a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4

Transkripsi

1 a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4

2 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa mampu menentukan turunan tingkat tinggi Mahasiswa mampu menentukan turunan implisit Mahasiswa mampu menggunakan turunan untuk menentukan nilai ekstrim Mahasiswa mampu menentukan ekstrim global atau lokal Mahasiswa mampu menentukan daerah terjadinya nilai ekstrim

3 a home base to excellence Sub Pokok Bahasan : Turunan Tingkat Tinggi Turunan Implisit Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum Lokal

4 Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi fungsi f, menghasilkan fungsi baru f, jika f dideferesiasi lagi aka eghasilka f, deikia seterusnya akan diperoleh f, f (4), f (5) dan seterusnya

5 Contoh : Turunan Tingkat Tinggi 1. Jika y = sin 2x, carilah d 3 y/dx 3, d 4 y/dx 4 2. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s = 2t 2 12t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik (t > 0). Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatannya nol. Kapankah kecepatannya positif? 3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = t 3 12t t 30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah kecepatannya nol? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)? Kapan percepatannya positif (a = dv/dt = d 2 s/dt 2 ) 4. Problem Set 2.6 No. 1-16

6 Turunan Implisit Fungsi : y=x 3 + 2x + 5 disebut fungsi eksplisit Fungsi : y 3 +7y +x 3 =0 disebut fungsi implisit Bagaimana mencari derivatif dari suatu fungsi implisit? Yaitu dengan menggunakan turunan implisit y f ( x) y 3 7 y x 3 d dx ( y 3 ) d dx (7 y) d dx ( x 3 ) 3y 2 dy dx 7 dy dx 3x 2 dy dx 2 3x 2 3y 7

7 Turunan Implisit Contoh : 1. Carilah dy/dx jika 4x 2 y 3y = x Carilah dy/dx jika x 2 + 5y 3 = x Cari persamaan garis singgung pada kurva y 3 xy 2 + cos xy = 2 di titik (0,1) 4. Jika y = 2x 5/3 + (x 2 + 1) ½, Carilah D x y 5. Problem Set 2.7 No. 1-34

8 Maksimum dan Minimum Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) > f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) < f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai ekstrim f pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif Pada [0, ) tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3 Pada (1,3], tanpa maks, min = 1/3 tanpa maks, min = 0 Teorema Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di interval tersebut

9 Maksimum dan Minimum Teorema Jika f terdefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu dari : Titik ujung dari I Titik stasioner dari f (titik dimana f / (c) = 0), atau Titik singular dari f (titik dimana f / (c) tidak ada) titik ujung titik stasioner titik singular

10 Contoh : Maksimum dan Minimum 1. Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x 3 + 3x 2 pada [ - ½, 2] 2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 3, pada [-2,2] 3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -2x 3 + 3x 2 4. Fungsi F(x) = x 2/3 kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumnya di [-1,2] 5. Temukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x + 2 cos x pada interval [-p,2p] 6. Problem Set 3.1 No Concept Review 1. Suatu fugsi.. pada suatu iterval.. aka selalu epuyai ilai aksiu da nilai minimum pada interval tersebut. 2. Istilah ilai.. eyataka suatu ilai aksiu atau iiu 3. Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik kritis tersebut ada tiga jeis yaitu..,.., da.. 4. Titik stasioner untuk f adalah sebuah nilai c sedeikia sehigga..; titik sigular untuk f adalah sebuah nilai c sedeikia sehigga..

11 Maksimum dan Minimum Lokal Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) S f(c) adalah nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) S f(c) adalah nilai ekstrim lokal dari f bila ia adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal

12 Maksimum dan Minimum Lokal Teorema (uji turunan pertama) Jika f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c : Jika f (x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f Jika f (x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f (x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f Jika f (x) bertanda sama pada kedua sisi c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f tanpa nilai ekstrim lokal nilai maksimum lokal nilai minimum lokal

13 Maksimum dan Minimum Lokal Contoh : 1. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x 2 6x + 5 pada (, ) 2. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari f(x) = 1 / 3 x 3 x 2 3x + 4 pada (, ) 3. Carilah nilai ekstrim lokal dari f(x) = (sin x) 2/3 pada (-p/6, 2p/3) Teorema (uji turunan kedua) Jika f dan f ada pada setiap interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan fc = 0 : Jika f (c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f Jika f (x) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f 4. Untuk f(x) = x 2 6x + 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal 5. Untuk f(x) = 1 / 3 x 3 x 2 3x + 4, gunakanlah uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal 6. Problem Set 3.3 No. 1-18