LANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik

Transkripsi

1 LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi. Spesies yang pertama disebut mangsa dan spesies kedua disebut pemangsa. Pada model ini akan dimasukkan spesies scavenger. Model dapat ditulis sebagai sistem persamaan diferensial dalam bentuk:,, (1) dengan dan berturut-turut menyatakan populasi mangsa dan populasi pemangsa sebagai fungsi terhadap waktu. Parameter,,, 0, dinyatakan sebagai berikut :. adalah laju pertumbuhan alami mangsa,. adalah laju perubahan mangsa akibat interaksi,. adalah laju kematian alami pemangsa,. adalah laju perkembangbiakan dan efisiensi pemangsa karena kehadiran mangsa. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik,. Dengan penskalaan diperoleh bahwa: 1, 1, dan 1, sistem menjadi:,, (2) selanjutnya dari sistem (2) didapatkan nilai kesetimbangan positif pada titik,, 1. Dengan titik awal, (, 1, semua trayektori (kurva solusi) di dalam ruang positif adalah kurva tertutup yang dapat diperoleh, dari membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama pada sistem (2):

2 4 (3) dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (3) maka didapatkan: lnln (4) dimana merupakan konstanta awal yang sesuai. Misalkan diberikan titik awal, dengan dan adalah positif. Persamaan trayektori yang melalui titik, dapat ditentukan dengan mengevaluasi nilai, maka persamaan (4) menjadi: ln ln (5) dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (4), diperoleh: lnlnln ln (6) kemudian eksponenkan, maka persamaan (6) menjadi: (7) dari nilai awal, dapat ditentukan nilai dan yang memenuhi persamaan (7). Hasilnya diplot pada Gambar 1. Gambar 1 Trayektori model Lotka Volterra. Berdasarkan Gambar 1 dapat diketahui bahwa trayektori sistem (2) adalah periodik. Trayektorinya bergantung pada nilai parameter dan nilai awal.

3 5 Di sini akan ditunjukkan bahwa rata-rata populasi tiap spesies mendekati nilai titik tetapnya (equilibrium point). Dari sistem (2) dapat dinyatakan bahwa rata-rata populasi mangsa dan pemangsa untuk setiap trayektori adalah berturutturut dan 1. Ditulis: dan lim lim, (8) 1, (9) dengan, 1 adalah titik kesetimbangannya. Misalkan, adalah solusi tidak konstan yang didefinisikan sebagai lingkaran dengan periode ( adalah fungsi dari ). Rata-rata populasi dan adalah: lim lim (10) (11) akan dibuktikan bahwa dan 1. Dari sistem (2), dengan didapatkan: Nilai rataan diperoleh: lim lim, 1 (13). (14) lim ln ln0, lim 0. (15) Hal ini karena, menurut aturan L Hospital limit hasilbagi fungsi sama dengan limit hasilbagi turunannya, asalkan fungsi pada pembilang dan penyebut dapat

4 6 diturunkan dan turunan fungsi pada pembilang 0 di dekat titik limit (kecuali mungkin di titik limit), maka: lim lim. lim Nilai diperoleh dengan cara yang sama sebagai berikut: lim lim 1 lim ln ln 0 0. (Stewart. 2008) lim 101. (16) Jadi persamaan (8) dan (9) adalah benar. Lema 2.1 Dari sistem (2) didapatkan: lim. (17) Persamaan (17) dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan pertama pada sistem (2) dari 0 sampai : 0. (18) Jika kedua ruas persamaan (18) dibagi dengan, dan misalkan membuat persamaan di ruas kiri menjadi mendekati 0, maka diperoleh: 1 lim 0 lim 1 lim 0 lim 1 lim lim 1 (19) dari persamaan (19) terbukti bahwa persamaan (17) adalah benar. Berdasar lema 2.1 dapat dinyatakan bahwa rata-rata perubahan dari satu populasi yang

5 7 berinteraksi dengan yang lain adalah sebanding dengan produk dari dua populasi. Selanjutnya hasil analisis ini dijadikan sebagai dasar analisis model Nolting. Metode Lyapunov Pada penelitian Nolting tidak dianalisis kestabilan pada sistem, di sini kestabilan sistem akan dibahas. Pertimbangkan sistem persamaan diferensial mandiri dari bentuk sistem (1). Kestabilan titik tetap (titik kesetimbangan) ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobi. Titik tetap adalah stabil jika bagian real dari semua nilai eigen negatif, dan tidak stabil selainnya. Jika nilai eigen adalah imajiner murni, maka titik tetap adalah center (seperti sistem (1),, ). Dalam masalah seperti ini, jika sistem adalah tidak linear, maka metode Lyapunov dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari titik tetap. Didefinisikan fungsi, yang memenuhi:,,,,, (20) dengan dan (lihat sistem (1))., dapat diidentifikasi sebagai perubahan rata-rata dari sepanjang trayektori dari sistem (1) yang melalui titik,. Jika, adalah solusi dari sistem (1), maka:,,,,,,,,. (Boyce & DiPrima. 2001) (21) Selanjutnya untuk analisis diperlukan definisi dan teorema berikut: Definisi 1 Titik tetap dari sistem (1) dikatakan stabil jika diberikan 0 dengan 0 sedemikian sehingga untuk semua, bilamana, di mana adalah solusi dari sistem (1).

6 8 Definisi 2 Titik tetap dari sistem (1) dikatakan stabil asimtotik (asymptotically stable) jika titik itu stabil dan ada 0 sedemikian sehingga lim 0, bilamana. Teorema kestabilan Lyapunov Misalkan himpunan buka dari mempunyai titik tetap. Misalkan bahwa adalah kontinu terdiferensialkan dan bahwa ada fungsi kontinu terdiferensialkan, yang mana memenuhi kondisi berikut: 0; 0 jika, dengan. 1. Jika 0 untuk semua, maka adalah stabil; 2. Jika 0 untuk semua, maka adalah stabil asimtotik; 3. Jika 0 untuk semua, maka adalah tidak stabil. Bukti: (lihat Lynch. 2007). Titik tetap dari sistem yang dinyatakan oleh sistem (1) stabil dalam arti Lyapunov, jika untuk setiap, maka di sana ada sedemikian sehingga trayektori yang dimulai pada, tidak meninggalkan, ketika menuju tak terhingga. Kestabilan asimtotik adalah keadaan kesetimbangan dari sistem yang dinyatakan oleh sistem (1) disebut stabil asimtotik, jika keadaan tersebut stabil dalam arti Lyapunov dan jika setiap trayektori yang bertitik awal di dalam tanpa meninggalkan, maka konvergen ke dengan membesarnya menuju tak terhingga. Jika kestabilan asimtotik berlaku untuk semua keadaan (semua titik dalam ruang keadaan) titik awal trayektori, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut asimtotik global. (Ogata. 1997)