Tinggi Maksimum Selubung Paket Gelombang Bikromatik *

Transkripsi

1 PROC. ITB Sains & Tek. Vol. 35 A, No., 3, Tinggi Maksimum Selubung Paket Gelombang Bikromatik Wuryansari Muharini Kusumawinahyu,, Andonowati,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Malang Pusat Penelitian, Pengembangan dan Penerapan Matematika ITB 3 Departemen Matematika ITB Abstrak. Hasil-hasil penelitian terdahulu yang dilakukan secara numerik maupun eksperimental di oratorium hidrodinamika menyatakan bahwa selubung paket gelombang bikromatik mengalami deformasi berupa peaking dan splitting ketika menjalar menjauhi pembangkit gelombang. Untuk menyelidiki besarnya faktor pemuncakan maka dalam makalah ini dipaparkan penyelidikan terhadap tinggi maksimum dari selubung sinyal bikromatik pada setiap posisi. Di sini profil selubung paket gelombang yang bergantung pada posisi dan waktu ditentukan secara numerik berdasarkan persamaan spatial Nonlinear Schrodinger (sp-nls, karena di sini kita berhadapan dengan masalah signaling. Penyelidikan dilakukan dengan memberikan beberapa nilai amplitudo dan frekuensi dari selubung paket gelombang bikromatik yang berbeda-beda. Besarnya nilai amplitudo dan frekuensi tersebut berpengaruh terhadap besarnya amplifikasi tinggi selubung gelombang bikromatik dan periode dari maksimum selubung. Kata kunci: gelombang bikromatik, selubung paket gelombang, persamaan spatial NLS, masalah signaling, maksimum selubung, faktor amplifikasi Abstract. Previous numerical and experimental investigations found that some envelopes of bichromatics surface water waves show deformation during their propagation along the wave tank in Hydrodinamic Laboratory. In this paper we present investigation on the maximum amplitudes of bichromatics envelopes at every position along the tank, to observe the amplification factor of a signal deformation. As we consider a signaling problem, a spatial Nonlinear Schrodinger (sp-nls model is used here. The Penelitian ini didanai oleh RUTI, Wave motion & simulations /4 dalam kerjasamanya dengan University of Twente di bawah EPAM: Industrial Mathematics /5 dan Hibah Bersaing /3 Mahasiswa S3 Departemen Matematika, Institut Teknologi Bandung

2 5 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al profiles of waves envelope as a function of time and space are computed numerically from this model. Investigations are done for some different amplitudes and freuencies of bichromatics envelopes at wave generator to show that these two parameters affect the amplification factor and the periode of maximum amplitudes of envelopes. Keywords: bichromatics, wave group envelope, spatial NLS euation, signaling problem, maximum amplitude, amplification factor. Pendahuluan Kajian dalam makalah ini terkonsentrasi pada perubahan bentuk sinyal gelombang air bikromatik di permukaan seperti yang diamati pada hasil pembangkitan gelombang di oratorium hidrodinamika. Hasil eksperimen sebagaimana yang dilakukan oleh Stansberg [] menunjukkan kenyataan bahwa gelombang permukaan yang pada pembangkit gelombang berupa gelombang bikromatik dengan amplitudo dan frekuensi tertentu, dalam penjalarannya mengalami perubahan bentuk (deformasi selubung berupa gejala peaking (pemuncakan dan splitting. Hasil ini diperkuat dengan perhitungan numerik berdasarkan model tak-linier lengkap dari gelombang permukaan []. Analisa mengenai deformasi ini telah pula dikaji dalam [3,4]. Pengetahuan tentang perubahan tinggi maksimum gelombang permukaan tersebut di suatu posisi tertentu jauh dari pembangkit gelombang merupakan masalah yang sangat menarik. Bila pengetahuan tersebut cukup memadai, diharapkan akan terjawab beberapa pertanyaan, yang berkaitan dengan pengujian model kapal atau struktur bahari lain di oratorium hidrodinamika, seperti di mana sinyal gelombang permukaan mencapai tinggi maksimum; di mana model kapal harus ditempatkan agar dapat diuji dengan gelombang beramplitudo maksimum; bagaimana perilaku dinamika dari maksimum elevasi gelombang yang bergantung pada posisi pengamatan; apakah ia periodik; bila periodik, berapa periodenya, dan sebagainya. Evolusi gelombang air searah di permukaan dangkal dengan bilangan gelombang kecil (gelombang panjang telah dimodelkan dengan persamaan Korteweg de Vries (KdV [5]. Solusi dari persamaan KdV telah dikaji secara luas karena memiliki beberapa sifat khusus yang menarik dan dapat digunakan untuk memodelkan masalah fisis lainnya. Sebagai contoh,

3 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik 53 telah kami bahas dalam [6] solusi soliton dari persamaan KdV yang tidak mengalami perubahan bentuk selama evolusinya karena sifat dispersif dan tak linier dari model KdV saling mengimbangi. Berbeda dengan kajian pada [6], di sini akan diselidiki deformasi dari selubung paket gelombang bikromatik. Evolusi selubung dari suatu paket gelombang yang merupakan solusi khusus dari persamaan KdV dimodelkan oleh persamaan Non Linier Schrodinger (NLS [5]. Gelombang bikromatik yang merupakan superposisi dua gelombang monokromatik dapat dinyatakan sebagai suatu paket gelombang dengan selubung berupa gelombang monokromatik dengan frekuensi yang merupakan selisih antara frekuensi kedua gelombang monokromatik yang membentuk gelombang bikromatik. Dengan demikian di sini akan dimanfaatkan persamaan NLS untuk menyelidiki deformasi selubung gelombang bikromatik. Dengan mengamati evolusi selubung paket gelombang tersebut secara numerik melalui persamaan NLS dapat dilihat perilaku maksimum tinggi selubung yang diperkirakan juga merupakan maksimum tinggi gelombang bikromatik itu sendiri. Dapat ditunjukkan bahwa perubahan tinggi maksimum amplitudo selubung dan periodenya dipengaruhi oleh amplitudo dan frekuensi selubung sinyal bikromatik yang dibangkitkan pada pembangkit gelombang. Organisasi pada makalah ini adalah sebagai berikut. Pada sesi berikutnya akan diturunkan model persamaan spatial Nonlinier Schrodinger yang akan digunakan pada permasalahan signaling. Sedangkan masalah signaling untuk kasus penjalaran gelombang bikromatik akan diringkaskan pada sesi 3. Sesi 4 menyajikan hasil perhitungan numerik untuk berbagai beda frekuensi dan amplitudo selubung. Tulisan ini diakhiri dengan kesimpulan pada sesi 5.. Persamaan Nonlinier Schrodinger Tinggi permukaan gelombang panjang pada suatu lapisan fluida di atas dasar rata yang menjalar pada satu arah telah dimodelkan oleh Korteweg de Vries (KdV dalam persamaan berikut [5]. η η + iω( i η = C η ( t

4 54 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al di mana Ω ( k = k tanh( k k menyatakan frekuensi, k menyatakan bilangan gelombang, C suatu konstanta, dan η( adalah elevasi gelombang dalam koordinat yang dinormalkan, yang kaitannya dengan koordinat fisik (oratorium η, x, t dinyatakan dengan transformasi η = hη, x = h t = h g t ( dengan h dan g berturut-turut menyatakan kedalaman air dan konstanta percepatan gravitasi. Berdasarkan metode perturbasi dipilih suatu solusi untuk persamaan KdV yang berbentuk 3 η x, = εη ( + ε η ( + ε η (... (3 ( 3 + di mana ε >, suatu konstanta. Penyulihan solusi (3 ke persamaan KdV ( akan menghasilkan polinom dalam ε. Dengan memandang koefisien dari polinom tersebut akan diperoleh hasil berikut.. Untuk ο(ε dihasilkan persamaan diferensial berikut η + iω( i η =. (4 t Kita dapat memilih suatu solusi khusus η ( = A ( e + c.. i( kx ω c (5 yang memenuhi persamaan (4, di mana c.c. adalah singkatan untuk kompleks sekawan (complex conjugate dan A( menyatakan selubung dari paket gelombang η, di mana ( ξ = ε( x V dan τ = ε t. Di sini A ( diasumsikan berubah secara lambat terhadap ruang dan waktu (slowly varying, dan termodulasi oleh gelombang monokromatik berfrekuensi ω = Ω(k dengan bilangan gelombang k.. Untuk ο( ε kita mempunyai persamaan diferensial η t + iω( i η = C η η f ( η,,. (6 ξ

5 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik 55 Penyulihan solusi (5 ke dalam ruas kanan persamaan (6 akan menghasilkan suatu suku yang beresonansi dengan solusi homogen persamaan (6. Untuk menghindarinya, koefisien suku tersebut dieliminasi sehingga diperoleh V = Ω (, k yang menyatakan kecepatan penjalaran dari selubung paket gelombang, dan disebut kecepatan grup. Selanjutnya persamaan (6 yang tidak lagi memuat suku resonansi diselesaikan dengan memisalkan iθ( η ( = B( e + C( + c.. (7 di mana c θ (, = k x ω t. Penyulihan solusi (7 ke persamaan (6 x tanpa suku resonansi akan menghasilkan k A ( B( ξ, = C Ω( k Ω(k 3. Pada ο( ε 3 kita mempunyai persamaan diferensial η3 η η η + iω( i η3 = C g( η,, η,. (8 t ξ Dengan menggunakan η ( dan η ( yang telah kita peroleh t t maka persamaan (8 menjadi persamaan diferensial yang ruas kanannya memuat suku resonansi. Pengeliminasian koefisien suku resonansi dan suku konstan dari ruas kanan persamaan (8 akan menghasilkan A( C ( = C Ω ( k Ω ( dan persamaan temporal-non Linier Schrodinger (temp-nls berikut ini, seperti yang seringkali kita lihat pada referensi standar. A A + iβ + iγ A A =, (9 τ ξ di mana β = Ω ( k, dan γ = C k ( σ + dengan σ σ = dan k σ =. Ω ( k Ω ( Ω( k Ω(k Dengan demikian kita telah mempunyai solusi η( dari persamaan KdV yang dinyatakan dalam A ( sebagai η( = εa ( e iθ( t + ε ( B( e iθ( + C( c. c.

6 56 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al di mana A( memenuhi persamaan (9, sedangkan B( dan C ( dapat dinyatakan dalam A(. Dalam koordinat A (, persamaan (9 dinyatakan dengan persamaan NLS A A A + V + iβ + iγ A A =. ( t Penurunan di atas menghasilkan rumusan yang sama sebagaimana dapat dilihat pada [5], [7], [8] dan [9]. Pada kajian ini kita tertarik untuk melihat perambatan signal. Dalam hal ini diketahui selubung A ( di suatu posisi tertentu,katakan pada x=, yaitu A (, = f (. Selanjutnya ingin diamati perubahan dari A (, pada posisi yang lain pada pembangkit gelombang. Untuk itu kita gunakan transformasi ξ ˆ = ε x, τˆ = ε( t x dan A ˆ = A ε untuk memperoleh V persamaan spatial NLS (selanjutnya disingkat sp-nls ˆ A Aˆ + iβ + iγ Aˆ Aˆ =, ( ˆ ξ τˆ 3 di mana β = β V dan γ = γ V (lihat [7]. Perhatikan bahwa pada persamaan (9 dan ( variabel posisi ξ atau ξ ˆ bertukar peran dengan variabel waktu τ atau τˆ. Hal ini akan dibahas lebih rinci pada bagian berikutnya. Untuk memperoleh bentuk yang lebih sederhana, persamaan spatial NLS ( dapat dinormalisasi dengan melakukan penskalaan A = γ Aˆ, ξ = ξˆ dan τ = τˆ β, sehingga diperoleh persamaan berikut A ξ + i + i A A = τ A. ( Kini kita sarikan transformasi yang telah kita lakukan dari koordinat fisis (oratorium ke koordinat persamaan spatial NLS yang dinormalkan sebagai berikut. A hε = A, γ x = h ξ, ε h β h t = τ + ξ. (3 ε g ε V g

7 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik 57 Perhatikan bahwa menggunakan sifat fungsi trigonometri, gelombang bikromatik η = cos( k x ω + cos( k x ω ( = cos( κx νcos( kx ω dengan k = k + k, ω ω = ω +, κ = k k, dan ( ( ( ν = ( ω ω, dapat dipandang sebagai paket gelombang i( kx ωt η( = A( cos( k x ω = A( e + c. c. dengan selubung A( = cos( κx ν, k = k, ω = ω. Menurut Stansberg [], bila suatu signal bikromatik dibangkitkan, maka ia akan mengalami deformasi selama penjalarannya menjauhi pembangkit gelombang yang terletak, katakan pada x =. Deformasi yang terjadi berupa pemuncakan (peaking, yakni amplitudo maksimumnya bertambah dan pemisahan paket gelombang (splitting. Fenomena peaking menarik untuk dipelajari karena berkaitan erat dengan pembangkitan gelombang ekstrim yang saat ini sangat diperlukan di oratorarium hidrodinamika. Oleh karena itu penelitian ini terkonsentrasi pada pengamatan perilaku peaking dengan mengamati dinamika dari nilai maksimum selubungnya pada suatu interval waktu tertentu di setiap posisi pada kolam pengujian (wave tank di oratorium hidrodinamika. 3. Masalah Signaling Misalkan pada pembangkit gelombang, katakan pada x=, dibangkitkan gelombang bikromatik dengan selubung A ( x =, = cos( ν. Akan diselidiki bagaimana perilaku selubung tersebut pada beberapa posisi di sepanjang wave tank. Karena di sini diketahui data sinyal gelombang bikromatik di suatu posisi, yaitu di pembangkit gelombang, dan akan diselidiki tinggi maksimum selubung sinyal gelombang di posisi yang lain maka masalah ini disebut masalah signaling [7]. Bila kita memanfaatkan persamaan temporal NLS (9 untuk menyelesaikan masalah ini maka kita melakukan kekeliruan karena pada x = koordinat yang bersesuaian pada persamaan temporal NLS adalah ξ = εv t dan τ = ε t, yang tidak memberikan syarat awal bagi penyelesaian persamaan (9 secara numerik. Di lain pihak, masalah tersebut akan menjadi masalah syarat awal bagi

8 58 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al persamaan sp-nls ( dengan A ( ξˆ =, τˆ = cos( νˆ τˆ. Pada persamaan ( maupun ( ξˆ maupun ξ berperan sebagai variabel 'waktu' dalam pengintegralan secara numerik. Dengan alasan inilah kita tidak menggunakan persamaan temporal NLS namun persamaan sp-nls untuk menyelesaikan masalah signaling. Menggunakan algoritma implicit Crank-Nicholson, secara numerik A. Suryanto [7] telah menyelesaikan masalah syarat awal untuk persamaan sp-nls yang dinormalkan ( dengan syarat awal periodik A( ξ =, τ = a cos( πτ, dengan τ [,] dan C = 3. Karena keperiodikan syarat awal tersebut maka solusi numerik masalah syarat awal tersebut periodik terhadap variabel waktu τ. Nilai a ditentukan berdasarkan persamaan (3 yang pertama, bila A x =, t = diberikan. α ( x = max A ( xl, t. (4 t Nilai ε ditentukan melalui (3 khususnya hubungan t = ε βh gτ + ε V h gξ. Periode fisis dari selubung gelombang bikromatik di x=, yaitu T = π ν berperan sebagai t. Dengan demikian diperoleh hubungan T = ε βh gtnsp + ε V h gξ. Posisi x = ab = ( 4. Tinggi Maksimum Selubung Gelombang Bikromatik dan Periodenya Memanfaatkan hasil pada [7] dan kaitan antara koordinat fisis dan koordinat sp-nls yang dinormalkan (3, dapat diperoleh nilai maksimum dari selubung paket gelombang bikromatik terhadap variabel waktu di setiap posisi pada koordinat fisis. Nilai tersebut dinyatakan sebagai bersesuaian dengan ξ = sehingga pada pembangkit gelombang diperoleh atau T βh =, ε g T Nsp βh ν g ν ε =. Nsp

9 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik 59 Di sini T dan = π masing-masing adalah periode dan frekuensi Nsp ν Nsp selubung signal bikromatik dalam koordinat yang digunakan pada persamaan sp-nls yang dinormalkan (. Selanjutnya menggunakan transformasi (3 diperoleh α( x = max A ( x, t = max c A( c ξ, c τ + c ξ di mana βh c =, ε g t h c =, ε V g l ab cτ + cξ = c 3 c = hε, dan 3 γ 3 max A( c ξ, c τ τ c ξ, c 4 = h. Setelah dilakukan ε transformasi variabel posisi dan waktu dari koordinat yang dinormalkan ke koordinat fisis dapat digambarkan grafik dari α (x. Nilai maksimum yang diperoleh merupakan nilai maksimum global karena diperoleh dengan memaksimumkan solusi numerik dari masalah syarat awal ( dengan syarat awal periodik, yang periodik pula. Perlu kiranya dicatat bahwa bergantung terhadap dan perbandingan antara dan A ν sebagaimana ditulis dalam [8] dan [9], namun belum diketahui kebergantungan α terhadap ke dua parameter tersebut. Untuk menyelidiki pengaruh amplitudo dan perbedaan frekuensi dari gelombang bikromatik terhadap α dan periode dari digunakan beberapa nilai amplitudo frekuensi ν (x (x = A ( x =, t = dan beda dari gelombang bikromatik di pembangkit gelombang. Hasilnya dapat dilihat pada tabel dan gambar-gambar berikut ini. α(x ν =,55 =, 8 maxα ( x AF = α ( Periode α x ( ν maxα( x AF = α( Periode ( x,, 38,,6,5 9,5,4,45 3,,3,35 79,65,8, 338,,55, 334,74,6,73 6,7,775,68 73, α Tabel. Pengaruh beda frekuensi dan amplitudo di pembangkit gelombang terhadap faktor amplifikasi dan periode dari maksimum tinggi selubung gelombang bikromatik

10 6 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al Gambar.a. Gambar.b. Gambar.c. Gambar.a.,.b., dan.c. berturut-turut memperlihatkan plot dari tinggi maksimum selubung α x dari gelombang air di permukaan yang di ( pembangkit gelombang berupa gelombang bikromatik dengan =, =,5,8, =,4 =.5, 8, dan =, 8. Untuk Gambar. Grafik nilai maksimum tinggi selubung signal bikromatik α x dengan memusatkan perhatian pada pengaruh amplitudo maka di sini frekuensi diambil konstan, yaitu sebesar,55. Pada tabel terlihat bahwa faktor max α( x pemuncakan / amplifikasi AF = meningkat bila nilai α( membesar, namun tidak memperlihatkan pengaruh yang berarti terhadap periode dari α( x, kecuali untuk =, 6. ( ν =.55 dan (.a. =,, (.b. =, 4 dan (.c. =,. 8 ν Gambar.a. Gambar.b. Gambar.c. Gambar. Grafik nilai maksimum tinggi selubung signal bikromatik α ( x dengan =,8 dan (.a. ν =. 55, (.b. ν =. dan (.c. ν =.6. 3

11 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik 6 Gambar.a.,.b., dan.c. berturut-turut memperlihatkan plot dari α x dengan ν =, 55, ν =,3 =, 55, dan ( ν =,6 = 4,55. Di sini amplitudo diambil konstan, yaitu sebesar,8. Dapat dilihat pada tabel bahwa faktor amplifikasi AF menurun bila ν bertambah. Demikian pula dengan periode dari α x. Ia berkurang sekitar 4 kali lipat bila nilai ( ν bertambah menjadi dua kali lipat, kecuali untuk ν =,775. Dengan demikian untuk kasus ini, dapat disimpulkan bahwa perioda spatial dari maksimum selubung α ( x adalah O (/ ν. Sebagaimana diperlihatkan pada Tabel, terdapat anomali pada hasil perhitungan perioda α x, jika besar atau ν kecil. Grafik dari ( α( x untuk =. 6 dengan ν =, 55 dan =.8 dengan ν =,775 untuk kasus ini disajikan pada gambar 3. berikut ini. Bandingkan garfik 3.a dengan grafik-grafik pada Gambar dan grafik 3.b. dengan grafik-grafik pada Gambar ; grafik 3.a menunjukkan adanya pengaruh ampitudo selubung terhadap perioda sedangkan grafik 3.b. menunjukkan bahwa jika α ( x bukan lagi O(/ ν. α ( x, jika cukup besar ν cukup kecil, perioda Gambar 3.a. Gambar 3.b. Gambar 3. Grafik dari α x untuk (3.a. =. 6, ν ( dan (3.b. =.8, ν =,775 =,55

12 6 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, et.al 5. Kesimpulan Telah dilakukan penghitungan nilai maksimum dari selubung gelombang bikromatik sepanjang towink tank secara numerik. Dari hasil ini dapat diketahui posisi di mana terjadinya pemuncakan / amplifikasi elevasi permukaan air yang maksimum. Telah diselidiki pula pengaruh amplitudo dan perbedaan frekuensi gelombang bikromatik di pembangkit gelombang terhadap besarnya faktor amplifikasi dan periode dari nilai maksimum tinggi selubung gelombang bikromatik. Ditemukan bahwa besarnya faktor amplifikasi berbanding lurus dengan amplitudo dan berbanding terbalik dengan besarnya perbedaan frekuensi. Bentuk kebergantungan faktor amplifikasi terhadap amplitudo dan perbedaan frekuensi tersebut perlu dikaji lebih lanjut. Jika tidak terlalu besar dan ν tidak terlalu kecil, maka periode spatial dari nilai maksimum tinggi selubung gelombang bikromatik α x berbanding terbalik dengan kuadrat dari perbedaan frekuensi ( gelombang bikromatik di pembangkit gelombang, lagi benar untuk cukup besar atau O(/ ν. Hal ini tidak ν cukup kecil. Hasil perhitungan numerik menunjukkan adanya pengaruh kedua besaran tersebut pada perioda. Merupakan hal yang menarik untuk membahas α(x kebergantungan perioda α x ini terhadap kedua besaran dan ν. ( Telaah ini akan sangat bermanfaat pada pembangkitan gelombang ekstrim di oratorium hidrodinamika. Studi berikutnya akan mengkaji kebergantungan ini secara seksama. Pustaka. Stansberg, C., On the Nonlinear Behaviour of Ocean Wave Groups, Proc. Waves '97,, 7 (997.. Westhuis, J.H., The Numerical Simulation of Nonlinear Waves in a Hydrodynamic Model Test Basin, PhD Thesis in University of Twente, the Netherlands, (. 3. Groesen, E. van, Andonowati, Soewono, E, Non-linear effects in bichromatic surface waves, Proc. Estonian Acad. Sci., Mathematics and Physics, 48, 6, (999.

13 Tinggi Maksimum Paket Gelombang Bikromatik Groesen, E. van, Karyanto, N., Peterson, P., Andonowati, Wave dislocation and non-linear amplitude amplification for extreme fluid surface waves, submitted to Physical Letters A. 5. Groesen, E. van, Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models, J. Eng. Math., 34, 5 ( Kusumawinahyu, W.M., Soewono, E., Phase Portrait Identification of Soliton Interactions of Truncated Korteweg-de Vries Euation, MIHMI, Vol. 4 No., ( Groesen, E. van, Aspects of On-Going Research on Bichromatics Wave Trains, informal paper for LABMATH-meeting 4 February at ITB, Bandung. 8. Cahyono, E. Analitical Wave Codes for Predicting Surface Waves in a Laboratory Basin, PhD Thesis, University of Twente, the Netherlands,(. 9. Nusantara, T., Paket Gelombang Tak Linear dari Persamaan Gelombang Permukaan, Thesis Program Doktor, ITB, (.