Uji Alternatif Data Terurut Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya Ridha Ferdhiana 1 Statistics Peer Group

Transkripsi

1 Uji Alternatif Data Terurut Perbandingan antara Uji Joncheere Terpstra dan Modifiasinya Ridha Ferdhiana Statistics Peer Group Jurusan Matematia FMIPA Universitas Syiah Kuala Banda Aceh, Aceh, 23 S-27 Abstra Uji alternatif terurut merupaan uji yang ingin mengetahui apaah uuran nilai tengah beberapa elompo mengiuti urutan tertentu atau tida. Uji untu alternatif terurut yang paling utama adalah uji Joncheere-Terpstra (JT). Modifiasi uji JT (MJT) diperenalan oleh Tryon dan Hettmansperger dan Neuhauser mengataan uji MJT lebih bai dari JT arena distribusinya lebih panjang. Penelitian ini melauan simulasi untu mengetahui power uji JT dan MJT. Kombinasi dari 9 distribusi, enam urutan nilai tengah, dan tiga ombinasi banya sampel dilauan untu pengujian tiga, empat, dan lima elompo. Hasil penelitian menunjuan bahwa uji MJT tida lebih bai dari uji JT. Kata unci : alternatif terurut, uji Joncheere Terpstra, Modifiasi Joncheere Terpstra Pendahuluan Seringali suatu penelitian ingin mengetahui secara serenta apaah terdapat perbedaan leta uuran nilai tengah pada beberapa elompo dibandingan apaah leta uuran nilai tengah mengiuti suatu uuran tertentu. Pengujian yang pertama merupaan uji yang biasa diselesaian menggunaan uji analisis ragam (anova) atau uji Krusal Wallis. Pengujian yang edua disebut uji alternatif data terurut. Pada uji alternatif terurut, hipotesis seharusnya dibangun atas dasar bagaimana perlauan diberian dan buan berdasaran pada sampel yang didapatan []. Peneliti tida 840

2 seharusnya menetapan hipotesis setelah data diumpulan dan ditelaah tapi hipotesis seharusnya ditetapan dulu baru emudian data diumpulan. Uji untu alternatif terurut yang paling utama adalah uji Joncheere-Terpstra (JT), yang diperenalan oleh Joncheere dan Terpstra [2][3]. Uji statisti dari uji JT adalah penjumlahan uji statisti Mann-Whitney (MW) untu setiap ombinasi pasangan dari -populasi tersebut, dimana adalah banyanya elompo. Statisti MW sendiri seringali disebut sebagai statisti U yang merupaan statisti untu menguur apaah dua elompo berbeda satu sama lain [4]. Bewic d [5], menyataan bahwa uji JT lebih tepat digunaan pada perlauan yang terurut. Dalam artielnya merea menunjuan bahwa uji statisti yang lain hanya mampu menunjuan bahwa data lamanya watu tinggal diruang ICU pada pasien yang mengalami ecelaaan, mempunyai masalah medis, dan pasien yang menjalani operasi syaraf adalah berbeda. Namun, tida bisa diambil esimpulan apaah watu tinggal merea dalam ruang ICU bertambah sesuai dengan tingatan resio yang dihadapi pasien setelah mengalami tiap perlauan diatas. Pernyataan ini juga diuatan oleh Mehotcheva [6] yang mereomendasian uji JT jia alternatif hipotesis yang ingin diteliti adalah data terurut. Tyron dan Hettmansperger, pada tahun 987, mengusulan sebuah uji yang merupaan modifiasi dari uji JT [7]. Usulan mrea adalah menambahan bobot pada setiap statisti-u yang merupaan bagian dari uji JT. Bobot yang merea usulan adalah beda urutan dari populasi yang diujian, misal pebandingan antara elompo pada urutan pertama dan edua mendapat bobot, sedangan elpompo satu dan tiga mendapat bobot 2. Uji ini bisa digambaran sebagai uji JT dengan bobot. Uji modifiasi JT ini dienal dengan istilah uji Modified Joncheere Terpstra (MJT). Neuhauser [8] menyataan bahwa uji MJT lebih bai dari uji JT arena mempunyai distribusi yang lebih panjang, namun merea tida melaporan bagaimana power MJT dibandingan JT pada berbagai macam jumlah data pada tiap elompo. Namun, perhitungan varians dan rataan sebenarnya pada uji MJT lebih rumit daripada uji JT arena varians dan rataannya selalu berbeda etia ombinasi banya sampel yang 84

3 digunaan berbeda. Sebagai contoh, varians dari ombinasi banya sampel 3,4, dan 5 pada pengujian untu tiga elompo, aan berbeda dengan ombinasi banya sampel 4, 3, dan 5. Sedangan pada uji JT, varians dari edua ombinasi banya sampel diatas aan sama nilainya. Tujuan dari penelitian ini adalah melauan simulasi Monte Carlo dengan menggunaan perangat luna R [9] untu mengetahui power dari uji JT dan uji MJT. Simulasi yang dilauan aan menggunaan beberapa distribusi, antara lain sew iri dan anan serta simetri, beberapa jumlah sampel yang berbeda-beda untu tiap-tiap elompo, serta beberapa tingatan pertambahan nilai tengah yang berbeda-beda juga diteliti. Dengan demiian aan bisa diambil esimpulan pada situasi yang bagaimana uji JT dan MJT lebih unggul satu sama lain. Manfaat yang bisa dipaai adalah suatu acuan pada saat yang bagaimana ita harus menggunaan uji JT atau MJT berdasaran power yang didapat dari penelitian. Metode Penelitian Simulasi yang dilauan menggunaan sembilan distribusi yaitu tiga distribusi yang sew iri, tiga yang sew anan, dan tiga distribusi yang simetri. Distribusidistribusi tersebut dibangitaan menggunaan logf distribusi dan memaai ombinasi derajad ebebasan 2, 4.5, dan 0. Semain ecil derajad ebebasan yang dipaai, semain besar ragam (varians) yang terjadi. Distribusi logf yang menggunaan derajad ebebasan 4.5 dan 4.5 aan mendeati distribusi standar normal. Gambar dibawah adalah illustrasi distribusi-distribusi yang dipaai. Ketia derajad ebebasan pertama lebih dari derajad ebebasan edua, maa distribusi aan menjadi sew iri.distribusi aan simetri etia edua derajad ebebasannya sama, sedangan sew anan etia derajad ebebasan pertama urang dari yang edua. 842

4 Gambar. Illustrasi distribusi-distribusi yang dipaai dalam simulasi. Perhitungan power aan dilauan dengan membangitan data aca sebanya lima ribu ali untu setiap ombinasi distribusi dan banya sampel, serta uuranuuran nilai tengah, emudian aan dilauan uji dengan menggunaan uji-z. Pengujian dengan uji-z dilauan arena distibusi dari uji JT dan MJT adalah simetri dan dengan huum anga besar (Large Law Number) distribusinya aan mendeati standar normal jia diurangi dengan rataan dan dibagi dengan aar positif dari varians sebenarnya. Tingat esalahan yang dihitung adalah 0.05, sehingga setiap nilai z yang didapat aan dibandingan dengan atau arena ita melauan uji 843

5 dua arah. Setiap ali H 0 ditola aan diberi nilai satu, alau tida diberi nilai nol. Power merupaan penjumlahan berapa ali H 0 ditola dibagi banyanya simulasi yang dilauan yang dalam penelitian ini sebanya 5000 ali Rataan dan varians sebenarnya dari uji JT dan MJT bisa didapatan dengan rumus-rumus beriut: E ( T 0 JT = ( n = = in j ) 2 ) nin j N n i= j 2 4 i= j= 4 t = = i j 2 t = V 0 ( T JT ) var U ij i= j= E = i= j= var( U ij ) ( TMJT ) = ( j i) U ij i= j= i= j= s= t= s+ cov( U ij, U st ) V var = 0 ( TJT ) ( j i) U ij i= j= = i = j = i + ( j i) var( U ij ) + 2 i= j = i + s = t = s + ( j i)( t s)cov( U, U ij st ) dimana U bisa didapatan sebagai beriut: U = m n i= j= ϕ ( X i, Y j ), ϕ ( X i, Y j, jia X i < Y j ) = 0, untu lainnya Hasil dan Pembahasan Tiga tabel, tabel 2, dan tabel 3 menyajian power dari uji JT dan MJT dari hasil simulasi. Power untu tiga elompo disajian di tabel, untu empat elompo disajian dalam tabel 2, dan tabel tabel 3 menyajian untu lima elompo. 844

6 Untu tiga elompo, distribusi yang disajian adalah sew iri dengan varians besar dan ombinasi banya sampel untu tiap elompo adalah 5, 0, dan 0 yang artinya banya data untu elompo satu adalah 5, elompo dua adalah 0, dan elompo tiga adalah 0. Terlihat bahwa power dari edua uji tida menunjuan superioritas satu sama lain. Saat perubahan nilai tengah adalah sama, uji MJT tida mampu menunjuan bahwa power yang dipunyainya lebih besar dari uji JT. Ketia pertambahan nilai tengah tida lagi sama, terlihat uji JT lebih besar powernya. Tabel. Power untu tiga elompo, distribusi sew iri. n, n 2, n 3 = 5, 0, 0, 2, 3 JT MJT Tabel 2 menyajian power untu empat elompo dengan distribusi simetri dengan varians ecil dan ombinasi banya sampel untu tiap elompo adalah 5, 0, 0, dan 5. Terlihat dari tabel ini, power uji MJT sediit lebih besar dibanding uji JT untu bebagai ombinasi pertambahan nilai tengah untu tiap elompo. Pada saat pertambahan nilai tengah tida sama, power uji JT hanya berbeda sangat ecil dibanding uji MJT. 845

7 Tabel 2. Power untu empat elompo, distribusi simetri dengan varians ecil n, n 2, n 3, n 4 = 5, 0, 0, 5, 2, 3 JT MJT Power dari uji MJT terlihat lebih besar dari uji JT etia pertambahan nilai tengah adalah sama pada lima elompo dengan distribusi sew anan dan varians ecil dimana ombinasi banya sampel untu tiap elompo adalah 5, 5, 5, 0, dan 0. Namun beberapa power MJT terlihat alah dari uji JT etia pertambahan nilai tengah berbeda. Tabel 3. Power untu lima elompo, distribusi simetri varians ecil. n, n 2, n 3, n 4, n 5 = 5, 5, 5,0, 0, 2, 3, JT MJT

8 Kesimpulan Uji MJT tida lebih bai dari uji JT walaupun untu beberapa asus terlihat bahwa powernya lebih besar dibanding uji JT. Untu pengujian alternatif data terurut, berdasaran dari penelitian ini, lebih bai digunaan uji JT arena perhitungan rataan dan varians sebenarnya yang sederhana dan bersifat universal (sama untu setiap ombinasi banya sampel tiap elompo). Daftar Pustaa [] Hollander, M. dan Wolfe, D.A., 999, Nonparametric Statistical Methods, 2 nd edition, John Wiley and Sons, Inc., a Wiley-Interscience Publication, New Yor,. [2] Joncheere, A.R., 954, A Distribution Free -sample Test Against Ordered Alternatives, Biometria, vol. 4, pp [3] Terpstra,T., 952, The Asymptotic Normality and Consistency of Kendall s Test Against Trend when Ties are Present in One Raning, Indigationes Mathematicae, vol. 4, pp [4] Korolju, V.S., dan Borovsich, Yu. V., 994, Theory of U-Statistics, Dordrect Kluwer Academic Publishers, Boston. [5] Bewic, V., Chee, L., dan Ball, J., 6 April 2004, Statistics review 0: Further nonparametric methods Critical Care Vol 8 No 3, online at [6] Mehotcheva, T. H., 23 April 2008, The Krusal Wallis Test, Seminar in Methodology & Statistics. University f Groningen, Netherland. [7] Tryon, V. P. dan Hettmansperger, T. P., 987, A Class of Nonparametric Tests for Homogeneity Against Ordered Alternatives, Annals of Statistics, pp

9 [8] Neuhauser, M., Liu, P.Y., dan Hothorn, L.A., 998, Nonparametic Tests for Trend: Joncheere s Test, a Modification and Maximum Test, Biometrical Journal, vol. 40(8), pp [9] W. N. Venables and D. M. Smith, An Introduction to R, Notes on R : A Programming Environment for Data Analysis and Graphics, Version 2.0., 5 September