SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains. Program Studi Matematika

Transkripsi

1 SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR SKRIPSI Dauan untu Memenuh Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarana Sans Program Stud Matemata Dsusun oleh: Ssra Mardawat NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 20

2 FUZZY NEURAL NETWORK SYSTEM Fnal Assgnment Presented to Fulfll One of the Requrements To Obtan the Sarana Sans Degree Mathematcs Study Program By : Ssra Mardawat Student Number : MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 20

3

4

5

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Bersuactalah senantasa Tetaplah berdoa Mengucap syuurlah dalam segala hal, sebab tulah yang dehenda Allah d dalam Krstus Yesus bag amu 2 Tesalona 6-8 Janganlah hendanya amu uatr tentang apa pun uga, tetap nyataanlah dalam segala hal engnanmu epada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syuur Flp 4:6 Srps n upersembahan epada : Tuhan Yesus Krstus dan Bunda Mara yang selalu memberat dan menyertau Mama dan Bapa yang selalu menduung dengan cnta ash yang tada habsnya Adu terash, Vncentus Mardanto yang selalu menduung Dru sendr, Ssra Mardawat yang sudah mau menyelesaan srps n v

7 ABSTRAK Jarngan syaraf abur adalah suatu model yang dlath dengan menggunaan arngan syaraf, namun strutur arngannya dnterpretasan dengan aturan-aturan abur. Sstem arngan syaraf abur adalah suatu sstem yang mengombnasan loga abur dan arngan syaraf. Sstem arngan syaraf abur drancang untu merealsasan proses penalaran abur, d mana bobot-bobot yang terhubung pada arngan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran abur. v

8 ABSTRACT Fuzzy neural networs s a model traned usng neural networs, but the networ structures are nterpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural networ system s a system that combnes fuzzy logc and neural networs. Fuzzy neural networ system s desgned to realze the fuzzy reasonng process, where the weghts connected to the networ are assocated wth the fuzzy reasonng parameters. v

9

10 KATA PENGANTAR Pu dan syuur epada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberan berat dan rahmat-nya sehngga penuls dapat menyelesaan srps n. Penyusunan srps n tda lepas dar bantuan berbaga pha yang memberan dorongan, bmbngan, petunu, nashat serta duungan dar permulaan sampa selesanya penulsan srps n. Oleh arena tu, pada esempatan n dengan segala erendahan hat penuls ngn menyampaan ucapan termaash epada:. Bapa Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selau Dean Faultas Sans dan Tenolog Unverstas Sanata Dharma Yogyaarta. 2. Ibu Lusa Krsmyat Budash, S.S., M.S., selau Ketua Program Stud Matemata Faultas Sans dan Tenolog Unverstas Sanata Dharma Yogyaarta sealgus selau Dosen Pengu tugas ahr yang selalu memberan semangat epada penuls. 3. Romo Prof. Dr. Frans Suslo, SJ, selau Dosen Pembmbng srps dan Dosen Pembmbng aadem yang telah memberan masuan, bmbngan, nashat, dorongan serta saran dalam penulsan srps n. 4. Bapa Y. G. Hartono, S.S, M.Sc, selau Dosen Pengu tugas ahr yang telah memberan masuan dan saran. 5. Bapa dan Ibu dosen yang telah memberan beal lmu epada penuls. 6. Bapa Zaerlus Tua dan Ibu Erma Lnda Santyas Rahayu yang telah memberan pelayanan admnstras epada penuls selama masa perulahan. x

11

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... HALAMAN PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... v v v v v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... x x x BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belaang... B. Rumusan Masalah... 6 C. Pembatasan Masalah... 7 D. Tuuan Penulsan... 7 E. Manfaat Penulsan... 7 F. Metode Penulsan... 8 x

13 G. Sstemata Penulsan... 8 BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN... A. Loga Kabur.... Hmpunan Kabur Fungs Keanggotaan Operas Bau pada Hmpunan Kabur Perambatan Operas Bau pada Hmpunan Kabur Relas Kabur Varabel Lngust Proposs Kabur Implas Kabur Model Kabur Taag Sugeno Kang TSK Modus Ponens Rampat Sstem Kendal Kabur B. Deomposs Nla Sngular C. Jarngan Syaraf Truan Konsep Dasar Jarngan Syaraf Truan Arstetur Jarngan Syaraf Proses Pembelaaran Fungs Atvas Model Rambatan Bal x

14 BAB III SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR A. Jarngan Syaraf dan Loga Kabur B. Model Kabur dengan Pembelaaran Jarngan Syaraf Terbmbng Arstetur Jarngan Syaraf Kabur Pembelaaran Rambatan Bal Pada Model Kabur C. Contoh Model Jarngan Syaraf Kabur... 9 BAB IV PENUTUP DAFTAR PUSTAKA... 0 xv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Dalam ehdupan sehar-har terdapat banya hal yang bersfat omples dan rumt untu delasan secara tepat dan esa. Sebuah model yang coco untu menggambaran hal tersebut bsa dperoleh dengan menggunaan hmpunan abur. Pencapaan dengan menggunaan model tersebut berdasaran pengamatan bahwa manusa berpr menggunaan bahasa yang dgunaan sepert ecl atau sangat besar dan ungapan yang lannya. Oleh arena tu, untu mendesrpsan onsep tersebut e dalam bahasa yang umum, Zadeh memperenalan hmpunan abur fuzzy sets pada tahun 965. Dalam hal n Zadeh memperluas onsep hmpunan las hmpunan tegas, crsp set menad hmpunan abur, dalam art bahwa hmpunan las merupaan eadan husus dar hmpunan abur tu. Berdasaran onsep hmpunan abur tu, Zadeh mengembangan onsep algortma abur 968, yang merupaan landasan dar loga abur fuzzy logc dan penalaran hampran approxmate reasonng, yatu penalaran yang melbatan pernyataan-pernyataan dengan predat abur. Int dar sstem abur n sendr adalah aturan mplas a maa f then rules, yang menggunaan hmpunan abur sebaga syarat dalam prems dan esmpulannya.

16 2 Sea manusa bsa melauan banya hal yang cuup sult dbandngan alat tenolog yang sangat canggh, ota manusa menad hal yang sangat menar bag para ahl. Ota manusa meml strutur yang sangat omples dan meml emampuan yang luar basa. Ota terdr dar neuron-neuron dan penghubung yang dsebut snapss. Neuron beera berdasaran mpuls/snyal yang dberan pada neuron. Setap sel syaraf neuron meml 3 omponen pentng yatu soma yang merupaan nt sel dar neuron yang bertugas untu melauan pemrosesan nformas. Informas yang datang aan dterma oleh dendrt, selan menerma nformas dendrt uga menyerta axon sebaga eluaran dar suatu pemrosesan nformas. Informas hasl olahan n aan menad masuan bag neuron lan yang dhubungan oleh dua dendrt sel yang dpertemuan oleh snapss. Informas yang drman antar neuron n berupa rangsangan yang dlewatan melalu beberapa dendrt. Informas yang datang dan dterma oleh dendrt aan dumlahan dan drm melalu axon e dendrt ahr yang bersentuhan dengan dendrt dar neuron yang lan. Informas n aan dterma oleh neuron lan a memenuh batasan tertentu, yang serng denal dengan nama nla ambang treshold.

17 3 Gambar. Jarngan Syaraf Bolog Ternspras aan sstem arngan syaraf bolog tersebut, banya ahl telah menyeld arngan syaraf truan. Jarngan syaraf truan adalah suatu sstem omputas yang dsusun dengan menru proses alamah yang terad dalam arngan syaraf bologs pada ota manusa. Sepert halnya ota manusa, arngan syaraf truan uga terdr dar beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut. Neuron-neuron tersebut aan mentransformasan nput yang dterma melalu sambungan eluarnya menuu e neuron-neuron lannya. Pada arngan syaraf truan, hubungan n denal dengan nama bobot weght. Input tersebut dsmpan pada suatu nla tertentu pada bobot tersebut. Gambar dbawah n menunuan arngan syaraf sederhana.

18 4 Gambar.2 Jarngan syaraf sederhana Sebenarnya cara era neuron buatan n sama saa dengan neuron bologs. Suatu neuron pada umumnya meml n buah nput yang dnyataan dengan blangan-blangan real x,, x, 2 xn, dan sebuah output y. Masng-masng nput meml bobot yang dnyataan dengan blangan real w, w2,, wn. Input-nput tersebut aan dproses oleh suatu fungs perambatan yang aan menumlahan nlanla semua bobot yang masu. Hasl penumlahan tersebut aan dbandngan dengan suatu nla ambang tertentu melalu fungs atvas setap neuron sehngga mencapa sebuah output y. Pada arngan syaraf neuron-neuron aan dumpulan dalam lapsan-lapsan layer yang serng dsebut dengan lapsan neuron neuron layers. Basanya neuron-neuron pada satu lapsan aan dhubungan dengan lapsanlapsan sebelum dan sesudahnya ecual lapsan nput dan lapsan output. Input yang dmasuan pada arngan syaraf aan drambatan mula dar lapsan nput sampa e lapsan output melalu lapsan yang lannya, yang serng denal dengan nama lapsan tersembuny hdden layer.

19 5 Gambar.3 Jarngan syaraf truan dengan lapsan tersembuny Jarngan syaraf dan loga abur merupaan dua tenolog yang omplementer. Jarngan syaraf dapat mengenal pola masuan yang dtermanya dan dengan proses pembelaaran dapat menyesuaan dr dengan masuan tu. Proses pembelaaran pada suatu arngan syaraf adalah proses penyesuaan dr arngan tu secara bertahap terhadap masuan yang dtermanya sampa ahrnya menghaslan eluaran yang dngnan. Aan tetap, memaham proses pembelaaran arngan syaraf cuup sult arena sult untu menelasan mana setap neuron dan setap bobot yang terat. Sebalnya, model berbass aturan abur mudah untu dpaham arena menggunaan stlah-stlah lngust dan strutur aturan a-maa. Aan tetap, tda sepert arngan syaraf, loga abur tda mengenal algortma pembelaaran. Penggabungan edua tenolog tersebut menghaslan stlah baru, yatu arngan syaraf abur. Sstem arngan syaraf abur adalah suatu sstem yang

20 6 menggunaan ombnas loga abur dan arngan syaraf. Sstem arngan syaraf abur drancang untu merealsasan proses loga abur, dmana bobot-bobot yang terhubung pada arngan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter loga abur. Dengan menggunaan algortma pembelaaran rambatan bal, sstem arngan syaraf abur dapat mengdentfas aturan-aturan abur dan melath fungs eanggotaan dar loga abur tersebut. Sstem arngan syaraf abur dapat dlasfasan e dalam dua ategor, yatu:. Model berbass aturan abur yang dbangun dengan menggunaan ten pembelaaran arngan syaraf terbmbng. 2. Model berbass aturan abur yang menggunaan arngan syaraf untu membangun parts abur dar ruang masuannya. Yang aan dbahas dalam srps n adalah sstem arngan syaraf abur ategor pertama. B. Rumusan Masalah Poo permasalahan yang aan dbahas dalam srps n adalah:. Bagamana bentu model sstem arngan syaraf abur? 2. Bagamana mengmplementasan pembelaaran rambatan bal pada model abur?

21 7 C. Pembatasan Masalah Dalam srps n, penuls membahas tentang sstem arngan syaraf abur yang merupaan nterpretas pembelaaran arngan syaraf buatan dengan pada model abur. Pembelaaran yang dgunaan adalah pembelaaran rambatan bal, dan model abur yang dgunaan adalah model abur Taag Sugeno Kang TSK. D. Tuuan Penulsan Tuuan dar penulsan srps n adalah:. Mengetahu bagamana bentu model sstem arngan syaraf abur 2. Mengetahu mplementas pembelaaran rambatan bal pada model abur E. Manfaat Penulsan Manfaat dar penulsan srps n adalah dapat mengetahu dan memaham bagamana bentu model sstem arngan syaraf abur serta mengetahu mplementas pembelaaran rambatan bal pada model abur.

22 8 F. Metode Penulsan Metode penulsan yang dgunaan dalam penulsan srps n adalah metode stud pustaa, yatu dengan membaca dan mempelaar mater dar buu-buu acuan yang beratan dengan top srps. G. Sstemata Penulsan BAB I : PENDAHULUAN A. Latar belaang masalah B. Perumusan masalah C. Pembatasan masalah D. Tuuan penulsan E. Manfaat penulsan F. Metode penulsan G. Sstemata penulsan BAB II : LOGIKA KABUR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN A. Loga Kabur

23 9. Hmpunan Kabur 2. Fungs Keanggotaan 3. Operas Bau Pada Hmpunan Kabur 4. Perampatan Operas Bau Pada Hmpunan Kabur 5. Relas Kabur 6. Varabel Lngust 7. Proposs Kabur 8. Implas Kabur 9. Prnsp Perluasan 0. Model Kabur Taag Sugeno Kang. Generalsas Modus Ponens 2. Sstem Kendal Kabur B. Deomposs Nla Sngular DNS C. Jarngan Syaraf Truan. Konsep Dasar Jarngan Syaraf Truan

24 0 2. Arstetur Jarngan Syaraf 3. Proses Pembelaaran 4. Fungs Atvas 5. Model Rambatan Bal Bacpropagaton BAB III : SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR A. Jarngan Syaraf dan Loga Kabur B. Model Kabur dengan Pembelaaran Jarngan Syaraf Terbmbng. Arstetur Jarngan Syaraf Kabur 2. Pembelaaran Rambatan Bal Pada Model Kabur C. Contoh Model Jarngan Syaraf Kabur BAB IV : PENUTUP

25 BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN A. Loga Kabur. Hmpunan Kabur Andaan A adalah suatu hmpunan tegas dalam semesta pembcaraan U, maa A dapat ddefnsan dengan mendaftaran semua anggotanya atau dengan mendefnsan adah yang harus dpenuh oleh anggota dar hmpunan tersebut. Ja suatu obe x adalah anggota hmpunan A, maa dtuls x A, dan a x buan anggota A dtuls x A. Ada tga metode untu mendefnsan suatu hmpunan dalam suatu semesta pembcaraan U, yatu: a. Metode pendaftaran, yatu metode yang mendefnsan suatu hmpunan dengan menyebut semua anggotanya. Metode n dgunaan hanya untu hmpunanhmpunan berhngga. Hmpunan A yang anggotanya a,...,, a2 an, dtuls: A = a a,..., a, 2 n b. Metode adah, yatu metode yang mendefnsan suatu hmpunan dengan menyebutan syarat eanggotaannya. Dalam metode adah, hmpunan A dnyataan dengan:

26 2 A = { x U p x} d mana px menyataan bahwa x mempunya sfat p c. Metode fungs eanggotaan fungs araterst, yatu metode yang mendefnsan suatu hmpunan dengan sebuah fungs yang dsebut fungs araterst, untu menyataan bahwa anggota-anggota hmpunan semesta U adalah anggota hmpunan tu atau buan. Hmpunan A ddefnsan dengan fungs araterst χ : U {0, }, sedeman hngga: A untu χ Ax = 0 untu x A x A Contoh 2. Andaan U = {, 2,, }. Ddefnsan hmpunan A yang anggotaanggotanya adalah blangan-blangan genap dalam hmpunan semesta U. Maa berdasaran tga metode d atas, hmpunan A dapat dnyataan sebaga berut:. A = {2, 4, 6, 8, 0} 2. A = { x U x blangan genap} 3. χ A x = 0 a a x x blangan genap blangan ganl

27 3 Fungs araterst dar hmpunan tegas menentuan dengan past nla 0 atau untu setap anggota U. Fungs n dapat dperumum sedeman sehngga nlanla yang dtentuan untu tap anggota dar hmpunan semesta berada dalam nterval tertutup [0,] dan menunuan deraat eanggotaan dar anggota tersebut. Nla-nla yang lebh besar menunuan deraat eanggotaan yang lebh tngg. Fungs yang deman dsebut fungs eanggotaan dan hmpunan yang ddefnsan berdasaran fungs tersebut dsebut hmpunan abur. Defns 2. Suatu hmpunan abur A ~ dalam semesta U adalah hmpunan yang dlengap dengan fungs eanggotaan µ A ~ yang nlanya berada dalam nterval [0,], yatu: µ ~ : U [0,] A Nla µ ~ x dsebut deraat eanggotaan dar x dalam hmpunan abur A ~. A Secara matemats suatu hmpunan abur A ~ dalam hmpunan semesta U dapat dnyataan sebaga hmpunan pasangan terurut: ~ A = { x, µ ~ x x U} A Apabla semesta U adalah hmpunan yang ontnu, maa hmpunan abur A ~ serngal dnyataan dengan

28 4 ~ A = µ ~ x U A / x d mana lambang d sn buan lambang ntegral sepert yang denal dalam alulus, tetap melambangan eseluruhan unsur-unsur x U dengan deraat eanggotaan µ ~ x. A Apabla semesta U adalah hmpunan yang dsret, maa hmpunan abur A ~ serngal dnyataan dengan ~ A = µ ~ x / x A x U d mana lambang d sn buan lambang penumlahan, tetap melambangan eseluruhan unsur-unsur x U dengan deraat eanggotaan µ ~ x. A Angggota-anggota dar suatu hmpunan abur A ~ yang mempunya deraat eanggotaan sama dengan 0, yatu µ ~ x = 0, serngal tda dtuls. A Contoh 2.2 Msalan dalam hmpunan semesta semua blangan real R, A ~ adalah hmpunan blangan real yang deat dengan nol, maa hmpunan abur A ~ dapat dnyataan sebaga berut:

29 5 ~ A = e x R 2 x / x Contoh 2.3 Dalam hmpunan semesta U = {-5, -4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4, 5}, hmpunan abur A ~ dalam Contoh 2.2 d atas dapat dnyataan sebaga ~ A = µ A x U ~ x / x = 0./ / / / + / /+ 0.5/ / 3 + Blangan 5 dan -5 mempunya deraat eanggotaan 0, sehngga tda dtuls dalam penyaan hmpunan abur dsret tersebut. 0./ 4 Berut aan dbahas beberapa onsep dasar dan stlah-stlah yang berhubungan dengan hmpunan abur. Msalan A ~ adalah hmpunan abur dalam hmpunan semesta U. Defns 2.2 Penduung support dar hmpunan abur A ~ adalah hmpunan tegas ~ P A yang memuat semua anggota semesta dengan deraat eanggotaan tanol dalam A ~, yatu P A ~ = { x U µ ~ x > 0}. A ~ Dar Contoh 2.3 d atas, P A ={-4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4} Defns 2.3 Hmpunan abur A ~ dsebut hmpunan abur osong a penduungnya adalah hmpunan osong.

30 6 Defns 2.4 Hmpunan abur elemen tunggal adalah hmpunan abur yang penduungnya adalah hmpunan tegas dengan elemen tunggal sngleton. Defns 2.5 Tngg heght dar hmpunan abur A ~ adalah deraat eanggotaan terbesar yang dcapa oleh anggota-anggota U, yatu Tngg A ~ = sup{ µ ~ x}. x U A ~ Dar Contoh 2.3 d atas, Tngg A =. Defns 2.6 Hmpunan abur A ~ yang meml tngg sama dengan dsebut hmpunan abur normal. Defns 2.7 Hmpunan abur A ~ yang meml tngg urang dar dsebut hmpunan abur subnormal. Defns 2.8 Tt slang crossover pont dar hmpunan abur A ~ adalah anggota U yang mempunya deraat eanggotaan sama dengan 0.5 dalam hmpunan abur A ~. Dalam Contoh 2.3 d atas, tt 2 dan -2 adalah tt slang dar hmpunan abur A ~. Defns 2.9 Teras core dar hmpunan abur A ~ adalah hmpunan semua anggota U yang mempunya deraat eanggotaan sama dengan, yatu:

31 7 Teras A ~ = { x U µ ~ x = }. A Defns 2.0 Pusat center dar hmpunan abur A ~ ddefnsan sebaga berut: a nla rata-rata dar semua tt d mana fungs eanggotaan hmpunan abur tu mencapa nla masmum adalah berhngga, maa pusat hmpunan abur tu adalah nla rata-rata tersebut; a nla rata-rata tu tahngga postf negatf, maa pusat hmpunan abur tu adalah yang terecl terbesar d antara semua tt yang mencapa nla fungs eanggotaan masmum. Defns 2. Potongan-α α -cut dar hmpunan abur A ~ adalah hmpunan tegas A α yang terdr dar semua anggota U yang mempunya deraat eanggotaan dalam A ~ lebh besar dar atau sama dengan α, yatu: A = { x U µ ~ x α}. A α Defns 2.2 Potongan-α uat dar hmpunan abur A ~ adalah hmpunan tegas A α yang terdr dar semua anggota U yang mempunya deraat eanggotaan dalam A ~ lebh besar dar α, yatu: A = { x U µ ~ x α}. A α > Dar Contoh 2.3 d atas, potongan-α dar A ~ dengan α = 0.5 adalah A 0.5 = {-2, -, 0,, 2}, sedangan potongan-α uatnya adalah A = {-, 0, }. 0. 5

32 8 Defns 2.3 Dua buah hmpunan abur A ~ dan B ~ dalam hmpunan semesta U dataan sama, dlambangan dengan A ~ = B ~, bla dan hanya bla µ ~ x = ~ x, x U. µ A B Defns 2.4 Hmpunan abur A ~ dataan hmpunan bagan dar hmpunan abur B ~, dlambangan dengan ~ ~ A B, bla dan hanya bla µ ~ x ~ x, x U. µ A B Contoh 2.4 Ja A ~ = 0.2/ / /- + / / + 0.3/ /3 dan B ~ = ~ ~ 0.3/ / /- + / / + 0.4/ /3, maa A B. Defns 2.5 Hmpunan osong φ dapat dpandang sebaga hmpunan abur dengan fungs eanggotaan sama dengan 0, yatu µ x = 0 untu setap x U. Hmpunan semesta U dapat dpandang sebaga hmpunan abur dengan fungs eanggotaan sama dengan, yatu µ x = untu setap x U. u φ 2. Fungs Keanggotaan Setap hmpunan abur dapat dnyataan dengan fungs eanggotaan. Beberapa fungs eanggotaan hmpunan abur yang dnyataan dalam bentu suatu formula matemats adalah sebaga berut:

33 9 a. Suatu fungs eanggotaan hmpunan abur dsebut fungs eanggotaan segtga a mempunya tga buah parameter, yatu a, b, c R dengan a < b < c, dan dnyataan dengan Segtga x; a, b, c dengan adah: x a b a Segtga x; a, b, c = c x c b 0 untu a x b untu b x c untu x lannya Fungs eanggotaan n dapat uga dnyataan dengan formula sebaga berut: x a c x Segtga x; a, b, c = max mn,, 0 b a c b Gambar 2. Graf fungs eanggotaan segtga b. Suatu fungs eanggotaan hmpunan abur dsebut fungs eanggotaan trapesum a mempunya empat buah parameter, yatu a, b, c, d R dengan a < b < c < d, dan dnyataan dengan Trapesum x; a, b, c, d dengan adah:

34 20 = 0,,, ; c d x d a b a x d c b a x Trapesum Fungs eanggotaan n dapat uga dnyataan dengan formula sebaga berut: = 0,,, mn max,,, ; c d x d a b a x d c b a x Trapesum Gambar 2.2 Graf fungs eanggotaan trapesum c. Suatu fungs eanggotaan hmpunan abur dsebut fungs eanggotaan Gauss a mempunya dua buah parameter, yatu b a, R, dnyataan dengan, ; b a x Gauss dan memenuh: 2, ; = b a x e b a x Gauss untu b x a untu c x b untu d x c untu x lannya PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

35 2 Gambar 2.3 Graf fungs eanggotaan Gauss d mana x = a adalah pusat dan b menentuan lebar dar fungs eanggotaan Gauss. d. Suatu fungs eanggotaan hmpunan abur dsebut fungs eanggotaan Cauchy a mempunya tga buah parameter, yatu a, b, c R, dnyataan dengan Cauchy x; a, b, c dan memenuh: Cauchy x; a, b, c = 2 x c + a b d mana x = c adalah pusat, a menentuan lebar, dan b menentuan emrngan slope d tt slang dar fungs eanggotaan Cauchy.

36 22 Gambar 2.4 Graf fungs eanggotaan Cauchy e. Suatu fungs eanggotaan hmpunan abur dsebut fungs eanggotaan Sgmod a mempunya dua buah parameter, yatu a, c R, dnyataan dengan Sgmod x; a, c dan memenuh: Sgmod + e x; a, c = a x c d mana a menentuan emrngan fungs eanggotaan sgmod d tt slang x = c. Untu a > 0 fungs eanggotaan Sgmod terbua e anan, dan sebalnya untu a < 0 fungs eanggotaan Sgmod terbua e r.

37 23 Gambar 2.5 Graf fungs eanggotaan Sgmod yang terbua e anan gambar r dan yang terbua e r gambar anan 3. Operas Bau pada Hmpunan Kabur Operas bau pada hmpunan abur yang aan ddefnsan adalah operas uner omplemen dan operas-operas bner gabungan dan rsan. Komplemen dar suatu hmpunan abur A ~ ~ adalah hmpunan abur A dengan fungs eanggotaan µ ~ x = ~ x µ A A untu setap x X. Gabungan dua buah hmpunan abur A ~ dan B ~ adalah hmpunan abur ~ ~ A B dengan fungs eanggotaan µ ~ ~ x = max { µ ~ x, ~ x } A B µ A B untu setap x X. Sedangan rsan dua buah hmpunan abur A ~ dan B ~ adalah hmpunan abur ~ ~ A B dengan fungs eanggotaan

38 24 µ ~ ~ x = mn { µ ~ x, ~ x } A B µ A B untu setap x X. Teorema 2. Teorema Deomposs Ja A α adalah potongan-α dar hmpunan abur A ~ dalam hmpunan semesta U dan A ~ adalah hmpunan abur dalam U dengan fungs eanggotaan µ ~ = αχ x α Aα Aα untu setap x U, d mana χ A adalah fungs araterst dar hmpunan A α α, maa ~ ~ A = A. α a [0,] But: Ambl sebarang x U dan msalan µ ~ x r. Untu setap α [ 0, r], A = µ ~ x = r α, berart x A A α, sehngga µ ~ x = α. Untu setap α r,], A µ ~ x = r < α, berart x Aα, sehngga µ ~ x = 0. Maa A A α α µ A = sup ~ x ~ α α [0,] µ Aα α [0,] = max{ sup µ ~ = sup α α [0, ] = r = µ ~ x A α [0, r] Aα x, sup µ ~ α r,] Aα x}

39 25 untu setap ~ ~ x U. Jad A = A. α a [0,] 4. Perampatan Operas Bau pada Hmpunan Kabur D atas telah dbahas defns operas-operas bau omplemen, gabungan dan rsan untu hmpunan-hmpunan abur. Defns-defns tersebut dapat drampatan sedeman sehngga defns operas-operas bau tersebut merupaan eadan hususnya. Perampatan tersebut aan ddefnsan secara asomats, emudan aan dperlhatan macam-macam operas yang memenuh asoma-asoma tersebut. a. Operas Komplemen Defns 2.7 Suatu pemetaan :[0,] [0,] dsebut omplemen abur a memenuh asoma-asoma berut: K. 0 = dan = 0 syarat batas K2. Ja x < y, maa x y untu semua x, y [0,] syarat tana Suatu elas pemetaan yang merupaan omplemen abur adalah elas Sugeno yang ddefnsan sebaga berut: x λ x = + λx

40 26 dengan parameter λ,. Untu λ = 0, dperoleh operas omplemen bau, yatu 0 x = x, d mana x adalah deraat eanggotaan suatu elemen dalam suatu hmpunan abur A ~ dan adalah deraat eanggotaan elemen tersebut dalam 0 x ~ hmpunan abur A. Kelas pemetaan lan yang merupaan omplemen abur adalah elas Yager yang ddefnsan sebaga berut: w x = x w / w dengan parameter w 0,. Untu w = dperoleh operas omplemen bau, yatu x = x. b. Operas Gabungan Defns 2.8 Suatu pemetaan s :[0,] [0,] [0,] dsebut gabungan abur normas a memenuh asoma-asoma berut: S. s 0, x = s x,0 = x dan s, = syarat batas S2. s x, y = s y, x syarat omutatf S3. Ja x x dan y y, maa s x, y s x, y, x, y [0,] syarat taturun S4. s s x, y, z = s x, s y, z syarat asosatf

41 27 Contoh-contoh norma-s: a Jumlah alabar: x, y = x + y xy s a b Jumlah Ensten: x + y s e x, y = + xy c Jumlah drasts: s d x x, y = y a y = 0 a x = 0 a lannya c. Operas Irsan Defns 2.9 Suatu pemetaan t :[0,] [0,] [0,] dsebut rsan abur norma-t a memenuh asoma-asoma berut: T. t x, = t, x = x dan t 0,0 = 0 syarat batas T2. t x, y = t y, x syarat omutatf T3. Ja x x dan y y, maa t x, y t x, y, x, y [0,] syarat taturun T4. t t x, y, z = t x, t y, z syarat asosatf Contoh-contoh norma-t: a Darab alabar: t da x, y = xy

42 28 b Darab Ensten: t de xy x, y = 2 x + y xy c Darab drasts: t dd x x, y = y 0 a y = a x = a lannya 5. Relas Kabur Defns 2.5 Relas abur bner R ~ antara elemen-elemen dalam hmpunan U dengan elemen-elemen dalam hmpunan V ddefnsan sebaga hmpunan abur dengan semesta U V, yatu hmpunan abur ~ R = { u, v, µ ~ u, v u, v U V} R Relas abur R ~ tu uga dsebut relas abur pada hmpunan semesta U = V, maa R ~ dsebut relas abur pada hmpunan U. U V. Ja Contoh 2.5 Msalnya U = {20, 45, 06}, V = {35, 58, 20} dan R ~ adalah relas abur auh lebh ecl antara elemen-elemen dalam U dengan elemen-elemen dalam V. Maa relas R ~ dapat dsaan sebaga R ~ = 0./20, /20, /20, /45, /45, /06,20.

43 29 6. Varabel Lngust Defns 2.6 Suatu varabel lngust adalah suatu rangap-5 x, T, U, G, M d mana x adalah lambang varabelnya, T adalah hmpunan nla-nla lngust yang dapat menggantan x, U adalah semesta wacana numers dar nla-nla lngust dalam T ad uga dar varabel x, G adalah hmpunan adah-adah sntass yang mengatur pembentuan stlah-stlah anggota T, dan M adalah hmpunan adahadah semant yang mengatan setap stlah dalam T dengan suatu hmpunan abur dalam semesta U. Contoh 2.6 Bla varabel lngustnya adalah ecepatan, maa hmpunan nlanla lngust dapat dambl hmpunan stlah-stlah T = {cepat, sangat cepat, aga cepat, tda cepat, lambat, sangat lambat, aga lambat, tda lambat} dengan semesta U = [0,00], adah sntass mengatur pembentuan stlah-stlah dalam T dan adah semant mengatan setap stlah dalam T dengan suatu hmpunan abur dalam semesta U. 7. Proposs Kabur Defns 2.7 Proposs abur adalah almat yang memuat predat abur, yatu predat yang dapat drepresentasan dengan suatu hmpunan abur. Proposs abur yang mempunya nla ebenaran tertentu dsebut pernyataan abur. Nla ebenaran dar suatu pernyataan abur dsaan dengan suatu blangan

44 30 real dalam selang [0,]. Nla ebenaran tu dsebut uga deraat ebenaran dar pernyataan abur tu. Bentu umum dar suatu proposs abur adalah x adalah A d mana x adalah suatu varabel lngust dan predat A adalah suatu nla lngust dar x. Bla A ~ adalah hmpunan abur yang datan dengan nla lngust A dan x 0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta U dar hmpunan abur A ~, maa x 0 mempunya deraat eanggotaan µ ~ x dalam hmpunan abur A ~. A 0 Deraat ebenaran dar pernyataan abur x 0 adalah A ~ ddefnsan sama dengan deraat eanggotaan x 0 dalam hmpunan abur A ~, yatu µ ~ x 0. A 8. Implas Kabur Bentu umum mplas abur adalah

45 3 Ja u adalah A, maa v adalah B d mana A dan B adalah predat-predat abur yang datan dengan hmpunanhmpunan abur A ~ dan B ~ dalam semesta U dan V berturut-turut. Implas abur dlambangan dengan. Implas tegas p q euvalen dengan p q. Berdasaran euvalens tersebut, mplas abur dapat dnterpretasan sebaga relas abur dalam U V dengan fungs eanggotaan µ u, v = s µ ~ u, ~ A µ v B d mana s adalah suatu norma-s dan adalah suatu omplemen abur. Implas Denes-Rescher dperoleh apabla dambl operas-operas gabungan sebaga norma-s dan operas omplemen bau sebaga omplemen abur dengan fungs eanggotaan µ u, v = max µ ~ u, ~ v. dr µ A B Karena mplas tegas p q uga euvalen dengan p q p, maa mplas abur uga dapat dnterpretasan sebaga relas abur dalam dengan fungs eanggotaan U V µ u, v = s t µ ~ u, µ ~ v, ~ u µ A B A

46 32 d mana s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan adalah suatu omplemen abur. Implas Zadeh dperoleh apabla dambl operas-operas gabungan, rsan, dan omplemen bau sebaga norma-s, norma-t, dan omplemen abur dengan fungs eanggotaan µ u, v = maxmn µ ~ u, µ ~ v, ~ u. z µ A B A Implas Mamdan merupaan salah satu bentu mplas abur yang dgunaan dalam aplas sstem abur. Implas n ddasaran pada asums bahwa mplas abur pada dasarnya bersfat loal, dalam art bahwa mplas Ja u adalah A, maa v adalah B hanya berbcara mengena eadaan dmana u adalah A dan v adalah B saa, dan tda mengena eadaan lannya dluar tu. Berdasaran asums tersebut, mplas abur dapat dpandang sebaga suatu onungs abur, sehngga dperoleh µ u, v = t µ ~ u, ~ A µ v B yang dsebut mplas Mamdan. Apabla dambl operas bau mn sebaga norma-t, maa dperoleh µ u, v = mn µ ~ u, ~ v, mm µ A B

47 33 dan bla operas darab alabar dambl sebaga norma-t, maa dperoleh µ u, v = µ ~ u ~ v. md µ A B Contoh 2.7 Msalan detahu semesta U = {, 2, 3, 4} dan V = {60, 70, 80}, dan mplas abur Ja u banya, maa v lambat d mana predat banya dan lambat berturut-turut datan dengan hmpunan abur ~ A = 0.2 /+ 0.4 / / / 4 ~ B = 0.4 / / 70 + / 80. dan Maa a dgunaan mplas Denes-Rescher, dperoleh = dr 0.8/, /,70 + /, /2, /2,70 + /2, /3, /3,70 + /3, /4, /4,70 + /4,80 Ja dgunaan mplas Zadeh, maa dperoleh z = 0.8/, /, /, /2, /2, / 2, /3, /3, /3, /4, /4, /4,80.

48 34 Ja dgunaan mplas Mamdan, maa dperoleh = mm 0.2 /, /, /, /2, /2, /2, /3, /3, /3, /4, /4, /4,80 atau md = 0.08/, /, /, /2, /2, /2, /3, /3, /3, /4, /4, /4, Model Kabur Taag, Sugeno, dan Kang Model abur Taag, Sugeno dan Kang TSK denal sebaga model abur pertama yang dembangan untu menghaslan adah abur dar hmpunan data masuan-eluaran yang dberan. Sebuah adah abur yang has dalam model tersebut meml bentu sebaga berut: Ja x adalah A dan y adalah B, maa z = ax + by + c d mana a, b, c merupaan onstanta numer. Secara umum, adah dalam model TSK meml bentu: Ja x adalah A dan y adalah B, maa z = f x, y

49 35 d mana A dan B merupaan hmpunan abur dalam anteseden, dan z = f x, y merupaan fungs tegas dalam onseuen serta z = f x, y merupaan fungs polnomal dalam varabel masuan x dan y. Ja f x, y adalah fungs polnomal ordo satu, hasl sstem nferens abur dsebut model abur Taag Sugeno Kang ordo satu. Ja f merupaan onstanta, maa dsebut model abur Taag Sugeno Kang ordo nol, yang mana merupaan asus husus dalam mplas Mamdan. 0. Modus Ponens Rampat Untu melauan pengamblan eputusan atau penalaran abur dperluan seperangat mplas abur atau suatu fata yang detahu prems. Dalam loga las, pengamblan eputusan ddasaran pada tautolog-tautolog, yatu propossproposs yang selalu benar, tanpa tergantung pada nla ebenaran propossproposs penyusunnya. Salah satu adah pengamblan eputusan yang palng serng dgunaan adalah modus ponens, yang ddasaran pada tautolog: p q p q. Bentu umum penalaran modus ponens adalah sebaga berut:. Bla u adalah A, maa v adalah B Prems / Kadah 2. u adalah A Prems 2 / Fata 3. v adalah B Kesmpulan

50 36 Kadah penalaran tegas dapat drampatan menad adah abur dengan prems dan esmpulannya adalah proposs-proposs abur. Secara umum dapat drumusan dengan sema sebaga berut: Prems adah : Bla u adalah A, maa v adalah B Prems 2 fata : u adalah A Kesmpulan : v adalah B Penalaran abur dengan sema sepert d atas dsebut modus ponens rampat. Berut n aan dbahas suatu aturan penaran esmpulan yang dsebut adah nferens ompossonal compostonal rule of nference. Sebelumnya aan dbahas latar belaang adah tersebut dalam asus pemetaan bernla selang. Msalan detahu suatu pemetaan ontnu f : U V dengan U = V = R. Ja dberan suatu elemen a U, maa aan dperoleh nla pemetaan f d a, yatu b = f a V. Ja f adalah suatu pemetaan yang bernla selang, dan dberan suatu selang [ a, b] d U, maa aan dperoleh nla pemetaan f d [a,b] yatu selang f [ a, b] = [ c, d] d V. Untu menggambaran bagamana memperoleh selang [c,d] tersebut, pertama-tama yang dlauan adalah membuat perluasan slndrs dar selang [a,b] e bdang U V, emudan dtentuan rsan I dar perluasan slndrs tu dengan urva dar pemetaan f, dan ahrnya rsan I dproyesan e V untu memperoleh selang [c,d]. Gambar 2.6 memperlhatan proses tersebut.

51 37 Gambar 2.6 Nla pemetaan f d [a,b], yatu f [ a, b] = [ c, d] Proses d atas dapat drampatan lebh lanut lag. Msalan terdapat sebuah relas abur R ~ dalam semesta U V dan hmpunan abur A ~ dalam U. Bla dtentuan perluasan slndrs dar A ~ e U V, namaan A ~ PS, dan rsan perluasan slndrs tersebut dengan R ~, yatu ~ ~ A PS R, emudan rsan tersebut dproyesan e V, maa aan dperoleh hmpunan abur B ~ d V. Karena slndrs dar A ~ e U V, maa A ~ PS adalah perluasan µ ~ u, v = ~ u µ A PS A sehngga µ ~ ~ u, v = t µ ~ u, v, µ ~ u, v APS R APS R = t µ ~, ~ A u µ u, v R

52 38 d mana t adalah suatu norma-t. Kemudan, hmpunan abur B ~ d V dperoleh sebaga proyes rsan ~ ~ A PS R e V, maa µ ~ v = sup µ ~ u, v B A ~ PS R u U = sup t µ ~ u, µ ~ u, v u U A R Ja hmpunan abur A ~ dpandang sebaga relas dengan satu argumen, maa omposs relas A ~ d U dengan relas R ~ d A ~ R ~ d V dengan fungs eanggotaan U V menghaslan relas maemu µ ~ ~ v = supt µ ~ u, ~ u, v µ A R A R u U d mana t adalah suatu norma-t. Maa ~ ~ ~ B = A R, yatu hmpunan abur B ~ tu tda lan darpada relas ompost A ~ R ~. Karenanya prosedur untu memperoleh hmpunan abur B ~ d V dar relas R ~ d U V dan hmpunan abur A ~ d U dengan cara sepert d atas tu dsebut adah nferens ompossonal. Kadah nlah yang dpaa untu menar esmpulan dalam penalaran abur. Dalam modus ponens rampat adah tersebut dterapan sebaga berut: Prems : Bla u adalah A, maa v adalah B Prems 2 : u adalah A yang merupaan relas/mplas abur d U V

53 39 yang dapat drepresentasan dengan hmpunan abur A ~ dalam U Kesmpulan : v adalah B ~ ~ dperoleh dengan menentuan hmpunan abur B = A dalam V dengan fungs eanggotaan µ ~ v = supt µ ~ u, µ u, v, B u U A dmana t adalah suatu norma-t. Bla A adalah predat abur yang datan dengan hmpunan abur A ~, untu norma-t msalnya dambl operas bau mn, dan untu mplas abur dpaa mplas Mamdan mm, maa esmpulan v adalah B d atas dapat ~ dperoleh dengan menentuan hmpunan abur B dengan fungs eanggotaan µ = µ B A A B u U ~ v supmn{ µ ~ u,mn µ ~ u, ~ v} = supmn{ µ ~ u, µ ~ u, µ ~ v} u U = mn{supmn µ ~ u, µ ~ u, µ ~ v} u U = mn{ w, µ ~ v} B A ~ ~ d mana w = sup mn{ µ ~ u, µ ~ u} = sup A A yang menyataan deraat u U A A u U eserasan degree of compatblty antara predat A dengan A. Jad untu A A A B B ~ memperoleh hmpunan abur B tersebut, pertama-tama dtentuan deraat ~ ~ eserasan w, yatu supremum dar rsan hmpunan abur A dan A, dan emudan ~ ~ dperoleh B sebaga rsan w dengan hmpunan abur B, sepert terlhat dalam Gambar 2.7.

54 40 Gambar 2.7 Penaran esmpulan dalam modus ponens rampat Modus ponens rampat dapat dgeneralsasan menad modus ponens rampat multondsonal, yang terdr dar m buah prems abur berupa adah, sebuah prems abur berupa fata, dan sebuah esmpulan. Sema umumnya adalah sebaga berut: Prems : Bla u adalah A dan Prems 2 : Bla u adalah A2 dan dan u n adalah dan u n adalah A n, maa v adalah B A 2 n, maa v adalah B 2 Prems m : Bla u adalah Am dan dan u n adalah A mn, maa v adalah B m Fata : u adalah Kesmpulan : v adalah B A dan dan u n adalah A n d mana A dan A adalah predat abur yang datan dengan hmpunan abur A ~ dan A ~ dalam semesta U, dan B adalah predat abur yang datan dengan hmpunan abur B ~ dalam semesta V =,, m; =,, n. Masng-masng prems tersebut dapat dpandang sebaga suatu relas abur R ~ =,, m dalam

55 4 U U ~ ~ ~ n V dan fatanya sebaga hmpunan abur A = A A n dalam U U n. Prems-prems R ~ tersebut basanya dperlauan secara dsungtf, sehngga semua prems tu dapat dgabung menad satu prems R ~ ~ ~, yatu R =. m R = Maa esmpulan v adalah B dapat dperoleh dengan adah nferens ompossonal untu menentuan hmpunan abur ~ ~ ~ B = A R dalam semesta V dengan fungs eanggotaan dengan mengambl operas bau mn untu norma-t dan max untu gabungan abur µ ~ v = µ ~ ~ v B = A R = sup mn{ µ ~ u,, u = sup sup u,, un U U n u U {,, m} m ~ ~ A R = max mn{ µ ~ u,, u u {,, m} U {,, m} u U = µ v A ~ = max { A R ~ } mn{ µ ~ u,, u A A A n, µ ~ u,, u, max µ ~ u,, u {,, m} n n n R, µ ~ u,, u = max sup mn{ µ ~ u,, u, µ ~ u,, u R R R n n n n, v}, v}, v}, v} untu setap m m m ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ v V. Jad B = A R = A R = B, d mana B = A R. = = = Ja untu mplas abur R ~ tersebut dambl mplas Mamdan mm, sehngga fungs eanggotaannya adalah

56 42 µ ~ u,, un, v = mn{ µ ~ ~ u,, un, µ ~ R B A An v}, ~ maa fungs eanggotaan B adalah µ ~ v = µ v B m ~ ~ A R = = max sup mn{ µ ~ {,, m} u U {,, m} {,, m} {,, n} u,, u mn µ ~ {,, n} u {,, n} U,mn µ ~ ~ n ~ {,, m} A An A An u U = max mn{ mn sup = max mn{ w, µ ~ v} B A A {,, n} u, µ ~ A A u u,, u = max sup mn{ mn µ ~ u, mn µ ~ u, µ ~ v}, µ ~ v} B B n, µ ~ v} B d mana w = mn w, dan w = sup mn µ ~ u, ~ u {,, n} A µ, =,, m. A u U {,, n} w ~ ~ = sup A A u U merupaan deraat eserasan degree of compatblty antara fata ~ A dar prems/adah R ~, sedangan w yang merupaan mnmum dar semua w untu =,, n serngal dsebut daya sulut frng strength yang menyataan seauh mana anteseden dar adah R ~ ~ dpenuh oleh fata A yang dberan dan menyulut onseuen dar adah tersebut. Dengan deman ~ esmpulan B dtentuan dengan empat langah sebaga berut: Langah : Tentuan deraat eserasan w, yatu supremum dar ~ ~ A A untu setap =,, m dan =,, n.

57 43 Langah 2 : Untu setap, tentuan daya sulut w sebaga mnmum dar semua deraat eserasan w untu =,, n. Langah 3 : Untu setap, tentuan rsan w dengan B ~. ~ Langah 4 : Gabunganlah semua rsan tersebut untu memperoleh B. Gambar 2.7 Melusan langah-langah tersebut untu m = n = 2. Gambar 2.8 Penaran esmpulan dalam modus ponens rampat multondsonal

58 44. Sstem Kendal Kabur Sstem endal abur berfungs untu mengendalan proses tertentu dengan mempergunaan adah nferens abur berdasaran loga abur. Pada dasarnya sstem endal semacam tu terdr dar empat unt, yatu: a. Unt pengaburan fuzzfcaton unt b. Unt penalaran loga fuzzy logc reasonng unt c. Unt bass pengetahuan nowledge base unt, yang terdr dar dua bagan:. Bass data data base, yang memuat fungs-fungs eanggotaan dar hmpunan-hmpunan abur yang terat dengan nla dar varabelvarabel lngust yang dpaa. 2. Bass adah rule base, yang memuat adah-adah berupa mplas abur. d. Unt penegasan defuzzfcaton unt. Suatu sstem endal semacam tu mula-mula menguur nla-nla tegas dar semua varabel masuan yang terat dalam proses yang aan dendalan. Nlanla tersebut emudan donversan oleh unt pengaburan e nla abur yang

59 y _ n 45 sesua. Hasl penguuran yang telah daburan emudan dproses oleh unt penalaran, yang dengan menggunaan unt bass pengetahuan, menghaslan hmpunan abur sebaga eluarannya. Langah terahr deraan oleh unt penegasan, yatu meneremahan hmpunan abur eluaran tu e dalam nla yang tegas. Nla tegas nlah yang emudan drealsasan dalan bentu suatu tndaan yang dlasanaan dalam proses pengendalan tu. Gambar 2.6 menunuan sema langah-langah tersebut. bass data bass Kadah unt bass pengetahuan masuan tegas unt pengaburan abur unt abur unt penalaran penegasan eluaran tegas Gambar 2.9 Strutur dasar sstem endal abur B. Deomposs Nla Sngular DNS Deomposs nla sngular DNS dar suatu matrs A adalah fatorsas m n dar A menad hasl al dar 3 buah matrs, yatu A = U V T, d mana U R m m dan V n n R adalah matrs-matrs orthogonal, dan

60 46,, m n σ 2, σ R p mn{ m, } = dag σ adalah matrs dagonal dengan p = n σ σ 2 σ p 0. σ dsebut nla sngular dar A dan merupaan aar-aar postf dar nla-nla egen dar A T A. Kolom-olom dar U dsebut vetor sngular r dar A vetor egen orthonormal dar T AA, sedangan olom-olom dar V dsebut vetor sngular anan dar A vetor egen orthonormal dar A T A. Untu menglustrasan prnsp dasar penggunaan DNS untu seles adah abur aan dgunaan model abur dengan onseuen onstanta sebaga contoh. Model abur tersebut adalah model Taag Sugeno Kang TSK yang meml bentu sebaga berut: Ja x adalah A dan x 2 adalah A 2 dan maa y adalah c, =, 2, dan x m adalah A m, M 2. d mana c adalah onstanta. Keluaran ahr dar model tersebut dhtung dengan persamaan berut: y M = = M = w c w 2.2 d mana w adalah deraat esesuaan daya sulut adah e- yang ddefnsan dengan persamaan 2.3 atau 2.4 w µ a, µ a,, a = mn A A 2 A 2.3 µ 2 m m

61 47 atau w = µ a µ a a 2.4 A A 2 2 µ Am m Daya sulut adah e- yang dnormalsasan adalah : N = M w = w 2.5 Persamaan 2.2 dapat dtuls embal menad y = M = N c 2.6 Persamaan tersebut dapat dpandang sebaga asus husus dar model regres lnear: y = M = p θ + e 2.7 dengan p dan θ adalah p N, θ c 2.8 d mana p adalah regresor, θ adalah parameter, dan e adalah snyal galat yang dasumsan tda berorelas dengan regresor p. Ja dberan N pasang masuan- eluaran { x, y }, =,2,, N, d mana T x = [ x, x,, x m ], maa 2 persamaan 2.7 dapat dnyataan e dalam bentu matrs y = Pθ + e 2.9 T N d mana y = [ y,, y N] R, P = [ p,, p m ] R N M T N dengan p = [ p,, p N] R,

62 48 T M θ = [ θ,, θ ] R, M dan e = [ e,, e N] T R N. Masng-masng olom P berorespondens dengan satu adah abur dalam bass adah. Matrs P dsebut matrs daya sulut dan P θ dsebut predtor dar y. Dalam membangun sebuah model abur, umlah data pelathan basanya lebh besar darpada umlah adah abur dalam bass adah. Maa dmens bars matrs P lebh besar darpada dmens olomnya, yatu N > M. Matrs daya sulut P bsa sngular atau mendeat sngular arena adanya adah abur yang urang pentng atau yang berlebhan dalam bass adah. Kadah abur yang urang pentng berart ontrbus adah-adah tersebut pada eluaran ahr adalah ecl, dan adah abur yang berlebhan berart ontrbus adah-adah tersebut dapat dgantan dengan adah-adah yang lan. Sebuah adah yang urang pentng dapat muncul dalam bass adah a daya sulut yang dnormalsasan dar adah tersebut adalah nol atau mendeat nol dalam eseluruhan ruang masuan, sedangan adah yang berlebhan dapat muncul dalam bass adah a daya sulut yang dnormalsasan dar adah tersebut sama dengan atau bergantung lnear pada satu atau lebh adah-adah yang lan. Secara matemats, sngulartas dar sebuah matrs dtunuan oleh adanya nla sngular nol atau mendeat nol dalam matrs. Jad, adah urang pentng atau adah berlebhan dalam bass adah dapat dtentuan dengan memersa nla-nla sngular dar matrs daya sulut P. Lebh spesf, DNS dar P dapat dhtung dengan

63 49 T P = U P V P P d mana banya nla sngular nol atau mendeat nol dalam P mengndasan banyanya adah abur urang pentng atau adah abur berlebhan dalam bass adah. Menghlangan adah abur urang pentng atau adah abur berlebhan dar bass adah untu menghaslan predtor P θ, d mana θ meml palng banya r omponen tanol, dengan r adalah banyanya adah abur yang tnggal dalam bass adah setelah adah abur urang pentng atau adah abur berlebhan dhlangan. Leta dar entr-entr tanol menentuan olom-olom P, yatu adah-adah dalam bass adah, yang dgunaan dalam membangun model dan mendeat vetor observas y. Berut n aan dperenalan sebuah metode yang dgunaan untu menyeles r adah pentng atau M-r adah urang pentng atau adah berlebhan dalam bass adah. Metode tersebut dawal dengan menghtung DNS dar P, yatu: Partsan V P menad T P = U P V P. 2.0 P V P V = V 2 V V 2 22 r M r 2. r M-r T T Gunaan algortma QR dengan fatorsas pvot olom pada V V ] untu menghaslan [ 2

64 50 Q T T T [ V V2 R2 ] = [ R ] 2.2 r M-r d mana Q r r R adalah matrs orthogonal, R r r R adalah matrs segtga atas, dan M M R adalah matrs permutas. Ddefnsan: [ P P P 2.3 r M r ] d mana P r R N r terdr atas olom-olom yang dngnan dar P yang leta aslnya dalam P mengndasan leta adah yang bersesuaan dalam bass adah. Kunc dar metode n adalah menemuan matrs permutas dan emudan mendapatan subset P r yang dngnan. Matrs permutas adalah matrs denttas yang bars-barsnya dsusun embal dan salah satu fungsnya adalah menuar tempat olom-olom dar suatu matrs. Msalnya: p p2 p3 P = p2 p22 p p 3 p32 p33 dan olom yang edua dan etga dar P aan dtuar tempat. Ja bsa dtemuan matrs permutas = dan mengalannya dar sebelah anan dengan P, dperoleh

65 5 p p3 p2 P = p2 p23 p p 3 p33 p32 Prnsp dasar d bal metode n dapat dmengert melalu observas berut n. Ja olom e- dar P terdr atas entr-entr nol atau mendeat nol, maa nla sngular nol atau mendeat nol aan muncul pada dagonal utama d olom e- dar matrs segtga. Ja olom e- dar P terdr atas entr-entr yang sama dengan atau bergantung lnear terhadap salah satu atau lebh olom yang lan, ataan olom e-l, maa nla sngular nol aan muncul pada dagonal utama d olom e- atau olom e-l dar matrs segtga. Hal tersebut aan dlustrasan dengan menggunaan matrs P yang dberan dalam 2.4. Msalnya entr-entr pada olom edua dar P semuanya adalah nol, maa nla-nla sngular pada dagonal utama dar matrs segtga terlhat sepert berut n: * 0 * d mana * adalah sebarang onstanta real tanegatf. Ja msalnya entr-entr pada olom edua sama dengan olom etga, maa nla-nla sngular pada dagonal utama matrs segtga aan terlhat sepert berut n: * 0 * atau

66 52 * * 0 Dalam pratenya, nla sngular dar matrs daya sulut P basanya tda elas. Khususnya, seumlah nla sngular aan berupa blangan postf ecl yang hampr sama. Maa beberapa rtera atau adah prats dadaan untu menentuan apaah blangan-blangan ecl tu berbeda secara sgnfan dar nol. Metode seles adah berbass DNS dapat menghlangan adah urang pentng dan adah berlebhan dar sebuah bass adah, tetap tda dapat mengdentfasan mana adah yang urang pentng dan mana adah yang berlebhan d antara adah-adah yang dhlangan. C. Jarngan Syaraf Truan. Konsep Dasar Jarngan Syaraf Truan Jarngan syaraf truan adalah suatu sstem pengolahan nformas yang meml araterst nera yang mrp dengan arngan syaraf bologs. Jarngan syaraf truan dbentu sebaga generalsas model matemata dar arngan syaraf bologs, dengan asums: Pengolahan nformas terad d dalam neuron.

67 53 Snyal drm d antara neuron-neuron melalu suatu penghubung yang dsebut snapss. Penghubung antar neuron meml bobot yang dapat memperuat atau memperlemah snyal yang dterma. Bobot merupaan nla matemats dar ones, yang mentransfer data dar satu lapsan e lapsan lannya Untu menentuan eluaran, setap neuron menggunaan fungs atvas tertentu yang sesua dengan masuan yang dterma. Prnsp era arngan syaraf truan dtentuan oleh tga hal, yatu: a. Neuron dan arstetur pola penghubung antar neuron b. Metode untu menentuan bobot penghubung pelathan/proses pembelaaran. Proses pembelaaran merupaan cara berlangsungnya pembelaaran atau pelathan arngan syaraf truan. c. Fungs atvas. Fungs atvas adalah fungs yang menggambaran hubungan antara tngat atvas nternal yang mungn berbentu lnear atau nonlnear. Gambar 2.0 menunuan dagram model matemats arngan syaraf truan

68 y _ n 54 x w x 2 w 2 w n n = w x net f y = f net x n Gambar 2.0 Model matemats arngan syaraf truan Pada Gambar 2.0 d atas sebuah neuron aan mengolah n buah masuan { x, x2,, xn}, yang masng-masng meml bobot w, w, 2, wn, dengan rumus net = n = w x. Kemudan fungs atvas f aan mengatvas net menad eluaran arngan y = f net. Kadang-adang dalam arngan dtambahan sebuah unt masuan yang nlanya selalu sama dengan. Unt yang deman dsebut bas. Ja arngan syaraf dlengap dengan bas, maa proses omputas menad: n net = x w = + b dengan b adalah bas.

69 55 2. Arstetur Jarngan Syaraf Hubungan antar neuron dalam arngan syaraf mengut pola tertentu tergantung pada arstetur arngan syarafnya. Beberapa arstetur yang serng dpaa dalam arngan syaraf truan antara lan: a. Model arngan syaraf dengan satu lapsan sngle layer networ Dalam model arngan syaraf dengan satu lapsan n, semua neuron masuan dhubungan langsung dengan neuron eluar. Tda ada neuron masuan yang dhubungan dengan neuron masuan lannya, deman pula dengan neuron eluaran. Gambar 2. menunuan arstetur arngan dengan tga buah unt nput x, x2, x3 dan dua buah unt output y, y. 2 Gambar 2. Model arngan syaraf dengan satu lapsan

70 56 b. Model arngan syaraf dengan banya lapsan multlayer networ Model arngan syaraf dengan banya lapsan merupaan perluasan dar model arngan syaraf dengan satu lapsan dengan penambahan unt-unt lan dalam lapsan tersembuny hdden layer. Lapsan tersembuny n bersfat varabel, dapat dgunaan lebh dar satu lapsan. Unt dalam lapsan masuan dhubungan e lapsan tersembuny dan unt-unt pada lapsan tersembuny terahr dhubungan e lapsan eluaran. Gambar berut n menunuan model arngan syaraf dengan satu lapsan tersembuny neuron f. Gambar 2.2 Model arngan syaraf dengan satu lapsan tersembuny Gambar 2.2 merupaan arngan dengan tga buah unt masuan x, x2, x3 dan dua buah unt eluaran y, y2, dan sebuah lapsan tersembuny f, f 2.

71 57 c. Model arngan syaraf banya lapsan dengan umpan bal Model banya lapsan dengan umpan bal recurrent networ mrp dengan model arngan syaraf dengan satu lapsan dan model arngan syaraf dengan banya lapsan, hanya saa ada neuron eluaran yang dumpanbalan feedbac loop. Gambar 2.3 Model banya lapsan dengan umpan bal 3. Proses Pembelaaran Berdasaran cara memodfas bobotnya, ada dua macam proses pembelaaran/pelathan yang denal, yatu proses pembelaaran terbmbng supervsed learnng dan proses pembelaaran tda terbmbng unsupervsed. Pada proses pembelaaran terbmbng, terdapat seumlah pasangan data masuan dan target eluaran yang dpaa untu melath arngan hngga dperoleh bobot yang

72 58 dngnan. Sebalnya, pada proses pembelaaran tda terbmbng, tda ada pasangan data yang dadan acuan perubahan bobot. 4. Fungs Atvas Dalam arngan syaraf truan, fungs atvas dpaa untu menentuan eluaran suatu neuron. Argumen fungs atvas adalah net masuan ombnas lnear masuan dan bobotnya. Ja net = n = x w, maa fungs atvasnya adalah n f net = f x w. Beberapa fungs atvas yang serng dpaa adalah sebaga berut: = a. Fungs denttas Untu unt masuan, fungs n adalah fungs denttas. Fungs denttas serng dpaa apabla eluaran yang dngnan berupa blangan real, buan hanya pada nterval [0,] atau [-,]. Persamaan dar fungs denttas adalah: f x = x

73 59 Gambar 2.4 Graf fungs denttas b. Fungs bner dengan ambang α Model arngan syaraf dengan satu lapsan serng menggunaan fungs n untu mengubah masuan yang masu e dalam arngan, d mana nla varabel terhadap sebuah unt eluaran 0 atau dan persamaan dar fungs tersebut adalah: f x = 0 a x α a x < α fx 0 α Gambar 2.5 Graf fungs bner dengan ambang α

74 60 Untu beberapa asus, fungs ambang yang dbuat tda meml eluaran yang bernla 0 atau, tetap bernla - atau serng dsebut fungs ambang bpolar. Jad: a x α f x = a x < α fx α x - Gambar 2.6 Graf fungs ambang bpolar c. Fungs bner sgmod Persamaan dar fungs bner sgmod adalah sebaga berut: f x = x + e f x = f x[ f x]

75 6 Fungs bner sgmod serng dgunaan arena nla fungsnya yang terleta pada nterval [0,] dan dapat ddferensalan dengan mudah sepert dalam persamaan d atas. Gambar 2.7 Graf fungs bner sgmod d. Fungs bpolar sgmod Fungs bpolar sgmod hampr sama dengan fungs bner sgmod, hanya saa eluaran dar fungs n berada dalam nterval [-,]. Fungs bpolar sgmod drumusan sebaga berut 2 e g x 2 f x = = x + e + e g x = [ + g x][ g x] 2 x = x

76 62 Gambar 2.8 Graf fungs bpolar sgmod Fungs bpolar sgmod berhubungan erat dengan fungs tangen hperbol yang uga serng dgunaan sebaga fungs atvas eta angauan yang dharapan dar nla eluaran antara - dan. Fungs tangens hperbol drumusan sebaga berut: x x e e h x =. x x e + e Persamaan tangens hperbol dapat dsederhanaan menad h e + e 2x x = 2x dengan: h x = [ + h x][ h x].