Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov
|
|
|
- Liani Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov Rukmono Budi Utomo, M.Sc. January 20, 2017
2 Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov 1 Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov
3 Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.
4 Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.
5 Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global. Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.
6 Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global. Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov. Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V (x, y) yang definit Postif dengan V < 0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika V = 0, maka sistem stabil.
7 Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y)?
8 Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y)? Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov.
9 Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y)? Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov. Berdasarkan hal tersebut, diperlukan metode untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dari sistem PD yang diketahui
10 Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguraikan berbagai metode yang dapat digunakan dalam mengkonstruksi Fungsi Lyapunov, antara lain: 1 Metode First Integral 2 Metode Krasovsi 3 Metode Zubov dan 4 Metode Khalil
11 Metode First Integral Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut ẋ = f (y 1, y 2,..., y n ) ẏ = f (x 1, x 2,..., x n )
12 Metode First Integral Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut ẋ = f (y 1, y 2,..., y n ) ẏ = f (x 1, x 2,..., x n ) Contoh 1 Diberikan sistem PD sebagi berikut ẋ = y ẏ = x Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral
13 Solusi Dengan membentuk sistem menjadi dx dy = y x, maka diperoleh solusi 1 2 x y 2 = C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y) = x 2 + y 2.
14 Solusi Dengan membentuk sistem menjadi dx dy = y x, maka diperoleh solusi 1 2 x y 2 = C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y) = x 2 + y 2. Perhatikan bahwa nilai V = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil.
15 Solusi Dengan membentuk sistem menjadi dx dy = y x, maka diperoleh solusi 1 2 x y 2 = C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y) = x 2 + y 2. Perhatikan bahwa nilai V = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil. Contoh 2 Diberikan sistem PD sebagai berikut ẋ = y ẏ = 4x 3 4x Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral
16 Solusi Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah 1 2 y 2 + 2x 2 x 4.Lebih lanjut Karena V = 0, maka sistem PD stabil.
17 Solusi Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah 1 2 y 2 + 2x 2 x 4.Lebih lanjut Karena V = 0, maka sistem PD stabil. Contoh 3 Diberikan sistem PD sebagi berikut ẋ = 2 3 xy x ẏ = 1 4 x 2 y 7y Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral
18 Solusi Dengan mengubah sistem PD menjadi ẋ = x ( 2 3 y 2 1 ) 2 ẏ = y ( 1 4 x 2 7 ) dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 8 x 2 7 ln x ln y 1 3 y 2 = C Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalah V (x, y) = 3x ln x + 12 ln y 8y 2.
19 Solusi Dengan mengubah sistem PD menjadi ẋ = x ( 2 3 y 2 1 ) 2 ẏ = y ( 1 4 x 2 7 ) dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 8 x 2 7 ln x ln y 1 3 y 2 = C Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalah V (x, y) = 3x ln x + 12 ln y 8y 2. Perhatikan bahwa nilai V (x, y) = 2x 2 y y 2 < 0 maka berdasarkan hal tersebut sistem stabil asimptotik ke titik kesetimbangan (0, 0)
20 Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)p dengan J(x) merupakan matriks Jakobian.
21 Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)p dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik.
22 Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)p dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V (x, y) = f T Pf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatif V (x, y) didefinisikan sebagai V (x, y) = ḟ T Pf + f T Pḟ.
23 Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)p dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V (x, y) = f T Pf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatif V (x, y) didefinisikan sebagai V (x, y) = ḟ T Pf + f T Pḟ. Dengan aturan rantai diperolah ḟ (x) = J (x) ẋ = J (x) f (x) berdasarkan hal tersebut V ( ) (x, y) = f T J T (x) P + PJ (x) f = f T Q (x) f
24 Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik.
25 Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4 Diberikan sistem sebagai berikut ẋ = ax + y ẏ = x y y 3 untuk a 1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi.
26 Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4 Diberikan sistem sebagai berikut ẋ = ax + y ẏ = x y y 3 untuk a 1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi. Solusi Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan matriks Jakobian J(x) sebagai berikut [ ] a 1 J (x) = 1 1 3y 2
27 Lanjutan Dipilih matriks definit positif P, misalkan dalam hal ini P = I 2, maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksq(x) sebagai berikut Q (x) [ = PJ (x) + J T (x) ] P 2a 2 = 2 2 6y 2
28 Lanjutan Dipilih matriks definit positif P, misalkan dalam hal ini P = I 2, maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksq(x) sebagai berikut Q (x) [ = PJ (x) + J T (x) ] P 2a 2 = 2 2 6y 2 Perhatikan bahwa meski 4a + 12ay 2 4 > 0, namun 2a < 0 untuk a > 1, berdasarkan hal demikian Q(x) definit negatif. Dengan demikian sistem PD stabil asimptotik.
29 Metode Zubov Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu Fungsi Phi yang definit Positif yang memenuhi n i=1 V x i f i (x) = Φ (x) [1 V (x)] V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov. [ 1 + f 2] dengan
30 Metode Zubov Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu Fungsi Phi yang definit Positif yang memenuhi n i=1 V x i f i (x) = Φ (x) [1 V (x)] [ 1 + f 2] dengan V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov. Apabila ada, karena n V x i f i (x) negatif, maka SPD stabil asimptotik i=1
31 Metode Zubov Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu Fungsi Phi yang definit Positif yang memenuhi n i=1 V x i f i (x) = Φ (x) [1 V (x)] [ 1 + f 2] dengan V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov. Apabila ada, karena n V x i f i (x) negatif, maka SPD stabil asimptotik i=1 Contoh 5 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ẋ 1 = x 1 + x 2 + x 1 ( x1 2 + x 2 2 ) ẋ 2 = x 1 + x 2 + x 2 ( x1 2 + x 2 2 ) Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov
32 Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 ( x x 2 2 ), berdasarkan hal tersebut diperoleh. V = V x 1 (ẋ 1 ) + V x 2 (ẋ 2 )
33 Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 ( x x 2 2 ), berdasarkan hal tersebut diperoleh. Berdasarkan Teorema Zubov V = V x 1 (ẋ 1 ) + V x 2 (ẋ 2 ) V (ẋ 1 ) + V (ẋ 2 ) = 2 ( x x ) 2 [1 V (x)] x 1 x 2
34 Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 ( x x 2 2 ), berdasarkan hal tersebut diperoleh. Berdasarkan Teorema Zubov V = V x 1 (ẋ 1 ) + V x 2 (ẋ 2 ) V (ẋ 1 ) + V (ẋ 2 ) = 2 ( x x ) 2 [1 V (x)] x 1 x 2 sehingga fungsi Lyapunov yang dimaksud adalah V (x, y) = x 2 + y 2.
35 Contoh 6 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ẋ 1 = x 1 + 2x 1 2 x 2 ẋ 2 = x 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov
36 Contoh 6 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ẋ 1 = x 1 + 2x 1 2 x 2 ẋ 2 = x 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov Solusi Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan differensial sebagai berikut V x 1 (ẋ 1 ) + V = Φ (x) [1 V (x)] [ x 2 (ẋ 2 ) = Φ (x) [1 V (x)] 1 + f 2] 1 2 [1 + x ( 2x 2 ) ] x 2 x 1 Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi Φ (x) = x 1 2 +x x 2 2 +(2x 1 2 x 2 x 1 ) 2
37 Lanjutan Berdasarkan hal ( tersebut diperoleh ) Fungsi Lyapunov V = 1 + exp 1 2 x x 1 2 2(1 x 1 x 2 ) Fungsi V (x, y) hilang pada titik asal sama dengan 1 pada kurva x 1 x 2 = 1, karenanya kestabilan didefiniskan pada derah dalam kurva x 1 x 2 = 1
38 Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan A T P + PA = I. Jika V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.
39 Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan A T P + PA = I. Jika V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut ẋ 1 = 2x 1 + x 1 x 2 ẋ 2 = x 2 + x 1 x 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil
40 Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan A T P + PA = I. Jika V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut ẋ 1 = 2x 1 + x 1 x 2 ẋ 2 = x 2 + x 1 x 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0, 0) menghasilkan matriks A = [ ].
41 Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan A T P + PA = I. Jika V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut ẋ 1 = 2x 1 + x 1 x 2 ẋ 2 = x 2 + x 1 x 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi Linearisasi disekitar [ titik ] kesetimbangan (0, 0) menghasilkan 2 0 matriks A =. Lebih lanjut berdasarkan 0 1 [ 1 ] persamaana T P + PA = I, diperoleh P =
42 Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 1 4 x x 2 2 dengan V = ( x x ) ( ) x x 2 + x 1 x 2
43 Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 1 4 x x 2 2 dengan V = ( x x ) ( ) x x 2 + x 1 x 2 Dengan transformasi polar x 1 = ρ cos θ dan x 2 = ρ sin θ diperoleh V = ρ 2 + ρ 3 cos θ sin θ ( sin θ cos θ) ρ ρ3 sin 2θ sin θ cos θ ρ ρ3
44 Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 1 4 x x 2 2 dengan V = ( x x ) ( ) x x 2 + x 1 x 2 Dengan transformasi polar x 1 = ρ cos θ dan x 2 = ρ sin θ diperoleh V = ρ 2 + ρ 3 cos θ sin θ ( sin θ cos θ) ρ ρ3 sin 2θ sin θ cos θ ρ ρ3 dengan ρ < Lebih lanjut c = λ min (P) r 2 = 1 4( 4 5 ) 2 = 0.8 dan karenanya diperoleh 1 4 x x 2 2 < 0.8
45 Kesimpulan 1 Untuk menyelidiki kestbilan global dari suatu Sistem Persamaan Differensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov V yang definit positif. Apabila V < 0, maka Sistem Persamaan Differensial tersebut stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. 2 Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski, Metode Zubov dan Metode Khalil
46 Referensi 1 A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du Movement, Reprinted in Annals of Mathematical Studies No. 17, Princenton University Press, Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892) 2 W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunovs Direct Method, Prentice Hall, Eagle wood Cliffs, N.J., 1963
PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM LINIER
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 29 33 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM LINIER OKTAVIA LOVE LINA Program Studi Matematika,
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai
BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak
Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang. Oleh:
Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang Sistem hibrid mempunyai bentuk: x& Oleh: Kus Prihantoso Krisnawan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. 2 (216) 2337-352 (231-928X Print) A-25 Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit Yunita Indriana Sari dan Didik Khusnul Arif Jurusan Matematika, Fakultas
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Modifikasi Kontrol untuk Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal
Vol 7, No2, 118-123, Januari 2011 Modifikasi Kontrol untuk Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal Abstrak Dalam tulisan ini diuraikan sebuah kontrol umpan balik dinamik Dari kontrol yang diperoleh
Teknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah nilai batas 1 3 Persamaan integral batas 2 4 Hasil
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar
SISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Kalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
LANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel
Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan
Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 50 57 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI ILHAM FEBRI RAMADHAN Program Studi Matematika
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Local Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey. Abstract
Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika 99 Local Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey Oleh : Saiful Marom Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pekalongan Abstract In this paper considered
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas mengenai tinjauan pustaka yang digunakan dalam penelitian ini, khususnya yang diperlukan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang mendukung pembentukan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Green s Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Kurva Tertutup Sederhana, Daerah Terhubung sederhana dan Berganda Suatu kurva tertutup sederhana adalah
Bab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah
Pilihlah jawaban yang benar dengan cara mencakra huruf didepan jawaban yang saudara anggap benar pada lembar jawaban 1. Dibawah ini bentuk persamaan diferensial biasa linier homogen adalah a. y + xy =
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T.
DESKIPSI MATA KULIAH EL-121 Matematika Teknik I: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Oleh: Dimas Avian Maulana Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D
Oleh: Dimas Avian Maulana-1207100045 Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D Robot mobil adalah salah satu contoh dari wahana nir awak (WaNA) yang dapat dikendalikan dari jauh atau memiliki sistem pengendali otomatis
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.
Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri
A. 3 x 3 + 2x + C B. 2x 3 + 2x + C. C. 2 x 3 + 2x + C. D. 3 x 3 + 2x + C. E. 3 x 3 + 2x 2 + C A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160
7. UN-SMA-- Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 7 m. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut m m m m m 7. UN-SMA-- Pak Musa mempunyai kebun
IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA
A. MATA KULIAH RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA Nama Mata Kuliah : Matematika II Kode/sks : MAS 4116/ 3 Semester : III Status (Wajib/Pilihan) : Wajib (W) Prasyarat : MAS 4215
BAB I PENDAHULUAN. himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x 0}
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan R menyatakan himpunan bilangan riil. Notasi R n menyatakan himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x } dan R n + := {x= (x
CONTOH SOAL UAN INTEGRAL
1. Diketahui. Nilai a = a. 4 b. 2 c. 1 d. 1 e. 2 2. Nilai a. d. b. e. c. 3. Hasil dari a. b. d. e. c. 4. Hasil dari a. cos 6 x. sin x + C b. cos 6 x. sin x + C c. sin x + sin 3 x + sin 5 x + C d. sin x
Daerah Ideal Utama Adalah Almost Euclidean
Daerah Ideal Utama Adalah Almost Euclidean Oleh Ratwa Suriadikirta Irawati A B S T R A C T Daerah Euclid (DE) merupakan daerah ideal utama (DIU), daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal
BAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral,
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom
Metode Descent Oleh : Andaikan fungsi tujuan kita adalah minf(x);x R n. Secara umum f(x) dapat berupa fungsi nonlinear. Metode-metode descent adalah metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari
BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
SISTEM KOORDINAT VEKTOR. Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM
SISTEM KOORDINAT VEKTOR Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat memahami koordinat vektor Mahasiswa dapat menggunakan sistem koordinat vektor untuk menyelesaikan
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah perambatan gelombang akustik (harmonis) berhasil diturunkan pada tulisan
Deret Taylor. dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, (x a) + f 00 (a) 2! (x a) 2 + f 000 (a) 3!
oki neswan (fmipa-itb) Deret Taylor Sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah deret pangkat membangkitkan sebuah fungsi dengan domain merupakan interval kekonvergenan deret pangat tersebut. Sekarang
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan 7
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM) Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.D Matrikulasi S Bidang Keahlian Struktur Jurusan Teknik Sipil ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh
Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
I N T E G R A L (Anti Turunan)
I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.
, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah
. Jika z j j PROBLEM SE# Sistem Bilangan Kompleks, tentukanlah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z z. Carilah harga dan y yang memenuhi persamaan : y j y, j, ( ) ( ). Carilah bentuk
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
Teori Bifurkasi (3 SKS)
Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika
Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Pengantar Persamaan Differensial (1)
Program Studi Modul Mata Kuliah Kode MK Disusun Oleh Sistem Komputer 01 Persamaan Differensial MKK103 Albaar Rubhasy, S.Si, MTI Pengantar Persamaan Differensial (1) Materi Pembahasan: Deskripsi Perkuliahan
IV PEMBAHASAN. jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai ( ) mengakibatkan. 4.1 Model SIR
9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR 4.1.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ) sehingga dari persamaan 2) diperoleh : - si + s = 0 9) si + )i = 0 didapat titik
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,
HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.
HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS DOSEN Efendi, M.Si BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.Si Daftar Isi 1 Pengantar Persamaan Diferensial 1 1.1 Pendahuluan...............................
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Bab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu
Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak