Penyelesaian Sistem Persamaan Linear pada Aljabar Max-Plus

Transkripsi

1 Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear pada Alabar Max-Plus Cnd Medsa #1, Yusmet Rzal* 2, Helma* 3 1# Student of Mathematcs Department State Unversty of Padang, Indonesa 2,3 *Lecturers of Mathematcs Department State Unversty of Padang, Indonesa 1 cnd2805@gmal.com 2 yusmet_abdurrahman@yahoo.co.d 3 helma667@yahoo.co.d Abstract Lnear equaton can be used for solvng problem n the daly lfe. An ssues such as the work network systems an example of a problem that s solved by usng lnear equaton wth the basc operaton used s the maxmum operaton (max) and addton operaton (+). System of lnear equaton wth basc operaton such as maxmum and addton s contaned n the Max-Plus Algebra. Problem formulaton n ths research s How to solve a system of lnear equaton n Max-Plus Algebra. The result that obtaned n system of lnear equaton at the frst step then change t n to canoncal,next t wll be solved n the same way lke n lnear algebra. Soluton from system of lnear equaton x = Ax b sx = A bsa = e A A 2 A n A n1. And soluton from system of lnear equaton Ax = bexst fthe greatest sub solvng(x)wth x = max b + A fulfll the system of lnear equaton Ax = b. Keywords Matrces, Max-Plus Algebra,System of Lnear Equaton. Abstrak Persamaan lnear dapat dgunakan untuk memecahkan masalah dalam kehdupan sehar-har. Masalah sepert sstem arngan kera merupakan suatu contoh masalah yang dselesakan menggunakan persamaan lnear dengan operas dasar yang dgunakan adalah operas maksmum (max) dan operas penumlahan (+). Sstem persamaan lnear dengan operas dasar maksmum (max) dan penumlahan (+) sepert n terdapat pada Alabar Max-Plus. Rumusan masalah pada peneltan n adalah Bagamana penyelesaan sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plus. Hasl yang ddapatkan pada peneltan adalah untuk menyelesakan sstem persamaan lnear Ax b = Cx d terlebh dahulu dubah kedalam bentuk kanonk, selanutnya dselesakan dengan cara yang sama sepert pada alabar lnear. Solus dar sstem persamaan lnear x = Ax b adalah x = A b dengan A = e A A 2 A n A n1. Dan solus dar sstem persamaan lnear Ax = b ada ka subpenyelesaan terbesarnya (x)dengan x = max b + A memenuh sstem persamaan lnear Ax = b. Kata kunc Matrks, Alabar Max-Plus,Sstem Persamaan Lnear. PENDAHULUAN Persamaan lnear dapat dgunakan untukmemecahkan masalah dalam kehdupan sehar-har, sepertsstem arngan kereta, sstem arngan telekomunkas, sstem produks, sstem pemrosesan pararel pada komputer, dan sebaganya.hal n dapat dlakukan dengan memodelkan masalah tersebut kedalam model matematka.msalnya, suatu sstem arngan kereta sederhana yang terdapat pada [3]. Permasalahan sstem arngan kereta d atas merupakan suatu contoh pemodelan matematka yang merupakan sstem persamaan lnear dengan operas dasar yang dgunakan adalah operas maksmum (max) dan operas penumlahan (+).Pengoperasan sepert n terdapat pada Alabar Max-Plus [1].Oleh karena tu, masalah sepert sstem arngan kereta dselesakan dengan menggunakan sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plus. Beberapa sfat dar Alabar Max-Plus, yatu R R \{ε} dengan operas bner membentuk grup dan Alabar Max-Plus membentuk sem-feld yang komutatf dan dempotent.untuk pembuktan dar sfat n bsa dlhat pada [3].Operas dan dapat dperluas dalam bentuk matrks. Jka A, B R dan C R serta α R maka dperoleh (A B) = max(a, B ) (A B) = A B ( A) = A,untuk semua, Untuk penelasan d atas yang lebh mendalam terdapat pada [4].

2 Sstem persamaan lnear dalam Alabar Max-Plus, yatu Ax b = Cx d, dengan A, C (R ), b dan d adalah matrks berukuran n 1 dmana b, d untuk = 1,2,, n. Bentuk lan dar sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plus adalah x = Ax b, sstem persamaan lnear x = Ax berat katannya dengan graf Precendence.DanSstem persamaan lnear Ax = b,mungkn saa tdak memlk penyelesaan. Untuk tu masalah penyelesaan sstem persamaan lnear Ax = bdapat dperlemah dengan mendefnskan konsep sub penyelesaan terbesardar Ax = b. Peneltan n dharapkan dapat menyelesakan sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plus, sehngga dapat dgunakan untuk menyelesakan masalah dalam kehdupan sehar-har sepert masalah sstem arngan kereta. (a x ) = (c x ) d (5) Msalkan a = a, ka dsubsttuskan persamaan (5) ke (4) dperoleh (c x ) d b = (c x ) d Karena b = d maka persamaan menad (c x ) d b = (c x ) b (6) Msalkan b d dan c = c,maka persamaan (6) menad (c x ) b = (c x ) b (7) Secara grafk, persamaan (7) dapat dgambarkan sebaga berkut: METODE Peneltan n adalah peneltan dasar (teorts).adapun metode yang dgunakan adalah analss teor-teor yang relevan dengan permasalahan yang dbahas dengan berlandaskan pada kaan kepustakaan.adapun langkahlangkah untuk mendapatkan awaban dar permasalahan adalah sebaga berkut: 1. Mempelaar stud ltelatur yang mengka tentang Alabar Max-Plus, matrks, sstem persamaan lnear, dan solus sstem persamaan lnear. 2. Menentukan solus sstem persamaan lnear (A x) b = (C x) d 3. Menentukan solus sstem persamaan lnear x = (A x) b 4. Menentukan solus sstem persamaan lnear (A x) = b 5. Menark kesmpulan HASIL DAN PEMBAHASAN A. Sstem Persamaan LnearAx b = Cx d Sstem persamaan lnear Ax b = Cx d dengan A, C (R ), b dan d adalah matrks berukuran n 1 dmana b, d (R ) untuk =1,2,,n. Sstem persamaan lnear 2 varabel dar Ax b = Cx d dapat dtuls dalam bentuk berkut: Gambar. 2 Grafk persamaan 7 Dar Gambar 2, secara geometrs solus x dar sstem persamaan (7) adalah mempunya banyak solus. Selanutnya, substtuskan nla x ke persamaan (5) dengan cara yang sama dperoleh nla dar x. Dan tulah solus dar sstem persamaan tersebut. 2. a < c, a > c, b > d, dan b < d Bentuk kanonk persamaan (2) adalah ε a ε a x x b = c ε ε c ε x x ε d (8) Dar persamaan (8) ddapatkan 2 persamaan, yatu: (a x ) b = c x (9) a x = (c x ) d (10) Msalkan a = a, ka dsubsttuskan persamaan (10) ke (9) dperoleh (c x ) d b = c x (11) Msalkan d > b dan c < c maka persamaan (11) menad (c x ) d = c x (12) Secara grafk, persamaan (12) dapat dgambarkan a a a a x x b = c c b c c x x d sebaga berkut: (2) (1) d Dalam menyelesakan sstem persamaan lnear Ax b = Cx d untuk 2 varabel, terlebh dahulu dubah ke dalam bentuk kanonk dan selanutnya akan dselesakan sepert alabar lnear. Dar persamaan (2) akan dbahas beberapa kasus, yatu: 1. a < c, a > c, b = d, dan b < d Bentuk kanonk [2] persamaan (2) adalah ε a ε a x x b = c ε ε c ε x x d (3) d Dar persamaan (3) ddapatkan 2 persamaan, yatu: (a x ) b = (c x ) d (4) Gambar. 3 Grafk persamaan 12

3 Dar Gambar 3, secara geometrs solus x dar sstem persamaan (12) adalah mempunya solus tunggal. Selanutnya, substtuskan nla x ke persamaan (10) dengan cara yang sama dperoleh nla dar x. Dan tulah solus dar sstem persamaan tersebut. 3. a < c, a > c, dan b < d Bentuk kanonk persamaan (2) adalah ε a ε a x x ε ε = c ε c ε x x d (13) d Dar persamaan (13) ddapatkan 2 persamaan, yatu: a x = (c x ) d (14) a x = (c x ) d (15) Msalkan a = a, ka dsubsttuskan persamaan (15) ke (14) dperoleh (c x ) d = (c x ) d (16) Msalkan c < c dan d < d, maka secara grafk persamaan (16) dapat dgambarkan sebaga berkut: Dar Gambar 5 dan 6 secara geometrs solus dar persamaan ax b = a x b tdak mempunya ttk temu, artnya sstem persamaan lnear n tdak mempunya penyelesaan. 2. Mempunya solus tunggal Grafk dar persamaan d atas yang mempunya solus tunggal sebaga berkut: Gambar.7 Grafk persamaan a > a danb < b Gambar. 8 Grafk persamaan a < a dan b > b 3. Mempunya banyak solus Grafk dar persamaan d atas yang mempunya banyak solus sebaga berkut: Gambar. 4 Grafk persamaan 16 Dar Gambar 4, secara geometrs solus x dar sstem persamaan (16) adalah tdak mempunya solus. Selanutnya, substtuskan nla x ke persamaan (15) dengan cara yang sama dperoleh nla dar x. Dan tulah solus dar sstem persamaan tersebut. Jka dberkan bentuk umum dar permasalahan d atas, yatu ax b = a x b. Maka ddapatkan kemungknan penyelesaan dar persamaan ax b = a x b, yatu: Gambar.9 Grafk persamaan a = a danb b Gambar. 10 Grafk persamaan a a dan b = b 1. Tdak punya solus Grafk dar persamaan d atas yang tdak mempunya solus sebaga berkut: b a Gambar.11 Grafk persamaan a = a danb = b Gambar.5 Grafk persamaan a > a danb > b Gambar. 6 Grafk persamaan a < a dan b < b Penyelesaan dar bentuk umum ax b = a x b dgunakan untuk mendapatkan solus dar sstem persamaan lnear Ax b = Cx d. Dmana bentuk

4 persamaan ax b = a x b dnamakan Persamaan Affne. B. Sstem Persamaan Lnearx = Ax b Penyelesaan sstem persamaan lnear x = Ax berat katannya dengan graf precendence. Berkut akan delaskan penyelesaan sstem persamaan lnear dar x = Ax b, yatu: 1. Msalkan A R dan b R, ka terdapat bobot rata-rata srkut graf G(A) kurang dar atau sama dengan 0 dana e A = ddapatkan A b = 1 A b = A b (e b) 1 0 = A A b (e b) 1 A, maka = A (A b) b (17) Selanutnya pandang persamaan x = Ax b (18) Msalkan x = A b (19) Jka dsubsttuskan persamaan (19) ke (18) maka dperoleh A b = A(A b) b Jad solus dar x = Ax badalah x = A b 2. Msalkan bobot srkut dalam G(A)adalah negatf dan msalkan y adalah solus persamaan x = Ax b selan x = A b, ka dsubsttuskan y dalam b (A x) maka dperoleh y = A y b = A [(A y) b] b = (A y) (A b) b Dengan mengulang proses d atas ddapatkan y = b (A b) (A y) (A y) = b (A b) (A () b) (A b) Perhatkan: = 1 l0 (A b) (A y) Entr-entr A adalah bobot maksmum dar path dengan panang. Untuk cukup besar, setap path memuat satu atau lebh srkut elementer turunan sebaga subpath dan kalau menuu banyaknya srkut elementer yang terad menuu, karena srkut mempunya bobot negatf maka entr-entr A menuu ε untuk menuu, yatu lm A y = ε Jad, untuk menuu persamaan (18) menad y = A b, karena y = lm = lm 1 l0 1 l0 (A b) A b = A b = x Karena y = x maka solus dar x = Ax b untuk semua srkut d G(A) berbobot negatf adalah tunggal. Sehngga dapat dsmpulkan bahwa Jka bobot ratarata srkut graf G(A) kurang dar atau sama 0, maka x = A b adalah penyelesaan dar x = Ax b dan ka bobot srkut dalam G(A) adalah negatf, maka solus persamaan x = Ax b adalah tunggal. C. Sstem Persamaan LnearAx = b Salah satu sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plusadalah Ax = b.kekurangan dar Alabar Max- Plus adalah tdak adanya nvers addtve, hal n menyultkan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear Ax = b. Sstem persamaan lnear pada Alabar Max-Plus tdak selalu mempunya penyelesaan oleh karena tu, masalah penyelesaan Ax = b kemudan dperlemah dengan mendefnskan konsep subpenyelesaan, sepert yang telah delaskan sebelumnya. Dar defns tersebut dperoleh keterangan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear Ax = b langkah awal yang harus dlakukan adalah mencar solus persamaan subpenyelesaan terbesar (x) dar Ax = b. a x a x a x a x b a Ax b x a x a x a x b a x a x a x a x b (A x ) b,,,, A x b,, A + x b,, Karena unsur setap kolom matrks A tdak semuanya sama dengan ε, maka untuk setap selalu ada sehngga A ε yang berart A ada. Dketahu setap a R

5 berlaku a ε = ε dan a ε = a, maka koefsenkoefsen A = ε tdak akan berpengaruh pada nla A x, sehngga berlaku (A + x b,, ) (A + x b,, dengana ε) (x b A,, dengana ε) (x ( x Jad subpenyelesaan dar sstem Ax = b adalah setap vektor x, yang komponen-komponennya memenuh mn(b A ),, dengana ε) max( b + A ), ) Jka vektor x = [x, x,, x ] Ddefnskan dengan x max b + A, x max b + A, = 1,2,, n Sehngga dperoleh: x = max b + A x = mn b A, dengana ε x b A,, dengana ε) (A x ) b, untuk setap A x b Jad, vektor xtersebut merupakan subpenyelesaan dar sstem Ax = b.karena x max b + A = x Maka, x x, Akbatnya, x x Sehngga vektor x merupakan subpenyelesaan terbesar dar sstem Ax = bdengan x = max b + A Jka subpenyelesaan terbesar dar Ax = bmemenuh sstem persamaan lnear Ax = b maka subpenyelesaan terbesar merupakan solus dar sstem persamaan lnear tersebut. Selanutnya, dtentukan perlaku dar penyelesaansstem persamaan lnear Ax = b, untuk menentukan perlaku tersebut dgunakan matrks ketdaksesuaan D, dan matrks tereduks ketdaksesuaan R, [6]. Dar matrks tereduks ketdaksesuaan R, terdapat 2 kasus, yatu: 1. Jka semua bars dar matrks R, semua entr bernla 0. Msal, bars ke-k dar matrks R, semua entr bernla 0 dengan tdak menghlangkankeumumannya. Andakan x adalah suatu penyelesaan darax = b, maka Atau Sehngga x x mn b a < (b a ) l max b + a > (a b ) l x + a < b, Dengan demkan x tdak memenuh persamaan ke-k, hal n bertentangan dengan x adalah suatu penyelesaan dar Ax = b. Akbatnya, x bukan penyelesaan dar Ax = b atau persamaan Ax = b tdak punya penyelesaan. 2. Jka setdaknya pada setap bars matrks R, memuat entr bernla 1. Msal, bars ke-k dar matrks R, tdak semua entr bernla 0 dengan tdak menghlangkan keumumannya. Andakan x bukan suatu penyelesaan darax = b maka Sehngga x maxb a, k, max a + x b Dan ka x bukan penyelesaan dar Ax = b maka ada suatu k dengan maxa + x < b Hal n ekuvalen dengan Karena x < b a x = max b + a untuk beberapa l maka tdak ada entr d bars ke-k pada matrks R, yang bernla 1. Hal n bertentangan dengan pernyataan bahwa setap matrks R, setdaknya memuat entr yang bernla 1. Jad, haruslah x merupakan penyelesaan dar Ax = b. Sehngga dperoleh kesmpulan bahwa ka suatu bars dar matrks R, semua entrnya 0, maka Ax = b tdak mempunya penyelesaan. Dan ka setdaknya pada

6 setap bars matrks R, memuat entr bernla 1, maka x adalah suatu penyelesaan dar Ax = b. Jka Ax = b mempunya penyelesaan maka terdapat dua kemungknan penyelesaan, yatu mempunya solus tunggal dan mempunya banyak solus [6]. Sehngga, terdapat dua kasus, yatu: 1. Jka setap bars R, hanya ada satu entr yang bernla 1, maka dsetap bars R, terdapat suatu entr peubah tetap dan tdak ada entr slack sehngga semua entr x tetap, ad penyelesaan dar Ax = b adalah tunggal. 2. Jka suatu bars R, terdapat lebh dar satu entr yang bernla 1 sehngga terdapat entr slack. Msalkan r adalah satu entr slack pada R, dan x adalah penyelesaan dar Ax = b. Karena r bukanlah entr peubah tetap, maka tdak ada entr peubah tetap pada kolom ke- dar matrks R,. Jad, persamaan bsa dcapa tanpa menggunakan entr x. Dengan demkan walaupun nla x menunukkan nla maksmum yang mungkn untuk entr n, setap nla yang lebh kecl atau sama dengan x tdak mempengaruh keberadaan persamaan bars yang telah dtetapkan. Akbatnya penyelesaan dar Ax = b tdaklah tunggal atau mempunya banyak penyelesaan. Sehngga dar dua kasus d atas dperoleh kesmpulan, yatu ka setap bars dar matrks R, hanya ada satu entr yang bernla 1, maka penyelesaan dar Ax = b adalah tunggal dan ka ada entr slack pada matrks R,, maka penyelesaan dar Ax = b tdaklah tunggal atau mempunya banyak solus. SIMPULAN Penyelesaan sstem persamaan lnear pada alabar Max-Plus, yatu memenuh: 1. Solus dar sstem persamaan lnear umum Ax b = Cx d yatu ka persamaan Affne ax b = a x b memenuh: a. (a < a) dan (b < b )) atau ((a < a ) dan (b < b)) Maka penyelesaannya adalah x = (b b ) ( a a ). b. Jka tdak memenuh persamaan d atas dan a a dan b b, maka persamaan tersebut tdak memlk penyelesaan. c. a = a dan b b, maka penyelesaannya adalah x (b b ) a. d. a a dan b = b, maka penyelesaannya adalah x b (a a ). e. a = a dan b = b, maka semua x R adalah penyelesaan dar persamaan tersebut. 2. Sstem persamaan lnear x = Ax b Solus sstem persamaan lnear x = Ax b adalah x = A b dengan A = e A A A A A. 3. Sstem persamaan lnear Ax = b Langkah awal untuk menentukan solus dar sstem persamaan lnear Ax = b, adalah dengan menententukan subpenyelesaan terbesarnya, yatu x dengan x = max ( b + A ) untuk setap = 1,2,3,, m dan = 1,2,3,, n. Jka subpenyelesaan terbesar memenuh sstem persamaan lnear Ax = b maka subpenyelesaan terbesar merupakan penyelesaan dar sstem Ax = b dan sebalknya.selanutnya dtentukan perlaku penyelesaan sstem persamaan lnear Ax = b denganmenggunakan matrks tereduks dan matrks tereduks ketdaksessuaan. REFERENSI [1] Baccell,F.,Cohen,G.,olsde,G..,Quadrat, J.P. (2001). Synchron Zaton and Lnearty, New York: Jhon wlley and sons. [2] Cohen,G., Quadrat, J.P, dan Stephane, G. (1998). Max-Plus Algebra and System Theory: Where We Are and Where To Go Now. Dambl tanggal 15 Jun 2013 dar Nantes-revsed.pdf. [3] Medsa, Cnd. (2014). Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear pada Alabar Max-Plus, Padang: Unverstas Neger Padang. [4] Quadrat,J.P. (1995). Max-Plus Algebra and Applcaton to System Teory and Optmal Control.Proceedngs of the Internatonal Congress of Mathematcans, Zurch, Swtzerland, August 1994, publshed by Brkhaüser, pp , [5] Rudhto, Andy, M. (2005). Sstem Persamaan Lnear Max-Plus. SIGMA, Vol. 8, No. 2, Jul 2005: ISSN: [6] Subono. (2012). Alabar Max-Plus dan Terapannya, Surabaya: ITS.