Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
|
|
|
- Veronika Gunawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan January 31, 2018
2 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Outline 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
3 1.1 Luas Daerah di Bidang Datar 1.2 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin 1.3 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung 1.4 Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar 1.5 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
4 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Luas Daerah di Bidang Datar 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
5 Luas Daerah di Atas Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dan taknegatif di bidangxy pada interval a x b.. R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dan y = 0 Luas daerah R tersebut adalah: A(R) = b a f (x) dx Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
6 Figure : Daerah di bawah fungsi y = x 4 2x Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Daerah di Atas Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 4 2x antara x = 1 dan x = 2
7 Luas Daerah di Bidang Datar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Solusi: A(R) = 2 1 (x 4 2x 3 + 2) dx [ x 5 = 5 x 4 ] x 1 ( 32 = 5 16 ) ( ) 2 = = 5.1
8 Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dan takpositif di bidangxy pada interval a x b.. R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dan y = 0 Karena b dx bernilai negatif, maka luas daerah R tersebut adalah: a b A(R) = f (x) dx a Kalkulus II January 31, / 71 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()
9 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 2 /3 4 antara x = 2 dan x = 3 Figure : Daerah di bawah sumbu-x dan di atas fungsi y = x 2 /3 4
10 Luas Daerah di Bidang Datar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Solusi: 3 A(R) = = = = [ x 3 ( ) x 2 /3 4 ( x 2 /3 + 4 ] x 2 ( 27 ) = ) dx dx ( ) 8 9 8
11 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Langkah menghitung luas Daerah Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Sketsa Grafik dan Irisannya Buat sketsa fungsi f (x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i f (x i ) x i ; Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 f (x i) x i ; dan Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, A = b a f (x) dx =; lim x 0 n i=1 f (x i) x i.
12 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Irisan Vertikal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Vertikal Perhatikan Gambar 7. Misalkan f (x) dan g(x) adalah dua fungsi kontinu dengan f (x) g(x) pada a x b.
13 Irisan Vertikal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Vertikal Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah: 1 Buat sketsa fungsi f (x) dan g(x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; 2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; 3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i (f (x i ) g(x i )) x i ; 4 Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 (f (x i) g(x i )) x i ; dan 5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, A = b (f (x) g(x)) dx =; lim n a x 0 i=1 (f (x i) g(x i )) x i. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan () Kalkulus II January 31, / 71
14 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Irisan Horizontal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Horizontal Perhatikan Gambar 9. Misalkan f (y) dan g(y) adalah dua fungsi kontinu dengan f (y) g(y) pada a y b.
15 Irisan Horizontal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Horizontal Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah: 1 Buat sketsa fungsi f (y) dan g(y), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; 2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; 3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i (f (y i ) g(y i )) y i ; 4 Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 (f (y i) g(y i )) y i ; dan 5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, b Kalkulus n II January 31, / 71 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()
16 Solusi: TimKerjakan Dosen Kalkulusdengan II Tahun Persiapan limabersama langkah Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Daerah di antara Dua Kurva Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 4 dan y = 2x x 2. Figure : Daerah di antara fungsi y = x 4 dan y = 2x x 2
17 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Jarak dan Perpindahan Luas Daerah di Bidang Datar Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t). Jika v(t) 0, maka b a v(t) dt merupakan jarak yang ditempuh dalam interval a t b. b a v(t) dt = s(b) s(a) menyatakan suatu perpindahan benda yang bergerak dari posisi s(a) ke s(b). Karena nilai kecepatan bisa negatif, maka total jarak yang ditempuh selama a t b adalah b a v(t) dt
18 Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Sebuah benda berada pada posisi s = 3 saat t = 0 dan bergerak dengan kecepatan v(t) = 5 sin 6πt. Di posisi manakah benda tersebut pada saat t = 2 dan berapa jauh benda bergerak selama rentang waktu tersebut? Figure : Grafik Gerak Benda Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
19 Solusi: Luas Daerah di Bidang Datar Perpindahan benda: 2 2 [ s(2) s(0) = v(t) dt = 5 sin 6πt dt = 5 ] 2 cos 6πt = π 0 Dengan demikian, s(2) = s(0) + 0 = = 3 menunjukkan bahwa benda tersebut berada pada posisi 3 saat t = 2. Total jarak yang ditempuh benda tersebut adalah 2 0 v(t) dt = 2 Dengan menggunakan sifat simetri, maka 2 0 v(t) dt = 12 = sin 6πt dt 2/ sin 6πt dt [ 1 cos 6πt 6π ] 1/6 = 20 π Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 0
20 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar Dapatkan luas daerah dari A. Figure : Soal latihan 1 sampai 4
21 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar Dapatkan luas daerah dari A. Figure : Soal latihan 5 dan 6
22 Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar 7 Sketsakan daerah yang ditutupi oleh kurva-kurva berikut dan hitung luas areanya. a. y = x 2, y = x, x = 1/4, x = 1 b. y = cos 2x, y = 0, x = π/4, x = π/2 c. x = sin y, x = 0, y = π/4, y = 3π/4 d. x 2 = y, x = y 2 8 Dapatkan garis horizontal y = k yang membagi daerah di antara y = x 2 dan y = 9 menjadi dua bagian yang sama. 9 Dapatkan garis vertical x = k yang membagi daerah yang dibatasi oleh x = y, x = 2 and y = 0 menjadi dua bagian yang sama. 10 Hitung luas daerah antara kurva y = sin x dan garis yang menghubungkan antara titik-titik (0, 0) dan ( 5π 6, 12) pada kurva tersebut. 11 Bermula dari s = 0 saat t = 0, sebuah benda bergerak sepanjang garis sehingga kecepatannya pada saat t Tim Dosen Kalkulus II Tahun adalah Persiapanv(t) Bersama = Institut 4t 2Kalkulus cm/s. Teknologi II BerapaKalimantan lama benda January 31, tersebut () / 71
23 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
24 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin
25 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Konsep Volume Figure : Volume Benda-Benda Tegak Misalkan A dan h masing-masing adalah luas penampang dan tinggi benda tegak. Volume V benda tersebut adalah: V = A h Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
26 Konsep Volume Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Figure : Irisan Benda Putar Misalkan suatu kurva kontinu pada interval [a, b] di atas sumbu-x diputar tegak lurus sebesar terhadap sumbu putar (sumbu-x). Perhitungan volume didekati dengan membuat irisan-irisan tipis pada benda putar tersbut kemudian menjumlahkannya. Misalkan irisan diambil pada titik-titik a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Antara titik x i dan x i 1 terdapat titik tengah x i, terlihat bahwa irisan tersebut menyerupai sebuah tabung tipis dengan luas alas A(x i ) dan tinggi/tebal dari x i 1 Tim Dosen Kalkulus hinggaiixtahun i, sehingga Persiapan x Bersama i = xinstitut i x i 1 Kalkulus. Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
27 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Konsep Volume Figure : Irisan Benda Putar Volume irisan tersebut adalah V i A( x i ) x i. Volume benda (pendekatan): n V A(x i ) x i Volume benda: V = i=1 b a A(x) dx Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
28 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Metode Cakram Contoh Suatu daerah yang dibatasi kurva y = x, sumbu-x, dan x = 4 diputar terhadap sumbu-x. Dapatkan volume benda benda tersebut. Figure : Sketsa Benda Putar Misalkan irisan diambil pada titik x i dan x i 1 dengan tebal x. Karena jari-jari irisan sebesar x i, maka luas alas irisan adalah A(x i ) = π( x i ) 2 dan volume irisan: V i π( x i ) 2 x Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
29 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume benda (pendekatan): Volume benda: V = lim x 0 Figure : Sketsa Benda Putar V n π( x i ) 2 x i=1 n π( x i ) 2 x = i=1 4 0 π( [ x) 2 x 2 dx = π 2 ] 4 0 = 8π
30 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Contoh Suatu daerah yang dibatasi kurva y = x 3, sumbu-y, dan y = 3 diputar terhadap sumbu-y. Dapatkan volume benda benda tersebut. Figure : Sketsa Benda Putar Misalkan irisan diambil pada titik y i dan y i 1 dengan tebal y Jarak dari sumbu putar ke kurva: 3 y sehingga jari-jari irisan sebesar 3 y Luas alas irisan adalah A(x i ) = π 3 y Volume irisan: V i π( 3 y) 2 y
31 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume benda (pendekatan): Volume benda: n V = lim π( 3 x i ) 2 y = y 0 i=1 Figure : Sketsa Benda Putar V 3 0 n π( 3 x i ) 2 y i=1 π( 3 [ ] 3 x) 2 3 dy = π 5 y 5/3 = π
32 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Metode Cincin Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Figure : Konsep Volume pada Cincin Cincin memiliki dua jari-jari, r 1 sebagai jari-jari dalam dan r 2 sebagai jari-jari luar. Jika tinggi cincin adalah h, maka volume cincin tersebut adalah V = A h = π(r 2 2 r 2 1 )h
33 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Metode Cincin Contoh Dapatkan volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah yang dibatasi y = x 2 dan y 2 = 8x terhadap sumbu-x. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
34 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Solusi: Dengan membuat irisan, pendekatan volume, kemudian mengintegralkan, maka volume benda tersebut adalah V = π 2 0 (8x x 2 ) dx = π [ 8x 2 2 = x 5 ] 2 = 48π 5 0 5
35 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Contoh Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x = 4 y 2 dan sumbu-y dirotasikan terhadap garis x = 1. Hitung volume benda tersebut. Figure : Sketsa dan Irisan
36 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Jari-jari dalam: 1 Jari-jari luar: y 2 Tinggi irisan: y V π [(1 + ] 4 y 2 ) y Volume: 2 V = π = π 2 2 = π ( = π 2 2 ( 2 [ (1 + 4 y 2 ) 2 1 2] dy [ 2 4 y y 2] dy 0 2π + ( = π 2π ) 3 2 ) 4 y 2 dy + (4 y 2 )dy 0 [ 4y 1 ] ) 2 3 y 3 0 = 2π π
37 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Latihan Soal Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan. Figure : Latihan 1 sampai 4
38 Latihan Soal Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan. Figure : Latihan 5 sampai 8 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
39 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Latihan Soal 9 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y = x + 1, y = 2x dan y = 0 dan diputar mengelilingi sumbu x. [Hint: Bagi benda padat yang dihasilkan tersebut menjadi dua bagian.] 10 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y = x 2 and y = x 3 dan diputar mengelilingi sumbu: (a) garis x = 1 dan (b) garis y = 1. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
40 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Tugas 1 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Kerjakan semua latihan soal yang ada
41 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
42 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung
43 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Sebuah kulit tabung dengan jari-jari dalam r 1, jari-jari luar r 2, dan tinggi h akan memiliki volume sebagai berikut: V = (luas alas) (tinggi) = (πr 2 2 πr 2 1 )h = π(r 2 + r 1 )(r 2 r 1 )h ( r1 + r ) 2 = 2π h(r 2 r 1 ) 2 = 2πrh r dengan r = (r 1 + r 2 )/2 : rata-rata jari-jari (r 1 + r 2 ) : ketebalan, dan h : ketinggian. Dengan teknik irisan, pendekatan, dan integrasi, maka diperoleh volume benda putar tersebut adalah dan V 2πx f (x) x V = 2π b a x f (x) dx im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
44 im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Contoh: Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Daerah yang dibatasi oleh y = 1/ x, sumbu x, x = 1, dan x = 4 diputar terhadap sumbu y. Dapatkan volume yang dihasilkan.
45 im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Solusi Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Berdasarkan gambar, kita peroleh perhitungan volume yang dibangkitkan oleh kurva f (x) = 1/ x adalah sebagai berikut: V 2πx f (x) x V 2πx 1/ x x V = 2π 4 1 x 1 x dx = 2π [ ] 4 2 = 2π 3 x 3/2 1 ( 2 = 2π ) x 1/2 dx = 28π
46 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Panjang Kurva 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
47 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Panjang Kurva Panjang Kurva
48 Panjang Kurva Persamaan Parameter Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari a, berpusat di (0, 0) dan persamaan pembentuknya. Pada koordinat kartesius, lingkaran tersebut dibentuk oleh persamaan x 2 + y 2 = a 2 Lingkaran x 2 + y 2 = a 2 dapat pula dibentuk oleh x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2π x dan y diekspresikan dalam parameter t Kurva yang dihasilkan oleh persamaan parameter merupakan kurva berarah im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
49 im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Contoh: Persamaan Parameter Panjang Kurva Persamaan parameter x = 2t + 1, y = t 2 1, pada 0 t 3 menghasilkan kurva berarah sebagai berikut
50 Panjang Kurva Panjang Kurva Teorema Suatu kurva dikatakan halus (smooth) jika dibentuk oleh dua persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a t b dengan syarat kedua turunan pertama dx/dt dan dy/dy tidak bersama-sama bernilai nol pada (a, b). Teorema Panjang Kurva yang dibentuk oleh oleh dua persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a t b adalah L = b a [dx ] 2 + dt [ ] dy 2 dt dt Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
51 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Panjang Kurva Panjang Kurva Teorema Jika x dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva y = f (x) pada a x b adalah b [ ] dy 2 L = 1 + dx (1) dx Teorema a Jika y dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva x = g(y) pada c y d adalah d [dx ] 2 L = + 1dy (2) dy c
52 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Contoh Panjang Kurva Panjang Kurva Dapatkan panjang kurva y = x 3/2 dari titik (1, 1) ke (2, 2 2) dalam dua cara: (a) menggunakan formula (1) dan (b) menggunakan formula (2) Solusi (a) dy dx = 3 2 x 1/2 Karena kurva membentang dari x = 1 ke x = 2, maka panjang kurva y = x 3/2 adalah L = ( ) x 1/2 dx = xdx
53 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Panjang Kurva Contoh Panjang Kurva (lanjutan) Dengan mensubstitusi u = x dan mengubah batas integrasi (x = 1, x = 2) menjadi (u = 13 2, u = 22 4 ), diperoleh L = 4 9 = /4 13/4 u 1/2 du [ (22 ) 3/2 4 = ( ) ] 13 3/ (b) Sekarang coba untuk menghitung panjang kurva dengan mengubah y = x 3/2 menjadi x = y 2/3 dan memperhatikan batas integrasi.
54 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Luas Permukaan Benda Putar 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
55 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perputaran suatu kurva menghasilkan benda putar yang memiliki volume Selain volume, benda putar tersebut juga memiliki luas permukaan.
56 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perhitungan luas permukaan benda putar didekati dengan menghitung luas irisan kerucut (frustum) Luas irisan kerucut dengan jari-jari r 1, r 2, sisi miring l dan tinggi t adalah S = π(r 1 + r 2 )l
57 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perhatikan irisan kerucut (frustum) berikut Sisi miring irisan kerucut ke k dari suatu benda putar dengan jari-jari f (x k 1 ), f (x k ), tinggi x adalah S k = π[f (x k 1 ) + f (x k )] ( x) 2 + [f (x k ) f (x k 1 )] 2
58 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Teorema Misalkan f adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [a, b]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran y = f (x) antara x = a dan x = b terhadap sumbu-x adalah S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx = b a 2πy 1 + [ ] 2 dy dx dx Teorema Misalkan g adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [c, d]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran x = g(x) antara x = c dan x = d terhadap sumbu-y adalah S = d c 2πg(y) 1 + [g (y)] 2 dy = d c 2πx 1 + [ ] 2 dx dy dy
59 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Latihan Luas Permukaan Benda Putar Dapatkan luas permukaan benda putar yang dibangkitkan oleh perputaran kurva y = x 2 antara x = 1 dan x = 2 terhadap sumbu y solusi: Karena diputar terhadap sumbu-y, maka y = x 2 menjadi x = y dan untuk x = 1 dan x = 2 masing-masing menghasilkan y = 1 dan y = 4.
60 im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Luas Permukaan Benda Putar Contoh Luas Permukaan Benda Putar S = = = π = π ( ) dx 2 2πx 1 + dy dy 2π ( ) 1 2 y dy y = π ydy u 1/2 du [u 3/2] 17 = π 6 (173/2 5 3/2 )
61 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Latihan Luas Permukaan Benda Putar 1 Dapatkan panjang kurva berikut a. y = 2x + 3 antara (1, 5) dan (3, 9) b. x = 3y 3/2 1 untuk 0 y 4 c. x = 1 + t, y = 2 + 3t, 0 t 1 d. 4 sin t, y = 4 cos t 5, 0 t π
62 Luas Permukaan Benda Putar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 2 Carilah luas permukaan yang terbentuk dengan pemutaran kurva yang diberikan mengelilingi sumbu x a. y = 25 x 2, 2 x 3 b. y = x 6 =2, 1 x 3 8x 2 c. y = x 3 3, 1 x 7 d. x = cos t, y = sin t, 0 t 1 3 Sebuah luasan R dibatasi kurva x = 9 y 2, 3 x 3 dan diputar mengelilingi sumbu y. Hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
63 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Outline Momen dan Pusat Massa 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
64 Momen dan Pusat Massa Titik a dan P disebut pusat massa. Misalkan batang L terletak pada sumbu x dengan x adalah pusat massa, m 1 pada x 1 yang berjarak d 1 dari x, dan m 2 pada x 2, yang bejarak m 2 dari x. Batang pada gambar 1 akan setimbang jika m 1 d 1 = m 2 d 2 m 1 ( x x 1 ) = m 1 ( x x 2 ) Bagaimana cara menentukan titik a pada gambar 1 dan P pada gambar 2 agar batang dan lempeng berada dalam keadaan setimbang? m 1 x + m 2 x = m 1 x 1 + m 2 x 2 x = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 m 1 x 1 dan m 2 x 2 disebut momen. im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
65 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Secara umum, jika terdapat n buah partikel bermassa m 1, m 2,..., m n pada titik x 1, x 2,..., x n pada sumbu x, maka pusat massa sistem tersebut berada pada x = n i=1 m ix i n i=1 m i = M m (3) dengan M = n i=1 m ix i dan m = n i=1 m i, sehingga persamaan (3) bisa ditulis m x = M.
66 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Misalkan suatu sistem pada bidang xy memuat n buah sistem m 1, m 2,..., m n berada pada titik (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n). Momen sistem terhadap sumbu y adalah n M y = m i x i i=1 dan Momen sistem terhadap sumbu x adalah n M x = m i y i i=1 x = n i=1 m ix i n i=1 m i = M m dengan M = n i=1 m ix i dan m = n i=1 m i. M y mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu y M x mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu x
67 im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Momen dan Pusat Massa Misalkan sebuah lempeng tipis R yang dibatasi oleh y = f (x), sumbu x, dan interval [a, b] pada gambar (a) memiliki kepadatan ρ yang sama. Perhatikan irisan lempeng pada gambar (b) di titik x i. Luas daerah pada irisan tersebut adalah ρf ( x i ) x momen pada R terhadap sumbu y adalah M y = lim n = ρ i=1 b a n ρ x i f ( x i ) x xf (x) dx momen pada R terhadap sumbu x adalah M x = lim n n i=1 ρ 1 2 [f ( x i)] 2 x b 1 = ρ a 2 [f (x)]2 dx
68 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Massa lempeng dengan luas A dan rapat massa ρ adalah m = ρa = ρ b a f (x) dx x = M y m = ρ b a xf (x) dx ρ = b a f (x) dx b a xf (x) dx b a f (x) dx = 1 A b a xf (x) dx (4) ȳ = M x m = ρ b 1 a 2 [f (x)]2 dx ρ b a f (x) dx = Pusat massa ( x, ȳ). b a 1 2 [f (x)]2 dx b = a f (x) dx 1 A b a 1 2 [f (x)]2 dx (5)
![Momen dan Pusat Massa Pusat massa lempeng yang dibatasi dua kurva f (x) dan g(x) pada interval [a, b] x = 1 A b a x[f (x) g(x)] dx (6) ȳ = M x m = 1 b](/docs-images/79/79236304/images/69-0.jpg "1 A a 2 {[f (x)]2 [g(x)] 2 } dx (7) Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 66 /")
69 Momen dan Pusat Massa Pusat massa lempeng yang dibatasi dua kurva f (x) dan g(x) pada interval [a, b] x = 1 A b a x[f (x) g(x)] dx (6) ȳ = M x m = 1 b 1 A a 2 {[f (x)]2 [g(x)] 2 } dx (7) Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
70 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Contoh Pusat Massa Momen dan Pusat Massa Dapatkan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan parabola y = x 2 Solusi: x = 1 A = = / x[f (x) g(x)] dx 0 x[x x 2 ] dx (x 2 x 3 ) dx [ x 3 = 6 3 x 4 4 ] 1 0 A = 1 0 [ (x x 2 x 2 )dx = 2 x ] 3 1 = = 1 2
71 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 ȳ = 1 A = 1/6 [ x 3 = {[f (x)]2 [g(x)] 2 } dx 0 3 x (x 2 x 4 ) dx ] 1 0 pusat massa ( 1, ) = 2 5
72 Momen dan Pusat Massa Teorema Pappus Teorema Misalkan daerah R terletak pada satu sisi suatu garis l dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volum benda-pejal yang dihasilkan sama dengan luas R dikalikan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71
73 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Latihan Momen dan Pusat Massa 1 Diketahui keping homogen dengan rapat massa 1 yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x 2. Tentukan massa dan pusat massa keping tersebut. 2 Jika D = (x, y) π 2 x π 2, 0 y cos x Tentukan (a) luas daerah D (b) momen daerah D terhadap sumbu x (c) momen daerah D terhadap sumbu y (d) pusat daerah D 3 Gunakan Teorema Pappus untuk menentukan volum daerah D = {(x, y) 0 x 2, x 2 y 4} jika diputar terhadap sumbu y.
74 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () / 71 Daftar Pustaka Momen dan Pusat Massa Dale Varberg, Edwin J. Purcell, steven E. Rigdon (2007): Calculus, ninth edition, Pearson Prentice Hall. James Stewart (2012): Calculus Seventh Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA. Anton, Bivens, Davis (2012): Calculus Early Transcendentals 10th Edition, John Wiley and Sons, Inc., USA.
Hendra Gunawan. 8 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 8 November 013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4 1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva. Jumlah Riemann dan Integral Tentu 3. Teorema
Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Luas Daerah di Bidang Volume Benda Pejal di Ruang: Metode Cincin Metode Cakram Metode Kulit Tabung
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar
MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI
MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI Nama : Syifa Robbani NIM : 125100301111002 Dosen Kelas : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc : L Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
BAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN
NAMA : SISKA NUKE ENI PRADITA NIM : 125100301111044 KELAS : P TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN A. APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI Diartikan geometris dari
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Saat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda
1 Benda tegar Pada pembahasan mengenai kinematika, dinamika, usaha dan energi, hingga momentum linear, benda-benda yang bergerak selalu kita pandang sebagai benda titik. Benda yang berbentuk kotak misalnya,
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar
16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Matematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
Matematika Teknik Dasar-2 11 Aplikasi Integral - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 11 Aplikasi Integral - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Momen Inersia Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
14 Menghitung Volume Bangun Ruang
14 Menghitung Volume Bangun Ruang Pengetahuan kita tentang lingkaran berguna bagi kita dalam memahami bola dan bangun ruang lainnya yang mempunyai penampang lingkaran, seperti elipsoida, silinder, dan
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Fisika Umum Suyoso Kinematika MEKANIKA
GERAK LURUS MEKANIKA A. Kecepatan rata-rata dan Kecepatan sesaat Suatu benda dikatan bergerak lurus jika lintasan gerak benda itu merupakan garis lurus. Perhatikan gambar di bawah: Δx A B O x x t t v v
MEDAN LISTRIK. Oleh Muatan Kontinu. (Kawat Lurus, Cincin, Pelat)
MDAN LISTRIK Oleh Muatan Kontinu (Kawat Lurus, Cincin, Pelat) FISIKA A Semester Genap 6/7 Program Studi S Teknik Telekomunikasi Universitas Telkom Medan listrik akibat muatan kontinu Muatan listrik kontinu
Aplikasi Matematika Dalam Dunia Teknik Sipil
Aplikasi Matematika Dalam Dunia Teknik Sipil Oleh : 1.Adieq Irma.T.Agnestya.L 3.Irfan Hermawan 4.M.Mughny Halim 311110010 1 sipil 1 sore Program studi Teknik Konstruksi Sipil Politeknik Negeri Jakarta
Fisika Dasar 9/1/2016
1 Sasaran Pembelajaran 2 Mahasiswa mampu mencari besaran posisi, kecepatan, dan percepatan sebuah partikel untuk kasus 1-dimensi dan 2-dimensi. Kinematika 3 Cabang ilmu Fisika yang membahas gerak benda
CONTOH SOAL UAN INTEGRAL
1. Diketahui. Nilai a = a. 4 b. 2 c. 1 d. 1 e. 2 2. Nilai a. d. b. e. c. 3. Hasil dari a. b. d. e. c. 4. Hasil dari a. cos 6 x. sin x + C b. cos 6 x. sin x + C c. sin x + sin 3 x + sin 5 x + C d. sin x
Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
Kalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
RPS MATA KULIAH KALKULUS 1B
RPS MATA KULIAH KALKULUS 1B CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH: 1. Mempunyai pengetahuan dibidang matematika, statistika, komputasi (algoritma), dan pengetahuan dasar dalam menyelesaikan permasalahan dibidang
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu.
IKA ARFIANI,S.T. Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu. Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a x b, dan kurva y
INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP
A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.
Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA
Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan
Bagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Modul Praktikum Kalkulus II dengan Menggunakan Matlab
Modul Praktikum Kalkulus II dengan Menggunakan Matlab disusun oleh : Arif Muchyidin, S.Si., M.Si. NIP. 19830806 201101 1 009 TADRIS MATEMATIKA INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON 2016 KATA
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Geometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036
C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi
C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi 1. Sistem Diskrit Tinjaulah sistem yang terdiri atas 2 benda. Benda A dan benda B dihubungkan dengan batang ringan yang tegar dengan sebuah batang tegak yang
Kalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Masalah-masalah yang dipecahkan
SP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan
SP FISDAS I Perihal : Matriks, pengulturan, dimensi, dan sebagainya. Bisa baca sendiri di tippler..!! KINEMATIKA : Gerak benda tanpa diketahui penyebabnya ( cabang dari ilmu mekanika ) DINAMIKA : Pengaruh
7. APLIKASI INTEGRAL 1
7. APLIKASI INTEGRAL 1 7.1 Menghitung Luas aerah a.misalkan daerah (, ) a b, 0 f ( ) a f() b Luas =? Langkah : 1. Iris menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lampiran 2 LEMBAR KERJA KELOMPOK MAHASISWA 1
Lampiran 2 LEMBAR KERJA KELOMPOK MAHASISWA 1 Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Materi : Integral (Penggunaan integral pada luas daerah bidang rata) Waktu : 2 x 50 menit KELOMPOK
KINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Hendra Gunawan. 13 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 13 November 013 Latihan 1. Tentukan volume benda putar ang terbentuk bila daerah ang dibatasi oleh kurva = x dan = x diputar mengelilingi: a. sumbu
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP
SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP Mata kuliah : Kalkulus II Kode Mata Kuliah : TIS2213 SKS : 3 Waktu Pertemuan : 16 kali Pertemuan Deskripsi : Mata kuliah Kalkulus II mempelajari
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA 1. PROGRAM STUDI : Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus II/MT 307/4 3. PRASYARAT : Kalkulus I 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : Mata Kuliah Keahlian (MKK) Program
PAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA
PAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA Nama : Nova Nurfauziawati NPM : 240210100003 Tanggal / jam : 18 November 2010 / 13.00-15.00 WIB Asisten : Dicky Maulana JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PANGAN FAKULTAS
MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka
MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036
SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR MODUL 5 MOMEN INERSIA
LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR MODUL 5 MOMEN INERSIA Nama : Lukman Santoso NPM : 240110090123 Tanggal / Jam Asisten : 17 November 2009/ 15.00-16.00 WIB : Dini Kurniati TEKNIK DAN MANAJEMEN INDUSTRI PERTANIAN
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 5 INTEGRAL LIPAT Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Bab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada
Bab 3 Sifat Penampang Datar 3.1. Umum Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifatsifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Kalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia atas Persegi Panjang Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T.
DESKIPSI MATA KULIAH EL-121 Matematika Teknik I: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
PENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.
PENGGUNAAN INTEGRA 1. Menghitung luas suatu daerah ang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.. Menghitung volume benda putar. 9 uas daerah di bawah kurva Volume benda putar ang diputar mengelilingi
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Hendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT
PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT Pusat massa dan titik berat suatu benda memiliki pengertian yang sama, yaitu suatu titik tempat berpusatnya massa/berat dari benda tersebut. Perbedaannya adalah letak pusat
Jurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Jawaban Soal OSK FISIKA 2014
Jawaban Soal OSK FISIKA 4. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dimana posisinya sebagai fungsi dari waktu dapat dinyatakan dengan kurva seperti terlihat pada gambar samping (x dalam meter dan t dalam
I N T E G R A L (Anti Turunan)
I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.
Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 7 INTEGRAL PERMUKAAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
0 D (Pratama Rahardja, Mandala Manurnung,2004)
NAMA : TITIK ASIATUN NIM : 125100301111054 TUGAS : MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN 1. Aplikasi di Bidang Ekonomi Contoh penggunan integral dalam dunia ekonomi salah
Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:
Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba