BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI YANG TIDAK LINIER DENGAN ANALISIS REGRESI FOURIER

Transkripsi

1 BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI YANG TIAK LINIER ENGAN ANALISIS REGRESI FOURIER 3.1 Pengantar Model ARIMA digunaan untu analisis data deret watu pada ategori data berala tunggal, atau sering diategorian model-model univariate. Untu data-data dengan ategori deret berala berganda (multiple), tida bisa dilauan analisis menggunaan model ARIMA, oleh arena itu diperluan model-model multivariate. Model-model yang masu elompo multivariate analisisnya lebih rumit dibandingan dengan model-model univariate. Pada model multivariate sendiri bisa dalam bentu analisis data bivariat (yaitu, hanya data dua deret berala) dan dalam bentu data multivariate (yaitu, data terdiri lebih dari dua deret berala). Salah satu model multivariate yaitu: Analisis Regresi Fourier. Sebagai ilustrasi, beriut ini merupaan beberapa contoh masalah regresi Fourier: Bidang Pertanian Misalan dietahui bahwa terdapat hubungan tida linier antara umlah taraf pemupuan Phospat pada suatu lahan pertanian sebagai variabel bebas X dengan produsi padi yang dihasilan suatu lahan pertanian tersebut sebagai variabel teriat Y. Secara umum produsi padi aan meningat cepat bila pemberian Phospat ditingatan dari taraf rendah e taraf sedang. Tetapi etia pemberian dosis Phospat diterusan hingga taraf tinggi, maa tambahan dosis Phospat tida lagi diimbangi enaian hasil, sebalinya teradi penurunan hasil. 6

2 63 Bidang Pengairan Misalan dietahui bahwa terdapat hubungan tida linier antara umlah elarutan osigen pada suatu sungai sebagai variabel bebas X dengan ualitas air yang dihasilan suatu sungai tersebut sebagai variabel teriat Y. Secara umum ualitas air aan semain bai bila elarutan osigen meningat dari taraf rendah e taraf sedang. Tetapi etia elarutan osigen terus meningat hingga taraf tinggi, maa peningatan elarutan osigen tida lagi diimbangi enaian hasil, sebalinya teradi penurunan hasil. Berdasaran beberapa ilustrasi di atas, maa masalah regresi Fourier didefinisian sebagai beriut : efinisi 3.1 : Misalan dietahui bahwa X dan Y mempunyai hubungan tida linear (diasumsian x dietahui) N ( ) ( α cos ( π ) β sin ( π )) ε [ 3.1] Y = f X = m + x + x + = 1 Jia terdapat nilai dari Y, ataanlah y yang tida dietahui dan nilai dari X (atau sampel aca beruuran N dengan titi untu nilai dari X ) yang berorespondensi dengan y dapat diamati, maa masalah untu menentuan nilai y disebut sebagai masalah regresi Fourier (Thibos, 1993; ; 3). 3. Asumsi Statistia Untu memerisa pengaruh dari noise terhadap oefisien Fourier, harus dietahui sesuatu tentang sifat dasar statistia dari proses noise. ari berbagai

3 64 macam enis noise yang teradi sebenarnya, hal yang paling sederhana dan mudah dieraan dari inti matematia ada dua sifat: 1. Noise bersifat additive. engan ata lain, seperti yang diindiasian pada persamaan [3..1], nilai sampel sama dengan umlah linier dari signal yang berupa sampel dan noise. ( v1 v v3 vn ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) v =,,,..., = ( 1 3 N ),,,..., [3..1] ( f ( x1 ) n1 f ( x ) n f ( x3 ) n3 f ( xn ) nn ) v = +, +, +,..., + [3..]. Setiap sampel dari noise n independent dari proses noise (atau populasi) mean nol dan variansi σ. Untu tuuan dari pengantar pembahasan ini, aan diasumsian bahwa edua ondisi tersebut terpenuhi. Satu impliasi dari edua asumsi tersebut adalah noise yang dietahui bersifat independent dari signalnya. engan ata lain, noise tida aan bertambah besar atau ecil arena hanya signal bertambah besar atau ecil. Impliasi lainnya adalah bahwa tiap sampel dari noise bersifat independent secara statistia dari semua nilai noise yang lain dan sebelumnya tergambaran dari populasi yang mempunyai sifat statistia seperti semua sampel lainnya. Artinya, pada argon statistiawan, nilai noise n disebut random variabel dan umpulan dari semua random variabel ini diataan independent dan berdistribusi identi. Hal ini berlawanan dengan asus dimana, dielasan, noise bertambah besar pada ahir percobaan dari awal percobaan yang melanggar asumsi bahwa noise itu

4 65 berdistribusi identi. Contoh hal yang tida independent aan teradi ia nilai noise dengan watu t bergantung pada noise di t 1 beberapa watu sebelumya. Karena setiap titi sampel v pada data vetor diasumsian sebagai umlah dari signal f(x ) dan sampel n dari noise, ini berarti bahwa v sebenarnya merupaan random variabel. Selain itu, arena noise mempunyai mean nol dan noise bersifat additive, itu mengaibatan bahwa mean dari v sama dengan f(x ). engan ata lain, arena signal diasumsian sebagai noise-free, variansi v sama dengan variansi σ dari noise. Kita tulisan esimpulan matematianya sebagai beriut ( ) ( sampel = signal + noise) ( ) ( ) ( ) σ v = f x + n v = f x Var v mean sampel = signal [3..3] = ( variansi sampel = variansi noise) 3.3 Mean dan Variansi Koefisien Fourier untu Signal Noise Mengingat embali dari persamaan [.3.7.6] dan [.3.7.7] bahwa oefisien Fourier yang diperoleh untu data vetor v dinyataan sebagai fungsi basis trigonometri berupa 1 π x a = v cos θ... θ = L = = [ ] 1 π x b = v sin θ... θ = L [ ] dan untu fungsi basis omples esponensial oleh 1 1 π x c = v exp i... =.3.7.7a L = ( θ ) θ [ ]

5 66 Searang berdasaran persamaan [3..3] tiap data vetor adalah umlah signal vetor ditambah noise vetor. Ini artinya bahwa oefisien yang dihitung oleh persamaan [.3.7.6,.3.7.7] dapat dianggap sebagai estimasi oefisien Fourier sebenarnya dari signal tunggal. Untu melihat hal ini, substitusian persamaan [3..3] e dalam [.3.7.6] untu mendapatan 1 ( ( ) ) aˆ = f x + n cos θ = = + = a + ε 1 1 f ( x ) cos θ n cos θ [ 3.3.1] = = imana variabel â adalah nilai perhitungan oefisien Fourier. Hasil ini menyataan bahwa â adalah estimasi oefisien a yang sebenarnya dengan errrornya dinyataan oleh ε. Hasil yang sama digunaan pada oefisien sinus. Hasil yang bersesuaian untu oefisien omples adalah 1 ( ( ) ) ( θ ) 1 cˆ = f x + n exp i = 1 1 = + = c + ε 1 1 f ( x ) exp( iθ ) n exp ( iθ ) [ 3.3.] = = Langah selautnya adalah menyelidii sifat statistia dari estimasi oefisien Fourier. Karena estimasi ini dinyataan sebagai umlah uantitas deterministi a dan random variabel ε, perlu memfousan penyelidian pada bentu random error. ari teori probabilitas dietahui bahwa ia Y merupaan random variabel dengan mean µ dan variansi σ, dan ia s merupaan onstanta

6 67 salar, maa random variabel yang baru Z=sY dengan mean s µ dan variansi s σ. Ini mengaibatan bahwa bentu umum ( )( ) cos θ n pada persamaan [3.3.1] adalah random variabel dengan mean dan variansi ( ) ( ) cos θ σ. Hasil lainnya dari teori probabilitas adalah ia Y dan Z independent, random variabel berdistribusi identi dengan masing-masing mean µ, v dan variansi τ, maa random variabel yang baru W=Y+Z dengan mean µ + v dan variansi σ + τ. Singatnya, mean umlah dan variansi umlah. Penggunaan hasil ini pada penyaian ahir edua persamaan [3.3.1] lihat bahwa ε adalah umlah dari random variabel, masing-masinya memilii mean dan variansi ( ) 4σ cos θ, aibatnya variansi dari ε adalah 4σ Var ε cos σ cos 1 1 = = θ = = ( ) ( ) ( θ ) 4σ σ = = untu σ 4σ = = untu = [ ] Penyederhanaan persamaan [3.3.3] berdasaran fatanya bahwa panang uadrat dari sampel fungsi cos sama dengan /, ecuali etia =, pada asus dimana sama dengan. Munculnya = sebagai asus husus dirasa aga anggal secara matematia. Hal tersebut dapat dihindari dengan membagi oefisien a oleh yang bertuuan untu perhitungan variansi seperti yang telah dilauan pada teorema Parseval (lihat persamaan [3.3.3a]). σ,

7 68 π π a energi = v t dt = + = 1 a + b energi 1 π power = = v ( t) dt watu π ( ) π ( ) 1 a a m = + ( a + b ) = + = 1 = 1 1 a = + a ( + b ) = 1 1 = panang vetor Fourier { } [3.3.3a] Untu oefisien Fourier omples, bentu umum ( ) ( ) random variabel dengan mean dan variansi ( ) ( ) 1 exp iθ n adalah ( ) 1 exp σ iθ. Jumlah dari sebagai random variabel, diberian rumus beriut untu variansi noise Var σ ( ) 1 ( ε ) = exp ( iθ ) = σ σ = = [3.3.3b] Suatu euntungan dari oefisien Fourier omples adalah bahwa bentu onstantanya tanpa asus husus. ari hasil ini, dapat disediaan nilai untu satu, dua statisti tepat dari estimasi oefisien Fourier. ari persamaan [3.3.1] dietahui bahwa random variabel â adalah umlah oefisien deterministi a dan random variabel ε dengan mean nol dan variansi seperti yang diberian pada persamaan [3.3.]. Aibatnya,

8 69 ( ˆ ) Mean a = a σ Var ( aˆ ) = 4σ = untu untu = [3.3.4] dan dengan persamaan yang sama untu estimasi oefisien sin. Persamaan yang sesuai untu oefisien Fourier omples adalah ( ˆ ) Mean c = c σ Var ( aˆ ) = [3.3.4a] Perhatian bahwa arena variansi dari a adalah 4σ maa variansi dari a /, seperti menyataan variansi dari mean, sama dengan σ dan uga standar deviasi dari mean adalah σ. (Hasil ini lebih elas untu c ) Ini seenis dengan hasil dari statistia dasar. Pada statistia, standar deviasi dari mean untu nilai data biasanya disebut standar error dari mean dan sama dengan σ, dimana σ adalah standar deviasi populasi dari data yang dietahui. Ringasan, di bawah asumsi additive, independent noise, variansi dari semua estimasi oefisien Fourier trigonometri (ecuali a ) sama dengan variansi noise diali /. Variansi dari semua estimasi oefisien Fourier omples sama dengan variansi noise diali 1/. Hal ini mengaibatan bahwa cara untu memperecil estimasi variansinya adalah dengan memperbesar, umlah titi sampel. Prosedur tersebut disebut signal-to-noise ratio (SNR) sering digunaan untu menghitung realibilitas dari signal. SNR adalah bagian dari oefisien Fourier yang dinyataan sebagai perbandingan dari mean (sebagai contoh, a )

9 7 dengan standar deviasi σ. ari definisi tersebut, SNR dari estimasi oefisien Fourier bertambah senilai dan berurang senilai σ pada proporsinya, umlah dari noise. 3.4 Probabilitas istribusi dari Koefisien Fourier untu Signal Noise Mean dan variansi berguna untu meringas statisti dari random variabel, tetapi arater yang lebih lengapnya adalah pada bentu probabilitas distribusinya. iberian signal deterministi, probabilitas distribusi oefisien Fourier dihitung untu sampel dari waveform noise yang bergantung pada probabilitas distribusi dari noise yang ditambahan. Seperti asus yang biasa teradi pada analisis dasar dari signal noise, diasumsian dari searang bahwa noise mempunyai epadatan probabilitas Gauss (atau normal), N ( µ,σ ), dari mean µ dan variansi σ. i bawah asumsi tersebut, probabiltas P yang merupaan signal noise yang terleta pada range (a,b) yang diberian pada daerah di bawah fungsi epadatan probabilitas Gauss antara batasnya b 1 ( x µ ) σ P = e dx σ π a [3.4.1] Beberapa anggapan untu asumsi Gauss dapat dipertimbangan. Pertama, banya penelitian noise secara fisia dapat dimodelan dengan bai oleh bagian fungsi probabilitas ini. Hal itu tida mengeutan arena teorema limit pusat dari probabilitas teori probabilitas menyataan bahwa umlah dari bilangan yang besar dari variabel independent cenderung e Gauss tanpa memperhatian probabilitas distribusi dari individu variabelnya, alasan lain adalah bahwa asumsi tersebut

10 71 membuat masalah yang ada mudah dihitung. Suatu hasil dari teori probabilitas adalah bahwa distribusi Gauss deat seali dengan panumlahan, artinya bahwa seumlah nilai dari suatu bilaingan random variabel Gauss bersisa Gauss uga. Karena error variabel ε adalah nilai umlah dari variabel noise, ia noise adalah Gauss maa sealigus merupaan estimasi dari oefisisen Fourier. Singatnya, noise Gauss menghasilan oefisien Fourier Gauss. istribusi Gauss hanya memili dua parameter, mean dan variansi, dimana dietahui dari hasil yang lebih umum dari bagian 3.3 di atas. Sehingga bisa diringas hasil sebelumnya dengan menyataan bahwa estimasi oefisien Fourier berdistribusi seperti random variabel normal (yaitu Gauss) beserta mean dan variansinya uga (baca N berdistribusi normal) ( ) ( ) (, σ ) aˆ N a,σ bˆ N b, σ [3.4.] cˆ N c Random variabel yang menari lainnya adalah pempoweran harmoni e-. seperti yang ditunuan pada persamaan [3.3.3a] dimana power signal adalah satu per uadarat amplitudonya. Selanutnya, estimasi power signal ρ di harmoni e- adalah ( ˆ ˆ ) ρ = mˆ = a + b [3.4.3] ari teori probabilitas dietahui bahwa ia X distandaran random variabel Gauss dengan mean nol dan variansi satu, yaitu ia X (,1), maa variabel Z=X berdistribusi seperti variabel chi-uadrat dengan deraat ebebasan 1.

11 7 Artinya, Z χ 1. Hasil ini berguna pada ontes yang ada ia ita standaran estimasi oefisien Fourier pada persamaan [3.4.] oleh pengurangan mean dan membaginya dengan standar deviasi, lalu diuadratan, bentu standar oefisien Fourier berdistribusi χ aˆ a σ χ [3.4.4] 1 dan pernyataan yang sama, tetap dipergunaan untu oefisien b. searang, dari teori probailitas ita uga mengetahui bahwa ia random variabel X dan Y eduanya berdistribusi seperti chi-uadrat dengan deraat ebebasan 1, maa variabel Z=X+Y berdistribusi chi-uadrat dengan deraat ebebasan. Sehingga ( aˆ a ) + ( bˆ b ) σ χ [3.4.5] Prosedur hasil terahir ini adalah bahwa hal tersebut memberian ita cara untu mengui eberadaan signal pada bagian freuensi harmoni. Pada asus ini, hipotesis nolnya adalah oefisien Fourier dari harmoni e- bernilai nol. engan asumsi tersebut, persamaan [3.4.5] menadi aˆ + bˆ σ χ [3.4.6] Pengombinasian hasil tersebut dengan definisi dari power signal pada persamaan [3.3.1] dietahui bahwa ρ Power harmoni e = χ [3.4.7] σ Rata-rata power noise

12 73 Penggunaan hasil terahir ini, perhatian bahwa penyebut pada sisi anan persamaan [3.4.7] adalah total power noise yang diteliti dibagi dengan umlah oefisien Fourier yang ditentuan. Interpretasi tersebut berasal dari pemahaman teorema Parseval pada persamaan [.3.1.1] dan fatanya bahwa σ adalah nilai espetasi dari variansi sampel s yang diperoleh dari suatu bagian data vetor yang terdiri dari titi sampel dari noise yang diteliti. Sehingga, berdasaran interpretasi tersebut, penyebut dari persamaan [3.4.7] adalah umlah espetasi dari power noise per oefisien, dengan ata lain, rata-rata power pada spectrum power noise. Perbandingan pada sebelah iri selanutnya merupaan umlah uuran dari power untu harmoni e-, menormalan dengan rata-rata power noise. Jia disebut hal ini sebagai uantitas masing-masing power relatif dari harmoni e-, maa persamaan [3.4.7] merupaan power relatif harmoni e- yang berdistrbusi χ di bawah hipotesis nol yaitu ada power signal bernilai nol pada harmoni e-. Pada sub-bab beriutnya ita aan menggunaan hasil persamaan [3.4.7] tersebut untu membangun statisti ui dari hipotesis nol. alam hal ini, memanfaatan sebelumnya bahwa mean variabel χ sama dengan umlah deraat ebebasan variabelnya, dan variansinya sama dengan dua ali mean. Karena power signal ρ adalah sala variabel p = ( ρ ) = σ Mean, Mean σ χ di bawah hipotesis nol, dietahui bahwa p Var 4, Var 4 σ [3.4.8] = = σ ( ρ ) ( )

13 74 Perhatian bahwa standar deviasi dari ρ, merupaan aar uadrat dari variansinya, sama dengan mean, sehingga SNR=1 pada asus seperti ini. Biasanya SNR rendah tida diinginan, disebut metode SNR yang diperbaii seperti yang dielasan di bawah. 3.5 istribusi Koefisien Fourier untu Random Signal Kadang-adang penelitian suatu signal di bawah penyelidian tida semuanya memilii omponen deterministi, tetapi sesederhana proses random. Satu contoh seperti electroencephalogram, tegangan yang sangat ecil yang teream oleh eletroda terleta pada tengora. Contoh lainnya adalah flutuasi normal dari diameter pupil, atau hippus yang adang disebut sebagai ondisi alam bawah sadar. Signal tersebut disebut stochastic arena merea tida mudah menyesuaian e dalam model persamaan [3.3.] sebagai umlah omponen deterministi ditambah omponen random noise, ecuali ita sederhanaan semua bentu signalnya bersama-sama. Analisis Fourier dari stochastic, atau random, signal biasanya berlau pada bentu polar arena random signal sebenarnya menghilangan fase yang penting, hanya menyisaan porsi ara spectrum yang terpaai. Selanutnya, mengacu dari plot m, ara oefisien Fourier, lebih terbiasa memplot ρ = m, yang merupaan power omponen harmoni. Berdasaran hal itu, graf power dari tiap omponen Fourier seperti fungsi freuensi yang disebut power spectrum. Power spectrum dari prose random yang memenuhi asumsi bahwa tiap sampel independent, dan berdistribusi identi, setiap sampel lainnya aan mempunyai

14 75 power spectrum datar. Hal ini arena, seperti yang ditunuan pada persamaan [3.4.7] untu asus signal bernilai nol, power pada tiap harmoninya sama. Penelitian noise yang mempunyai power spectrum datar disebut white noise, analogi dengan spectrum cahaya. Hasilnya beraibat bahwa ia penelitian noise itu menggunaan cara yang menghasilan spectrum yang tida datar, dengan ata lain, colored spectrum, maa sampel noise tida lagi independent dan berdistribusi identi. Aibatnya, orelasi antar sampel pun tida lagi berdistribusi identi. Pada bagian ahir sub-bab 3.4 observasi tersebut, tentang signal deterministi, standar deviasi ρ sama dengan mean, sehingga SNR=1. Arti signal pada ontes ini adalah nilai estimasi ρ, power omponen harmoni e- dari random signal. Serupa dengan nilai SNR rendah yang tida diinginan dan uga mean untu perbaian realibilitas yang diperoleh. Satu metode untu mengulang proses sampling waveform dan menghitung power spectrum. Jia M spectra ditambahan secara bersamaan, power pada tiap harmoni aan menadi umlah dari random variabel M, masing-masing berdistribusi χ dengan deraat ebebasan. Sehingga total power aan berdistribusi χ dengan deraat ebebasan M, yang mempunyai mean M dan standar deviasi M. Rata-rata power adalah total power dibagi dengan M. p 1 1 χ χ M [3.5.1] M M N mean, variansi, dan SNRnya adalah

15 76 ( ) mean p 1 = M = M 1 4 var iansi ( p ) = 4 M = [3.5.] M M mean SNR = = = M variansi M Selantunya disimpulan bahwa realibilitas dari estimasi power spectrum dihasilan oleh penyetaraan individu spectra M bertambah pada proporsinya sebesar M. Teni yang eivalen adalah menyetaraan vetor sampel M dan selanutnya menghitung power spectrum dari mean data vetor. Karena tiap omponen dari data vetor bertambah realibilitasnya pada proporsi sebesar M, adi, dapat menghitung power spectrum. 3.6 Analisis Regresi Fourier Pada teori statistia tentang regresi, metode yang biasa digunaan berupa pendeatan model goodness of fit untu menghitung statisti S yang didefinisian oleh perbandingan variansi data model S = variansi residu [3.6.1] alam hal ini, gagasan dasarnya adalah waveform memilii variansi diarenaan dua fator: fungsi deterministi dan random error. Pada regresi linier, sebagai contoh, fungsi deterministi yang mendasarinya diasumsian sebagai garis lurus, yang mempunyai dua parameter bebas: slope dan intercept. Begitu model mempredisian dengan pasti umlah variansi dari data (pembilang pada [3.6.1] ),

16 77 tetapi beberapa variansi residu (penyebut [3.6.] ) tida didapatan dari model. Jia S membesar, aibatnya adalah modelnya bisa digunaan untu menghitung variansi datanya. Pada ontes Fourier, dua fator tersebut ita enal sebagai signal dan noise. Statisti S persis seperti SNR yang didefinisian sebelumnya arena pembilangnya adalah uuran euatan signalnya dan penyebutnya bergantung pada umlah noise yang ada. Penggunaan umum suatu statisti seperti S biasa digunaan untu ui hipotesis tentang ecocoan model yang disebut ui parametri. Agar bisa mengembangan egunaan dari bentu ui yang seperti ini, perlu dipahami distribusi probabilitas S. istribusi yang seperti ini mungin sudah ita enal sebagai distribusi F-Snedecor (nama ehormatan dari Bangsawan R.A. Fisher) yang digunaan etia pembilang persamaan [3.6.1] adalah variabel χ dengan deraat ebebasan a, dibagi dengan a, dan penyebutnya adalah variabel deraat ebebasan b, dibagi dengan b. seperti beriut, χ dengan χ a a F a, b b χ b [3.6.] ielasan hasil dari sub-bab 3. hal tersebut ditunuan sebagai power harmoni yang berdistribusi χ etia noise tunggal Gauss dietahui, itu tida sulit untu menemuannya, ui F adang-adang bisa digunaan untu ui goodness of fit dari model deret Fourier. Hartley (1949) telah mengembangan ui yang seperti ini dan metodenya dielasan di bawah.

17 78 ari versi teorema Parseval yang ditunuan persamaan [.3.9.6] variansi titi sampel sama dengan umlah power dari omponen harmoni yang sesuai. Y m = a + b = c = ρ = 1 = 1 = [.3.1.1] Selanutnya, ia model Fourier dalam pembahasannya termasu semua omponen harmoni, maa itu aan menghitung semua variansi datanya, sehingga variansi residunya nol, dan model aan sesuai dengan data yang sebenarnya. engan ata lain, ia hanya beberapa harmoni yang termasu dalam model, maa harmoni yang diabaian dihitung sebagai variansi residunya. Pada asus ini, ita dapat membentu statisti seperti S untu memutusan apaah modelnya coco atau tida. Untu melihat egunaanya, ita masuan e model Fourier hanya harmoni e- saa. engan ata lain, asumsian semua harmoni yang lainnya adalah noise. Menurut persamaan [.3.1.1] di atas, variansi yang dihitung dari model ini adalah ρ, yang didapatan pada persamaan [3.4.7] bahwa ia ρ dinormalan yaitu membaginya dengan espetasi umlah power di bawah hipotesis nol yang hanya dietahui noise-nya saa, maa power relatif uga berdistribusi χ dengan deraat ebebasan. ρ σ χ [3.6.3] engan elas nilai ini aan menunuan pembilang dari statisti-f. untu mendapatan penyebut yang dibutuhan, perhatian embali bahwa terdapat -3 harmoni residu pada asus ini. Jumlah total power relatif residunya adalah

18 79 umlah R=(-3)/ variabel aca, tiap distribusi χ dengan deraat ebebasan, yang selanutnya berdistribusi χ dengan deraat ebebasan R=-3 ρ R = 1 σ χ [3.6.4] R Searang untu merumusan statisti Hartley, bagi tiap variabelnya dengan masisng-masing bilangan deraat ebebasan dan bentu perbandingannya H ρ σ power relatif harmoni e- = = R 1 ρ rata-rata power relatif residu R = 1 σ F,R [3.6.5] Sehingga, nilai σ yang tida dietahui yang terdapat pada pembilang dan penyebut selanutnya dapat dihilangan H = ρ R 1 p R = 1 F,R [3.6.6] Selanutnya, ui Hartley dari hipotesis nol yang power signal pada harmoni e- nya adalah nol ini aan menola hipotesis nol ia H > F,R. Untu mengolahnya biasa digunaan tingat signifiansi 1% atau 5%, bergantung nilai F yang sesuai dari tabel distribusi-f. Jia perhitungan satisti uinya lebih dari nilai pada tabel, tola hipotesis nol yang power signal harmoninya adalah nol. Tingat signifiansi diinterpretasian sebagai probabilitas penolaan esalahan hipotesis nol. 3.7 Interval Konfidensi

19 8 Suatu hasil yang sangat penting dari statisti yang biasa ita gunaan adalah spesifiasi batas onfidensi untu mean sampel dari populasi. Jia ita melihat embali hasilnya, itu aan berguna sebagai pendahuluan untu memperoleh interval onfidensi untu oefisien Fourier. Sehingga x adalah mean dari N sampel dan aan menyataannya dalam onfidensi 95% (yaitu urang dari 5% eeliruannya), mean populasi µ yang sebenarnya berada pada range x A µ x + A [3.7.1] Pertanyaannya adalah, apaah nilai A itu? Jawaban yang tepat untu menawab pertanyaan tersebut adalah dua ali standar error mean. Untu melihat enapa ini benar, lihat embali bahwa standar mean sampel t, yang dienal sebagai statisti-t Student, t = x µ s N [3.7.] distribusi-t dengan deraat ebebasan N-1. Pada persamaan ini, s adalah standar deviasi sampel dan s N adalah standar error dari mean. istribusi-t Student sudah dietahui sebagai fungsi distribusi yang diparameteran oleh umlah deraat ebebasan. Contohnya seperti tampa pada Gambar 3.1. Sebelah irinya adalah probabilitas fungsi epadatan dan sebelah anannya adalah 1 diurangi distribusi probabilitas umulatif, yaitu daerah di bawah fungsi epadatan memenuhi beberapa riteria c, sebagai fungsi c.

20 81 Fungsi epadatan Fungsi distribusi Gambar 3.1 istribusi-t Student Nilai esa c yang diperoleh dari P(c) sampai pada 5% bergantung, tetapi untu sampel c yang besar nilainya onvergen e. Ini artinya bahwa probabilitas t yang lebih dari hanya 5%. Berdasaran persamaan [3.7.], diperoleh Prob x µ s ( x ) > = 5% [3.7.3] pertidasamaan seperti persamaan di atas dapat menghasilan bentu yang serupa dari persamaan [3.7.1] yaitu ( x s( x ) µ x s( x )) Prob < < + = 95% [3.7.4] engan ata lain, batas onfidensi 95% untu µ adalah x s ( x ) ±. Berdasaran penelasan tersebut, dietahui dari persamaan [3.6.6] yaitu perbandingan Hartley dari power harmoni dengan power residunya merupaan distribusi-f di bawah hipotesi nol. Jia diletaan batas hipotesis nol maa harus embali lagi pada bentu pembilang dari persamaan [3.4.4], sehingga H = ( aˆ a ) + ( bˆ b ) 1 R R = 1 p F,R [3.7.5]

21 8 Analogi persamaan [3.7.4] selanutnya adalah ( aˆ ) ( ˆ ) a + b b Prob > F,R = 5% [3.7.6] R 1 p R = 1 Pertidasamaan yang mendefinisian batas onfidensi dengan interpretasi geometri sederhana seperti ditunuan pada Gambar 3.. menggambaran lingaran berpusat pada titi ( a ˆ, b ˆ ) dan dengan ari-ari ρ yang diberian oleh ρ F R =,R R = 1 p [3.7.7] maa dengan onfidensi 95% ita dapat nyataan bahwa nilai sebenarnya dari oefisien Fouirer ( a, b ) bersesuaian dengan titi di seitar lingaran. Jia lingaran tersebut mengandung oefisien awalnya, maa power dari bentu harmoni e- tida berbeda secara signifian dengan nol. omponen e- vetor Fourier Batas onfidensi Gambar 3. Batas Konfidensi untu Koefisien Fourier