PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
|
|
- Ade Chandra
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier dalam y dan y, dimana p dan r pada sisi kanan mungkin suatu fungsi dari x. Jika sisi kanan r(x) = 0 untuk semua x dalam interval dimana kita membahas persamaan tsb, maka persamaan tersebut dikatakan homogen. 1
2 r(x) 0, persamaan non homogen / heterogen. Solusi pers. (1) dalam interval I dengan mengasumsikan bahwa p dan r adalah kontinyu dalam interval I. Untuk persamaan homogen : y = p x y = 0 (2) Dengan pemisahan variabel : dy y = p x dx jadi ln y = p x dx + c y x = ce p x dx c = ±e c bila y <> 0 Pada persamaan ini kita juga dapat mengambil nilai c = 0 dan mendapatkan persamaan trivial y = 0 2
3 Persamaan (1) yang bersifat non homogen sekarang dapat diselesaikan: y + p x y = r(x) (py r)dx + dy = 0, dimana persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk dimana P = py r dan Q = 1. Pdx + Qdy = 0 Maka kita mendapatkan faktor pengintegrasi : 1 F df dx = p(x) Karena hanya tergantung pada x, persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F(x), yang mana kita mendapatkannya secara langsung dengan integrasi dan exponensiasi: F(x) = e pdx Perkalian persamaan (1) dengan nilai F dan dengan mengobservasi hukum perkalian dari turunan memberikan : e pdx y + py = e pdx y = e pdx r 3
4 Sekarang kita mengintegrasikan thd x e pdx y = e pdx rdx + c Jika pdx =h maka penyelesaian untuk y adalah y x = e h e h rdx + c, h= p(x)dx (4) Contoh Selesaikan persamaan differensial linier berikut : y y = e 2x Penyelesaian : p = -1, r = e 2x, h = pdx = x Dan dari persamaan (4) kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum y x = e h e h rdx + c, h= p(x)dx y x = e x e x e 2x dx + c = e x e x + c = ce x + e 2x 4
5 Alternatif lain, kita dapat mengalikan persamaan yang diberikan dengan e h = e x, dengan mendapatkan y y e x = ye x = e 2x e x Dan mengintegrasikan pada kedua sisinya, memperoleh hasil sama dengan hasil sebelumnya : ye x = e x + c Sehingga y = e 2x + ce x Contoh: y + y tan x = sin 2x Dimana y(0) = 1 5
6 Persamaan Differensial Orde Dua PENDAHULUAN PD2 Linier Non Linier 6
7 Suatu persamaan differensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk : y + p x y + q x y = r(x) (1) Dan non linier jika persamaan tsb tidak ditulis dalam bentuk ini. Persamaan (1) adalah linier pada fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya, semetara p, q dan r pada sisi kanan dapat berupa suatu fungsi x Jika r(x) = 0 maka persamaan 1 menjadi y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) pers. homogen Fungsi p(x) dan q(x) disebut coefisien dari persamaan. Contoh : y + 4y = e -x sin x PD2 non homogen, linier (1 x 2 )y -2xy + 6y = 0 PD2 homogen linier x(y y + y 2 ) + 2y y = 0 PD2 non linier 7
8 Penyelesaian PD2 (linier atau non linier) pada interval terbuka a < x < b adalah suatu fungsi h(x) yang mempunyai turunan y = h (x) dan y = h (x) dan memenuhi persamaan differensial untuk semua x dalam interval tersebut Persamaan Homogen Linier Contoh y = e x dan y = e -x adalah penyelesaian dari PD homogen linier y y = 0 Untuk semua x karena untuk y = e x kita mendapatkan (e x ) e x = e x e x =0 dan sama untuk y = e -x. Bahkan kita dapat melanjutkan suatu tahap lanjutan yang penting. Kita dapat mengalikan e x dan e -x dengan konstanta turunan, katakan, -3 dan 8 ( atau suatu bilangan lain) dan kemudian melakukan penjumlahan y = -3e x + 8e -x 8
9 3e x + 8e x 3e x + 8e x = 3e x + 8e x 3e x + 8e x = 0 Dari contoh untuk suatu PD2 linier homogen, kita selalu dapat memperoleh penyelesaian baru dari penyelesaian yang diketahui dengan perkalian dengan konstanta dan dengan penambahan. Sehingga kita dapat mendapatkan penyelesaian selanjutnya dari solusi-solusi yang diberikan. Dari y 1 (=e x ) dan y 2 (=e -x ) kita mendapatkan suatu fungsi dengan bentuk : y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (3) dimana c 1 dan c 2 adalah konstanta sembarang. Persamaan ini disebut kombinasi yang bersifat linier dari y 1 dan y 2. Dengan menggunakan konsep ini, sekarang kita dapat memformulasikan hasil yang disarankan oleh contoh diatas prinsip superposisi atau prinsip linieritas. Prinsip ini tidak berlaku untuk persamaan yang sifatnya tidak homogen linier atau persamaan yang sifatnya non linier 9
10 Permasalahan Nilai Awal - Penyelesaian Umum Untuk persamaan PD1, penyelesaian umum melibatkan satu konstanta sembarang c, dan dalam permasalahan nilai awal kita menggunakan kondisi awal y(x 0 ) = y 0 untuk mendapatkan penyelesaian khusus (c mempunyai nilai tertentu). Untuk persamaan homogen orde 2, bentuk solusi umum : y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (4) Suatu kombinasi linier dari dua solusi yang melibatkan dua konstanta sembarang c 1, c 2. Suatu persoalan nilai awal terdiri dari persamaan (2) dan dua kondisi awal y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1 (5) Dengan memberikan nilai K 0 dan K 1 dari penyelesaian dan turunanya (kemiringan dari kurva)pada x 0 yang sama dalam suatu interval yang ditentukan. Kita akan menggunakan persamaan (5) untuk mendapatkan dari Pers (4) suatu penyelesaian yang khusus dari persamaan (2), dimana c 1 dan c 2 mempunyai nilai yang tertentu. Mari kita mengilustrasikan hal ini dengan suatu contoh yang sederhana, yang akan membantu kita untuk melihat bahwa kita harus memberikan suatu kondisi pada y 1 dan y 2 dalam persamaan (4). 10
11 Contoh Selesaikan persoalan nilai awal: y y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 Penyelesaian Tahap 1. e x dan e -x adalah penyelesaian (contoh 1), y = c 1 e x + c 2 e -x solusi umum Penyelesaian tahap 2. Dari kondisi awal, karena y = c 1 e x - c 2 e -x, kita mendapatkan : y(0) = c 1 + c 2 = 5 y (0) = c 1 c 2 = 3 Maka c 1 = 4 dan c 2 =1. Jawaban y = 4e x + e -x Definisi Penyelesaian umum persamaan (y + p(x)y + q(x)y = 0) pada sebuah interval I adalah persamaan (y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ) dengan y 1 dan y 2 bukan penyelesaian proporsional dari (2) pada interval I dan c 1, c 2 adalah konstanta sembarang. y 1 dan y 2 ini kemudian disebut suatu basis ( atau sistem dasar) dari persamaan (2) pada interval I. Penyelesaian khusus pada interval I diperoleh jika kita memberikan nilai yang spesifik pada c 1 dan c 2 Seperti umumnya, y1 dan y2 dikatakan proporsional pada I jika : y 1 = ky 2 atau y 2 = ly 1 Berlaku untuk semua x pada I, dimana k dan l adalah bilangan, nol atau tidak ada 11
12 2.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai aplikasi yang penting, khusus hubungannya dengan getaran mekanik dan elektrik. Dari PD1 linier, y + ky = 0 penyelesaiannya adalah y = e -kx. Hal ini memberikan kepada kita ide untuk mencoba sebagai suatu penyelesaian dari (1) fungsi y = e λx (2) Maka turunan I dan II y = λe λx dan y = λ 2 e λx Substitusi ke dalam persamaan (1) λ 2 + aλ + b e λx = 0 Maka persamaan (2) adalah suatu solusi dari persamaan (1), jika λ adalah suatu solusi dari persamaan kuadratik λ 2 + aλ + b = 0 (3) 12
13 Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari persamaan (1). Akarnya adalah : λ 1 = 1 2 a + a2 4b λ 2 = 1 2 a a2 4b (4) Penurunan kita menunjukan bahwa fungsi y 1 = e λ 1x dan y 2 = e λ 2x (5) Adalah solusi dari persamaan (1). Kita harus menguji hasil ini dengan mensubtitusikan persamaan (5) kedalam persamaan (1) Secara langsung dari persamaan (4) kita melihat bahwa, dengan bergantung pada tanda deskriminan a 2 4b, kita mendapatkan beberapa kemungkinan : Case I : dua akar real jika a 2 4b > 0 Case II: dua akar real kembar jika a 2 4b = 0 Case III : akar komplek jika a 2 4b < 0 13
14 Thank you 14
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kompetensi Mahasiswa diharapkan: 1. Mengenali bentuk PD orde satu dengan variabel terpisah dan tak terpisah.. Dapat mengubah bentuk PD tak terpisah menjadi terpisah
Lebih terperinciBAB III PD LINIER HOMOGEN
BAB III PD LINIER HOMOGEN Kompetensi Mahasiswa diharapkan. Mampu menentukan selesaian umum dari PD linier homogen orde dua dengan jenis akarakar karakteristik yang berbeda-beda. Memahami pengertian kebebaslinieran
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kompetensi Mahasiswa diharapkan: 1. Mengenali bentuk PD orde satu dengan variabel terpisah dan tak terpisah.. Dapat mengubah bentuk PD tak terpisah menjadi terpisah
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciBAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN
BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciPersamaan Differensial Biasa
Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya
Lebih terperinciPD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono
PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah
Lebih terperinciAdalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel
Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciBAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL Bila persamaan diferensial linear homogen memiliki koefisien constant maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda aljabar (seperti yang
Lebih terperincidisebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Persamaan Diferensial Febrizal, MT Pendahuluan Persamaandiferensial i merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.
Lebih terperinciMata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinciBAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa. Rippi Maya
Persamaan Diferensial Biasa Rippi Maya Maret 204 ii Contents PENDAHULUAN. Solusi persamaan diferensial..................... 2.. Solusi Implisit dan Solusi Eksplisit............. 2..2 Solusi Umum dan Solusi
Lebih terperinciREKAYASA GEMPA GETARAN BEBAS SDOF. Oleh Resmi Bestari Muin
MODUL KULIAH REKAYASA GEMPA Minggu ke 3 : GETARAN BEBAS SDOF Oleh Resmi Bestari Muin PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 010 DAFTAR ISI DAFTAR ISI i III GERAK
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Lebih terperinciNurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2
Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut
Lebih terperinciBAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL 1. Pendahuluan : Pemodelan Arus Panas Satu Dimensi Y Bahan penyekat (insulator) A Batang 0 L X Z Misalkan bila ada batang yang dapat menghantarkan panas. Batang tersebut
Lebih terperinciBAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciTeknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)
Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,
Lebih terperinciBAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif
Lebih terperinciMetode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO
Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde 2. Matematika Teknik 2 S1-Teknik Elektro
Persamaan Diferensial Orde Matematika Teknik S-Teknik Elektr Persamaan Diferensial Orde Dua Bentuk umum persamaan rde dua adalah: y + p(x)y + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kntinu. Jika
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah : Statistika Matematika Pertemuan Ke : 5 Pokok Bahasan : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014 Kuliah yang Lalu 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan
Lebih terperinciA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciBAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :
BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi
Lebih terperinciBAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciMETODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com November 12, 2006 Suatu
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Lebih terperinciHendra Gunawan. 23 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciTeorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak
Lebih terperinciPertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
Lebih terperinciSagita Charolina Sihombing 1, Agus Dahlia Pendahuluan
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 14, No. 1 (2018), pp. 51 60. p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v14.n1.15953.51-60 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dan Dua disertai
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperincidy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,
5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciSUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi Kontinu
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi
Lebih terperinci4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah
Pilihlah jawaban yang benar dengan cara mencakra huruf didepan jawaban yang saudara anggap benar pada lembar jawaban 1. Dibawah ini bentuk persamaan diferensial biasa linier homogen adalah a. y + xy =
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciBAB III PD LINIER HOMOGEN
BAB III PD LINIER HOMOGEN Kompetensi Mahasiswa diharapkan. Mampu menentukan selesaian umum dari PD linier homogen orde dua dengan jenis akar-akar karakteristik ang berbeda-beda. Memahami pengertian kebebaslinieran
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU Tujuan Instruksional: Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde-1 dg integrasi langsung, pemisahan variael. Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciSolusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi dengan Metode Pemisahan Variabel
Vol.14, No., 180-186, Januari 018 Solusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi Metode Pemisahan Variabel M. Saleh AF Abstrak Dalam keadaan distribusi temperatur setimbang (tidak tergantung pada waktu)
Lebih terperinciDari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciHusna Arifah,M.Sc : Persamaan Bessel: Fungsi-fungsi Besel jenis Pertama
Bentuk umum PD Bessel : x 2 y"+xy' +(x 2 υ 2 )y =...() Kita asumsikan bahwa parameter υ dalam () adalah bilangan riil dan tak negatif. Penyelesaian PD mempunyai bentuk : y(x) = x r m = a m x m = a m xm
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017
A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Parsial CNH3C3
Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan phgunawan@telkomuniversity.ac.id 1 Persamaan
Lebih terperinciKINEMATIKA PARTIKEL 1. KINEMATIKA DAN PARTIKEL
FISIKA TERAPAN KINEMATIKA PARTIKEL TEKNIK ELEKTRO D3 UNJANI TA 2013-2014 1. KINEMATIKA DAN PARTIKEL Kinematika adalah bagian dari mekanika yg mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan apa/siapa yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinci