INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN KAIDAH SIMPSON. Makalah. Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik. yang dibimbing oleh

Transkripsi

1 INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN KAIDAH SIMPSON Maalah Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numeri yang dibimbing oleh Dr. Nur Shofianah Disusun oleh: M. Adib Jauhari Dwi Putra Zulfiana S. Aib Danang Indrajaya PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015

2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI...2 BAB I PENDAHULUAN Rumusan Masalah Tujuan...4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA...5 Deret...5 Interpolasi...5 Integral...6 Teorema Weierstrass...11 BAB III PEMBAHASAN Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Perbaian Kaidah Simpson Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif...23 BAB IV KESIMPULAN...30 DAFTAR PUSTAKA...31 LAMPIRAN...32 Flow Chart...32 Source code program (MATLAB)

3 BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belaang Integral merupaan salah satu dari dua poo bahasan matematia yang paling mendasar di samping turunan. Secara umum, integral dienal sebagai anti turunan. Konsep integral digunaan dalam menghitung masalah-masalah pada bidang sains maupun teni, misalnya dalam bidang fisia, imia, transportasi, dan lain-lain. Tida setiap fungsi dapat diintegralan secara analiti. Sering ali ditemui fungsi yang sulit atau bahan tida dapat dicari penyelesaiannya menggunaan cara analiti. Untu mencari nilai integral tersebut digunaan cara numeri, sehingga dapat dietahui nilai hampirannya. Berbagai metode dengan berbagai pendeatan yang berbeda telah diciptaan untu menentuan solusi persoalan integral dengan menggunaan cara numeri. Salah satu pendeatan numeri dalam menyelesaian persoalan integral adalah pendeatan berdasaran polinom interpolasi. Pada pendeatan ini, fungsi integran dihampiri dengan polinom, arena suu-suu polinom lebih mudah untu diintegrasian. Integran yang dideati dengan polinom interpolasi Lagrange yaitu metode Newton Cotes. Metode ini menggunaan titi-titi yang berjara sama. Jadi untu memperoleh nilai aprosimasi yang mendeati nilai esa, interval dibagi menjadi sub interval yang sangat ecil. Hal ini membutuhan watu yang sangat lama, sehingga metode ini urang efisien. Untu mengatasi masalah ini diciptaan metode yang lebih efisien yaitu uadratur adaptif. Kuadratur adaptif merupaan sema integrasi yang menyesuaian panjangnya sub interval pada perilau loal dari integrannya (Conte dan Boor, 1992). Dalam mengevaluasi integrannya cuup dipilih sub interval yang tepat dan uurannya tida harus sama, sehingga dapat meminimalan jumlah sub interval. Karena itulah metode uadratur adaptif memerluan watu yang lebih cepat untu mengevaluasi nilai integral dan memilii nilai pendeatan yang bai terhadap nilai esanya. Pada maalah ini dibahas mengenai metode integrasi dengan uadratur adapatif berdasaran aidah Simpson beserta contoh perhitungannya. 3

4 1.2.Rumusan Masalah Berdasaran latar belaang yang telah dipaparan, maa dapat dirumusan permasalahan sebagai beriut. 1. Bagaimana langah-langah integrasi numeri pada metode uadratur adaptif dengan aidah Simpson? 2. Bagaimana penerapan aidah uadratur Adaptif dalam menyelesaian masalah integral? 1.3.Tujuan Tujuan dalam maalah ini adalah sebagai beriut. 1. Mengetahui langah-langah integrasi numeri pada metode uadratur adaptif dengan aidah Simpson. 2. Mengetahui penerapan aidah uadratur Adaptif dalam menyelesaian masalah integral. 4

5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Deret Definisi 1 Misalan * + adalah barisan, maa adalah deret ta hingga. Jumlahan parsial e- adalah. Deret ta hingga diataan onvergen jia dan hanya jia barisan * + onvergen e limit, yaitu Jia deret tida onvergen, maa disebut sebagai deret divergen. (Mathews dan Fin, 1999) Teorema 2 (Teorema Taylor) Diasumsian bahwa, - dan misalan, -, maa untu setiap, terdapat bilangan (nilai dari bergantung pada nilai ) yang terleta antara dan sedemiian sehingga di mana dan (Mathews dan Fin, 1999) 2.2. Interpolasi Interpolasi merupaan metode menghasilan titi-titi data baru dalam suatu jangauan dari suatu barisan disret data-data yang dietahui. Definisi 3 Andaian. Misalan, bilangn real berbeda, dan bilangn real. Polinom didefisian oleh 5

6 dengan, didefinisian oleh etia, dan etia, disebut polinom interpolasi Lagrange berderajat untu himpunan dari titi-titi * +. Bilangan, disebut titi-titi interpolasi. (Suli dan Mayers, 2003) Seringali, bilangan real diberian sebagai nilai dari fungsi bernilai real yang didefinisian pada interval tertutup, - di titi-titi interpolasi yang berbeda, -,. Definisi 4 Misalan. Diberian fungsi bernilai real, terdefinisi dan ontinu pada interval tertutup, -, dan titi-titi interpolasi, -,, polinom didefinisian oleh adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat (dengan titi interpolasi, ) untu fungsi. (Suli dan Mayers, 2003) 2.3. Integral Dalam sub bab ini dijelasan mengenai integral ta tentu, aturan pangat yang diperumum, integral tentu, integrasi numeri, dan teorema-teorema yang beraitan dengan integral Anti Turunan (Integral Ta Tentu) Definisi 5 Kita sebut suatu anti turunan dari pada selang jia pada yani, jia untu semua dalam. Jia suatu titi ujung dari, hanya perlu berupa turunan satu sisi. (Purcell dan Varberg, 1990) 6

7 Teorema 6 (Aturan Pangat). Jia adalah sebarang bilangan rasional ecuali, maa Buti. Untu mengembangan suatu hasil berbentu (Purcell dan Varberg, 1990) cuup dengan membutian Dalam asus ini,, Teorema 7 (Kelinearan dari ) Andaian dan mempunyai anti turunan (integral ta tentu) dan andaian suatu onstanta maa: (i) ; (ii), - ; dan (iii), -. (Purcell dan Varberg, 1990) Aturan Pangat yang Diperumum Jia adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialan dan adalah suatu bilangan rasional, maa * + atau dalam cara penulisan fungsional, (, - ), - Dari sini ita peroleh suatu aturan penting untu integral ta tentu (Purcell dan Varberg, 1990). 7

8 Teorema 8 (Aturan Pangat yang Diperumum) Andaian suatu fungsi yang dapat didiferensialan dan suatu bilangan rasional yang buan, maa, -, - (Purcell dan Varberg, 1990) Integral Tentu Definisi 9 (Integral Tentu) Andaian suatu fungsi yang didefinisian pada selang tertutup, -. Jia ada, ita ataan terintegralan pada, -. Lebih lanjut, disebut integral tentu (integral Riemann) dari e, diberian oleh (Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 10 (Teorema Keterintegralan) Jia terbatas pada, - dan ontinu pada interval tersebut ecuali pada sejumlah terhingga titi, maa terintegralan pada, -. Khususnya, jia ontinu pada seluruh selang, -, maa terintegralan pada, -. (Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 11 (Teorema Dasar Kalulus I) Andaian ontinu (arenanya terintegralan) pada, - dan andaian sebarang anti turunan dari pada interval tersebut maa (Purcell dan Varberg, 1990) 8

9 Buti. Andaian adalah partisi sebarang dari, -, diperoleh, - Menurut Teorema Nilai Rata-rata untu turunan yang diterapan pada selang, -, ( ) ( ) untu suatu pilihan dalam selang terbua. Jadi, pada ( ) Pada ruas iri ita mempunyai sebuah onstanta, sedangan pada ruas anan ita mempunyai jumlah Riemann untu pada, -. Bilamana edua ruas diambil limitnya untu, diperoleh ( ) Teorema 12 (Kelinearan Integral Tentu) Andaian bahwa dan terintegralan pada, - dan bahwa onstanta, maa dan terintegralan dan (i), (ii), -, (iii), -. (Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 13 (Teorema Nilai Rata-rata Integral) Jia diasumsian, -, maa terdapat bilangan, dengan, sedemiian sehingga 9

10 Nilai adalah nilai rata-rata dari pada interval, -. (Mathews dan Fin, 1999) Teorema 14 (Teorema Nilai Rata-rata Integral Berbobot) Diasumsian, - dan untu, -, maa terdapat bilangan, dengan, sedemiian sehingga (Mathews dan Fin, 1999) Integrasi Numeri Misalan fungsi bernilai real, terdefinisi, dan ontinu pada interval real tertutup, -, dan andaian ita menasir integral Oleh arena polinom mudah diintegralan, maa fungsi polinom interpolasi Lagrange berderajat. Jadi diaprosimasi oleh (2.2) Untu bilangan bulat, misalan,, menotasian titi-titi interpolasi. Kita aan mengasumsian bahwa terdapat jara yang sama, yaitu di mana Polinom irterpolasi Lagrange berderajat untu fungsi adalah di mana 10

11 Selanjutanya, masuan e persamaan (2.2), diperoleh (2.3) di mana (2.4) Kaidah uadratur numeri (2.3) dengan bobot uadratur (2.4) disebut rumus Newton-Cotes dengan orde (Suli dan Mayers, 2003). Jia ita ambil, sehingga,, maa polinom interpolasi Lagrange berderajat untu fungsi adalah, - Jia diintegralan dari e dan mengingat (2.2) diperoleh Integrasi numeri ini disebut aidah Trapesium (Suli dan Mayers, 2003). Jia ita ambil, sehingga,, dan fungsi diaprosimasi oleh polinom interpolasi uadrati, maa diperoleh ( ) Integrasi numeri ini disebut aidah Simpson (Suli dan Mayers, 2003) Teorema Weierstrass Teorema 15 (Teorema Aprosimasi Weierstrass) Jia ontinu untu dan maa terdapat polinom di mana 11

12 Buti. Dengan tida mengurangi umumnya pembutian, dimisalan, -, - dan Sebab, jia teorema ini telah dibutian untu eadaan ini, maa fungsi dengan adalah ontinu jia ontinu pada, -. Di sini. Jia dapat dideati secara seragam oleh barisan suu banya, maa demiian juga dengan, sebab suatu suu banya yani Selanjutnya dengan mendefinisian bernilai nol untu di luar selang tertutup, -, dibentu fungsi suu banya dalam di mana dipilih sehingga (2.5) Selanjutnya untu berlau etidasamaan Bernoulli yang dapat dibutian dengan indusi matematia, atau dengan mengambil turunan fungsi di mana dan untu, sehingga diperoleh Dengan memperhatian (2.5), diperoleh 12

13 Jadi Dengan demiian aan mengaibatan bahwa untu setiap berlau (2.6) Karena barisan onvergen e nol, maa barisan fungsi onvergen seragam e fungsi nol pada Selanjutnya untu dibentu suu banya dalam Karena untu di, -, maa dengan mensubstitusi diperoleh yang memperlihatan bahwa suatu suu banya derajat dalam, yang real apabila fungsi real. Selanjutnya aan dibutian bahwa seragam pada, -. Diberian Karena ontinu seragam pada, -, dan untu, - maa ontinu seragam pada. Jadi terdapat sehingga untu berlau Misalan. Karena, mengingat (2.5) dan (2.6), maa untu, berlau 13

14 arena untu, maa terdapat, sehingga untu berlau Jadi untu semua dan semua, - berlau sehingga seragam pada, -. (Soemantri, 2000) 14

15 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Kuadratur adaptif merupaan sema integrasi yang menyesuaian panjang sub interval pada perilau loal integrannya. Dalam pembahasan maalah ini integrasi uadratur adaptif berdasar pada aidah Simpson. Kaidah Simpson pada sub interval, - dirumusan sebagai beriut. ( ) (3.1) di mana adalah pusat dari, - dan. Kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.1) ditentuan dengan persamaan beriut ini ( ) (3.2) Oleh arena, maa dan. Selanjutnya,,, masing-masing diespansian e dalam deret Taylor di seitar, sehingga diperoleh 4 x a 4 f a 2 3 x a x a f x f a x a f a f a f a 2! 3! ' '' ''' 4! 2 3 h h f c f a h f a hf a f a f a 2! 3! ' '' ''' 4 h f 4 a 4! 2 3 4h 8h f b f a h f a hf a f a f a 2! 3! 4 16h 4 f a. 4! ' '' ''' 2 2 (3.3) (3.4) (3.5) 15

16 Persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5) disubstitusian e dalam persamaan (3.2), sehingga diperoleh E ( h, f ) 2 3 a 2h f a x a f a f a f a 1 4 a ( x a ) ( x a ) ( x a ) ' " '" 2! 3! dx (4) f ( a ) 4! h h h h (4) f ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) 3 2! 3! 4! h 4h 8h 16h (4) f ( a ) 2 hf '( a ) f "( a ) f "'( a) f ( a) 3 2! 3! 4! 2 3 (2 h) (2 h) ( a 2 h) f ( a ) f '( a ) f "( a ) 2 6 E1 ( h, f ) a f a (2 h) (2 h) (4) f "'( a) f ( a) h h (4) 6 f ( a ) 6 hf '( a ) 4 h f "( a ) 2 h f "'( a ) f ( a ) h 2h 32h (4) E1 ( h, f ) 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) h 2h 20h (4) 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) h (4) 20h (4) E1 ( h, f ) f ( a) f ( a) (4) E1 ( h, f ) h f ( a ) (3.6) 5 f(4)( d1) h, 90 untu, -. Jadi dapat disimpulan, jia, -, maa terdapat, - sedemiian sehingga (3.7) (Mathews dan Fin, 1999) 16

17 3.2. Perbaian Kaidah Simpson Untu menggunaan aidah Simpson gabungan yang menggunaan empat sub interval pada interval, -, dapat dilauan dengan membagi interval tersebut menjadi dua sub interval yang sama yaitu, - dan, - dan mengapliasiannya e dalam persamaan (3.1). Aibatnya uuran langah pada aidah Simpson gabungan adalah, sehingga diperoleh ( ) ( ) (3.8) di mana,,, adalah titi tengah dari, -, dan adalah titi tengah dari, -. Persamaan untu menghitung nilai esalahan pemenggalan pada persamaan (3.8) adalah sebagai beriut ( ) (3.9) ( ) Oleh arena, maa,,, dan. Selanjutnya,,,,,, dan masing-masing diespansian e dalam deret Taylor di seitar. Sebelumnya telah diperoleh espansi deret Taylor untu,,, dan yaitu seperti pada persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5). Sehingga espansi deret Taylor untu dan adalah 17

18 Espansi deret Taylor,,,,, dan disubstitusian e dalam persamaan (3.9). Dengan cara yang sama seperti (3.6) sehingga diperoleh esalahan pemenggalan a h h h E2 ( h, f ) f ( x) dx ( f ( a ) 4 f ( c ) ) ( 4 ) 1 f b 1 f a 1 f c 2 f b a 2 3 (2 h) (2 h) a 2 h f ( a ) f '( a ) f "( a ) 2 6 h E2( h, f ) a f a f a 1 (2 h) (2 h) 6 (4) f "'( a) f ( a) h h h 2h h f ( c ) f ( b ) 1 f a 1 f c 2 f b h 2h 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'( a ) 3 3 h E2( h, f ) f ( a ) 5 32h (4) 6 f ( a ) h h h 2h f (4) ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) 3 2 2! 3! 4! 18

19 2 3 (4) h h h h (4) f ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) 6 2! 3! 4! 2 3 (4) h h h h (4) f ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) 6 2! 3! 4! h h h 2h f (4) ( a ) hf '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) 3 2 2! 3! 4! 4h 2h 32h (4) E2( h, f ) 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) h 2h 77h (4) 2 hf ( a ) 2 h f '( a ) f "( a ) f "'( a ) f ( a ) untu, -. Sehingga dapat disimpulan bahwa, jia, -, maa terdapat, - sedemiian sehingga (3.10) ( Jia diasumsian bahwa ) ( ), maa sisi sebelah anan pada persamaan (3.7) dan (3.10) digunaan untu memperoleh hubungan sebagai beriut ( ) 19

20 ( ) Selanjutnya persamaan (3.11) disubstitusian e persamaan (3.10) untu memperoleh tasiran esalahan dan hasilnya. (3.11) ( ) ( ) (Mathews dan Fin, 1999) Berdasaran pada hasil di atas, apabila diasumsian bahwa toleransi esalahan integral adalah pada interval, -. Jia (3.12) maa dapat diataan bahwa Sehingga aprosimasi integral uadratur adapatif berdasaran aidah Simpson gabungan (3.8) pada interval, - adalah 20

21 dengan batas esalahan (error). Nilai aprosimasi aan mendeati nilai esa jia sangat ecil Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson Langah-langah perhitungan integral numeri dengan metode uadratur adaptif yang diterapan pada aidah Simpson adalah sebagai yang pertama, dietahui *, - +, di mana adalah toleransi untu uadratur numeri pada, -. Interval diperhalus atau dibagi menjadi dua sub interval, yaitu, - dan, -. Jia uji etelitian pada (3.12) dipenuhi, maa persamaan uadratur (3.8) diterapan pada, - dan dilauan proses perhitungan. Jia uji pada (3.12) gagal, maa interval, - menjadi dua sub interval yaitu, - dan, - dengan toleransi masing-masing dan. Sehingga diperoleh dua interval dengan toleransi yang berhubungan untu pengujian selanjutnya, *, - + dan *, - +, di mana. Jia uadratur adaptif harus dilanjutan, interval yang lebih ecil harus diperhalus dan diuji, masing-masing dengan toleransi yang berhubungan. Langah edua yaitu, perhatian *, - +. Perhalus interval, - menjadi, - dan, -. Jia, - dan, - memenuhi uji etelitian (3.12) dengan toleransi maa persamaan uadratur (3.8) diterapan pada, - dan etelitian telah dicapai pada interval ini. Jia tida memenuhi uji etelitian pada (3.12) dengan toleransi, maa masing-masing interval, - dan, - harus diperhalus dan diuji pada langah etiga dengan meredusi toleransi menjadi. Selanjutnya perhatian interval *, - +. Perhalus interval, - menjadi, - dan, -. Jia, - dan, - memenuhi uji etelitian pada (3.12) dengan toleransi maa persamaan uadratur (3.8) diterapan pada, - dan etelitian telah dicapai pada interval ini. Jia tida memenuhi uji etelitian pada (3.12) dengan toleransi, maa masing-masing interval, - dan, - harus diperhalus dan diuji pada 21

22 langah etiga dengan meredusi toleransi menjadi. Oleh arena itu, pada langah edua diperoleh tiga atau empat interval, yang ita beri label embali dengan teratur. Tiga interval yang dihasilan tersebut adalah {*, - + *, - + *, - +}, di mana. Pada asus dengan empat interval, ita aan memperoleh {*, - + *, - + *, - + *, - +}, di mana. Jia uadratur adaptif dilanjutan, interval yang lebih ecil harus diuji, masing-masing dengan toleransinya yang berhubungan. Untu secara ringasnya, diberian algoritma sebagai beriut: 1. Mulai {[ ] }, 2. Perhalus menjadi sub interval [ ] dan [ ], 3. Uji etelitian i. Jia dipenuhi, diterima dan dilauan perhitungan beriutnya, ii. Jia gagal, [ ] dibagi menjadi dua sub interval yaitu [ ] dan [ ], sehingga {[ ] } dan {[ ] } di mana dan, 4. Lauan langah 2-3 pada masing-masing {[ ] } dan {[ ] }, 5. Ulangi sampai tida ada interval yang gagal dalam uji etelitian, 6. Aprosimasi nilai integralnya adalah untu yang diterima. 22

23 3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif Contoh 1 Dengan menggunaan uadratur adaptif, carilah aprosimasi terhadap integral tepat sampai suatu esalahan. Jawab Jia diselesaian secara analiti, nilai integral tersebut adalah Selanjutnya, digunaan udratur adaptif untu mendeati integral tersebut. Pertama, ita terapan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval, -, diperoleh ( ) Interval, - dibagi menjadi dua sub interval untu diterapan pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1. ( ) ( ) 23

24 Selanjutnya diuji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitiannya gagal, maa interval, - dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Kemudian terapan interval 0 1 terlebih dahulu pada persamaan (3.1) dan (3.8), diperoleh ( ) Interval 0 1 dibagi menjadi dua sub interval untu menerapannya pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1. ( ) ( ) Selanjutnya uji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitian dipenuhi, maa diterima dan dilauan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh 24

25 ( ) Interval 0 1 dibagi menjadi dua sub interval untu menerapannya pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1. ( ) ( ) Selanjutnya diuji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitiannya gagal, maa interval 0 1 dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Dengan cara yang sama dan menerapan (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh dan 25

26 Selanjutnya diuji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitian dipenuhi, maa diterima dan dilauan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh dan Selanjutnya uji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitiannya gagal, maa interval 0 1 dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Kemudian terapan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh 26

27 dan Selanjutnya uji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitian dipenuhi, maa diterima dan dilauan proses perhitungan selanjutnya. Dengan cara yang sama dan menerapan (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1 diperoleh dan Selanjutnya uji etelitiannya dengan toleransi. Oleh arena uji etelitian dipenuhi, maa diterima. Jadi diperoleh 27

28 Karena nilai integral secara analiti diperoleh, maa Jadi aprosimasi terhadap memenuhi riteria toleransi yang diinginan. Contoh 2 Tentuan nilai integral dari Jawab: Jia diselesaian secara analiti, nilai integral tersebut adalah 28

29 Jia menggunaan pendeatan numeri dengan metode uadratur adaptif, diperoleh hasil seperti pada tabel beriut ini. Toleransi awal Tabel 3.1 Galat 92, , , , , , , , , , Dari asus diatas diperoleh bahwa hasil integrasi dengan aidah uadratur adaptif menunjuan hasil pendeatan yang bai, arena integral dievaluasi dengan menyesuaian perilau loal integrannya. Semain rcil nilai toleransi awalnya maa nilai galatnya semain ecil, sehingga nilai aprosimasinya semain bai, hanya saja diperluan iterasi yang lebih banya lagi. 29

30 BAB IV KESIMPULAN Berdasaran pada hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat diperoleh beberapa esimpulan, yaitu 1. Metode uadratur adaptif merupaan sema integrasi numeri yang perhitungannya menyesuaian pada perilau loal dari integrannya. Sehingga panjang sub interval pada metode uadratur adaptif tida selalu sama tergantung pada integrannya. 2. Ketepatan metode ini bergantung pada nilai toleransi awal, semain ecil nilai toleransi awal, nilai aprosimasi mendeati nilai esa, artinya semain bai nilai aprosimasinya 3. Metode uadratur adaptif dengan aidah simpson merupaan metode yang sangat bai untu mengaprosimasi nilai integral. 30

31 DAFTAR PUSTAKA Conte, S.D. dan Boor, C.D Dasar-dasar Analisis Numeri: Suatu Pendeatan Algoritma. Erlangga. Jaarta. Levy, D Introduction to Numerical Analysis. Department of Mathematics and Center Scientific Computation and Mathematical Modelling (CSCMM) University of Maryland. United States. Mathews, J.H. dan K.D. Fin Numerical Method Using Matlab, Third Edition. Prentice Hall. United States. Munir, R Metode Numeri. Informatia. Bandung. Purcell, E.D. dan D. Varberg Kalulus dan Geometri Analitis, Jilid I (Terjemahan, B. Kartasasmita). Erlangga. Jaarta. Soemantri, R Analisis Real I. Pusat Penerbitan Universitas Terbua. Jaarta. Suli, E. dan D. Mayers An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. Cambridge. 31

32 Flow Chart LAMPIRAN Mulai *,a b - ε + Bagi 2 sub interval [a b ] dan [a b ], ε ε NO S(a b ) S(a b ) S(a b ) ε YES N I (S(a b ) S(a b )) SELESAI 32

33 Source Code Program (MATLAB) function [I,err,iflg]=adpsim(a,b,tol,fun) % implementasi adaptif uadratur Simpson % Masuan integrand,fun. % a,b :Batas integrasi,tol:toleransi eror absolute % errest: estimasi error % iflg: Modus pengembalian, memberian jumlah subinterval di mana % jumlah masimum ( levmax = 10 ) dari terbagi dua diperluan dan % nilai diterima secara default. Semain besar iflg, epercayaan semain % berurang % harus memilii nilai yang dihitung, y. % nofun: jumlah fungsi yang dievaluasi % inisialisasi I=0;iflg=0;jflg=0;err=0;levmax=20; fsave=zeros(levmax,3);xsave=zeros(levmax,3);simp=zeros( levmax); a=input('a='); b=input('b='); tol=input('toleransi awal='); %fun=@(x)sqrt(x); %integrand fun=@(x)(sin(x))^2; %integrand tol2=tol+10*eps; tol1=tol2*15/(b-a); x=a:(b-a)/4:b; for j=1:5 end level=1; f(j)=feval(fun,x(j)); %level=0 berarti seluruh interval tertutup, maa selesai while level>0 for =1:3 fsave(level,)=f(+2); 33

34 xsave(level,)=x(+2); end h=(x(5)-x(1))/4; simp(level)=(h/3)*(f(3)+4*f(4)+f(5)); if jflg<=0 s1=2*(h/3)*(f(1)+4*f(3)+f(5)); end sl=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3)); s2=sl+simp(level); d=abs(s1-s2); if d<=tol1*4*h level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; if level<=0 fprintf('nilai integral= %.10f \n',i) return end for j=1:3 jj=2*j-1; f(jj)=fsave(level,j); x(jj)=xsave(level,j); end else level=level+1; s1=sl; if level <= levmax jflg=1; f(5)=f(3);f(3)=f(2); 34

35 end end x(5)=x(3);x(3)=x(2); else iflg=iflg+1; level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; end for =1:2 =2*; x()=.5*(x(+1)+x(-1)); f()=feval(fun,x()); end 35