Aplikasi Teori Kendali Pada Permainan Dinamis Non-Kooperatif Waktu tak Berhingga

Transkripsi

1 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 Aplkas eor Kendal Pada Permanan Dnams Non-Kooperat Waktu tak Berhngga Nlwan Andraja UIN Sultan Syar Kasm Rau, Pekanbaru Jl. H.R Soebrantas No 155 Km. 18 telp : e-mal: nlwanandraja336@gmal.com Abstrak Pada tulsan n dbahas mengena aplkas teor kendal untuk membentuk vektor kendal pada permanan dnams lner kuadratk non-kooperat dua peman dengan strateg Nash untuk waktu tak berhngga. Pembahasan dawal dar persamaan umum kendal optmal waktu kontnu, kemudan dlanjutkan ke persamaan umum untuk permanan dnams non-kooperat N peman untuk waktu berhngga dengan beberapa asums. Kemudan, dengan asums yang sama dbentuk persamaan umum untuk permanan dnams non-kooperat dua peman untuk waktu tak berhngga, yang terdr dar persamaan derensal sstem dnamk dan ungs objekt yang sesua. Kemudan dengan menggunakan teor kendal dbentuk persamaan aljabar Rccat yang sesua dengan persamaan derensal dan ungs objekt untuk masng-masng peman. Berdasarkan persamaan aljabar Rccat yang dbentuk, dperoleh solus yang dgunakan untuk membentuk vektor kendal yang sesua untuk masng-masng peman. Akhrnya dsmpulkan bahwa terdapat eksstens vektor kendal pada permanan dnams lner kuadratk non-kooperat dua peman dengan strateg Nash untuk waktu tak berhngga. Kata kunc: Permanan dnams non-kooperat, aljabar Rccat, vektor kendal Abstract In ths paper dscuss about applcaton the control theory to orm control vector n lner quadratc non-cooperatve dynamc game two-player wth Nash strategy or nnte tme. Dscuss was started rom general equaton or optmal control o contnuous tme, then dscuss to contnue to general equaton or non-cooperatve dynamc game N player or nte tme wth several assumpton. hen, wth the same assumpton to made general equaton or non-cooperatve dynamc game two-player or nnte tme, whch consstng o derental equaton dynamcal system and objectve uncton sutably. Moreover, wth used control theory to orm algebrac Rccat equaton sutably wth derental equaton and objectve uncton or each player. Based on algebrac Rccat equaton was ormed, gotten soluton whch used to orm control vector sutably or each player. nally gets to be concluded there are exsts control vector n lnear quadratc non-cooperatve dynamc game two-player wth Nash strategy or nnte tme. Keywords: non-cooperatve dynamc game, algebrac Rccat, control vector 1. Pendahuluan Dalam kehdupan sehar-har banyak persoalan yang dapat dhubungkan dengan matematka, bukan hanya persoalan yang rumt tap juga persoalan yang menark sepert permanan. Permanan dapat dbawa ke ranah matematka yang dkenal dengan teor permanan. Banyak orang telah mengetahu bahwa teor permanan merupakan bagan dar persoalan program lner atau rset operas. Hal n dkarenakan, ddalam program lner atau rset operas, persoalan permanan dasumskan mencar keputusan yang mengoptmalkan ungs tujuan dengan data-data awal dsajkan dalam bentuk tabel dan tanpa memlk plhan strateg yang optmal. Asums yang sama namun pendekatan penyelesaan yang lebh berbeda dberkan oleh teor kendal dalam persoalan teor permanan. Berdasarkan teor kendal, persoalan permanan dpandang sebaga persoalan sebuah model sstem dnams dserta ungs tujuan. Sehngga, ddalam model sstem dnams permanan tersebut, terdapat varabel state dan kendal. Sedangkan data-data awal dsajkan dalam bentuk matrks, sehngga dapat dgunakan teor-teor matrks sepert pada aljabar lner. Selanjutnya, untuk mencar keputusan yang akan mengoptmalkan ungs tujuan, dperoleh dengan mencar kendal sebaga solus yang sesua dengan strateg yang dngnkan. Salah satu strateg yang menark yatu strateg Nash untuk waktu tak hngga. Masalah solus strateg Nash, telah djelaskan oleh beberapa ahl dantaranya dberkan oleh amer Basar (1999) dan Jacob Engwerda () yang telah menjelaskan tentang eksstens solus strateg Nash untuk persoalan permanan dnams non-kooperat dengan waktu tak hngga kasus non skalar. Hal yang sama juga dberkan oleh Weeren (1999) yang menjelaskan mengena eksstens solus strateg Nash untuk persoalan permanan dnams non-kooperat dengan waktu tak hngga kasus non skalar dan skalar. 4

2 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 Oleh karena tu, peneltan n akan membahas mengena teor permanan dpandang dar teor kendal. ermasuk mencar eksstens keputusan sebaga solus yang akan mengoptmalkan ungs tujuan, yang sesua dengan solus strateg Nash, yang akan memberkan alternat untuk menyelesakan persoalan teor permanan dsampng menggunakan pendekatan program lner serta akan member kemudahan menentukan keputusan bag permanan dnams non-kooperat untuk berbaga konds sstem dnamk dan ungs tujuan dua peman waktu kontnu.. Metode Peneltan Peneltan n menggunakan stud lteratur dan langkah-langkah yang dlakukan pada peneltan n adalah sebaga berkut : 1. Membentukan model sstem dnams kasus permanan non-kooperat dua peman beserta ungs tujuan untuk waktu tak hngga berdasarkan masalah kendal optmal.. Membentuk persamaan aljabar Rccat yang bersesuaan berdasarkan persamaan derensal Rccat, 1 S A S SA SBR B S Q, t 3. Mencar eksstens keputusan strateg Nash yang akan mengoptmalkan ungs tujuan permanan dnams. 3. Hasl dan Pembahasan 3.1. Masalah Umum Kendal Optmal Waktu Kontnu. Persamaan derensal untuk permasalahan umum kendal optmal waktu kontnu untuk sstem dnams dberkan sebaga berkut x( t) ( x( t), u ( t), t), (3.1.1) dengan adalah vektor state nternal dan adalah vektor kendal nput. ungs tujuan yang akan dcapa yatu memnmalkan ungs objekt, dengan persamaan J( t ) ( x( ), ) L( x( t), u ( t), t) dt, (3.1.) dengan t adalah waktu awal dan adalah waktu akhr. t 3.. Kendal Optmal Lngkar ertutup Lner Kuadratk. Pada persoalan sstem dnamk lngkar tertutup, dasumskan terdapat sebuah persamaan derensal sstem dnamk, dengan tujuan memnmalkan ungs objekt berbentuk kuadratk. Selanjutnya akan dcar vektor kendal yang akan memnmalkan ungs tujuan berdasarkan nput yang dberkan kepada persamaan derensal sstem dnamknya. Adapun bentuk model matematka persoalan masalah kendal optmal lngkar tertutup lner kuadratk, dapat ddenskan pada persamaan derensal sstem dnamk berkut x( t) Ax( t) Bu ( t), (3..1) dengan, dan kendal nput,dan memnmalkan ungs objekt yatu 1 1 J( t) x ( ) S( ) x( ) ( Q R ) dt x x u u, (3..) dengan t waktu awal dan merupakan matrks smetr yang mempengaruh ungs objekt. Dasumskan Q dan ( ) t waktu akhr, matrks R, matrks Q dan matrks S ( ), ketganya S sem dent post ( Q, S( ) ), selanjutnya Q dan S ( ) memlk nla egen nonnegat sehngga x Qx dan x ( ) S( ) x ( ) bernla nonnegat untuk setap x () t. Dasumskan juga R adalah dent post dengan R sehngga R memlk nla egen post sehngga u Ru untuk setap u ( t) berkut : Persamaan Hamlton : Persamaan state yatu. Selanjutnya dberkan persamaan-persamaan 1 H( t) ( x Qx u Ru) λ ( Ax Bu ). (3..3) H x A x B u. λ (3..4) 41

3 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 Persamaan kostate yatu Persamaan konds stasonary yatu Berdasarkan persamaan (3..6) dperoleh H Q A λ x λ x H R B u λ u 1 u( t) R B λ ( t). (3..7). (3..5). (3..6) Selanjutnya persamaan (3..7) dsubsttuskan ke persamaan (3..4), maka dperoleh 1 x AxBR B λ. (3..8) Dengan mengambl persamaan (3..8) dan persamaan (3..5) maka dapat dbuat sstem homogen Hamlton yatu 1 x A Q BR B λ λ, (3..9) A x dengan matrks koesen dsebut matrks Hamltonan. Dketahu t dan x ( t), waktu akhr dketahu, state akhr x ( ) bergantung kepada sehngga dx ( ) tdak nol, maka konds akhr yatu λ( ) S( ) x ( ), (3..1) Maka untuk mencar kendal optmal, maka akan dselesakan masalah dua ttk batas. Dasumskan x () t dan λ () t memenuh persamaan (3..1) untuk setap nterval sehngga dengan S ( ) adalah matrks n n λ( t) S( t) x ( t), (3..11) [ t, ]. Selanjutnya derensalkan persamaan (3..11) ddapat λ Sx Sx. Kemudan dar persamaan (3..8) dperoleh 1 λ Sx Sx Sx S( Ax BR B Sx ). (3..1) Berdasarkan persamaan (3..5) ddapat selanjutnya, dsubsttuskan persamaan (3..1) ke λ Qx A λ, dperoleh 1 Qx A λ Sx S( Ax BR B Sx ) 1 Sx SAx SBR B Sx Qx A Sx S A S SA SBR B S Q persamaan (3..13) memenuh untuk setap waktu t,maka dperoleh 1 S A S SA SBR B S Q λ Qx A λ λ Qx A λ, 1 x ( ) x, (3..13) karena, t, (3..14) persamaan (3..14) dsebut persamaan derensal Rccat. Jka St () adalah solus dengan konds akhr S ( ), maka persamaan (3..1) berlaku untuk setap t, maka asums benar. Karena solus persamaan derensal Rccat adalah St () dan Sx, maka vektor kendal 1 optmal yang dberkan dar persamaan (3..7) yatu u( t) R B λ ( t) menjad 1 u( t) R B S( t) x ( t), (3..15) 1 selanjutnya dsmbolkan K( t) R B S( t), (3..16) sehngga vektor kendal optmal menjad u( t) K( t) x ( t). (3..17) 3.3. Permanan Dnams Non-Kooperat dua Peman. Masalah umum permanan dnams non-kooperat ddenskan dalam bentuk persamaan derensal sstem dnamk permanan untuk N peman N x( t) Ax( t) Bu ( t), x() x (3.3.1) 1 4

4 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 dengan matrks dan,. Setap peman memlk sebuah ungs objekt yang akan dmnmalkan N 1 N j j j j1 J ( u,, u ) x ( ) K ( ) x( ) { x ( t) Q x( t) u ( t) R u ( t)} dt (3.3.) serta semua matrks pada ungs tujuan J dasumskan merupakan matrks dengan 1,,, N smetr, R dan j ddenskan Q keduanya merupakan matrks dent post untuk 1,,, N S B R B dan S 1 B R R R B untuk j j j, serta Selanjutnya akan dbentuk persamaan derensal sstem dnamk permanan non-kooperat untuk dua peman waktu tak berhngga x( t) Ax( t) Bu ( t) B u ( t), x() x (3.3.3) Pada bagan waktu tak berhngga, ungs objekt memenuh krtera J ( u, u ) lm J ( u, u ), sehngga para peman memnmalkan ungs objekt 1 1 untuk j, 1,. 1 j j j j1 J ( u, u ) x ( ) K ( ) x( ) { x ( t) Q x( t) u ( t) R u ( t)} dt (3.3.4) ungs tujuan permanan dua peman waktu tak berhngga memenuh asums dan matrks R serta j matrks Q keduanya dent post. Selanjutnya akan dbentuk vektor kendal u x dengan () t R B K, =1,, dan merupakan ekulbrum lner umpan balk Nash. 1 (, ) adalah anggota { ( 1, ) A B B stabl} 1 berkut. Deens Ekulbrum lner memenuh pertdaksamaan untuk setap 1 1 =, yang memenuh dens 1, dsebut ekulbrum lner umpan balk Nash jka J ( x,, ) J ( x,, ) dan J ( x,, ) J ( x,, ) 1 1 x dan untuk setap matrks state umpan balk, 1, sedemkan sehngga (, ) dan (, ) Eksstens solus Permanan Dnams Non-Kooperat dua Peman. Dpandang kembal sstem persamaan derensal sstem dnamk permanan non-kooperat untuk dua peman waktu tak berhngga, berturut-turut persamaan (3.3.3) dan (3.3.4). Akan dtunjukkan ada 1 K1( t), K( t ) yang memenuh () t R B K dengan asums ( 1, ) adalah ekulbrum umpan balk Nash, yang memenuh Sehngga dapat dbentuk u x. J ( x,, ) J ( x,, ) dan Pada kasus peman pertama, dketahu peman pertama menjad dengan J ( x,, ) J ( x,, ). 1 1 u ( t) x ( t), maka sstem dnamk x Ax B u B x dengan ungs objekt J x ( ) K ( ) x( ) { x ( Q R ) x u R u } dt, berdasarkan sstem dnamk dan ungs objekt peman pertama, dapat dbentuk persamaan aljabar Rccat 1 ( A B ) K K ( A B ) K S K ( Q R ), (3.4.1) 43

5 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 dengan mensubsttuskan R B K kepersamaan (3.4.1), maka dperoleh 1 ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K. (3.4.) 1 Persamaan (3.4.) akan memlk solus K 1. Sehngga dapat dbentuk pertama dapat membentuk ungs kendal u x. R B K 1 1, maka peman Secara sama untuk peman kedua, maka sstem dnamk peman pertama menjad x Ax B x B u dengan ungs objekt x x x x u u 1 J ( ) K ( ) ( ) { ( Q R ) R } dt Maka dapat dbentuk persamaan aljabar Rccat 1 ( A B ) K K ( A B ) K S K ( Q R ) (3.4.3) Dengan mensubsttuskan R B K kepersamaan (3.4.3), maka dperoleh 1 1 ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K (3.4.4) 1 Maka dapat dperoleh K sebaga solus dar persamaan (3.4.4) sehngga peman pertama dapat membentuk ungs kendal u x. Berdasarkan persamaan (3.4.) dan (3.4.4) dperoleh u dsubstuskan ke persamaan derensal sstem dnamk, maka dperoleh Selanjutnya karena x dan R B K 1 u x Ax Bu B u Ax B x B x A B B x. 1, ekulbrum Nash yang memenuh J1( x, 1, ) J1( x, 1, ) dan J( x, 1, ) J( x, 1, ) maka dasumskan dan sehngga dperoleh x A B B nla egen real bernla negat untuk AB B, maka AB B stabl. Sehngga solus u x dan u permanan non-kooperat. maka x, kemudan x dengan x, dapat menstablkan persamaan derensal sstem dnamk 4. Kesmpulan Berdasarkan uraan pada hasl dan pembahasan yang telah dberkan, maka dperoleh kesmpulan bahwa berdasarkan permanan dnams non-kooperat untuk N peman, dapat dbentuk persamaan derensal sstem dnamk permanan non-kooperat untuk dua peman waktu tak berhngga yatu dengan para peman memnmalkan ungs objekt x( t) Ax( t) Bu ( t) B u ( t), x() x 1 j j j j1 J ( u, u ) x ( ) K ( ) x( ) { x ( t) Q x( t) u ( t) R u ( t)} dt. Selanjutnya berdasarkan persoalan kendal optmal waktu kontnu, maka masng-masng peman pada permasalahan permanan dnams non-kooperat dua peman dapat dbentuk persamaan aljabar 1 Rccat, yang dgunakan untuk membentuk vektor kendal u x dengan () t R B K untuk 1, yang merupakan ekulbrum umpan balk Nash untuk masng-masng peman. Untuk peneltan selanjutnya, dapat dlakukan peneltan dua peman untuk kasus waktu tak berhngga dengan asums matrks-matrks menjad skalar atau dengan menelt untuk kasus N peman dengan asums yang sama dengan kasus dua peman untuk kasus waktu tak berhngga. 44

6 Semnar Nasonal eknolog Inormas Komunkas dan Industr (SNIKI) 4 ISSN : akultas Sans dan eknolog UIN Sultan Syar Kasm Rau Pekanbaru, 3 Oktober 1 Datar Pustaka Jurnal : [1] Engwerda J. eedback Nash equlbra n the scalar nnte horzon LQ-game. Automatca. ; 36 : [] Weeren AJM, Schumacher JM, Engwerda J. Asymptotc analyss o lnear eedback Nash equlbra n nonzero-sum lnear-quadratc derental games. Journal o Optmzaton heory and Applcatons.1999: 11: p Buku : [1] Basar. Dynamc noncooperatve game theory. Phladelpha: SIAM [] Bellman R. Introducton to Matrx Analyss. Phladelpha: SIAM [3] Engwerda J. LQ Dynamc Optmzaton and Derental Games. Chchester: John Wley & Sons. 5. [4] Lews L. Appled Optmal Control and Estmaton. New Jersey: Prentce-Hall, Inc [5] Olsder GJ. Mathematcal System heory. Delt: Unversty o echnology [6] Perko L. Derental Equatons and Dynamcal System. New York: Sprnger-Verlag