PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

Transkripsi

1 LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum y h (x) dari PD homogen diketahui. PD homogen : y + f(x) y + g(x) y = 0 (2-36) Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan y h (x) sembarang solusi y termasuk konstanta tak tetapnya. Sehingga y(x) = y h (x) + y (x) (2-37)

2 Theorema 1 : f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakan solusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk oleh dua konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogen) y h (x). Konstanta kedua, tetap,terdapat pada fungsi y (x), yaitu sembarang solusi PD pada interval I. Theorema 2 : Solusi umum dari PD seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan homogen y h (x) dengan solusi partikular yang tetap (tak berubah-ubah) y P (x). Sehingga y(x) = y h (x) + y P (x) (2-38)

3 1. METODE KOEFISIEN TAK TENTU. Bentuk Persamaan Umum : y + ay + by = r(x) ( 2-39 ) Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi partikular y P (x) diperoleh dng cara menebak, seperti misalnya : fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberapa fungsi. r(x) berisikan koefisien tak tentu. Turunkan y P sesuai persamaan umum (2-39) di atas. Substitusikan y P dan seluruh turunannya ke dalam persamaan (2-39). Tabel 2-1. Metode koefisien tak tentu Bentuk r(x) ke px kx n (n=0,1...) k cos qx k sin qx Pilihan untuk y P Ce px K n x n + k n-1 x n k 1 x + k 0 K cos x + M sin x p 0 iq iq

4 Aturan : Bila r(x) merupakan salah satu fungsi seperti dalam tabel, maka pilih bentuk y P yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x) harus bebas linier pula. Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka pilih y P yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai. Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogen, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikut Aturan Modifikasi Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x 2 tergantung dari apakah pada kolom 3 berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogen.

5 Contoh-contoh Soal 1. Selesaikan persamaan berikut : y 4y + 3y = 10e -2x Jawab : Jawab partikular y P Turunan e -2x adalah ke -2x maka y P = ke -2x y P = -2ke -2x dan y P = 4 ke -2x 4ke -2x -4(-2ke -2x ) + 3ke -2x = 10e -2x ; k= 2/3 y P = (2/3)e -2x Jawab homogen y h λ 2-4λ + 3 = 0 ; λ 1 = 3 dan λ 2 = 1 y h = k 1 e λ1x + k 2 e λ2x = k 1 e 3x + k 2 e x Solusi Umum y = y h + y P y = k 1 e 3x + k 2 e x + (2/3)e -2x

6 2. Selesaikan y + 4y = 8x 2 Jawab : Jawab homogen : λ = 0 λ 1 = p + jq = +j2 ; λ 2 = p jq = -j2 ; p= 0 Solusi umum PD homogen untuk D < 0 : y h = e px [A cos qx + B sin qx] y h = [A cos 2x + B sin 2x] Jawab partikular : Misal 1 : y = kx 2 ; y = 2k 2k + 4 kx 2 = 8x 2 ; 2k = 0 ; 4k = 8 Gagal, tidak konsisten. Misal 2 : y P = kx 2 + Lx + m ; y = 2k 2k + 4(kx 2 + Lx + M) = 8x 2 4kx 2 + 4Lx +(2k + 4m) = 8x 2 dengan metode identifikasi : k = 2 ; L = 0 ; m = 1 maka y P = 2x Solusi umum y = y P + y h y = A cos 2x + B sin 2x + 2x 2 + 1

7 3. Selesaikan y y 2y = 10 cos x Jawab : Jawab homogen λ 2 - λ -2 = 0 y h = c 1 e λ2x + c 2 e λ2x y h = c 1 e 2x + c 2 e- x Jawab partikular y P = k cos x + m sin x y P = -k sin x + m cos x y P = -k cos x m sin x (-k cos x m sin x)-(-k sin x + m cos x)- 2(k cos x + m sin x) = 10 cos x (-3k m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x -3k m = 10 ; k 3m = 0 ; k = -3 ; m = -1 y P = -3 cos x sin x Solusi umum : y = ce 2x y = y h + y P + ce- x -3 cos x sin x

8 4. Selesaikan : y 3y + 2y = 4x + e 3x Jawab : Jawab homogen : y h = c 1 e 2x + c 2 e x Jawab partikular : y P = k 1 x +k 0 + Ce 3x y P = k 1 + 3Ce 3x y P = 9Ce 3x (9Ce 3x )-3(k 1 + 3Ce 3x )+2(k 1 x +k 0 + Ce 3x ) = 4x + e 3x k 1 = 2 ; k 0 = 3 ; C = (1/2) yp = 2x (1/2) Ce 3x Solusi umum : y = c 1 e 2x + c 2 e x + 2x (1/2) Ce 3x 5. Selesaikan : y 2y + y = (D-1) 2 = e x + x Jawab : Jawab homogen y h = c 1 e x +c 2 xe x = (c 1 x + c 2 ) e x

9 Jawab partikular : Lihat tabel k 1 x + k 0 karena akar ganda cx 2 e x sehingga yp = k 1 x + k 0 + cx 2 e x Bila disubstitusikan ke dalam persamaan : yp 2yp + yp = e x + x maka didapatkan : 2ce x + k 1 x 2k 1 + k 0 = e x + x c = ½ ; k 1 = 1 ; k 0 = 2 Solusi umum : y = (c 1 x + c 2 ) e x + ½ x 2 e x + x + 2

10 SOAL-SOAL LATIHAN 6 Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y + 4y = e -x 2. y + 2y + y = 2x 2 3. y + y 2y = 3e x 4. y + y = 2 sin x 5. y + y 6y = 52 cos 2x 6. y -5y + 4y = 10 cos x 7. y 2y + 2y = 2e x cos x 8. y + y = x 2 + x 9. y + 5y + 6y = 9x 4 x 10. y 2y + y = 2x 2 8x y + 2y y 2y = 1 4x y 4 y + 9y = 10 e 2x 12 cos 3x 13. y + 2y + 10y = 4.5 cos x sin x 14. y + 2y + 2y = -2 cos 2x 4 sin 2x 15. y + 4y + 8y = 4 cos x + 7 sin x

11 2. METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR Bentuk umumnya seperti persamaan (2-35) Contoh :... I + I + 2I = 6 cos t (2-40) Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh : I P (t) = 3 cos t + 3 sin t Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (2-40), 6 cos t, adalah komponen nyata (riel), karena : 6 e it = 6 (cos t + i sin t) Sehingga persamaan (2-40) dapat ditulis dengan :... I + I + 2I = 6 e it ( 2-41)

12 Solusi partikular kompleks dapat dibuat dalam bentuk :. Ip*(t) = ke it (2-42) dan * = ike it * = -ke it IP.. I p Bila disubstitusikan ke dalam pers (2-41) : (-1 + I +2) ke it = 6 e it 6 k = 1 + i = 3 i 3 Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah : I P *(t) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t) dan komponen nyatanya adalah : I P (t) = 3 cos t + 3 sin t

13 3. METODE UMUM Bentuk umum PD non homogen y + f(x)y + g(x)y = r(x) (2-43) f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I Sedangkan bentuk umum PD homogen : y + f(x)y + g(x)y = 0 (2-44) maka solusi umumnya y h (x) pada interval terbuka I berbentuk : Y h (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Bila c 1 dan c 2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi partikular pada interval terbuka I, sbb : y P (x) = u(x) y 1 (x) + v(x) y 2 (x) (2-45)

14 Jika pers. (2-45) diturunkan, hasilnya : y P = u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2 Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c 1 dan c 2, maka : u y 1 + v y 2 = 0 (2-46) Sehingga y P menjadi : y P = uy 1 + vy 2 (2-47) Bila pers.(2-43) diturunkan, hasilnya : y P = u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2 (2-48) Pers.(2-45), (2-47) dan (2-48) disubstitusikan ke dalam pers.(2-43), dan mengumpulkan komponen yang mengandung u dan v :

15 u(y 1 + fy 1 + gy 1 ) + v(y 2 + fy 2 + gy 2 ) + u y 1 +v y 2 = r Bila y 1 dan y 2 merupakan solusi homogen dari pers. (2-44), sehingga terjadi penyederhanaan persamaan, menjadi ; u y 1 +v y 2 = r Pers. (2-46) : u y 1 + v y 2 = 0 Sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u dan v yang tak diketahui. Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga : y r v' = - W y2r 1 u' = - dan (2-49) W dengan W = y 1 y 2 y 1 y 2 ; W 0. W = Bilangan Wronskian dari y 1 dan y 2

16 Dengan integrasi diperoleh : u = - y2r W dx dan substitusikan hasil ini ke dalam pers(2-45), sehingga didapatkan : (2-50) Contoh : Selesaikan PD berikut ini : y + y = sec x Jawab : misalkan y 1 = cos x dan y 2 = sin x Solusi homogen : Bilangan Wronskian : W(y 1,y 2 ) = cos x cos x (-sin x) sinx =1 Solusi partikular : Dari pers. (2-50), p v = - y1r W y2r y1r y p(x) = -y1 dx + y2 dx W W dx y = -cos x sin x sec x dx + sinx cos x sec x dx

17 y P = cos x ln cos x + x sin x maka solusi umumnya adalah : y = y h + y P y = [c 1 + ln cos x ] cos x + (c 2 + x) x sin x SOAL-SOAL LATIHAN 7 Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y + y = cosec x + x 2. y + 9y = sec 3 x 3. y 4y + 4y = [e 2x ]/x 4. y + 2y + y = e -x ln x 5. y + 6y 9y = [e -3x ]/[x 2 + 1] 6. y + 2y + y = e -x cos x 7. x 2 y 5xy + 9 = 3x 2 8. x 2 y 4xy + 6y = 1/[x 2 ] 9. x 2 y (1-2x)y + (6-4x 2 )y = x 2 cos x 10.2x 2 y xy 2y = x 3 e x