a i a n. 4. Tentuan lima unsur pertama dari barisan yang rumus unsur e n dari barisan itu adalah a. U n (3 + n) b. U n 3 + n + n 5. Tentuan rumus suu e n dari deret beriut. a (-) + (-3) +.. b. 3 + (-3) (-3) a i. e. Tes Formatif Tentuan bilangan yang belum dietahui dalam setiap deretan bilangan beriut sesuai dengan pola yang dimilii MAT.. Barisan dan Deret 3

24 Tentuan lima unsur pertama suatu barisan jia: 3. U n 5n U n -n Tulisan deret yang dibentu oleh barisan dengan unsur e n nya adalah U n? n Tentuan suu e n dari deret: ( ), ( ), ( ),. 7. Tentuan unsur e n dari barisan, 5, 8, 5, 4,. 8. Tentuan nilai dari? 5 3 ( i? 3 ) 9. Tulisan deret beriut dengan menggunaan notasi sigma Butian ebenaran sifat:? b i i, dan 4. ( a i? bi )? a i +? b i jia a i i, f. Kunci Tes Formatif U n 5n + 3, maa lima unsur pertama dari barisannya adalah: U , U , U , U , U U n -n +. maa lima unsur pertama dari barisannya adalah: U - + 0, MAT.. Barisan dan Deret 4

25 U -+ -, U , U , U Deret yang dibentu oleh barisan dengan unsur e n nya adalah U n? n + 5 adalah ( 3 + 5) + ( 4 + 5) + ( 5 + 5) Suu e n dari deret: ( ), ( ), ( ),. adalah U n (3)(-) n Unsur e n dari barisan 8.?, 5, 8, 5, 4,. adalah U n 3n ( i? ) (3 - ) + (4 - ) + (5 - ) Tulisan deret beriut dengan menggunaan notasi sigma ? n? 0. Buti: ( 3n? )? 4 ( a i? bi )? ( i? i) ( + ) + ( + ) + ( 3 +3) + (4 + 4) ? a i +? 4 b i? 4 i +? i ( ) + ( ) ( ) + (0) Jadi terbuti bahwa:? dan 4. ( a i? bi )? a i +? b i jia a i i, b i i, MAT.. Barisan dan Deret 5

26 . Kegiatan Belajar : Barisan Aritmatia dan Deret Aritmatia a. Tujuan Kegiatan pembelajaran Setelah mempelajari egiatan belajar, diharapan Anda dapat: memahami barisan aritmatia, menentuan unsur e n suatu barisan aritmatia, memahami deret aritmatia, menentuan jumlah n suu pertama deret aritmatia. b. Uraian Materi Kadang-adang, suatu barisan mempunyai pola husus. Pada barisan,, 3, 4,, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: e dengan e, e dengan e 3, e n dengan e n +, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatia. Secara matemati, pengertian barisan arimatia dapat ditulisan sebagai beriut. Definisi Barisan U, U, U 3,..., U n,... disebut barisan aritmatia jia U n - U n- onstan, dengan n, 3, 4,... Konstanta pada barisan aritmatia di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasian dengan b, dan U sering dinotasian dengan a. Contoh..,, 3,... merupaan barisan aritmatia dengan beda, b.., 3, 5, merupaan barisan aritmatia dengan beda, b. 3., -,, -,... buan barisan aritmatia sebab U U - -? (-) U 3 U 4. Dietahui barisan aritmatia dengan unsur e adalah 0 dan beda. MAT.. Barisan dan Deret 6

27 Tentuan unsur e, e 3, dan e 4 dari barisan itu. Penyelesaian: Karena b U n - U n-, maa U - U. Jadi U U Secara sama diperoleh U 3 - U b. Jadi U 3 U + b 0 +, dan U 4 U 3 + b + 4. Menurunan Rumus Unsur e n Barisan Aritmatia Jia U a, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan aritmatia, maa unsur e n dari barisan itu dapat diturunan dengan cara beriut. U a U a + b U 3 U + b (a + b) + b a + b U 4 U 3 + b (a + b) + b a + 3b U 5 U 4 + b (a + 3b) + b a + 4b U n a + (n-)b Jadi rumus umum unsur e n suatu barisan aritmatia dengan unsur pertama a dan beda b adalah: U n a + (n-)b Contoh. Dietahui barisan aritmatia dengan unsur e adalah 0 dan beda. Tentuan unsur e 7 barisan itu. Penyelesaian: Dietahui U 0, b. Dengan menggunaan rumus U n a + (n-)b, diperoleh U a + (-)b U a + b a U - b 0-8. MAT.. Barisan dan Deret 7

28 U 7 a + (7-) b a + 6 b () Jadi unsur e 7 dari barisan adalah 0. Contoh.3 Mulai tahun 000, Pa Arman mempunyai ebun tebu. Penghasilan ebun tebu Pa Arman pada ahir tahun 000 adalah Rp ,-. Mulai tahun 00, Pa Arman memupu ebun tebunya dengan pupu andang. Pa Arman memperiraan bahwa setiap ahir tahun, penghasilan ebun tebunya nai Rp ,-. Berapa periraan penghasilan ebun tebu Pa Arman pada ahir tahun 005? Penyelesaian: Misalan: a penghasilan ebun tebu Pa Arman pada ahir tahun 000. b periraan enaian penghasilan ebun tebu Pa Arman setiap ahir tahun. P 005 periraan penghasilan ebun Pa Arman pada ahir tahu 005. Jadi a Rp ,-, b Rp ,-, dan P 005 aan dicari. Karena periraan enaian penghasilan ebun tebu Pa Arman setiap ahir tahun adalah tetap, maa untu menentuan penghasilan ebun Pa Arman pada ahir tahun 005, ita dapat menerapan rumus unsur e n dari barisan aritmatia dengan U a a Rp ,-, b Rp P 005 U 6 a + 5b ( ) MAT.. Barisan dan Deret 8

29 Jadi periraan penghasilan ebun tebu Pa Arman pada ahir tahun 005 adalah Rp ,- Dengan adanya deret aritmatia, ita dapat membentu barisan yang terait dengan deret tersebut. Barisan demiian disebut barisan aritmatia. Definisi Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan aritmata, maa U + U + U U n,... disebut deret aritmatia. U n disebut suu e n dari deret itu. Jia S n menyataan jumlah n suu pertama deret aritmatia U + U + U U n,..., maa S n U + U + U U n dapat diturunan dengan cara sebagai beriut. S n U n + (U n - b) + (U n - b) a S n a + (a - b) + (a + b) U n + S n (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) (a + U n ), sebanya n suu. Jadi S n n(a + U n ) atau S n n(a + U n) S n n[a + (a + (n -)b] S n n[a + (n -)b]. Sehingga rumus untu jumlah n suu pertama suatu deret aritmatia U + U + U U n,... adalah S n n[a + (n -)b]. Contoh.4 Tentuan jumlah 5 suu pertama deret MAT.. Barisan dan Deret 9

30 Penyelesaian: Deret adalah deret aritmatia dengan a 3 dan b 3. Oleh arena itu dengan menggunaan rumus S n n[a + (n -)b] diperoleh: S 5 (5) [(3) + (5 -)(3)] (39) 975. [6 + 4(3)] (6 + 7) Jadi jumlah 5 suu pertama dari deret adalah 975. Contoh.5 Tentuan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 00. Penyelesaian: Dietahui a 5, b, dan U n 99. Untu mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 00, pertamatama ita cari dulu banyanya bilangan ganjil di antara 50 dan 00, yaitu n dengan menggunaan rumus: U n a + (n - ) b (n - )() n n n n 5. Selanjutnya dengan rumus jumlah n suu pertama suatu barisan aritmatia, S n n[a + (n -)b] diperoleh: S 5 (5)[(5) + (5 -)()] MAT.. Barisan dan Deret 0

31 5(5 + 4) 5(75).875. Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 00 adalah.875. c. Ranguman? Barisan U, U, U 3,..., U n,... disebut barisan aritmatia jia U n - U n- onstan. U n disebut unsur e n barisan itu, dan onstanta tersebut disebut beda, yang dinotasian dengan b.? Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan aritmata dengan beda b dan unsur pertama U a, maa rumus unsur e n dari barisan itu adalah U n a + (n - )b? Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan aritmata, maa U + U + U U n,... disebut deret aritmatia. U n disebut suu e n dari deret itu.? Jumlah n suu deret aritmatia dengan beda b dan unsur pertama U a adalah S n n[a + (n -)b]. d. Tugas Kerjaan dengan elompo Anda soal-soal beriut.. Selidii, apaah barisan di bawah ini merupaan barisan aritmatia? a., 7 3, 5, 7,... b.,,, Tentuan beda dari masing-masing barisan di bawah, dan emudian tentuan unsur e 5 dari barisannya. a. 3, 7,, 5,. MAT.. Barisan dan Deret

32 b. 50, 45, 40, 35,. c. 99, 0, 03, 05,. 3. Tentuan nilai dari: a b Tentuan x jia: a x 0. b x 835. e. Tes Formatif Selidii, apaah barisan-barisan beriut merupaan barisan aritmatia?. -, 3, -, 48,.... a, a + x, a + x, a + 3x,... Tentuan unsur e n dari barisan beriut untu n yang dietahui. 3., -, -3, -5,...; n , 8,,...; n 50. Hitunglah: (-40) Suu e 5 suatu deret aritmatia adalah, jumlah suu e 7 dengan suu e adalah 39. Tentuan jumlah 5 suu pertamanya. Tentuan suu pertama dan beda dari barisan aritmatia yang mempunyai: 8. U 6 5; U U 3 8; U U 7 4; U 0 0. MAT.. Barisan dan Deret

33 f. Kunci Tes Formatif. -, 3, -, 48,... buan barisan aritmatia sebab U 3 - U ? (-) U 4 - U 3. a, a + x, a + x, a + 3x,... merupaan barisan aritmatia dengan b x. 3. a, b -. U 5 + (5-) (-) + 4(-) a 4, b 4, n 50. U (50-) (4) (4) a 30, b -5, U n -40 U n a + (n - )b (n -)(-5) n + 5 n 5. S n n[a + (n -)b] S 5 S 5 5 5[(30) + (5 -)(-5)]. (60-0) S 5 5 (0) 50 Jadi (-40) a, b 8, U n 7 U n a + (n - )b 7 + (n - )(8) n n 9. S n n[a + (n -)b] S 9 (9)[() + (9 -)(8)]. MAT.. Barisan dan Deret 3

34 S 9 9 (4 + 64) S 9 9 (34) 306. Jadi Karena U 5 dan U + U 7 39, maa a + 4b... (*) (a + b) + (a + 6b) 39 atau a + 7b 39...(**) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh b 5 dan a. S n n[a + (n -)b] S 5 (5)[() + (5 -)(5)] 5 [ + (5)] 5 () a + 5b 5 a + b b 8 b -3. a + 5b 5 a + 5(-3) 5 a a + b 8 a + 6b b -40 b 5.. a + b 8 a + (5) 8 a MAT.. Barisan dan Deret 4

35 0. a + 6b 4 a + 9b b -6 b. a + 6b 4 a + 6() 4 a 4 -. MAT.. Barisan dan Deret 5

36 3. Kegiatan Belajar 3 Barisan Geometri dan Deret Geometri a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari egiatan belajar 3, diharapan Anda dapat: memahami barisan geometri, menentuan unsur e n suatu barisan geometri, memahami deret geometri, menentuan jumlah n suu pertama deret geometri, menentuan jumlah deret geometri ta hingga. b. Uraian Materi Pada barisan,,,, perbandingan antara unsur e dengan e 3 9 6, e 3 dengan e, atau e n + dengan e n adalah tetap, yaitu sama dengan. Barisan demiian disebut barisan geometri. Secara 3 matemati, barisan aritmatia dapat ditulisan sebagai beriut. Definisi Barisan U, U, U 3,..., U n,... disebut barisan geometri jia U n onstan, U n? dengan n,, 3,... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasian dengan r. Contoh 3. Apaah barisan-barisan beriut merupaan barisan geometri. Jia merupaan barisan geometri, tentuan rasionya. a., 4, 8, 6,... b. 3, 5, 7, 9,... MAT.. Barisan dan Deret 6

37 Penyelesaian: a., 4, 8, 6,... adalah barisan geometri dengan rasio, sebab U n U n? b. 3, 5, 7, 9,... buan deret geometri, sebab U U 5 7 U? U. Rumus unsur e n barisan geometri U, U, U 3, U 4,..., U n,... dengan U a dan rasio r dapat diturunan dengan cara beriut. U a U a r U 3 U r (a r)r ar U 4 U 3 r (a r )r ar 3 U n U n- r ar n- Jadi rumus unsur e n barisan geometri U, U, U 3, U 4,..., U n,... dengan U a dan rasio r adalah: U n ar n- Contoh 3. Dietahui barisan geometri dengan unsur e 0 barisan itu adalah 3 dan U Tentuan unsur e 9 dan e dari barisan. U Penyelesaian: Karena barisannya adalah barisan geometri, maa r Un? U Un U. Jadi U 0 U 9 r. Aibatnya U 9 U 0 3. Karena U, maa U U 0 ()(3) 6. U0 Dengan adanya barisan geometri, ita dapat menentuan deret geometri. MAT.. Barisan dan Deret 7

38 Definisi Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a U dan rasio r, maa U + U + U U n +... disebut deret geometri dengan U n ar. Contoh 3.3 a merupaan deret geometri dengan a 3 dan r 3. b buan deret geometri, sebab? 8 6. Rumus jumlah n suu pertama deret geometri dengan suu pertama a dan rasio r, dapat diturunan dengan cara sebagai beriut. Misalan S n U + U + U U n, maa S n a + ar + ar ar n- r S n ar + ar 3 + ar ar n- + ar n S n - r S n a - ar n ( - r) S n ( -r n )a S n a r n (? ).? r Jadi rumus jumlah n suu pertama deret geometri dengan suu pertama a dan rasio r adalah S n a r n (? )? r untu r < atau S n a ( r? ) r? n untu r >. Contoh 3.4 Tentuan jumlah 6 suu pertama deret Penyelesaian: Deret adalah deret geometri dengan a dan r >. Jadi n S n a ( r? ) r? MAT.. Barisan dan Deret 8

39 ( 6 ) S 6?? (64? ) (63) 6. Jadi jumlah 6 suu pertama deret adalah 6. Contoh 3.5 Tentuan jumlah 0 suu pertama deret: Penyelesaian: Deret adalah deret geometri dengan a, r - <. Dengan menggunaan rumus S n a r n (? ),? r diperoleh: S 0 a r n (? )? r 0 (? (? ) )? (? )? 06 3? Jadi jumlah 0 suu pertama dari deret adalah Pada Contoh 3.4, jia n menuju ta hingga, S n aan menuju ta hingga, dan pada Contoh 3.5, jia n menuju ta hingga, S n aan menuju negatip ta hingga. Deret geometri demiian disebut deret geometri divergen. Ada alanya pada sebuah deret geometri, jia n menuju ta hingga, S n aan MAT.. Barisan dan Deret 9

40 menuju e suatu bilangan real tertentu. Deret-deret demiian disebut deret geometri onvergen. Contoh 3.6 Deret , maa jumlah n suu pertama dari deret itu adalah S n (? (? ) 3 Jia n menuju ta hingga, maa S n menuju negatip ta hingga. Jadi deret tersebut merupaan deret geometri yang divergen. n ). Contoh 3.7 Jumlah n suu pertama deret adalah S n (? ( )? (? ( ) n n ) ) Untu n menuju ta hingga, maa S n menuju. Jadi deret geometri merupaan deret yang onvergen Perhatian suatu deret geometri dengan rasio r dan suu pertamanya adalah a. Jumlah n suu pertama dari deret itu adalah: S n a r n (? ).? r Untu n menuju ta hingga dan?r? <, maa r n mendeati 0. Oleh arena itu untu n menuju ta hingga dan?r?< diperoleh a S?? r. MAT.. Barisan dan Deret 30

41 Contoh 3.8 Tentuan jumlah deret geometri beriut. Penyelesaian: Deret: adalah deret geometri dengan a 4 dan r <. Jumlah deret geometri itu adalah a S?? r 4? 4 8. c. Ranguman 3? Barisan U, U, U 3,..., U n,... disebut barisan geometri jia U n onstan, U n? dengan n,, 3,... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasian dengan r.? Rumus unsur e n barisan geometri U, U, U 3, U 4,..., U n,... dengan U a dan rasio r adalah: U n ar n-? Jia U, U, U 3,..., U n,... merupaan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a U dan rasio r, maa U + U + U U n +... disebut deret geometri dengan U n ar. MAT.. Barisan dan Deret 3

42 ? Rumus jumlah n suu pertama deret geometri dengan suu pertama a dan rasio r adalah: S n a r n (? )? r untu r < atau S n a ( r? ) r? n untu r >. Jia n menuju ta hingga S n berhingga, maa deret yang bersangutan disebut deret onvergen, dan jia tida demiian disebut deret divergen.? Jumlah ta hingga suatu deret geometri dengan suu pertama a dan rasio r dengan?r?< adalah a S?? r. d. Tugas 3 Apaah barisan beriut merupaan barisan geometr Beri penjelasan.. 0, 40, -80, 60,.?,, -,, 4 Tulisan empat suu pertama dari deret beriut. 3. U n 3 n- 4. U n 3(-) n- Tulisan rumus unsur e-n dari barisan beriut. 5. 4,,, 6.,,, 4 8 Tentuan jumlah sepuluh suu pertama dari deret: 7. 0, + 0,05 + 0, Tentuan jumlah deret beriut. 9. 0, + 0,05 + 0, , 4, 8, MAT.. Barisan dan Deret 3

43 e. Tes Formatif 3 Carilah rasio dari setiap barisan geometri beriut, emudian tentuan rumus unsur e-n nya..?,?6, 3?,. 7, 0,7, 0,07, Tentuan jumlah lima suu pertamanya Tentuan nilai n jia: n n Dietahui jumlah ta hingga dari deret geometri adalah 8, sedangan jumlah dari suu-suu genapnya sama dengan. Tentuan suu pertama dan rasio dari deret tersebut. Hitunglah: Hitunglah f. Kunci Tes Formatif 3. Rasio 6?3. Rumus unsur e n adalah U n ar n-? (?3) n- 0, 7. Rasio 7 0,. Rumus unsur e n adalah U n ar n- 7 (0,) n-. MAT.. Barisan dan Deret 33

44 0 3. Deret adalah deret geometri dengan a -0 dan r 3. 6 Jumlah lima suu pertamanya adalah S 5 a(? r? r 5 )? 0 (? ( ) (? 0) ( ) ( ) ? ) 4. Deret merupaan deret geometri dengan a 4 dan r 8. S 5 a(? r? r 5 )? 4? ( )? 8? 8 5?? ( 4)( )( ) Deret n + adalah deret geometri dengan a 3, r n 09 S n+ 09 MAT.. Barisan dan Deret 34

45 3 n?? 3?? 09 3 n n n 43. Aibatnya n Deret n + adalah deret geometri dengan a, r n 55. S n+ 55. n? (? ) 55? n+ 56 n 8. Aibatnya n Jumlah ta hingga dari deret geometri adalah 8. Jadi S? 8 a 8 atau a 8 ( r) ()? r Jumlah suu-suu genapnya adalah. Jadi U + U 4 + U 6 + ar + ar 3 + ar 5 +. ar + ar 3 + ar 5 + merupaan deret geometri dengan suu pertama ar dan rasio r. Aibatnya diperoleh: ar? r atau a (? r r )..() Dengan persamaan () dan () diperoleh: 8( r) (? r r ). Jadi r dan a MAT.. Barisan dan Deret 35

46 Merupaan deret geometri dengan a dan r. Terlebih dahulu dicari nilai n sehingga U n 3. ()() n- n- 3. Aibatnya n 6. Jadi S 6 ( 6 )?? Adalah deret geometri dengan a, r. Untu mencari + + +, terlebih dahulu dicari n sehingga 4 8 U n. 8 ( ) n- 8 atau ( ) n. 64 Aibatnya n 6. Oleh arena itu S 6 (? ( )?? 64 6 ) 63 x MAT.. Barisan dan Deret 36

47 0. Deret dan? 0 r?? 0?? <. 0 - adalah deret geometri dengan a Oleh arena itu S? dengan 3 S? a? r? 0? 6? (-0) ( 5 6 ) Jadi MAT.. Barisan dan Deret 37

48 BAB III. EVALUASI A. SOAL EVALUASI Kerjaan soal beriut dengan benar! Lengapi deretan bilangan beriut berdasaran pola yang dimilii.. 0, 5, 0, 30, 35, 45, 55,,..., -5, 0, 5,, -, 4, 9, 6,,. Tentuan unsur e-0 dari barisan dan deret beriut. 3., -, 3, -4, 5, -6, Tentuan rumus unsur e n dari barisan beriut. 5. 4, 7, 0, 3,. 6.,,,. 4 8 Tentuan jumlah sepuluh suu pertama dari deret: Hitunglah: 4 9.?? i(i? ) MAT.. Barisan dan Deret 38

49 B. KUNCI JAWABAN EVALUASI. Dengan mengamati pola bilangan pada: 0, 5, 0, 30, 35, 45, 55,,., unsur-unsur yang berurutan +5, +5, +0, +5, +5, +0, maa unsur beriutnya adalah 60 diiuti 65.. Dengan mengamati pola bilangan pada:, -5, 0, 5,, -, 4, 9, 6,,, unsur-unsur yang berurutan -3, -3, +5, +5, -3, -3, +5, +5, -3, maa unsur beriutnya adalah 3 diiuti Unsur e-n barisan:, -, 3, -4, 5, -6,. adalah U n dengan U n?? n jian ganjil?? n jia n genap. Oleh arena itu unsur e 0 adalah U Suu e-n deret: adalah U n dengan U n?? 7 jia n ganjil? n jian genap. Oleh arena itu suu e 0 dari deret tersebut adalah U Barisan 4, 7, 0, 3, adalah barisan aritmatia dengan a 4, b 3. Unsur e n dari barisannya adalah U n a + (n )b 4 + 3(n-) atau U n +3n. 6. Barisan, 4, 8, adalah barisan geometri dengan a dan r. Unsur e n dari barisannya adalah U n an n- ( )( ) n- ( ) n. 7. Deret adalah deret aritmatia dengan a 00, b - 5 Jumlah sepuluh suu pertama deret tersebut adalah S 0 (0)[00? (9)(? 5)] 5(00 45) 5 (55) Deret adalah deret geometri dengan a -3, r. Jumlah sepuluh suu pertama dari deret tersebut adalah S 0 0 (? 3)(? )? (-3)(03) MAT.. Barisan dan Deret 39

50 4 9.?? i(i? ) ()( - ) + ()(4 - ) + (3)(9 - ) + (4)(6 - ) Deret adalah deret geometri dengan a 4 dan 8 3 r. 4 8 Oleh arena itu S? dengan S? a? r 4? (4) ( 7 8 ) (4)(8) Jadi C. PETUNJUK PENILAIAN Semua soal mempunyai sor sama, yaitu 0. Jadi jia jawaban benar semua, maa mendapat sor 00. MAT.. Barisan dan Deret 40

51 BAB IV. PENUTUP Setelah menyelesaian modul ini, anda berha untu mengiuti tes prate untu menguji ompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyataan memenuhi syarat elulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maa anda berha untu melanjutan e topi/modul beriutnya. Mintalah pada guru untu melauan uji ompetensi dengan sistem penilaian yang dilauan langsung oleh piha industri atau asosiasi yang berompeten apabila anda telah menyelesaian seluruh evaluasi dari setiap modul, maa hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadian bahan verifiasi oleh piha industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadian sebagai penentu standar pemenuhan ompetensi dan bila memenuhi syarat anda berha mendapatan sertifiat ompetensi yang dieluaran oleh dunia industri atau asosiasi profesi. MAT.. Barisan dan Deret 4

52 DAFTAR PUSTAKA Abdul Kodir, d., 980. Matematia untu SMA Jilid 0, Departemen Pendidian dan Kebudayaan.Jaarta: PT Intermasa, Jaarta. Noormandiri, B.K., Endar Sucipto, 994. Matematia untu SMU Jilid. Jaarta: Erlangga, Jaarta. MAT.. Barisan dan Deret 4