PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI RESTY BANGUN PRATIWI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI RESTY BANGUN PRATIWI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Resty Bangun Pratiwi NIM G

4 ABSTRAK RESTY BANGUN PRATIWI. Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi di bawah permukaan laut. Jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang soliter. Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Salah satu model matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter internal adalah persamaan Korteweg-de Vries KdV). Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan KdV orde tinggi diselesaikan dengan metode ekspansi dan diperoleh penyelesaian dalam bentuk gelombang berjalan. Penggunaan metode ekspansi ini dilakukan dengan cara yang sederhana karena hanya melibatkan persamaan diferensial orde dua. Penyelesaian yang diperoleh diilustrasikan dalam grafik menggunakan software Mathematica Kata kunci: gelombang internal, metode ekspansi tinggi., persamaan KdV orde ABSTRACT RESTY BANGUN PRATIWI. Solutions for a Higher Order of Korteweg-de Vries Equation Using Expansion Methods. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. Internal wave is a wave which occurs on ocean subsurface. Another frequently considered kind of this wave is solitary wave. Solitary internal wave is a traveling wave which maintains its shape and velocity while propagating. One of mathematical models which describe this kind of wave is the Korteweg-de Vries KdV) equation. This equation is derived from the basic ideal fluid equation, i.e., a fluid which has characteristics such as incompressible and unviscous. On this paper, the higher order KdV equation is solved by using expansion method, resulting a solution in traveling wave form. This method is full of simplicity since only second order differential equations get involved. The obtained solution is illustrated in graphical form using Mathematica 10.1 software. Keywords: expansion method, higher order KdV equation, internal wave.

5 PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI RESTY BANGUN PRATIWI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7 Judul Skripsi : Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi Nama : Resty Bangun Pratiwi NIM : G Disetujui oleh Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan metode ekspansi untuk kasus gelombang internal yang dimodelkan dalam persamaan Korteweg-de Vries orde tinggi, dengan judul Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain: 1 Nawawi Ayah) dan Ernawati Ibu) selaku orangtua, serta Ricky dan Velly selaku kakak, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2 Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing pertama dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. 3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan karya ilmiah ini. 4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang telah diberikan kepada penulis. 5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama perkuliahan dan proses penyelesaian karya ilmiah ini. 6 Teman-teman satu bimbingan yaitu Vina dan Parara atas semua dukungan, saran, dan bantuannya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. 7 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian dan bantuannya. 8 Rizky, Atikah, Intan, Riefdah, Alfi, Riski, Andini, Lidya, Putri, Hana, Sifa, Febiyana, Desi, Clara, dan Citra sebagai sahabat yang selalu memberikan saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang. 9 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2015 Resty Bangun Pratiwi

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Persamaan Korteweg-de Vries 2 Metode Ekspansi 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 5 Transformasi Persamaan 5 Aplikasi Metode 6 SIMPULAN 16 DAFTAR PUSTAKA 17 LAMPIRAN 18 RIWAYAT HIDUP 31

10 DAFTAR GAMBAR 1 Grafik Persamaan 38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan - dan 15 2 Grafik Persamaan 38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan - dan 16 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan sistem persamaan 22) 18 2 Penurunan persamaan-persamaan pada kasus pertama 21 3 Penurunan persamaan-persamaan pada kasus kedua 25 4 Penurunan persamaan-persamaan pada kasus ketiga 28

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Persamaan diferensial parsial taklinear secara luas digunakan sebagai model untuk mengekspresikan banyak fenomena fisik. Umumnya persamaan diferensial parsial taklinear tersebut sulit untuk diselesaikan baik secara analitik maupun numerik jika dihadapkan pada perhitungan yang rumit. Salah satu fenomena alam yang dapat diekspresikan dengan persamaan diferensial parsial taklinear adalah fenomena gelombang yang sering terjadi di bawah permukaan laut yaitu gelombang internal. Gelombang internal terjadi karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa terjadi karena perbedaan suhu dan kadar garam. Gelombang internal tidak dapat telihat secara kasat mata tetapi dapat terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan laut. Salah satu jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang soliter. Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Gelombang soliter internal dapat menimbulkan masalah bagi lingkungan, seperti naiknya polutan dari dasar laut ke permukaan yang dapat mempengaruhi kehidupan biota laut. Salah satu model matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter internal adalah model persamaan Korteweg-de Vries KdV). Persamaan KdV menggunakan asumsi bahwa gelombang internal yang ditinjau bergerak hanya dalam satu arah dan panjang gelombang internal jauh lebih besar dari kedalaman fluida. Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Penyelesaian persamaan KdV orde rendah maupun tinggi menggunakan asumsi bahwa penyelesaiannya dalam bentuk gelombang berjalan. Banyak penelitian telah dilakukan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan berbagai metode, diantaranya menggunakan metode analisis homotopi eksponensial Jaharuddin 2015) dan metode extended F-expansion He et al. 2013). Dalam metode analisis homotopi eksponensial, penyelesaian persamaan KdV orde tinggi yang diperoleh hanya berupa pendekatan analitik dengan fungsi yang berbentuk eksponensial. Sedangkan pada metode extended F-expansion, persamaan umum KdV orde tinggi yang berupa persamaan diferensial parsial taklinear akan ditransformasi menjadi persamaan diferensial biasa taklinear. Penyelesaian persamaan KdV yang diperoleh menggunakan metode extended F-expansion berupa penyelesaian eksak dengan pemisalan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Deret pangkat tersebut memuat fungsi F yang memenuhi suatu persamaan diferensial biasa tak linear. Karya ilmiah ini akan mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi menggunakan metode ekspansi. Metode ekspansi memiliki sedikit perbedaan dengan metode extended F-expansion. Pada metode ekspansi pemisalan penyelesaian persamaan KdV dinyatakan dalam bentuk deret pangkat yang memuat fungsi dengan fungsi yang memenuhi suatu persamaan diferensial biasa linear orde dua.

12 2 Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah 1 Mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan metode ekspansi. 2 Memberikan ilustrasi grafik penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan bantuan aplikasi Mathematica TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang mendukung penelitian ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan Korteweg-de Vries KdV) dari Jaharuddin dan Pudjaprasetya 2002), Fokas 1995), dan konsep metode dari Yang et al. 2014). Persamaan Korteweg-de Vries Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan dasar fluida ideal diperoleh berdasarkan gerak partikel fluida yang dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal berturut-turut adalah ux, z, t) dan wx, z, t). Fluida memiliki rapat massa dengan x, z dan t berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, vertikal dan waktu. Terdapat dua hukum fisika yang diperlukan untuk menurunkan persamaan dasar fluida ideal, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa memberikan persamaan kontinuitas, sedangkan hukum kekekalan momentum memberikan persamaan Euler. Dengan demikian persamaan dasar fluida ideal diberikan dalam sistem persamaan berikut: 1) Dua persamaan pertama adalah persamaan kontinuitas, sedangkan dua persamaan terakhir adalah persamaan Euler dengan dan berturut-turut menyatakan tekanan dan percepatan gravitasi. Penyelesaian untuk Persamaan 1) saat kondisi diam adalah dengan Dalam penurunan persamaan KdV dimisalkan dua parameter kecil yaitu dan yang masing-masing merepresentasikan karakteristik tak linear dan dispersi. Persamaan KdV mensyaratkan terpenuhinya persamaan Selanjutnya, akan ditentukan penyelesaian untuk Persamaan 1) dengan menguraikan variabelvariabel bebasnya dalam deret yang bergantung pada sebagai berikut:

13 3 2) dengan dan. Substitusikan Persamaan 2) ke dalam Persamaan 1) dan pertahankan suku dengan orde pada Persamaan 1) sehingga diperoleh persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan, yaitu * 3) Dengan memisalkan persamaan yang bergantung terhadap, maka Persamaan 3) menjadi sebagai berikut: * 4) Kondisi batas untuk Persamaan 4) pada menggunakan fakta bahwa komponen vertikal dari kecepatan harus bernilai nol pada. Oleh karena itu,. Kondisi batas untuk Persamaan 4) pada diperoleh dari kondisi batas kinematik dan kondisi batas dinamik pada permukaan batas, yaitu di 5) di 6) dengan ). Substitusikan Persamaan 2) ke dalam Persamaan 1) dan atur semua suku dengan orde menjadi nol sehingga diperoleh persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan, yaitu dengan * ) ) 7) Kondisi batas untuk Persamaan 7) adalah Persamaan 5) dan fakta bahwa bernilai nol saat. Dengan mengalikan Persamaan 7) terhadap dan mengintegralkannya terhadap z dari sampai 0, diperoleh atau 8)

14 4 dengan 9) Persamaan 8) adalah persamaan KdV standar untuk gelombang internal. Persamaan KdV standar terus dikembangkan oleh para peneliti untuk mendapatkan persamaan KdV dengan orde yang lebih tinggi. Persamaan KdV orde tinggi menurut Fokas 1995), yaitu Fungsi merepresentasikan simpangan pada permukaan fluida, dan adalah parameter bebas. Asumsikan bahwa sehingga dan Selanjutnya, dengan mengabaikan dua orde tertinggi yang sangat kecil dari, maka Persamaan 10) dapat direduksi sehingga dihasilkan persamaan lain dari persamaan KdV orde tinggi, yaitu Persamaan 11) merupakan kasus khusus dari Persamaan 10) saat. Selanjutnya Persamaan 11) akan diselesaikan dengan metode ekspansi. 10) 11) Metode Ekspansi Metode ekspansi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari penyelesaian dari persamaan diferensial. Berikut ini akan dijelaskan konsep metode ekspansi Tinjau bentuk umum persamaan diferensial parsial taklinear dengan dua variabel bebas berikut: Fungsi F adalah fungsi yang bergantung pada dan turunan-turunan parsialnya, sedangkan adalah fungsi yang tidak diketahui. Persamaan 12) ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa taklinear dengan menggunakan transformasi dan sehingga diperoleh dengan menyatakan turunan pertama terhadap. Penyelesaian dari persamaan diferensial biasa 13) dinyatakan sebagai berikut: 12) 13) ) 14)

15 dengan adalah konstanta yang akan ditentukan kemudian, adalah bilangan bulat positif dan memenuhi persamaan diferensial orde dua sebagai berikut: 15) di mana dan adalah konstanta real. Berdasarkan nilai, penyelesaian umum dari Persamaan 15) memiliki tiga kemungkinan berikut: Saat diperoleh penyelesaian berupa fungsi hiperbolik ) ) 16) 5 Saat diperoleh penyelesaian berupa fungsi trigonometri ) ) 17) Saat diperoleh penyelesaian berikut ) 18) dengan dan konstanta sembarang. Substitusikan Persamaan 14) dan Persamaan 15) ke Persamaan 13) dan atur semua koefisien dari sistem yang dihasilkan menjadi nol sehingga diperoleh persamaan aljabar taklinear untuk dan Konstanta dan dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan aljabar taklinear tersebut. Selanjutnya, substitusikan konstanta dan yang diperoleh serta penyelesaian umum Persamaan 15) ke dalam Persamaan 14), sehingga diperoleh penyelesaian eksplisit dari Persamaan 11). Penyelesaian yang didapatkan bermacam-macam, hal ini bergantung pada penyelesaian dari Persamaan 15) yang terbagi menjadi tiga kasus, yaitu saat,, dan. Setelah penyelesaian untuk setiap kasus diperoleh, selanjutnya penyelesaian tersebut akan diilustrasikan melalui grafik penyelesaian dengan bantuan aplikasi Mathematica HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan dari metode ekspansi untuk menyelesaikan persamaan KdV orde tinggi. Selanjutnya, penyelesaian yang diperoleh akan diilustrasikan dengan grafik penyelesaian. Transformasi Persamaan Persamaan 11) yang berupa persamaan diferensial parsial di transformasi menggunakan transformasi sehingga dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial biasa berikut:. 19)

16 6 Selanjutnya integralkan Persamaan 19) terhadap dan asumsikan bahwa konstanta pengintegralan adalah nol sehingga diperoleh persamaan berikut: ) 20) Aplikasi Metode Misalkan bahwa penyelesaian dari Persamaan 20) dinyatakan sebagai berikut: ) ) 21) Substitusi Persamaan 21) dan Persamaan 15) ke dalam Persamaan 20) dan atur semua koefisien menjadi nol sehingga diperoleh sistem persamaan aljabar taklinear dengan variabel sebagai berikut: ) ) ) ) 22) ) ) ) Penurunan sistem persamaan 22) diberikan pada Lampiran 1.

17 7 Nilai dapat diperoleh dari persamaan terakhir pada sistem persamaan 22). Sedangkan untuk nilai diperoleh dengan bantuan aplikasi Mathematica 10.1 dan adalah bilangan real sembarang. Penyelesaian yang diperoleh dibagi menjadi tiga kasus, sebagai berikut: KASUS PERTAMA Pada kasus pertama nilai 22) adalah sebagai berikut: yang memenuhi sistem persamaan 23) Pembahasan kasus pertama Substitusikan pada Persamaan 23) ke dalam Persamaan 21) sehingga diperoleh persamaan berikut: ) ) 24) Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan 15) yang diberikan pada Persamaan 16) 18) ke dalam Persamaan 24), sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut: Saat, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai berikut: [ ] [ ], [ ] [ ] 25) dengan Penurunan Persamaan 25) diberikan pada Lampiran 2.

18 8 Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 25), yaitu: 1 Jika dan, maka + 26) 2 Jika dan, maka + 27) 3 Jika, dan, maka +) 28) dengan ) Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai [ ] [ ], [ ] [ ] 29) dengan. Penurunan Persamaan 29) diberikan pada Lampiran 2. Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 29), yaitu: 1 Jika dan, maka + 30)

19 9 2 Jika dan, maka + 31) 3 Jika, dan, maka ) dengan ). Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai * 33) dengan. Penurunan Persamaan 33) diberikan pada Lampiran 2. KASUS KEDUA Pada kasus kedua nilai 22) adalah sebagai berikut: yang memenuhi sistem persamaan 34) ))* dengan ) )

20 10 Pembahasan kasus kedua Substitusikan pada Persamaan 34) ke dalam Persamaan 21) sehingga diperoleh persamaan berikut: ) 35) ) Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan 15) yang diberikan pada Persamaan 16) 18) ke dalam Persamaan 35), sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut: Saat, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai berikut: [ dengan. [ ] [ ], [ ] [ ] ] 36) Penurunan Persamaan 36) diberikan pada Lampiran 3. Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 36), yaitu: 1 Jika dan, maka * +)+ 37) 2 Jika dan, maka 38) * +)+

21 11 3 Jika, dan, maka * +)+ 39) dengan ). Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai [ dengan. [ ] [ ], [ ] [ ] ] 40) Penurunan Persamaan 40) diberikan pada Lampiran 3. Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 40), yaitu: 1 Jika dan, maka * +)+ 41) 2 Jika dan, maka * +)+ 42)

22 12 3 Jika, dan, maka [ + +] 43) dengan ). Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai 44) * dengan. Penurunan Persamaan 44) diberikan pada Lampiran 3 KASUS KETIGA Pada kasus ketiga nilai 22) adalah sebagai berikut: yang memenuhi sistem persamaan 45) dengan ) )

23 13 Pembahasan kasus ketiga Substitusikan pada Persamaan 45) ke dalam Persamaan 21) sehingga diperoleh persamaan berikut: ) 46) ) Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan 15) yang diberikan pada Persamaan 16) 18) ke dalam Persamaan 46) sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut: Saat, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai berikut: [ dengan. [ ] [ ], [ ] [ ] ] 47) Penurunan Persamaan 47) diberikan pada Lampiran 4. Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 47), yaitu: 1 Jika dan, maka 48) * +)+ 2 Jika dan, maka 49) * +)+

24 14 3 Jika, dan, maka 50) * +)+ dengan ). Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai 51) [ dengan. [ ] [ ], [ ] [ ] ] Penurunan Persamaan 51) diberikan pada Lampiran 4. Kemudian, berdasarkan nilai dan, maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan 51), yaitu: 1 Jika dan, maka * +)+ 52) 2 Jika dan, maka * +)+ 53)

25 15 3 Jika, dan, maka [ + +] 54) dengan ). Saat berikut:, maka diperoleh penyelesaian Persamaan 11) sebagai 55) * dengan. Penurunan Persamaan 55) diberikan pada Lampiran 4. Grafik Penyelesaian Pada bagian ini, akan diilustrasikan grafik penyelesaian persamaan KdV orde tinggi yang telah diperoleh dengan menggunakan metode ekspansi. Namun, tidak semua penyelesaian yang diperoleh akan diilustrasikan, karena untuk semua ilustrasi grafik penyelesaian akan memberikan kesimpulan yang sama. Sehingga penyelesaian yang diilustrasikan hanya salah satu penyelesaian saja, yaitu penyelesaian pada kasus 2 saat dan saat. a) Saat Saat b) Gambar 1 Grafik Persamaan 38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan Gambar 1 menunjukkan grafik persamaan 38) saat dan. Berdasarkan Gambar a) dan Gambar b), gelombang yang terbentuk memiliki satu puncak serta jika berbeda tanda, maka gelombang yang terbentuk akan berbeda arah cekungan dengan amplitudo yang sama besar.

26 16 a) Saat b) Saat Gambar 2 Grafik persamaan 38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan Gambar 2 menunjukkan grafik persamaan 38) saat dan. Berdasarkan Gambar a) dan Gambar b), gelombang yang terbentuk memiliki satu puncak serta jika nilai diperbesar, maka gelombang yang terbentuk akan memiliki panjang gelombang yang semakin besar. Selanjutnya berdasarkan Gambar 2 bagian a) dan Gambar 1 bagian a), jika nilai nilai diperbesar, maka gelombang yang terbentuk akan memiliki amplitudo yang lebih kecil. SIMPULAN Persamaan Korteweg-de Vries KdV) berupa persamaan diferensial tak linear. Persamaan tersebut digunakan untuk menjelaskan gerak gelombang fluida ideal taktermampatkan dan takkental). Dalam bentuk standar, terjadi keseimbangan antara koefisien taklinear dan dispersi. Berdasarkan kedua koefisien tersebut diperoleh persamaan KdV orde tinggi yang dinyatakan dalam variabel takbebas berupa simpangan gelombang. Persamaan KdV orde tinggi diselesaikan dengan metode ekspansi dan diperoleh penyelesaian analitik. Penggunaan metode ekspansi ini dilakukan dengan cara yang sederhana karena hanya melibatkan persamaan diferensial orde dua. Grafik penyelesaian yang diperoleh menunjukkan bahwa gelombang yang terbentuk memiliki satu puncak dan besar amplitudo serta panjang gelombang dipengaruhi oleh koefisien-koefisien persamaan KdV orde tinggi.

27 17 DAFTAR PUSTAKA Fokas AS On a Class of physically important integrable equations. Physica D. 871): doi: / )00133-O. He Y, Zhao YM, and Long Y New exact solutions for a higher-order wave equation of KdV type using extended F-expansion method. Mathematical Problem in Engineering. Volume 2013, Article ID , 8 pages.doi: /2013/ Jaharuddin and Pudjaprasetya SR Evolution equations for density stratified fluid. Proceedings ITB. 341): Jaharuddin Approximate analytical solution of a higher order wave equation of KdV type. Far East Journal of Mathematical Sciences. 972): Yang H, Li W, and Yang B The -expansion method and its application for higher-order equations of KdV III). Journal of Applied Mathematics. Volume ), Article ID , 6 pages.doi: /2014/

28 18 Lampiran 1 Penurunan sistem persamaan 22) Dari Persamaan 21) diperoleh persamaan berikut: 1.1) 1.2) 1.3) 1.4) Selanjutnya berdasarkan Persamaan 15) diperoleh 1.5) 1.6) Substitusi Persamaan 1.6) ke Persamaan 1.3), 1.4), dan 1.5) diperoleh 1.7) 1.8)

29 19 1.9) Substitusi Persamaan 1.1), 1.2), 1.7), 1.8), dan 1.9) ke Persamaan 20) diperoleh [ [ ] ]

30 20 Atur semua koefisien dari sistem yang dihasilkan menjadi nol sehingga diperoleh sistem persamaan aljabar taklinear yaitu sistem persamaan 22).

31 21 Lampiran 2 Penurunan persamaan persamaan pada kasus pertama Sebelum menurunkan persamaan-persamaan pada kasus pertama, terlebih dahulu akan diturunkan persamaan ) untuk, dan. Saat, diperoleh ) ) dan Sehingga ) [ ) ). ))] ) ) atau Saat dan ) ) ) ))] [ ) ) ) 2.1), diperoleh ) ) ) ) Sehingga [ ) ] ) ) [ ) ) ] ) ) atau ) ) 2.2)

32 22 Saat dan sehingga ) ), diperoleh ) ) * + ) * 2.3) Penurunan Persamaan 25) Substitusi Persamaan 2.1) ke dalam Persamaan 24), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ]

33 23 * + * + ) dengan, dan konstanta sembarang. Penurunan Persamaan 29) Substitusi Persamaan 2.2) ke dalam Persamaan 24), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ] * + * + ) * + * + dengan, dan konstanta sembarang.

34 24 Penurunan Persamaan 33) Substitusi Persamaan 2.3) ke dalam Persamaan 24), diperoleh *+ *+ * *+ *+ + * * + * dengan dan konstanta sembarang.

35 25 Lampiran 3 Penurunan persamaan persamaan pada kasus kedua Penurunan Persamaan 36) Substitusi Persamaan 2.1) ke dalam Persamaan 35), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ] [ ) ] dengan, dan konstanta sembarang.

36 26 Penurunan Persamaan 40) Substitusi Persamaan 2.2) ke dalam Persamaan 35), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ] [ ) ] dengan, dan konstanta sembarang.

37 27 Penurunan Persamaan 44) Substitusi Persamaan 2.3) ke dalam Persamaan 35), diperoleh *+ *+ * *+ *+ + * * + * dengan dan konstanta sembarang.

38 28 Lampiran 4 Penurunan persamaan persamaan pada kasus ketiga Penurunan Persamaan 47) Substitusi Persamaan 2.1) ke dalam Persamaan 46), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ] [ ) ] dengan, dan konstanta sembarang.

39 29 Penurunan Persamaan 51) Substitusi Persamaan 2.2) ke dalam Persamaan 46), diperoleh ), ), [ ), ), ] [ ) ] [ ) ] dengan, dan konstanta sembarang.

40 30 Penurunan Persamaan 55) Substitusi Persamaan 2.3) ke dalam Persamaan 46),diperoleh *+ *+ * *+ *+ + * * + * dengan dan konstanta sembarang.

41 31 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 23 November 1993 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Nawawi dan Ernawati. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Depok dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor IPB) melalui jalur SNMPTN Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah menjadi asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa PDB) pada tahun Penulis juga aktif di organisasi kemahasiswaan yaitu himpunan profesi Gumatika Gugus Mahasiswa Matematika) FMIPA IPB sebagai bendahara Departemen Sosial dan Lingkungan pada periode dan sebagai staf Departemen Sosial dan Lingkungan pada periode Selain itu, penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitian yang diselenggarakan oleh Gumatika, antara lain Panitia Math Camp Divisi Pendidikan tahun 2012 dan sebagai ketua penyelenggara pada tahun 2013, Panitia IPB s Mathematics Challange IMC) Divisi Dekorasi, Dokumentasi, dan Design DDD) tahun 2013, Panitia Welcome Ceremony Mathematics WCM) Divisi Konsumsi tahun 2014, serta Panitia Matematika Ria Divisi Dekorasi, Dokumentasi, dan Design DDD) tahun 2014.