SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Transkripsi

1 SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Jika f() merupakan solusi dari persamaan differensial, maka f() dan turunanturunannya akan memenihi persamaan differensial tersebut. Dalam hal ini f() disebut integral atau primitive dari persamaan differensial itu. Sedangkan yang dimaksud dengan solusi umum dari persamaan differensial order n adalah solusi dari persamaan differensial tersebut yang memuat n konstanta sebarang yang bebas liniear. Jika dari solusi umum itu, semua konstanta yang terdapat di dalamnya massing-masing diberi nilai tertentu, maka akan diperoleh solusi yang disebut solusi khusus persamaan differensial. Contoh 1 : Tunjukkan bahwa y A B merupakan solusi dari persamaan differensial 6. y A B, maka A dan 6 Ini menunjukkan bahwa y A B merupakan solusi dari 6 Misalkan A=1, B=, maka akan diperoleh solusi khusus yaitu y SOLUSI EKSPLISIT DAN IMPLISIT Definisi : Perhatikan persamaan differensial orde-n berikut : F[, y, y, y,., y n ]=0.. (1) Dengan F adalah fungsi real yang memiliki (n + ) argument, yakni, y, y,y,, y n Solusi Persamaan Differensial 1

2 1. Misalkan f adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua dalam suatu interval I dan mempunyai turunan ke-n untuk semua yang ada di I. Fungsi f disebut solusi eksplisit dari persamaan (1) dalam selang I jika fungsi f memenuhi dua syarat berikut ini : a. F[, f(), f (), f (),, f n ()], ang terdefinisi I.. (A) b. F[, f(), f (), f (),, f n ()] = 0, I.. (B) Hal ini berarti bahwa substitusi f() dan variasi turunan untuk y dan turunannya yang berkorespondensi ke persamaan (1) akan membuat persamaan (1) menjadi suatu identitas di interval I.. Suatu relasi g(, y) = 0, disebut solusi implisit dari persamaan (1) jika relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real f dengan variabel di interval I sedemikian sehingga fungsi ini adalah solusi eksplisit dari persamaan (1) pada interval ini Latihan 1 : 1. Selidikilah apakah f() = sin + cos merupakan solusi eksplisit untuk persamaan differensial y 0 untuk R.. Tunjukkan bahwa + y = 1 adalah solusi implisit dari persamaan differensial pada interval 0 < < 1. y y 0. Tunjukkan bahwa 5 y y = 1 adalah solusi implisit dari persamaan differensial y y pada interval 0 < < 5 4. Tunjukkan bahwa tiap fungsi f yang didefinisikan oleh f() = ( + c)e dengan c adalah suatu konstanta, adalah solusi dari persamaan differensial 5. Tunjukkan bahwa tiap fungsi f yang didefinisikan oleh e f ( ) ce, dengan c adalah suatu konstanta, adalah solusi dari persamaan differensial 4y 8 Solusi Persamaan Differensial

3 MASALAH NILAI AWAL (MNA) Setelah mengenal solusi persamaan differensial dan jenisnya, maka muncul pertanyaan berikutnya : apakah setiap persamaan differensial mempunyai solusi? Jika persamaan differensial tersebut mempunyai solusi apakah solusinya tunggal? Sebelum menjawab pertanyaan-pertanyaan diatas dijelaskan dahulu tentang apa yang disebut dengan masalah nilai awal (initial value problem). Pada solusi umum suatu persamaan differensial, dalam banyak kasus kita bisa mencantumkan n konstanta jika diketahui n nilai-nilai y (0), y (0),..., y (n-1) (0). Definisi Masalah nilai awal untuk PD order-n f(, y, y, y,..., y n ) = 0 yaitu menentukan solusi PD tersebut pada interval I yang memenuhi n syarat awal di 0 I subset dari real y (0) = y0 y (0) = y1... y (n-1) (0) = y(n-1) dimana y0, y1,, yn-1 konstanta yang diberikan. Jika syarat awal 0 I, berbeda-beda misalnya 0, 1,, n-1, maka MNA disebut masalah nilai batas (MNB). Masalah nilai awal dan masalah nilai batas sering disebut masalah syarat batas. Contoh : Carilah suatu solusi f dari persamaan differensial sedemikian sehingga di titik =1, solusi ini mempunyai nilai 4. Diketahui, maka sehingga : y c Untuk = 1, nilai y = 4, maka nilai c yang memenuhi adalah Solusi Persamaan Differensial

4 y c 4 1 c c Jadi solusi dari nilai awal = 0 dan f(1) = 4 adalah y TEOREMA 1 : EKSISTENSI DAN KEUNIKAN Hipotesis : Diberikan persamaan differensial f (, y) dengan 1. Fungsi f adalah fungsi yang kontinu dari dan y di beberapa domain D pada bidang y. Turunan parsial Maka ( 0, y 0) adalah titik di domain D juga fungsi kontinu dari dan y di domain D, dan misalkan Ada solusi unik (tunggal) dari persamaan differensial yaitu ϕ yang didefinisikan pada beberapa interval o h, dengan h cukup kecil, yang memenuhi kondisi ( ) y 0 0 Contoh : Apakah masalah nilai awal y, y(1) 6 mempunyai solusi yang tunggal? f(, y) = y dan y merupakan fungsi yang kontinu dalam segiempat yang memuat titik (1, 6). Berarti hipotesis dari teorema 1 dipenuhi. Akibatnya masalah nilai awal mempunyai solusi tungga dalam suatu interval di sekitar = 1 dengan bentuk 1 h dengan h cukup kecil. Solusi Persamaan Differensial 4

5 Contoh 4 : Apakah masalah nilai awal / y, y() = 0 mempunyai solusi yang tunggal? f(, y) = / y sehingga y 1/, akan tetapi tidak kontinu dan tidak didefinisikan di y = 0. Akibatnya tidak ada segiempat yang memuat titik (, 0) dimana f dan keduanya kontinu. Karena hipotesis teorema 1 tidak dipenuhi, maka masalah nilai awal tidak mempunyai solusi. Latihan 1. a. Buktikan bahwa y = e solusi = y pada interval (-, ) b. Buktikan bahwa y + = 0 solusi = 1 y pada interval (-, ) c. Tunjukkan bahwa + y = 1 merupakan solusi implisit persamaan differensial y + + y = 0 pada interval 0 < < 1. Tunjukkan bahwa setiap fungsi yang didefinisikan oleh f() = ( + c)e -, dengan c merupakan konstanta sebarang merupakan solusi persamaan differensial + y = e - Dalam soal sampai 15, buktikan fungsi yang diberikan merupakan solusi PD yang diberikan disebelahnya:. y sin, y" y 4. cost sin t " 0 5. y Acos Bsin y" y 0 6. y e e y" y ' y 0 y 7. y y y ' 8. y( c) 0 y ' y Solusi Persamaan Differensial 5

6 y e y 9. e y 1 y ' e y y y ln y 1 y" 6 y ' ( y ') sin y ( y ') y 11.sin y y y" 1.( ) e y ( ) e 5e 7 1y 0 14.( ) e 6 7 y f( ) ( 1 ) 4 y Tentukan nilai m sehingga () = e m solusi PD : a. y + 6y + 5y = 0 b. y + y + y = 0 c. y y 4y + 1 y = Fungsi (() = c1 e + c e - solusi y y y = 0 Untuk sebarang konstanta c1 dan c. Tentukan c1 dan c yang memenuhi syarat awal a. y(0) =, y (0) = 1 b. y(0) = 1, y (0) = 0 Dalam soal 18 s.d 0 selidikilah apakah masalah nilai awal mempunyai solusi yang tunggal, 18. y, 19. y sin, d 0. cos y sin, y(0) 6 y( ) 5 y( ) 0 Solusi Persamaan Differensial 6