BAB III METODE RESPONSE SURFACE DENGAN SIMULASI MONTE CARLO. solusi dari suatu masalah diberikan berdasarkan proses rendomisasi (acak).

Transkripsi

1 BAB III METODE RESPONSE SURFACE DENGAN SIMULASI MONTE CARLO 3. Smulas Monte Carlo Smulas Monte Carlo merupaan bentu smulas probablst dmana solus dar suatu masalah dberan berdasaran proses rendomsas (aca). Proses aca n melbatan suatu dstrbus probabltas dar varabel-varabel data yang dumpulan berdasaran data masa lalu maupun dstrbus probabltas teorts. Blangan aca dgunaan untu menjelasan ejadan aca setap watu dar varabel aca dan secara berurutan mengut perubahan-perubahan yang terjad dalam proses smulas. (Tarsne,994:5). Monte Carlo (MC) methods are stochastc technques, meanng they are based on the use of random numbers and probablty statstcs to nvestgate problems (Joy Woller,996 ). Metode smulas n meml sfat dasar stoast yang artnya metode n berdasaran pada penggunaan anga-anga yang bersfat aca dan emungnan untu mengdentfasan sebuah masalah, metode n sebelumnya dgunaan untu menyelesaan permasalahan uanttatf dengan proses fs, sepert pelemparan dadu atau pengocoan artu untu menurunan sample. Monte Carlo sendr merupaan penemuan dar Stanslaw Ulam pada tahun 947. Nama Monte Carlo tu sendr pun dambl dar nama sebuah ota d Monaco, yang merupaan tempat asno, yatu permanan yang berdasaran peluang, sepert permanan dadu dan rolet yang semuanya menunjuan prlau aca. Penggunaan 3

2 metode n melbatan beberapa parameter yang nantnya dlauan sebuah perhtungan. Tap-tap perhtungan yang dlauan melbatan sebuah varabel aca, maa dar tu tngat eteltan metode n tergantung pada banyanya teras yang dlauan, seman banya teras yang dlauan maa aan seman telt pula hasl yang ddapatan. Model Smulas Monte Carlo Ja suatu sstem mengandung elemen yang mengutsertaan fator emungnan, maa model yang dgunaan adalah model Monte Carlo. Dasar dar penggunaan smulas Monte Carlo adalah percobaan elemen emungnan dengan menggunaan sampel random (aca). Metode dalam smulas Monte Carlo terbag menjad 5 tahapan sebaga berut: a. Membuat dstrbus emungnan untu varabel pentng. Gagasan dasar dar smulas Monte Carlo adalah membuat nla dar tap varabel yang merupaan bagan dar model yang dpelajar. Banya varabel dalam duna nyata yang secara alam mengandung berbaga emungnan yang dapat dsmulasan. Contoh asus : Permntaan aan baju d too Isma collecton selama 300 har ebelaang adalah terlhat dalam tabel berut: 3

3 Tabel 3. Permntaan Baju Jumlah permntaan Jumlah Freuens permntaan har Keadaan tersebut dapat dubah menjad dstrbus peluang (dengan asums tngat penjualan masa lalu aan tetap bertahan sampa e masa depan) dengan membag freuens permntaan dengan total freuens permntaan. Tabel dstrbusnya adalah sebaga berut :. f ( x) 0. f ( x ) = x 3. P( X = x) = f ( x) Tabel 3. Dstbus Peluang Permntaan Baju Jumlah permntaan Fungs peluang f ( x ) 0 0/300 = 0,03 60/300 = 0,0 30/300 = 0,0 3 50/300 = 0,7 4 40/300 = 0,3 5 60/300 = 0,0 6 0/300 = 0, /300 = 0,0 Jumlah 300/300 =,00 33

4 b. Membangun dstrbus umulatf untu tap varabel yang pentng d tahap pertama. Dstrbus umulatf F ( x) suatu peubah aca X dengan dstrbus peluang f ( x) dnyataan oleh = =. Untu contoh sebelumnya, dstrbus umulatfnya dapat dsajan dalam tabelberut : Tabel 3.3 Dstbus Kumulatf Permntaan Baju Jumlah permntaan Fungs peluang Fungs peluang umulatf ,03 0,0 0,0 0,7 0,3 0,0 0,07 0,0 0,03 0,3 0,33 0,50 0,63 0,83 0,90,00 c. Menentuan nterval anga random (aca) untu tap varabel. Setelah menentuan dstrbus probabltas umulatf untu tap varabel dalam smulas, selanjutnya tentuan batas atau nterval anga aca yang mewal tap emungnan hasl.penentuan nterval ddasaran oleh emungnan umulatfnya. Interval anga aca untu contoh permntaan baju d too Isma collecton sebaga berut Tabel 3.4. Interval Anga Aca Permntaan Baju Jumlah permntaan Fungs peluang 0,03 0,0 0,0 0,7 0,3 0,0 0,07 0,0 Fungs peluang umulatf 0,03 0,3 0,33 0,50 0,63 0,83 0,90,00 Interval anga aca 0 s/d s/d 3 4 s/d s/d 50 5 s/d 63 64s/d s/d 90 9 s/d 00 34

5 d. Membuat anga random aca Pembangtan anga aca untu tugas ahr n menggunaan program Maple. Msalan untu contoh d atas anga random yang dperoleh adalah Tabel 3.5. Contoh Anga Aca Anga aca e. Membuat smulas dar rangaan percobaan Berdasaran anga aca yang telah dperoleh sepert tabel d atas, maa dapat dbuat smulas untu 5 har. Contohnya untu anga aca 78, anga tu terleta pada nterval anga aca 64 s/d 83 yang berat permntaan 5 buah baju. Tabel 3.4 dapat dsmulasan menjad tabel yang bernla jumlah permntaan sebaga berut: 35

6 Tabel 3.6. Hasl Smulas dar Anga Aca Har Anga aca Permntaan (smulas) Jumlah 6 Total permntaan untu 5 har adalah 6 buah baju, dengan rata-rata permntaan per har adalah 4,3 baju. 3.. Metode Response Surface Metode Response Surface merupaan suatu umpulan dar ten-ten statsta dan matemata yang berguna untu manganalss permasalahan tentang beberapa varabel bebas (X) yang mempengaruh varabel tabebas atau respon (Y) (Vncent Gaspersz,995:0), sedangan optmas dlauan untu mencar ombnas nla varabel-varabel fator yang menghaslan nla varabel respon optmal. Hubungan antara varabel bebas (X) dan varabel respon (Y) dan adalah: =,,, + (3.) Dmana: y = varabel respon dar proses yang damat = varabel bebas/ nput( =,, 3,. ) 36

7 ε = error varabel varabel fator,,, dsebut varabel asl, arena duur dengan unt penguuran yang sebenarnya. Pada rancangan fatoral, varabel fator,,, dtransformasan menjad varabel ode X, X,..., X, sebaga berut : X = =,,, (3.) Dmana : X = varabel ode e- = nla varabel fator e- = rata rata nla varabel fator d = selsh antara nla varabel masmum dan nla varabel mnmum pada varabel nput e-. Nla masmum pada varabel nput aan dubah menjad nla varabel rancangan X = + dan nla mnmum pada varabel nput aan dubah menjad varabel rancangan X = -, sedangan nla rata rata varabel nput dubah menjad X = 0. Tahap tahap Metode Response Surface sebaga berut : Tahap Memlh varabel varabel nput (fator fator) yang mempengaruh respon. Hal n dlauan dengan general fatoral. Tahap Menentuan apaah hmpunan varabel varabel nput menghaslan nla varabel respon yang mendeat optmal. Hal n dlauan dengan menggunaan Metode Steepest Ascent/Descent. 37

8 Tahap 3 Membentu model regres orde II dengan menggunaan CCD Central Composte Desgn. Tahap 4 Mencar tt stasoner dar model regres orde II. Tt stasoner dgunaan untu mendapatan ombnas nla varabel-varabel nput yang menghaslan respon optmal. Tahap 5 Analss Kanon Analss anon dgunaan untu menentuan eadaan optmal dar suatu sstem. Masudnya aan dtentuan apaah nla respon optmal yang dperoleh adalah nla respon masmal atau nla respon mnmal. Penjelasan mengena tahap tahap Metode Response Surface d atas aan d jelasan sebaga berut. 3.3 Pemlhan Fator Pada beberapa masalah Response Surface, dtemuan banya varablevarabel nput (fator fator) yang mungn mempengaruh respon, maa perlu dplh fator fator yang sgnfan, pemlhan fator fator yang mempengaruh respon dlauan dengan analss rancangan fatoral sepert yang d jelasan pada bab. Analss rancangan fatoral dgunaan untu menentuan varable-varabel nput (fator fator) yang mungn mempengaruh respon. 38

9 3.4 Metode Steepest Ascent atau Steepest Descent Apabla onds optmal dar suatu espermen adalah nla masmum respon, maa metode n dsebut metode Steepent Ascent. Sebalnya, apabla onds optmal yang dharapsn adalah nla mnmum respon, ten n dnamaan metode Steepest Descent. Menurut Vncent Gaspersz (995:08), prosedur Steepest Ascent / Descenta dalah suatu metode yang dpergunaan penelt agar bergera secara seuensal sepanjang lntasan pendaan tercuram (Steepest Ascent) dmana arah nla tasran respon () bertambah banya atau arah yang member enaan masmal, sedangan arah Steepest Descent merupaan ebalan dar arah Steepest Ascent yatu arah yang member penurunan masmal pada tasran nla respon (). Tujuan metode Steepest Ascent / Steepest Descent adalah bergera cepat menuju tt respon optmal yatu mencar daerah nla yang baru dar varabel nput, yang dharapan dapat menngatan nla respon untu metode Steepest Ascent pada metode Steepest Descent d ngnan penurunan nla respon. Tahap tahap Metode Stepeest Ascent / Descent adalah : Tahap Membentu model regres orde I dengan menggunaan percobaan general fatoral untu Model Regres orde I tda sgnfan, maa dbentu model regres orde II. 39

10 Tahap Apabla pada tahap pertama ddapat model regres orde I yang sgnfan maa aan dhtung steepest Ascent / Descent. Tahap 3 Rancangan percobaan dlauan sepanjang lntasan Steepest Ascent / Descent, yatu dengan mengamat nla respon. Hal n dlauan berulang, untu nla nla varabel rancangan yang dtambahan sebanya. Sampa tda dperoleh nla pengamatan yang menngat (untu Steepest Ascent). Pada Steepest Descent sampa tda dperoleh nla pengamatan yang menurun Model Regres Orde I melalu persamaan polnomal orde pertama dan dgunaan model regres lnear, atau yang lebh denal dengan frst-order model (model orde I): Y = + X 0 β = β (3.3) Dmana : Y = varabel respon X = varabel nput e - =,,, β 0 = ntersep β = besar perubahan mean Y untu setap enaan unt nla X dmana varabel lan danggap onstan. ε = random error yang salng bebas untu dua fator model regres orde I adalah : =! " + (3.4) 40

11 Persamaan regresnya berbentu : # =! " (3.5) 3.4. Perhtungan Lntasan Stepeest Ascent Untu menentuan arah lntasan daan tercuram Stepeest Ascent, langah awalnya bergera dar tt pusat (X, X,,X = 0). Nla langah awal dtentuan sembarang. Geraan dar varabel rancangan X j sepanjang lntasan steepest ascent sebandng dengan besar nla oefsen regres % $. Arahnya dambl dar tanda pada nla tasran oefsen regres tersebut. Artnya ja % $ postf maa lntasan steepest ascent pada X j berupa langah-langah earah sumbu postf. Namun, ja % $ negatf maa langah-langahnya earah sumbu negatf X j. Arah untu lntasan steepest descent berlawanan dengan arah lntasan steepest ascent. Perhtungan lntasan steepest ascent sepert berut: Tahap Plh nla langah dar varabel fator, sebut '. Sebaga dasar pemlhan X j varabel fator dengan nla mutla efsen regres terbesar ()%)* $ terbesar. Tahap Nla langah untu varabel-varabel lan adalah : = + -, + - ' =,,., j (3.6). 4

12 Artnya setap enaan ' unt pada varabel rancangan X j, aan menghaslan enaan sebesar = + -, + - ' unt pada varabel rancangan X.. Tahap 3 Konvers dar varabel fator menjad dar varabel fator.hal n dlauan untu mencar ombnas nla varabel pada lntasan.dengan ombnas tersebut, dapat dlauan rangaan percobaan untu mengamat nla responnya. Dar persamaan (3.) X = =,,, (3.7) Dperoleh untu enaan sebesar unt dar varabel asl maa: + = / (3.8) Dar selsh persamaan (3.) dengan persamaan (3.) dperoleh: + = = = (3.9) Dar persamaan d atas, berart ja ngn enaan sebesar dar varabel rancangan X maa aan dproleh enaan sebesar = pada varabel x. Dengan Lntasan Steepets Ascent dngnan ada langah maju dar rancangan sebesar r unt pada permuaan respon sehngga dapat dproleh enaan masmal pada respon. Dengan perataan lan: dar semua tt yang berjara (r) terhadap pusat rancangan (0, 0,, 0), aan dcar nla-nla (x, x,..., x ) yang memasmalan tasran nla respon y ˆ = ˆ β 0 + = ˆ β X 4

13 Dproleh endala : = x = r (3.0) untu memasmuman endala, dgunaan pengal lagrange : 3,,, = y ˆ = ˆ 0 + = β ˆ β µ4 X = x r 5 (3.) Dfferensal fungs Lagrange terhadap X menghaslan : 678 9,8 :,,8 ; 68 = < > (3,) Dfferensal dsamaan dengan nol : =0 < > =0 = + (3.3) Nla dpandang sebaga onstanta esetaraan, sebut ρ. µ Sehngga =A < I =,, 3,, (3.4) 3.5 Model Regres Orde II Selanjutnya untu model orde II, basanya terdapat elengungan dan dgunaan model polnomal orde edua yang fungsnya uadrat: = = Y = β 0 + β X + β X + β j X X j + ε (3.5) < j Dmana : Y = varabel respon X = varabel fator e- β 0 = ntersep β = oefsen regres orde I dar X β j = oefsen nteras antara X dengan X j β = oefsen uadrat dar X 43

14 ε = random error yang salng bebas tasran persamaan regres berbentu : Y = b 0 + = b X + = b X + < j b j X X j Kemudan dar model orde II dtentuan tt stasoner, araterst permuaan respon dan model optmasnya. 3.6 Tt Stasoner Tt Stasoner dar suatu fungs adalah tt dmana turunan dar fungs d tt tersebut bernla nol. Tt stasoner pada Metode Response Surfaace dgunaan untu mencar ombnas nla fator fator yang menghaslan nla respon optmal. Tt stasoner dnotasan x s, berupa hmpunan nla nla ( x s, x s,,,x s ). Tt stasoner dperoleh apabla memenuh syarat syarat berut : Syarat perlu 6B# =0, 6B # =CD 0 6B # =0 (3.6) : 68 ; Syarat cuup G 6: B# 68: F 9 F F E 6 : B# : 6 : B# 6 : B# 68 : 68 9 J I 68 :: H II (3.7) K# K =0 L +L + +L + +L =0 L +L + +L + = L K# K =0 L +L + +L + +L =0 L +L + +L + = L 44

15 K# K =0 L +L + +L + +L =0 L + +L + +L = L Persamaan persamaan d atas dapat dubah dalam bentu matrs berut : M L L Bx = -b = S L L L L L L L L QM L Q= M Q L L G L F L L J F F L I L L L I IM L Q= M Q F I F E L L I L L H Sehngga tt stasoner adalah T = S L (3.8) Nla estmaas respon pada tt stasoner # T dperoleh dengan mensubstusan nla stasoner pada persamaan tasran regres orde II. # T = <! + U T L+ U T S T = <! +V X S LW L+V X S LW SV S LW = <! LX S L+ Y LX S SS X L = <! LX S L+ 4 LS L = <! + U T L (3.9) Selanjutnya menentuan loas tt stasoner gambar response surface dan peta ontur yatu msalan ta ngn menemuan tngat,,, yang pengoptmalan responnya dapat dperraan. Ja dperoleh ttnya, maa aan 45

16 menjad serangaan,,, yang turunan parsal pada tt setasoner dapat dlhat pada persamaan 3.7. Pada tt stasoner dsn terdapat tga tt emungnan yatu : a. Tt masmum respon b. Tt mnmum respon c. Tt pelana Ketga onds d atas dapat dlhat pada gambar dbawah n (Montgomery,997:436). Gambar 3., Response Surface untu (a) tt masmun, (b) tt mnmum, dan (c) tt pelana 46

17 Karaterst Response Surface Setelah dtemuan tt stasoner, dtentuan pula araterst dar Response Surface yang artnya menentuan jens tt stasoner apaah merupaan tt masmum respon, tt mnmum respon, atau tt pelana. Untu mempermudah pendetesannya maa dgambaran ontur dar permuaan responnya. Dengan program computer peta ontur dapat dhaslan untu analss Response Surface dalam menentuan araterst dar Response Surface. Apabla hanya terdapat dua atau tga varabel nput, nterpretas dan ontrus dar peta ontur aan sangat mudah. Tetap, apabla terdapat lebh banya varabel, analss yang dgunaan adalah Analss Kanon. Metode analss anon yatu dengan mentrasformasan fungs respon dar tt asal x (0, 0,,0) e tt stasoner T dan sealgus merotasan sumbu oordnatnya, sehngga dhaslan fungs respon sebaga berut: = T +[ \ +[ \ + +[ \ (3.0) Dmana :\ = varabel nput baru hasl trasformas T = nla estmas y pada tt stasoner T [ = nla egen yang berupa onstanta dar matrs B, =,,,. Sedangan araterst dar Response Surface dtentuan dar nla [. Ja nlanya semua postf maa T adalah tt masmum. Sedangan ja semua nlanya negatf maa T adalah tt mnmum, tetap ja nla [ berbeda tanda postf dan negatf, maa T merupaan tt pelana (Montgomery, 997:440). 47