BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
|
|
- Widyawati Kurniawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 1 Konsep Dasar 1
2 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
3 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3
4 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4
5 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5
6 BAB 6 Sistem PDB 6
7 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan 7
8 BAB 8 Potret Fase Sistem PDB Nonlinier dan Aplikasi Pada bagian ini akan dibahas potret fase sistem otonomus nonlinier dalam aplikasi. Suatu teorema mengenai potret fase sistem otonomus nonlinier x 1 = ax 1 + bx 2 + f 1 (x 1 x 2 ) (8.1) x 2 = ax 1 + bx 2 + f 2 (x 1 x 2 ) (8.2) Misal r 1 r 2 adalah akar-akar persamaan karakteristik (nilai eigen) dari sistem yang dilinierkan maka potert fase dan stabilitasnya dapat dilihat dalam tabel berikut Interaksi Populasi Dalam bagian ini akan dibahas dua spesies yang berbeda, satu spesies disebut pemangsa dan spisies lainnya disebut mangsa (Predator-Prey). Spesies mangsa mempunyai persediaan makanan yang berlebihan sedangkan spesies pemangsa 100
9 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 101 x 0 = Ax det(a ; ri) = 0 det A 6= 0 Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas r 1 > r 2 > 0 Simpul Tidak stabil r 1 < r 2 < 0 Simpul Stabil asimtotik r 1 < 0 > r 2 Titik plana Tidak stabil r 1 = r 2 > 0 Simpul atau Titik spiral (Fokus) Tidak stabil r 1 = r 2 < 0 Simpul atau Titik spiral (Fokus) Stabil asimtotik r 1 r 2 = i Titik spiral (Fokus) > 0 Tidak stabil < 0 Stabil asimtotik r 1 = i r 2 = ;i Pusat atau Titik spiral (Fokus) Taktentu Tabel 8.1: Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus nonlinier diberi makanan spesies mangsa. Kajian matematis mengenai ekosistem seperti ini pertama kali diperkenalkan oleh Lotka dan Volterra dalam pertengahan tahun Misalkan x 1 (t) dan x 2 (t) masing-masing menunjukkan banyaknya spesies mangsa dan pemangsa pada saat t maka bila kedua spesies itu terpisah model matematisnya digambarkan sebagai berikut: x 0 1 = a 1 x 1 (8.3) x 0 2 = ;a 1 x 2 : (8.4) Dalam hal ini a 1 > 0 karena populasi mangsa akan terus bertambah dengan adanya makanan yang banyak, sedangkan spesies pemangsa akan berkurang jumlahnya sehingga ;a 1 < 0. Akan tetapi bila kedua spesies itu berinteraksi maka model matematis yang diungkapkan oleh Lotka dan Volterra menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 (8.5) x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 : (8.6) Populasi pemangsa akan memakan populasi mangsa sehingga beralasan untuk
10 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 102 mengandaikan bahwa jumlah yang membunuh besarnya tiap satuan waktu berbanding lurus dengan x 1 dan x 2, yaitu x 1 x 2. Jadi populasi mangsa akan berkurang sedangkan populasi pemangsa akan bertambah. Persamaan ( ) ini tak linier dan sulit diselesaikan dengan cara analitik untuk menentukan solusi eksplisitnya. Namun demikian dengan teori kualitatif sistem semacam ini dapat dianalisa untuk membuat ramalan tentang kelakuan kedua spesies tersebut. Dengan menyelesaikan sistem a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 = 0 (8.7) ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 = 0 (8.8) untuk menentukan titik kritisnya didapat (0 0) dan (a 3 =a 4 a 1 =a 2 ). Dengan demikian sistem ini akan mencapai solusi seimbang pada x 1 (t) = 0 x 2 (t) = 0 dan x 1 (t) = a 3 =a 4 x 2 (t) = a 1 =a 2. Dalam hal ini solusi seimbang kedua akan dikaji. Secara intuitif dapatlah ditentukan solusi sistem itu, yaitu x 1 (t) = 0 x 2 (t) = x 2 (0)e ;a 3t merupakan solusi khusus dengan trayektori sumbu x 2 positif dan x 2 (t) = 0 x 1 (t) = x 1 (0)e a 1t merupakan solusi khusus dengan trayektori sumbu x 1 positif. Karena ketunggalan penyelesaian ini, maka setiap penyelesaian sistem ini yang pada t = 0 berawal pada kuadran pertama tidak akan memotong sumbu x 1 dan x 2 oleh karena itu solusi itu akan tetap berada pada kuadran pertama. Trayektori sistem ini diperoleh dari dx 2 dx 1 = ;a 3x 2 + a 4 x 1 x 2 a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 = (;a 3 + a 4 x 1 )x 2 (a 1 ; a 2 x 2 )x 1 a 1 ; a 2 x 2 x 2 dx 2 = ;a 3 + a 4 x 1 x 1 dx 1
11 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 103 atau a1 x 2 ; a 2 dx 2 = ; a 3 + a 4 dx 1 x 1 Inegralkan kedua ruas persamaan ini diperoleh penyelesaian umum a 1 ln x 2 ; a 2 x 2 = ;a 4 ln x 1 + a 4 x 1 + k ln x a ln x a 3 1 = a 2 x 2 + a 4 x 1 + k x a 1 2 e a 2x 2 x a 1 2 xa 3 1 = e a 2x 2 +a 4 x 1 +k dimana K = e k dan k merupakan konstanta sebarang. x a 3 1 e a 4x 2 = K (8.9) Dapat dilihat bahwa bila K > 0, trayektori (8.9) merupakan kurva tertutup, lihat Gambar 8.1, dan karena itu tiap penyelesaian (x 1 (t) x 2 (t)) dari ( ) dengan nilai awal (x 1 (0) x 2 (0)) dalam kuadran pertama merupakan fungsi dari waktu yang periodik. Jika T merupakan periode dari penyelesaian x 1 (t) x 2 (t), yaitu, jika (x 1 (t + T ) x 2 (t + T ) = x 1 (t) x 2 (t) untuk semua t 0, maka nilai rata-rata dari populasi x 1 (t) dan x 2 (t) adalah x 1 = 1 T Z T x 1 (t)dt x 2 = 1 T Z T x 2 (t)dt: 0 0 Untuk menentukan nilai integral ini dapatlah diturunkan langsung dari persamaan ( ) tanpa mengetahu solusi eksplisit. Dalam hal ini x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 Z T x 0 2 x 2 = ;a 3 + a 4 x 1 : Integralkan kedua ruas dari 0 sampai dengan T, 0 1 x 2 (t) dx 2 = Z T ln x 2 (T ) ; ln x 2 (0) = ;a 3 T + a 4 0 Z T (;a 3 + a 4 x 1 (t))dt 0 x 1 (t)dt:
12 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 104 Karena x 2 (T ) = 0 maka ;a 3 T + a 4 Z T 0 x 1 (t)dt = 0 atau 1 T Z T 0 x 1 (t)dt = a 3 a 4 : Dengan demikian x 1 = a 3 a 4 : Dengan cara yang sama akan diperoleh x 2 = a 1 a 2 : Dari (8.10) dan (8.10) dapatlah dibuat ramalan yang menarik bahwa ukuran rata-rata dari dua populasi x 1 (t) dan x 2 (t) yang berinteraksi sesuai dengan model matematis yang digambarkan pada persamaan ( ) akan tepat mempunyai nilai setimbang pada x 1 = a 3 =a 4 dan x 2 = a 1 =a 2. Selanjutnya de-ngan menggunakan pengamatan ini dapatlah dibuat ramalan lain yang menarik. Misal populasi mangsa x 1 (t) berkurang dalam jumlah yang sedang, maka po-pulasi mangsa dan pemangsa akan berkurang jumlahnya pada laju, katakanlah, x 1 (t) dan x 2 (t). Sehingga sistem menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 ; x 1 x 0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 ; x 2 : atau x 0 1 = (a 1 ; )x 1 ; a 2 x 1 x 2 (8.10) x 0 2 = ;(a 3 + )x 2 + a 4 x 1 x 2 : (8.11) Dengan menerapkan persamaan ( ) dapat ditentukan bahwa rata-rata
13 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 105 populasi mangsa dan pemangsa setelah adanya pengurangan masing-masing adalah x 1 = a 3 + a 4 (8.12) x 2 = a 1 ; a 2 : (8.13) Dengan kata lain rata-rata populasi mangsa akan lebih besar sedikit dari ratarata sebelum adanya pengurangan sedangkan rata-rata populasi pemangsa sedikit lebih kecil dari rata-rata sebelumnya. x 2 a1 a 2 a3 (, a a a 4 1 ) 2 a a 3 4 x 1 Gambar 8.1: Potret fase model interaksi Pemangsa dan Mangsa Melalui fungsi DEplot didapat potret fase umum berikut. Gambar 8.2: Potret fase sistem secara umum
14 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI Mekanika Taklinier Ayunan Sederhana Ayunan sederhana terdiri dari sebuah bandul B bermassa m pada spotong tongkat yang ringan dan kaku sepanjang L, diikat bagian atasnya sedemikian hingga sisem itu dapat berayun pada bidang vertikal, lihat Gambar θ C T C L B s A mg sinθ mg mg cosθ Gambar 8.3: Ayunan Bandul Bila bandul itu ditarik satu arah dan dilepas dari keadaan diam pada saat t = 0 dan misal (t) merupakan perpindahan sudut dari tongkat pada saat t dari keadaan setimbang )A dimana sudut (t) positif bila bandul berada disebelah kanan dari kedudukan setimbang dan negatif bila berada disebelah kiri. Kita ingin mengkaji (t) bila bandul berayun kembali dan bergerak sepanjang busur lingkaran CC 0. Dari informasi yang ada telah diketahui (0) = 0 0 (0) = 0 dimana (0) = 0 adalah perpindahaan sudut awal dari tongkat dan (0) = 0 karena bandul dilepas dari keadaan diam. Ada dua gaya yang berkerja yaitu gaya berat (;mg) dan gaya tegangan tongkat T. Gaya ;mg dipecah menjadi dua komponen ;mg cos dan ;mg sin, lihat Gambarband. Gaya ;mg cos mengimbangi tegangan T pada tongkat, sedang gaya ;mg sin menggerakkan
15 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 107 bandul sepanjang busur lingkaran BA. Menurut H.K. Newton II diperoleh dimana s adalah panjang busur AB dan d2 s dt 2 m d2 s = ;mg sin (8.14) 2 dt L merupakan panjang tongkat maka panjang busur s = L. atau m d2 s dt 2 percepatan sepanjang busur. Karena 2 = Ld (8.15) dt 2 d 2 dt + g sin = 0 (8.16) 2 L (0) = 0 0 (0) = 0: (8.17) Kedua persamaan terakhir ini menggambarkan secara lengkap gerak pendulum itu bersama nilai awalnya. Selanjutnya persamaan ini dapat dirubah kedalam sistem PDB order satu, dengan memisalkan! 2 = g L x 1 = dan x 2 = 0, sehingga diperoleh x 0 1 = x 2 (8.18) x 0 2 = ;! 2 sin x 1 : (8.19) Untuk menganalisa titik kritis persamaan ini, dapat ditentukan dari mengnolkan ruas kiri, sehingga x 2 = 0 ;! 2 sin x 1 = 0: Dengan menyelesaikan persamaan kedua diperoleh x 1 = = : : : sehinggga titik kritisnya adalah : : : (;2 0) (; 0) (0 0) ( 0) (2 0) : : :
16 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 108 Memahami sin x adalah fungsi periodik maka cukup dipelajari (0 0) ( 0) saja. Untuk (0 0) maka ekspansi deret Taylor disekitar x = 0 adalah sin x = x ; x3 3! + x 5 5! ; : : : sehingga persamaan ( ) dapat dihampiri oleh sistem linier x 0 1 = x 2 x 0 2 = ;!2 x: (8.20) Dengan demikian persamaan karakteristik (8.20) adalah r 2 +! 2 = 0 dengan akarakar r 12 =!i. Menurut Tabel?? Tabel 8.1 dan maka titik kritis (0 0) adalah stabil pusat untuk sistem (8.20) dan merupakan titik pusat atau fokus untuk sistem ( ), lihat Gambar 8.3. Panah pada trayektori menunjukkan arah perputaran jarum jam karena persamaan pertama dalam (8.20) yaitu x membesar bila y positif. Analog dengan ini sistem ( ) juga mempunyai titik kritis pada (2n 0) untuk n = 1 2 : : :. x 2 2π π 0 π 2π x 1 Gambar 8.4: Trayekktori sistem ayunan bandul Selanjutnya kita kaji titik kritis ( 0). Ekspansi deret Taylor untuk sin x disekitar x = diberikan oleh sin x = ;(x ; ) + (x ; )3 3 ; (x ; )5 5! + : : : :
17 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 109 Jadi sistem yang dilinierkan berbentuk x 0 1 = x 2 x 0 2 =! 2 (x ; ): (8.21) dan mempunyai titik kritis pada ( 0). Titik kritis dapat dipetakan ke (0 0) dengan memisalkan v = x ; sehingga menjadi v 0 = x 2 x 0 2 =! 2 v: (8.22) Persamaan karakteristiknya adalah r 2 ;! 2 = 0 dengan akar-akar r 12 =!. Karena akar-akarnya riel dan tandanya berlawanan, maka titik kritis (0 0) merupakan titik plana oleh karena itu merupakan titik kesetimbangan takstabil dari (8.22). Sebagai implikasinya, titik kritis ( 0) juga merupakan titik plana dan karena itu merupakan titik kesetimbangan takstabil dari sistem yang dilinierkan (8.21), lihat Tabel??. Selanjutnya menurut Tabel 8.1, diperoleh kenyataan bahwa karena ( 0) merupakan titik plana maka titik ini merupakan kesetimbangan stabil dari sistem ( ). Sistem ini juga akan mempunyai sebuah titik plana pada titik (2n+1) 0) untuk n = 1 2 : : :, dan selengkapnya dapat dilihat dalam Gambar 8.5. Dengan menggunakan fungsi DEplot diperoleh potret x 2 4π 3π 2π π 0 π 2π 3π 4π x 1 Gambar 8.5: Potret fase fase dapat dilihat dalam Gambar 8.6.
18 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 110 2π π π 2π Gambar 8.6: Potret fase secara umum Secara eksplisit kita juga dapat menurunkan persamaan trayektori persamaan ( ). Dengan menggabungkan kedua persamaan itu, yaitu dx 2 dx 1 = ;! 2 sin x 1 x 2 maka persamaan ini merupakan PDB terpisah dimana solusinya adalah 1 2 x2 2 ;!2 cos x 1 = c: (8.23) Untuk menggambarkan potret fase dari persamaan ini adalah tepat sekali untuk menyatakan c dalam syarat awal. Andaikan bahwa x 2 = (x 2 ) 0 bila x 1 = 0 maka dari (8.23) didapat bahwa c = 1 2 (x 2) 2 0 ;!2 1 2 x2 2 ;!2 cos x 1 = 1 2 (x 2) 2 0 ;!2 x ! 2 (1 ; cos x 1 ) = (x 2 ) 2 0 x !2 sin 2 x 1 2 = (x 2 ) 2 0 (8.24) Persamaan terakhir ini merupakan persamaan yang menggambarkan tiga tipe kurva yang beraputan dalam Gambar 8.5 dalam tiga kasus berikut.
19 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 111 KASUS 1 j(x 2 ) 0 j < 2!. Nilai maksimum dari sudut x 1 (ingat bahwa x 1 = ) dicapai bila x 2 = 0 dan x maks = 2 arcsin (x 2) 0 2! < : Dalam kasus ini ayunan itu berosilasi antara sudut ekstrem x maks. Trayektorinya merupakan kurva tertutup sebagaimana terlihat dalam bagian paling dalam kurva dalam Gambar 8.5. KASUS 2 j(x 2 ) 0 j > 2!. Dalam kasus ini ayunan membuat putaran lengkap. Trayektorinya akan berbentuk kurva ombak pada bagian atas dan bawah kurva dalam Gambar 8.5. KASUS 3 j(x 2 ) 0 j = 2!. Dalam hal ini trayektori berbentuk simpal (kop) tebal yang memisahkan trayektori tertutup dan trayektori ombak dalam Gambar 8.5. Persamaan trayektori ini dapat diturunkan langsung dari persamaan (8.24) jika kita substitusikan 2! dalam (x 2 ) 0 sehingga diperoleh x 2 = 2! cos x 2
20 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 112 Latihan Tutorial 3 1. Dalam interaksi mangsa dan pemangsa, misal populasi mangsa mempunyai persediaan makanan yang terbatas maka model persamaan interaksi itu akan menjadi x 0 1 = a 1 x 1 ; a 2 x 1 x 2 ; 1 x 2 1 x0 2 = ;a 3 x 2 + a 4 x 1 x 2 ; 2 x 2 2 dimana 1 1 > 0. Sebagi contoh khusus model ini adalah x 0 1 = 3x 1 ; x 1 x 2 ; 2x 2 1 x0 2 = ;x 2 + 2x 1 x 2 ; x 2 2, dimana x 1 x 2 diukur dalam ratusan mahluk. Kajilah stabilitsa dari tiap titik kritisnya dan tentukan apakah ini merupakan titik simpul, plana atau fokus. 2. Persamaan difrensial 00 + k +! 2 sin = 0 k > 0 merupakan gerak ayunan yang dipengaruhi gaya gesekan (gaya peredam) yang berbanding lurus dengan kecepatan sudut. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB order satu dan buktikan bahwa hanya (n 0) untuk n = : : : merupakan titik kritis dari sistem ini. Dalam setiap kasus kajilah stabilitas sistem pada (0 0) dan tentukan apakah (0 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus untuk (a) k < 2! (b) k = 2! (c) k > 2! 3. Persamaan difrensial x 00 + (x 2 ; 1)x 0 + x = 0 > 0 disebut persamaan vanderp ol dan mengatur rangkaian listrik tertentu yang mengandung pipa hampa. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB
21 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 113 order satu dan buktikan bahwa hanya (0 0) satu-satunya titik kritis dari sistem ini. Kajilah stabilitas sistem pada (0 0) bila < 2 dabn > 2. Dalam setiap kasus tentukan apakah (0 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus. 4. Dua tangki saling berhubungan (lihat Gambar 1). Awal mula tangki I berisi 30 Lt air yang berisi 20 gram garam, sementara tangki II berisi 20 Lt air dengan 15 gram garam. Kemudian air yang berisi 1 gram/lt dituangkan kedalam tangki I dengan laju 2 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki I, pada saat yang bersamaan campuran itu mengalir ke tangki II dengan laju 4 Lt/menit. Disisi lain air yang berisi 3 gram/lt dituangkan kedalam tangki II dengan laju 1 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki II dan pada saat yang bersamaan pula campuran itu mengalir ke luar dimana 2 Lt/menit mengalir kembali ke tangki I dan 3 Lt/menit mengalir keluar meninggalkan sistem. 2 Lt/min, 1 gram/lt 1 Lt/min, 3 gram/lt 4 Lt/min 2 Lt/min 3 Lt/min Gambar 8.7: Dua tangki yang saling berhubungan. (a) Tentukan model matematik lengkap dengan masalah nilai awalnya dari
22 BAB 8. POTRET FASE SISTEM PDB NONLINIER DAN APLIKASI 114 peristiwa ini. (b) Tentukan titik kesetimbangan (titik kritis) dari dari sistem PD order pertama tersebut. (c) Tentukan ekspresi model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki I dan II setiap saat. 5. Suatu rangkaian tertutup seri dari hambatan (R), induktor (L) dan kapasitor (C) dihubungkan dengan sumber tegangan bolak balik E = 100 sin 60t Volt, lihat Gambar 2 dibawah ini. Jika muatan listrik awal dan arus listrik awal sama dengan nol, tentukan fungsi muatan listrik Q dalam kapasitor setelah saat tertentu t > 0. R = 2 ohm E I Keterangan: R : Hambatan L : Induktor C : Kapasitor C=1/260 farad L=1/10 henry Gambar 8.8: Rangkaian tertutup seri R L dan C.
23 Daftar Pustaka Boyce, W. E. & Diprima, R. C Elementary Dierential Equations and Boudary Value Problems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore Burden, R. L. and Faires, J. D Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing Company. U.S. Lambert, J.D Numerical Methods for Ordinary Dierential Systems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore Powell, M.J.D Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. U.K. Ross, S. L Introduction to Ordinary Dierential Equations. John Wiley & Sons, Inc. New York. U.S. Shampine, L. F. & Baca, L.S Computer Solution of Ordinary Dierential Equations: The Initial Value Problem. Freeman. San Francisco. 115
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Lebih terperinciMata Kuliah GELOMBANG OPTIK TOPIK I OSILASI. andhysetiawan
Mata Kuliah GELOMBANG OPTIK TOPIK I OSILASI HARMONIK PENDAHULUAN Gerak dapat dikelompokan menjadi: Gerak di sekitar suatu tempat contoh: ayunan bandul, getaran senar dll. Gerak yang berpindah tempat contoh:
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang didalamnya terdapat beberapa derivatif. Persamaan diferensial menyatakan hubungan antara derivatif dari satu variabel
Lebih terperinciSASARAN PEMBELAJARAN
OSILASI SASARAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mengenal persamaan matematik osilasi harmonik sederhana. Mahasiswa mampu mencari besaranbesaran osilasi antara lain amplitudo, frekuensi, fasa awal. Syarat Kelulusan
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciMODEL DINAMIK INTERAKSI DUA POPULASI (Dynamic Model Interaction of Two Population)
Jurnal Barekeng Vol. 5 No. 1 Hal. 9 13 (211) MODEL DINAMIK INTERAKSI DUA POPULASI (Dynamic Model Interaction of Two Population) FRANCIS Y. RUMLAWANG 1, TRIFENA SAMPELILING 2 1 Staf Jurusan Matematika,
Lebih terperinciOsilasi Harmonis Sederhana: Beban Massa pada Pegas
OSILASI Osilasi Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya. Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciSimulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Simulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan 1 Ai Yeni, 2 Gani Gunawan, 3 Icih Sukarsih 1,2,3 Prodi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Lebih terperinciGERAK HARMONIK SEDERHANA
GERAK HARMONIK SEDERHANA Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik benda melalui suatu titik kesetimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan. Gerak harmonik
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinciSEMINAR HASIL TUGAS AKHIR Jurusan Matematika FMIPA ITS
SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR Jurusan Matematika FMIPA ITS Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah 1209 100 703 Dosen Pembimbing: Dr Erna Apriliani,
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Pertemuan I Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY September 8, 2016 Skydiver Figure: Penerjun Payung Skydiver Asumsi untuk pergerakan skydiver 1 gaya gravitasi 2 gaya hambat karena atmosfer Hukum Newton
Lebih terperinciBab 16. Model Pemangsa-Mangsa
Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciReferensi : Hirose, A Introduction to Wave Phenomena. John Wiley and Sons
SILABUS : 1.Getaran a. Getaran pada sistem pegas b. Getaran teredam c. Energi dalam gerak harmonik sederhana 2.Gelombang a. Gelombang sinusoidal b. Kecepatan phase dan kecepatan grup c. Superposisi gelombang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciKarakteristik Gerak Harmonik Sederhana
Pertemuan GEARAN HARMONIK Kelas XI IPA Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Rasdiana Riang, (5B0809), Pendidikan Fisika PPS UNM Makassar 06 Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran: Amplitudo
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperincimenganalisis suatu gerak periodik tertentu
Gerak Harmonik Sederhana GETARAN Gerak harmonik sederhana Gerak periodik adalah gerak berulang/berosilasi melalui titik setimbang dalam interval waktu tetap. Gerak harmonik sederhana (GHS) adalah gerak
Lebih terperinciPEMBENTUKAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK
PEMBENTUKAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK Pada sub bab ini akan membahas tentang sistem listrik. Pembahasan ini berperan sebagai suatu contoh yang mengesankan dari kenyataan penting, bahwa sistem fisis yang
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciGERAK HARMONIK. Pembahasan Persamaan Gerak. untuk Osilator Harmonik Sederhana
GERAK HARMONIK Pembahasan Persamaan Gerak untuk Osilator Harmonik Sederhana Ilustrasi Pegas posisi setimbang, F = 0 Pegas teregang, F = - k.x Pegas tertekan, F = k.x Persamaan tsb mengandung turunan terhadap
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciPertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
Lebih terperinciGambar 3. (a) Diagram fasor arus (b) Diagram fasor tegangan
RANGKAIAN ARUS BOLAK-BALIK Arus bolak-balik atau Alternating Current (AC) yaitu arus listrik yang besar dan arahnya yang selalu berubah-ubah secara periodik. 1. Sumber Arus Bolak-balik Sumber arus bolak-balik
Lebih terperinciFISIKA I. OSILASI Bagian-2 MODUL PERKULIAHAN. Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik sederhana
MODUL PERKULIAHAN OSILASI Bagian- Fakultas Program Studi atap Muka Kode MK Disusun Oleh eknik eknik Elektro 3 MK4008, S. M Abstract Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 197 204. ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Eka
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi
Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut
Lebih terperinciFisika Umum (MA-301) Topik hari ini: Getaran dan Gelombang Bunyi
Fisika Umum (MA-301) Topik hari ini: Getaran dan Gelombang Bunyi Getaran dan Gelombang Hukum Hooke F s = - k x F s adalah gaya pegas k adalah konstanta pegas Konstanta pegas adalah ukuran kekakuan dari
Lebih terperinciANALISIS SIMULASI GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM NONLINIER. Oleh: Supardi. Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Negeri Yogyakarta
ANALISIS SIMULASI GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM NONLINIER Oleh: Supardi Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Negeri Yogyakarta Penelitian tentang gejala chaos pada pendulum nonlinier telah dilakukan.
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciSoal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013
Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3.1 Masalah Dalam Mekanik Misal 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama waktu 4t maka kecepatan
Lebih terperinciKARAKTERISTIK GERAK HARMONIK SEDERHANA
KARAKTERISTIK GERAK HARMONIK SEDERHANA Pertemuan 2 GETARAN HARMONIK Kelas XI IPA Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Rasdiana Riang, (15B08019), Pendidikan Fisika PPS UNM Makassar 2016 Beberapa parameter
Lebih terperinciMATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR Oleh: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si Subchan, Ph.D Drs. Kamiran, M.Si Noveria
Lebih terperinciPengantar Persamaan Differensial (1)
Program Studi Modul Mata Kuliah Kode MK Disusun Oleh Sistem Komputer 01 Persamaan Differensial MKK103 Albaar Rubhasy, S.Si, MTI Pengantar Persamaan Differensial (1) Materi Pembahasan: Deskripsi Perkuliahan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciBAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4. Sebaran Asimtotik,, Teorema 4. (Sebaran Normal Asimtotik,, ) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciULANGAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2015 KELAS XII. Medan Magnet
ULANGAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2015 KELAS XII gaya F. Jika panjang kawat diperpendek setengah kali semula dan kuat arus diperbesar dua kali semula, maka besar gaya yang dialami kawat adalah. Medan Magnet
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciPENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 93 98 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Lebih terperinciSOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK
SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH Sugimin Jurusan Matematika FMIPA UT ugi@mail.ut.ac.id ABSTRAK Suatu persamaan vektor berbentuk x & = f (x dengan variabel bebas t yang tidak dinyatakan
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 2 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal
Lebih terperinciDESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA
DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA Thoufina Kurniyati Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang E-mail:
Lebih terperinciRANGKAIAN ARUS BOLAK-BALIK.
Arus Bolak-balik RANGKAIAN ARUS BOLAK-BALIK. Dalam pembahasan yang terdahulu telah diketahui bahwa generator arus bolakbalik sebagai sumber tenaga listrik yang mempunyai GGL : E E sinω t Persamaan di atas
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Semarang, 28 Mei Penyusun
KATA PENGANTAR Segala puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang MahaEsa. Berkat rahmat dan karunia-nya, kami bisa menyelesaikan makalah ini. Dalam penulisan makalah ini, penyusun menyadari masih
Lebih terperinciJawaban Soal OSK FISIKA 2014
Jawaban Soal OSK FISIKA 4. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dimana posisinya sebagai fungsi dari waktu dapat dinyatakan dengan kurva seperti terlihat pada gambar samping (x dalam meter dan t dalam
Lebih terperinciFASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK
FASO DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASA ANGKAIAN LISTIK 1. Fasor Fasor adalah grafik untuk menyatakan magnituda (besar) dan arah (posisi sudut). Fasor utamanya digunakan untuk menyatakan gelombang sinus
Lebih terperinciSimulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk Kasus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa
Simulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk asus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa Ipah Junaedi 1, a), Diny Zulkarnaen 2, b) 3, c), dan Siti Julaeha 1, 2, 3 Jurusan Matematika,
Lebih terperinciSoal SBMPTN Fisika - Kode Soal 121
SBMPTN 017 Fisika Soal SBMPTN 017 - Fisika - Kode Soal 11 Halaman 1 01. 5 Ketinggian (m) 0 15 10 5 0 0 1 3 5 6 Waktu (s) Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal tertentu. Posisi batu setiap
Lebih terperinciBAB IV DINAMIKA PARTIKEL. A. STANDAR KOMPETENSI : 3. Mendeskripsikan gejala alam dalam cakupan mekanika klasik sistem diskret (partikel).
BAB IV DINAMIKA PARIKEL A. SANDAR KOMPEENSI : 3. Mendeskripsikan gejala alam dalam cakupan mekanika klasik sistem diskret (partikel). B. KOMPEENSI DASAR : 1. Menjelaskan Hukum Newton sebagai konsep dasar
Lebih terperinciDinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA
Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciJAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK
JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK Kasus-kasus fisika yang diangkat pada mata kuliah Fisika Komputasi akan dijawab secara numerik. Validasi jawaban
Lebih terperinciBab 7 Persamaan Differensial Non-homogen
Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Bentuk hukum : d y dy + p( ) + Q( ) y R( ) (*) Dimana, P(), Q(), dan R() dapat juga berwujud suatu leoust Solusinya : y
Lebih terperinciOSILASI ELEKTROMAGNETIK & ARUS BOLAK-BALIK
OSILASI ELEKTROMAGNETIK & ARUS BOLAK-BALIK 1 Last Time Induktansi Diri 2 Induktansi Diri Menghitung: 1. Asumsikan arus I mengalir 2. Hitung B akibat adanya I tersebut 3. Hitung fluks akibat adanya B tersebut
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciC.1 OSILASI GANDENG PEGAS
Mata Kuliah GELOMBANG-OPTIK OPTIK TOPIK I SUB TOPIK OSILASI GANDENG C. SISTEM OSILASI DUA DERAJAT KEBEBASAN:OSILASI GANDENG Satu derajat kebebasan: Misalkan: pegas yang memiliki satu simpangan Dua derajat
Lebih terperinciGerak Harmonis. Sederhana SUB- BAB. A. Gaya Pemulih
SUB- BAB Gerak Harmonis A. Gaya Pemulih Sederhana B. Persamaan Simpangan, Kecepatan dan Percepatan Getaran C. Periode Getaran D. Hukum Hooke E. Manfaat Pegas Sebagai Produk Perkembangan Konsep dan Keahlian
Lebih terperinciPenerapan Bilangan Kompleks pada Rangkaian RLC
Penerapan Bilangan Kompleks pada Rangkaian RLC Hishshah Ghassani - 354056 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 0 Bandung 403, Indonesia
Lebih terperinciPENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI Oleh: 1 Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng.
PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI Oleh: 1 Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng. 1 Teknik Elektro, http://sigitkus@ub.ac.id Pengantar: Modul ini menjelaskan pemodelan rangkaian listrik RL dan
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Besaran merupakan frekuensi sudut, merupakan amplitudo, merupakan konstanta fase, dan, merupakan konstanta sembarang.
2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi osilasi harmonik sederhana yang disarikan dari [Halliday,1987],
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciDIKTAT. Persamaan Diferensial
Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S email: dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciFisika UMPTN Tahun 1986
Fisika UMPTN Tahun 986 UMPTN-86-0 Sebuah benda dengan massa kg yang diikat dengan tali, berputar dalam suatu bidang vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah suatu lingkaran dengan jari-jari, m. Jika
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciKESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 51-59 KESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE Dewi Purnamasari, Faisal, Aisjah Juliani Noor Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
TUGAS AKHIR ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR ( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L W I T H I N F E C T
Lebih terperinciKESTABILAN POPULASI MODEL LOTKA-VOLTERRA TIGA SPESIES DENGAN TITIK KESETIMBANGAN ABSTRACT
KESTABILAN POPULASI MODEL LOTKA-VOLTERRA TIGA SPESIES DENGAN TITIK KESETIMBANGAN Ritania Monica, Leli Deswita, Rolan Pane Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 12 Fisika
K13 Revisi Antiremed Kelas 12 Fisika Persiapan Penilaian Akhir Semester (PAS) Ganjil Doc. Name: RK13AR12FIS01PAS Version: 2016-11 halaman 1 01. Perhatikan rangkaian hambatan listrik berikut. Hambatan pengganti
Lebih terperinci1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan
. (5 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan dengan H). Kecepatan awal horizontal bola adalah v 0 dan
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciGETARAN DAN GELOMBANG
GEARAN DAN GELOMBANG Getaran dapat diartikan sebagai gerak bolak balik sebuah benda terhadap titik kesetimbangan dalam selang waktu yang periodik. Dua besaran yang penting dalam getaran yaitu periode getaran
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciBAB 3 DINAMIKA GERAK LURUS
BAB 3 DINAMIKA GERAK LURUS A. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menerapkan Hukum I Newton untuk menganalisis gaya-gaya pada benda 2. Menerapkan Hukum II Newton untuk menganalisis gerak objek 3. Menentukan pasangan
Lebih terperinciPengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah, Erna Apriliani Jurusan
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperincie. muatan listrik menghasilkan medan listrik dari... a. Faraday d. Lenz b. Maxwell e. Hertz c. Biot-Savart
1. Hipotesis tentang gejala kelistrikan dan ke-magnetan yang disusun Maxwell ialah... a. perubahan medan listrik akan menghasilkan medan magnet b. di sekitar muatan listrik terdapatat medan listrik c.
Lebih terperinciSyarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T - 10 Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman Maulana Malik, Sri Mardiyati Departemen Matematika
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinci1. a) Kesetimbangan silinder m: sejajar bidang miring. katrol licin. T f mg sin =0, (1) tegak lurus bidang miring. N mg cos =0, (13) lantai kasar
1. a) Kesetimbangan silinder m: sejajar bidang miring katrol licin T f mg sin =0, (1) tegak lurus bidang miring N mg cos =0, (2) torka terhadap pusat silinder: TR fr=0. () Dari persamaan () didapat T=f.
Lebih terperinciD. 30 newton E. 70 newton. D. momentum E. percepatan
1. Sebuah benda dengan massa 5 kg yang diikat dengan tali, berputar dalam suatu bidang vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah suatu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m Jika kecepatan sudut tetap 2 rad/s,
Lebih terperinciHAND OUT FISIKA DASAR I/GELOMBANG/GERAK HARMONIK SEDERHANA
GELOMBAG : Gerak Harmonik Sederhana M. Ishaq Pendahuluan Gerak harmonik adalah sebuah kajian yang penting terutama jika anda bergelut dalam bidang teknik, elektronika, geofisika dan lain-lain. Banyak gejala
Lebih terperinci