BAB 3 INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan :

Transkripsi

1 BAB 3 Poo Pembahasan : Prinsip Dasar Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Espansi Parsial Konvolusi

2 . PRINSIP DASAR Inverse Laplace adalah ebalian dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t). L - F(s) = f(t) ( 3- ) Pernyataan invers Laplace dinyataan dengan simbol L - Invers Laplace dapat dilauan terhadap semua fungsi : Fungsi-fungsi Elementer Fungsi-fungsi Non Elementer. FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Invers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ihtisar Transform. Laplace. Hasil invers merupaan ebalian dari transformasinya.

3 3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION) Espansi Heaviside merupaan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untu fungsi-fungsi non elementer. Bila bentu Transformasi Laplace merupaan pembagian buah persamaan polinomial yang dinyataan dengan : A(s) F(s) = B(s) ( 3- ) A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s Pangat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s). A(s) = a m s m + a m- s m a s + a 0 B(s) = b n s n + b n- s n b s + b 0 3

4 B(s) dapat diuraian menjadi : B(s) = b n (s-s )(s-s )...(s-s )... (s-s n ) s, s, s 3,...s n = aar-aar B(s). Aar-aar B(s) dapat berupa : Bilangan nyata (riel) Bilangan imajiner (hayal) Bilangan omples. Aar-aar B(s) meliputi aar-aar : Berharga ta sama (berbeda). Berharga sama. 4

5 Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (teruur) : F(s) = 3 3s + s + s + s + 3s (s +s+) 3s + s + 3 3s + 3s + 6s - 3s 4s s 3s s + 7 Sehingga F(s) menjadi : -s + 7 F(s) = 3s s + s + 5

6 3.. Frasi Parsial Dengan Aar-aar Ta Sama Bila aar-aar B(s) ta ada yang sama dan m < n, maa : F(s) = A(s) b (s-s )(s-s )...(s-s )...(s-s ) n n F(s) = b s s s s s s s s n n Besaran-besaran,, 3... n dapat ditentuan dengan rumus : A(s) = b n(s s ). B(s) S= S ( 3-3 ) 6

7 Contoh : L - s(s-)(s+) = L - L - = L s(s-)(s-) s (s- ) (s+ ) = s = - { s(s-)(s+) } s=0 = (s-) = { s(s-)(s+) } 6 s = 3 = (s+) = s(s-)(s+) 3 { } s = s (s- ) (s+ ) f(t) = -½ u(t) + /6 e t u(t) + /3 e -t u(t) 7

8 3.. Frasi Parsial Dengan Aar-aar Sama Bila aar-aar B(s) ada yang sama dan m < n, pada : F(s) = A(s) b (s-s )(s-s )...(s-s )...(s-s ) n Bila terdapat p buah aar yang sama, maa : A(s) p p- = p p- B(s) b n (s-s ) (s-s ) (s-s ) p+ p+ n (s-s p+) (s-s p+ ) (s-s n ) 8

9 dengan : = b (s-s ) p n p A(s) B(s) s=s ( 3-4a ) d A ( s ) = b ( s - s ) p p- n ds B (s) s = s ( 3-4b ) p- b n d p A (s ) p- = (s -s ) (p - )! d s B (s) s=s ( 3-4c ) 9

10 Contoh : 3 F(s) = + + L - 3 F(s) = + + (s + ) s + s + 3 = (s + ) F(s) = (s + ) = 3 s= (s + ) (s + ) L - (s ) (s ) s s= d 3 = (s+) = 3 ds (s+) (s + ) = 3 3 = (s+ ) = 3 (s + ) (s + ) = s = + (s+ ) (s+ ) (s+ ) (s+ ) (s+ ) f(t) = 3te -t 3e -t + 3e -t = 3 [(t-)e -t + e -t ] 0

11 Cara lain untu mencari nilai : Substitusian harga yang telah di dapat. Pindahan e ruas iri. Hitung dengan metode frasi parsial dengan aar berbeda. 3 = (s + ) F(s) = (s + ) = 3 s= (s + ) (s + ) = + + (s + ) (s + ) (s + ) (s + ) (s + ) = + (s+ ) (s+ ) (s+ ) (s+ ) (s+ ) 3 = + 3 (s + )(s + ) (s + ) (s + ) 3 =(s+) = 3 (s+)(s + ) s= s=

12 3.3. Espansi Parsial Dengan Aar-aar Komples Aar-aar omples terjadi dalam pasangan onjugasinya Bila F(s) = α ± j β ( 3-5 ) F(s) = + s - α - j β s - α + j β ( 3-6 ) = (s-α -j β )F (s) s = α + jβ ( 3-7a ) = ( s - α + j β ) F( s ) s = α -jβ ( 3-7b )

13 Bila N(s) A r A r- A F(s) = = F r r r (s) D (s)(s p) (s p) (s p) (s p) ( 3-8 ) d r d (s p) F(s) = [A r+ (s p)a r + (s p) A r +...) ds ds d ds d ds r (s p) F(s) = [Ar + (s p)a r +...] ( 3-9 ) 3

14 Contoh :. s F(s) = (s )(s s ) s F(s) = (s + )(s + j)(s + )(s + + j) A B B* F(s) = + + (s + ) (s + j) (s + + j) s A= = s + s+ s = s j B= = = 45 (s+ )(s+ + j) s=+ j o t t o f (t) e = + e cos (t 45 ) 4

15 . F(s) = (s + )(s + s + ) A B A* B* C F(s) = (s p) s p (s p*) s p* s + A= = = = j (s + )(s p*) (p + )(p p*) ( + j)(j) 4 s= p d [(s p*) + (s+ )(S p*)] = ds (s+ )(s p*) (S+ ) (S p*) 4 B = (p+ ) (p p*) [(p p*) (p )(p p*)] Bila p p*=j dan p+ = j, maa : B [ 4 + ( j)( j)] = = ( )(6) 5

16 Selanjutnya C= = s + s+ s = f(t) = Ate pt + Be pt + A* te p*t + B*e p*t + Ce -t Bila A = (/4) 90 o dan B = ½ 0 o f(t) = te -t cos( t + 90 o ) + e -t cos t + e -t 6

17 4. KONVOLUSI Bila f(t) merupaan inverse F(S) dan g(t) merupaan inverse G(S), maa h(t) merupaan invers dari produ H(S) = F(S) G(S). h(t) disebut onvolusi dan ditulisan dengan : h(t) = (f *g)(t) = f ( τ)g(t τ)dτ t ( 3-0 ) 0 Untu τ > 0. Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatan : τ s st e G(S) = e g(t τ) dt ( 3- ) 0 7

18 Sehingga : st H(S) = F(S) G(S) = e f ( τ)g(t τ)d τ dt t ( 3- ) 0 0 Sifat-sifat dasar operasi aritmati onvolusi a. Komutatif f * g = g * f b. Distributif f *( g + g ) = f * g + f * g c. Asosiatif ( f * g ) * v = f * ( g * v ) f * 0 = 0 * f = 0 Demiian pula halnya peralian dengan bilangan lain ecuali, arena Khusus untu * g g 8

19 Contoh Soal dan Penylesaian H(S) = /[(S )(S- ω)] ; tentuan h(t)! Jawab : F(S) = dan G(S) = S S - ω f (t) = t dan g(t) = e ωt ωt t h(t) = t*e = f( τ)g(t τ)d τ dt 0 t ωt ω(t τ) h(t) = t*e = τ e d τ t ωt ωt ωτ) h(t) = t*e = e τ e d τ 0 0 ; ωt h(t) = (e ω ) ω 9

20 SOAL-SOAL LATIHAN Tentuan f(t) dari persamaan beriut dengan metode onvolusi.. (s- ω) s(s- α)(s- β) s s(s+ ω ) (s+ ω ) s(s- ω) s (s+5) s (s + ω) (s - 3)(s +5) 6s s s(s + ) + (s + 4s + 3) α β 0

21 SOAL-SOAL TAMBAHAN Tentuan f(t) dari persamaan-persamaan beriut : s.. (s + )(s + ) (s +3s+) s s (s + 5s + 5) s (s - ω ) Selesaian transformasi Laplace persamaan-persamaan beriut : at 5. t cos( ωt+ θ) 6. e sin( ωt+ θ) 3 7. ( 4t + t + 3 ) cos( ω+α t ) 8. sin( ω+α t )cos( ω+β t ) Bila dietahui Z ( ωt + θ ) dan Z ( ωt - θ ), maa hitung : at e ( z + z ) z z