BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 15 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1Relasi Dispersi Pada bagian ini aan dibahas relasi dispersi untu gelombang internal pada fluida dua-lapisan.tinjau lapisan fluida dengan ρ a dan ρ b berturut-turut merupaan erapatan fluida pada lapisan atas dan lapisan bawah.misalan gelombanginternal yang ditinjau berupa gelombang monoromati beriut η b x t = Ae i(x ωt ) denganω merupaan freuensi gelombang dan menyataan bilangan gelombang serta A suatu onstanta.panjang gelombang dapat ditentuan berdasaran persamaan λ = π. Penyelesaian persamaan (.0) dengan syarat batas sesuai persamaan (.5) dinyataan dalam bentu φ a x y t = A a cosh y h a e i x ωt. (3.1a) Kemudian penyelesaian persamaan (.1) dengan syarat batas sesuai persamaan (.6) dinyataan dalam bentu φ b x y t = A b cosh y + h b e i x ωt. (3.1b) Penurunan persamaan (3.1a) dan (3.1b) dapat dilihat pada lampiran II. Jia persamaan (3.1a) disubstitusian e dalam ondisi batas inemati pada persamaan (.3) maa di y = 0 diperoleh A a sinh h a e i x ωt = iωae i x ωt + U a iae i x ωt. (3.a) Selanjutnya jia persamaan (3.1b) disubstitusian e dalam ondisi batas inemati pada persamaan (.3) maa di y = 0 diperoleh A b sinh h b e i x ωt = iωae i x ωt + U a iae i x ωt. (3.b) Berdasaran persamaan (3.a) dan (3.b) diperoleh A a = ia U a ω sinh h a (3.3a)

2 16 A b = ia U b ω sinh h b. (3.3b) Jiaφ a dan φ b pada persamaan (3.1a) dan (3.1b) disubstitusiane dalam ondisi batas dinami pada persamaan (.4) maa diperoleh i x ωt ρ b U b ia b cosh (h b )e iωa b cosh h b e i x ωt i x ωt + gae i x ωt = ρ a U b ia a cosh (h a )e + iωa a cosh h a e i x ωt i x ωt + gae + γ(i) Ae i x ωt. (3.4) Jia edua ruas pada persamaan (3.4) dibagi dengan e i x ωt maa diperoleh ρ b U b ia b cosh (h b ) iωa b cosh h b + ga = ρ a U a ia a cosh (h a ) + iωa a cosh h a + ga + γa(i) ρ b U b ω i A b cosh h b + ga = ρ a U a ω ia a cosh h a + ga +γa(i). (3.5) Jia bentu A a dan A b pada persamaan (3.3a) dan (3.3b) disubstitusian e dalam persamaan (3.5) dan dieliminasiana maa diperoleh ρ b U b ω i i U b ω sinh h b cosh h b + g = ρ a U a ω i i U a ω sinh h a cosh h a + g + γ i ρ b U b ω 1 tanh h b + g Jia persamaan (3.6) dialian dengan maa diperoleh = ρ a U a ω 1 tanh h a + g +γ i. (3.6) S b U b ω ρ b + gρ b S a U a ω ρ a gρ a + γ 3 = 0

3 17 S b U b ω ρ b gρ b +S a U a ω ρ a + gρ a + γ 3 = 0 (S a + S b )ω S a U a + S b U b ω + S a U a + S b U b g ρ b ρ a + γ 3 = 0 (3.7) dengan S a = ρ a tanh h S ρ b b = a tanh h. b Persamaan (3.7) merupaan persamaan uadrat dalam ωdengan penyelesaian dalam bentu: dengan ω b a = S au a + S b U b D ± (3.8) S a + S b S a + S b D = S a U a + S b U b (S a + S b ) S a U a + S b U b g ρ b ρ a +(S a + S b ) γ 3. Persamaan (3.8) merupaan relasi dispersi dari persamaan dasar fluida ideal yang ta berotasi.relasi dispersi ini merupaan relasi dispersi Kelvin-Helmholtz (Visser 004). Relasi ini yang aan diaji dalam penelitian ini. 3.. Ketastabilan Gelombang Internal Perubahan amplitudo gelombang sangat berpengaruh pada terjadinya etastabilan gelombang internal.perubahan amplitudo dapat diaibatan oleh perubahan bilangan gelombang freuensi gelombang dan ecepatan arus.amplitudo yang meningat secara terus menerus menyebaban gelombang internal tida stabil Ketastabilan Temporal Ketasabilan dari gelombang internal ditentuan dari bagian imajiner pada relasi dispersi Kelvin-Helmholtz pada persamaan (3.8). Bagian imajiner dari persamaan (3.8) diperoleh bilamana (S a + S b ) < 0 sehingga diperoleh S a U a + S b U b (S a + S b ) S a U a + S b U b g ρ b ρ a +(S a + S b )γ 3 = 0. (3.9)

4 18 Misalan ecepatan arus pada lapisan bawah sangat ecil (U b = 0) dan tegangan permuaan γ=0 maa persamaan (3.9) menjadi: Kestabilan temporal dihasilan dari S b S a U a + g ρ b ρ a (S a + S b ) = 0. (3.10) S b S a U a + g ρ b ρ a (S a + S b ) < 0 U a > g ρ b ρ a (S a + S b ) S a S b. Nilai ritis dari estabilan temporal adalah U acrit = g ρ b ρ a (S a + S b ) S a S b. (3.1) Dengan demiian estabilan temporal terjadi bilamana U a <U acrit Ketastabilan Spasial Misalan γ = 0 dan U b = 0 maa persamaan (3.7)menjadi (S a + S b )ω S a U a ω + S a U a g ρ b ρ a = 0 (3.13) Persamaan (3.13) merupaan persamaan talinear terhadap yang penyelesaiannya secara analiti sulit dilauan untu itu diperluan beberapa asumsi. Misalan diasumsian domain fluida dua lapisan masing-masing memilii etebalan yang cuup besar (h a >>0 dan h b >>0) sehingga S a = ρ a dan S b = ρ b. Berdasaran asumsi tersebut persamaan (3.13) menjadi (ρ a + ρ b )ω ρ a U a ω + ρ a U a g ρ b ρ a = 0 ρ a U a ρ a U a ω + g ρ b ρ a + ρ a + ρ b ω = 0. (3.14) Persamaan (3.14) berupa persamaan uadrat dalam dengan penyelesaian dalam bentu: ba ω U a = ρ au a ω + g ρ b ρ a ρ a U a (3.11) ± ρ a U a ω + g ρ b ρ a 4ρ a U a ρ a + ρ b ω ρ a U a

5 19 ba ω U a = ρ au a ω + g ρ b ρ a ρ a U a ± 4ρ a U a ω + 4ρ a U a ωg ρ b ρ a + g ρ b ρ a 4ρ a U a ρ a + ρ b ω ρ a U a ba ω U a = ρ au a ω + g ρ b ρ a ρ a U a ± (4ρ a U a 4ρ a U a ρ a + ρ b )ω + 4ρ a ω ρ b ρ a gu a + g ρ b ρ a ρ a U a ba ω U a = ρ au a ω + g ρ b ρ a ρ a U a ± ( 4ρ aρ b U a )ω + 4ρ a ω ρ b ρ a gu a + g ρ b ρ a ρ a U a. (3.15) Ketastabilan dari gelombang internal ditentuan dari bagian imajiner pada persamaan (3.15).Bagian imajiner dari persamaan (3.15) diperoleh bilamana (ρ a U a ) < 0sehingga nilai ritis dari estabilan spasial berbentu (4ρ a ρ b U a )ω 4ρ a ρ b ρ a gu a ω g ρ b ρ a = 0 (3.16) Persamaan (3.16) merupaan persamaan uadrat dalam ω dengan penyelesaian dalam bentu: ω b acrit = ρ a ρ b ρ a g ± (4ρ a ρ b ρ a gu a ) + 4(4ρ a ρ b U a )g ρ b ρ a ρ a ρ b U a ρ a ρ b U a ω bacrit = ρ a ρ b ρ a g ± 16ρ a ρ b ρ a g U a + 16ρ a ρ b U a )g ρ b ρ a ρ a ρ b U a 8ρ a ρ b U a ω bacrit = ρ a ρ b ρ a g ρ a ρ b U a ± 4U ag ρ b ρ a ρ a ρ b + ρ a 8ρ a ρ b U a

6 0 ω bacrit = ρ a ± ρ a ρ b + ρ a ρ b ρ a g ρ a ρ b U a. (3.17) Dengan demiian estabilan spasial terjadi bilamana ω < ω bcrit (untu ω > 0) dan ω > ω acrit (untu ω < 0) PembangitanGelombang Internal di Selat Maassar Pada bagian ini aan diuraian senario pembangitan gelombang internal di Selat Maassar. Senario tersebut menggunaan relasi dispersi pada persamaan (3.8). Terdapat dua senario yang aan digunaan yaitu simulasiecepatan arus dan panjang gelombang internal yang ditinjau pada Selat Maassar. Beriut ini aan diaji relasi dispersi pada persamaan (3.8) dengan menggunaan beberapa asumsi yang berdasaran data oseanografi pada Selat Maassar. Asumsi-asumsi tersebut adalah sebagai beriut: Asumsi 1.Kedalaman pada lapisan atas adalah 300 meter sehingga h a = 300m. Ketebalan h a = 300mdipilih berdasaran ondisi oseanografi Selat Maassar dimana pada etebalan 300 meter terjadi perubahan erapatan yang sangat cepat. Ketebalan lapisan bawah yang ditinjau adalah h b = 1500m. Asumsi.Kecepatan arus pada lapisan bawah sangat ecil sehingga diasumsian U b = 0 sedangan ecepatan arus pada lapisan atas berubah terhadap edalaman. Asumsi 3.Tegangan permuaan diasumsiansama dengan nol yaituγ = 0. Asumsi 4.ρ b = 1035 g danρ m 3 a = 104 g m3. Hasil ini berdasaran profil erapatan yang diberian pada Gambar.3. Berdasaran asumsi-asumsi di atas maa penyelesaian dari relasi dispersi Kelvin Helmholtz pada persamaan (3.8) yaitu ω b () dan ω a () untu nilai U a yang berbeda-bedadiberian dalam Gambar 3.1.

7 1 ω U a =0.85 U a =0.75 U a = Gambar 3.1.Grafi freuensi gelombang ω(). Fungsiω()seperti yang diperlihatan Gambar3.1 menggunaan nilai U a yang berbeda yaitu: U a = 0.65 U a = 0.75 dan U a = Garis putus-putus memperlihatan penyelesaianω a ()pada persamaan (3.8) yang merupaan freuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan atas.garis ontinu memperlihatan penyelesaianω b () pada persamaan (3.8) yang merupaan freuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan bawah. Berdasaran Gambar 3.1 jia ecil maa freuensi gelombang negatif.ini berarti gelombang yang terjadi bergera menjauhi gelombang yang lebih besar.selain itu jia ecepatan arus pada lapisan atas mengecil maa membesar pada lapisan bawah. Ini berarti panjang gelombang internal yang terjadi semain mengecil dengan ata lain amplitudo semain besar. Dengan demiian ecepatan fase juga semain besar hal ini onsisten dengan ecepatan fase pada Gambar 3.. Karena ecepatan fase didefinisiansebagai c = ω () maa ecepatan fasepada lapisan atas adalah c a = ω a () dan ecepatan fase pada lapisan bawah adalah c b = ω b (). Kecepatan fasegelombang dapatdilihat pada Gambar 3. dengan U a = 0.65 U a = 0.75 dan U a = 0.85.

8 c 1 U a =0.85 U a =0.75 U a = Gambar 3..Kecepatan FaseGelombang pada lapisan atas (garis putus-putus dan pada lapisan bawah (garis ontinu) untu U a berbeda-beda Ketastabilan Gelombang Internal di Selat Maassar Pada bagian ini aan dibahas etastabilan dari gelombang internal di Selat Maassar berdasaran riteria etastabilan temporal dan spasial Ketastabilan Temporal Berdasaran persamaan (3.1) diperoleh Gambar 3.3 yang memperlihatan suatu daerah dimana pada saat nilai U a tertentu gelombang menjadi ta stabil. U acrit Area ta stabil Gambar 3.3.Daerah etastabilan gelombang internal berdasaran persamaan (3.1). Gambar 3.3 memperlihatan bahwa gelombang yang memilii bilangan gelombang 0.15 (panjang gelombang 50 m) tida stabil pada daerah dengan

9 3 ecepatan arus lebih besar dari 1.6 m/s. Jia ecepatan arusnya urang dari 1.6 m/s maa gelombang tersebut aan stabil. Berdasaran persamaan (3.8) dapat ditunjuan hubungan antara freuensi gelombang dengan daerah estabilan gelombang dengan 0.15 seperti diperlihatan pada Gambar 3.4. ω U acrit U a Gambar 3.4.Hubunganfreuensi gelombang dan ecepatan arus. Pada Gambar 3.4 memperlihatan bahwa gelombang dengan 0.15 memilii freuensi yang meningat mendeati urva linear dengan bertambahnya nilai U a > 1.6. Dengan ata lain gelombang ini tida stabil. Berdasaran Gambar 3.4 bilamana U a mengecil dengan U a < 1.6freuensi gelombang berada pada nilai Dengan ata lain gelombang ini aan stabil.dengan demiian untu membangitan gelombang dengan panjang 50 m dan stabil maa diperluan adanya arus dengan ecepatan urang dari 1.6 m/s Ketastabilan Spasial Berdasaran persamaan (3.17) diperoleh Gambar 3.5 yang memperlihatan suatu daerah dimana pada saat nilai ω dan U a tertentu gelombang menjadi ta stabil.

10 4 ω 0.1 area stabil ω b area ta stabil ω a area ta stabil. U a Gambar 3.5.Daerahetastabilan gelombang internal berdasaran persamaan (3.17) Gambar 3.5 memperlihatan bahwa gelombang yang memilii freuensi gelombang tida stabil pada daerah dengan ecepatan arus lebih besar dari. m/s. Jia ecepatan arusnya urang dari. m/s maa gelombang tersebut aan stabil. Berdasaran persamaan (3.15) dapat ditunjuan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah estabilan gelombang dengan ω = 0.01 seperti diperlihatan pada Gambar Stabil Ta stabil U acrit U a Gambar 3.6.Hubunganbilangan gelombang dan ecepatan arus untu ω = Pada Gambar 3.6 memperlihatan bahwa gelombang dengan ω = 0.01 memilii bilangan gelombang yang meningat pada lapisan atas ( a (U a )) dan menurun pada lapisan bawah ( b (U a )) edua urva bilangan gelombang seperti

11 5 yang ditunjuan dengan garis merah pada Gambar 3.6 bergera mendeati urva berwarna biru dengan bertambahnya nilai U a >.. Dengan ata lain gelombang ini tida stabil. Berdasaran Gambar 3.6 bilamana U a mengecil dengan (U a <.) maa gelombang ini aan stabil.dengan demiian untu membangitan gelombang dengan freuensi Hz dan stabil maa diperluan adanya arus dengan ecepatan urang dari. m/s. Selanjutnya berdasaran persamaan (3.15) dapat ditunjuan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah estabilan gelombang dengan U a = 1 seperti diperlihatan pada Gambar 3.7. Ta stabil Stabil Ta stabil ω ω bcrit 0.1 acrit ω 0. Gambar 3.7.Kurva dari etastabilan spasial yang bergantung pada ω. Pada Gambar 3.7 memperlihatan bahwa gelombang dengan U a =1 memilii bilangan gelombang yang meningat mendeati urva linear dengan bertambahnya nilai ω> 0.1. Dengan ata lain gelombang ini tida stabil. Berdasaran Gambar 3.7 bilamana ω mengecil dengan 0.0 < ω < 0.1 maa gelombang ini aan stabil. Selanjutnya bilangan gelombang menurun mendeati urva linear dengan berurangnya nilai ω < 0.0. Dengan ata lain gelombang ini tida stabil. Dengan demiian apabila ecepatan arus ditetapan 1 m/s maa gelombang aan stabil pada freuensi antara -0.0 dan 0.1. Dalam hal ini bilangan gelombang menjadi dua ali lipat panjang gelombang yang tertentu menjadi setengahnya.