PENYELESAIAN NUMERIK DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER ADVANCE-DELAY

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN NUMERIK DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER ADVANCE-DELAY YOSI ASMARA Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, asmara.yosi@gmail.com Abstrak. Pada makalah ini akan dijelaskan tentang konstruksi skema numerik dalam menyelesaikan persamaan diferensial nonlinier advance-delay. Skema numerik menggunakan beda hingga untuk mengaproksimasi bagian turunan dari persamaan, dan interpolasi kubik untuk mengaproksimasi bagian advance-delay. Telah dibuktikan pula bahwa skema numerik tersebut konsisten terhadap persamaan advance-delay.skema numerik yang dihasilkan diuji dengan solusi eksak yang telah diketahui. Berdasarkan hasil simulasi numerik yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa solusi numerik dari persamaan diferensial nonlinier advance-delay mempunyai kesesuaian yang sangat baik dengan solusi eksaknya. Kata Kunci: Differential equations, initial value problem, heaviside 1. Pendahuluan Persamaan diferensial banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti fisika, kimia, biologi, metalurgi dan disiplin ilmu lainnya. Salah satu kelas dari persamaan diferensial adalah persamaan diferensial advance-delay, yaitu persamaan yang memuat nilai-nilai variabel tunda, misalkan t τ) dan variabel maju, misalkan t + τ), dengan τ > 0. Pada makalah ini akan dikaji penyelesaian numerik dari persamaan diferensial advance-delay yang berbentuk v t) = vt τ) 2vt) + vt + τ) + fvt)), 1.1) dimana t R, lim t vt) = 0, lim t + vt) = 1, dan fvt)) menyatakan suku nonlinier. Persamaan 1.1) juga dikenal sebagai persamaan diferensial bertipe campuran mixed type). Persamaan advance-delay 1.1) diperkenalkan pertama kali oleh Chi dkk [2] pada tahun 1986 dengan membahas aplikasi pada masalah penghantaran rangsangan pada sistem jaringan syaraf. Selanjutnya pada tahun 1989, Rustichini [6] juga mengkaji persamaan advance-delay 1.1) dengan aplikasi pada masalah kontrol optimal untuk kasus autonomous linier. Rustichini kemudian memperluas kajiannya untuk kasus nonlinier dengan aplikasi pada masalah dinamika ekonomi [7]. Persamaan diferensial advance-delay) juga dapat muncul dari masalah gelombang berjalan traveling wave) pada media spasial diskrit lattice). Sebagai ilustrasi, 97

2 98 Yosi Asmara pandang persamaan diferensial lattice linier berikut: u n = u n+1 + u n 1 2u n, 1.2) dimana u n u n t) dan u n u nt). Solusi gelombang berjalan dari persamaan 1.2) dapat ditentukan dengan melakukan transformasi u n t) = vz), 1.3) dimana z = n kt dengan k > 0 menyatakan parameter kecepatan. Selanjutnya, substitusi persamaan 1.3) ke persamaan 1.2) menghasilkan kv z) = vz + 1) + vz 1) 2vz), 1.4) yang merupakan persamaan diferensial advance-delay. Dalam masalah gelombang berjalan pada media spasial diskrit nonlinier, persamaan advance-delay yang muncul pada masalah ini sulit untuk dianalisis [4]. Oleh karena itu pendekatan numerik sangat penting untuk dilakukan. 2. Aproksimasi Solusi di Luar Interval Pandang kembali persamaan 1.1) dengan f C 3 [0, 1] dan memenuhi f0) = 0, f1) = 0, f 0) < 0, dan f1) < 0. Akan dicari solusi vt) yang monoton naik sedemikian sehingga 0 < vt) < 1 untuk setiap t. Dalam konteks numerik, persamaan 1.1) diselesaikan dalam interval tutup t [ L, L] untuk suatu L > 0 yang cukup besar. Karena adanya suku advance dan suku delay pada persamaan 1.1), maka perlu ditinjau aproksimasi solusi di luar interval [ L, L], yaitu untuk t < L dan t > L. Pandang terlebih dahulu kasus t L dengan vt) 0, dan fvt)) 0 ketika t. Dengan menggunakan ekspansi Taylor [1] untuk f di sekitar vt) = 0, diperoleh fvt)) = a 1 vt) + a 2 vt) 2 + a 3 vt) 3 + Ovt) 4 ). 2.1) Dengan demikian persamaan 1.1) dapat ditulis Perhatikan bahwa v t) = a 1 vt) + a 2 vt) 2 + a 3 vt) 3 + vt τ) 2vt) +vt + τ) + Ovt) 4 ). 2.2) v L) = εu 1 L) + ε 2 u 2 L) + ε 3 u 3 L) + Oε) ) Oleh karena ε = v L), maka digunakan syarat batas berikut: u 1 L) = 1, u 2 L) = 0, u 3 L) = ) Perhatikan bahwa persamaan 2.4) adalah persamaan linier homogen. Dengan demikian solusi persamaan 2.4) dapat diperoleh dengan mensubstitusikan u 1 t) = Ke λt, untuk suatu konstanta K, ke persamaan 2.4). Substitusi ini memberikan hasil berikut: λ a 1 2) e λτ + e λτ ) = 0 λ + 2 a 1 2coshλτ) = )

3 Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Nonlinier Advance-Delay 99 Karena a 1 = f 0) < 0, maka persamaan 2.5) memiliki dua akar riil yang bernilai positif dan negatif. Misalkan λ + adalah akar positif dari persamaan 2.5), maka solusi dari persamaan 2.4) yang memenuhi u 1 L) = 1 dan u 1 t) 0 ketika t adalah u 1 t) = e λ+t+l). 2.6) Selanjutnya perhatikan bahwa persamaan 2.6) adalah persamaan linier nonhomogen. Misalkan solusi partikular dari persamaan 2.6) adalah u p 2 t) = b 1e 2λ+t+L), sehingga setelah disubstitusikan ke persamaan 2.6) diperoleh a 2 b 1 = 2λ + a cosh2λ + τ). Dengan demikian solusi dari persamaan 2.6) yang memenuhi u 2 L) = 0 adalah u 2 t) = e λ+t+l) + b 1 e 2λ+t+L). 2.7) Kemudian perhatikan pula bahwa persamaan 2.7) adalah persamaan linier nonhomogen. Misalkan solusi partikular dari persamaan 2.7) adalah u p 3 t) = b 2 e 2λ+t+L) +b 3 e 3λ+t+L), sehingga setelah disubstitusikan ke persamaan 2.7) diperoleh 2a 2 b 1 b 2 = 2λ + a cosh2λ + τ) = 2b2 1, b 3 = 2a 2 b 1 + a 3 3λ + a cosh3λ + τ). Dengan demikian solusi dari persamaan 2.7) adalah Jadi untuk t < L didapatkan u 3 t) = e λ+t+l) + b 2 e 2λ+t+L) + b 3 e 3λ+t+L). 2.8) vt) = εe λ+t+l) + ε 2 e λ+t+l) + b 1 e 2λ+t+L) )) +ε 3 e λ+t+l) + b 2 e 2λ+t+L) + b 3 e 3λ+t+L) ) + Oε 4 ). 2.9) Selanjutnya pandang kasus t > L, dengan vt) 1 dan fvt)) 0 ketika t +. Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar vt) = 1 diperoleh fvt)) = f1) + f 1)vt) 1) + f 1) 2! vt) 1) 2 + f 1) 3! vt) 1) 3 + Ovt) 1) 4 ). Untuk penyederhanaan penulisan, misalkan 2.10) A 1 = f 1), A 2 = f 1), A 3 = f 1). 2.11) 2! 3! Dengan menggunakan 2.11) dan dari kenyataan f1) = 0 maka persamaan 2.10) dapat ditulis menjadi v t) = A 1 1 vt)) + A 2 1 vt)) 2 + A 3 1 vt)) 3 + vt τ)) 2vt) + vt + τ) + O 1 vt)) 4). 2.12) Karena vl) 1 ketika L, maka tulis vl) = 1 ε +, 0 < ε + 1. Selanjutnya pandang ekspansi vt) = 1 ε + w 1 t) ε 2 +w 2 t) ε 3 +w 3 t) + Oε 4 +). 2.13)

4 100 Yosi Asmara Perhatikan bahwa vl) = 1 ε + w 1 L) ε 2 +w 2 L) ε 3 +w 3 L) + Oε 4 +). 2.14) Oleh karena vl) = 1 ε +, maka digunakan syarat batas berikut: w 1 L) = 1, w 2 L) = 0, w 3 L) = ) Substitusikan persamaan 2.13) ke persamaan 2.12), maka didapatkan 1 + A 1 w 1 t) w 1t) 2w 1 t) + w 1 t τ) + w 1 t + τ) ) ε + + A 2 w 1 t) 2 A 1 w 2 t) w 2t) 2w 2 t) + w 2 t τ) + w 2 t + τ) ) ε A 3 w 1 t) 3 2A 2 w 1 t)w 2 t) A 1 w 3 t) w 3t) 2w 3 t) + w 3 t τ) +w 3 t + τ) ) ε Oε 4 +). sehingga diperoleh persamaan-persamaan berikut: Oε + ) : w 1t) K τ w 1 t) = 0, 2.16) Oε 2 +) : w 2t) K τ w 2 t) = A 2 w 1 t) 2, 2.17) Oε 3 +) : w 3t) K τ w 3 t) = A 2 w 1 t) 3 2A 2 w 1 t)w 2 t), 2.18) dimana operator K τ didefinisikan sebagai K τ wt) = wt τ) A 1 + 2)wt) + wt + τ). 2.19) Perhatikan bahwa persamaan 2.16) adalah persamaan linier homogen. Solusi persamaan 2.16) dapat diperoleh dengan mensubstitusikan u 1 t) = De λt, untuk suatu konstanta D, ke persamaan 2.16). Substitusi ini memberikan hasil λ A 1 2) e λτ + e λτ ) = 0 λ + 2 A 1 2coshλτ) = ) Persamaan 2.20) memiliki dua akar riil yang bernilai positif dan negatif, karena A 1 = f 0) > 0. Misalkan λ adalah akar negatif dari persamaan 2.20), maka solusi dari persamaan 2.16) yang memenuhi w 1 L) = 1 dan w 1 t) 1 ketika t adalah w 1 t) = e λ t L). 2.21) Selanjutnya perhatikan bahwa persamaan 2.17) adalah persamaan linier nonhomogen. Misalkan solusi partikular dari persamaan 2.17) adalah w p 2 t) = B 1 e 2λ t L), sehingga setelah disubstitusikan ke persamaan 2.17) diperoleh B 1 = A 2 2λ + A 1 + 2) 2cosh2λ ). Dengan demikian solusi dari persamaan 2.17) adalah w 2 t) = e λ t L) + B 1 e 2λ t L) ). 2.22) Kemudian perhatikan pula bahwa persamaan 2.18) adalah persamaan linier nonhomogen. Misalkan solusi partikular dari persamaan 2.18) adalah w p 3 t) =

5 Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Nonlinier Advance-Delay 101 B 2 e 2λ t L) + B 3 e 3λ t L), sehingga setelah disubstitusikan ke persamaan 2.18), diperoleh B 2 = B 3 = Jadi solusi dari persamaan 2.18) adalah 2A 2 B 1 2λ + A cosh2λ τ) = 2B2 1, 2A 2 B 1 A 3 3λ + A cosh3λ τ). w 3 t) = e λ t L) + B 2 e 2λ t L) + B 3 e 3λ t L). 2.23) Oleh karena itu, untuk t > L, dengan ε + = 1 vl) diperoleh vt) = 1 ε + e λ t L) ε 2 +B 1 e 2λ t L) + e λ t L) ) ε 3 +e λ t L) + B 2 e 2λ t L) + B 3 e 3λ t L) ) + Oε 4 +). Substitusikan persamaan 2.3) ke persamaan 2.2), maka diperoleh a1 u 1 t) + u 1t) + 2u 1 t) u 1 t τ) u 1 t + τ) ) ε + a 2 u 1 t) 2 a 1 u 2 t) + u 2t) + 2u 2 t) u 2 t τ) u 2 t + τ) ) ε 2 + a 3 u 1 t) 3 2a 2 u 1 t)u 2 t) a 1 u 3 t) + u 3t) + 2u 3 t) u 3 t τ) u 3 t + τ) ) ε 3 +Oε) 4 = 0, sehingga didapatkan persamaan-persamaan berikut: 2.24) Oε) : u 1t) L τ u 1 t) = 0, 2.25) Oε 2 ) : u 2t) L τ u 2 t) = a 2 u 1 t) 2, 2.26) Oε 3 ) : u 3t) L τ u 3 t) = a 3 u 1 t) 3 + 2a 2 u 1 t)u 2 t), 2.27) dimana operator L τ didefinisikan sebagai L τ ut) = ut τ) + a 1 2)ut) + ut + τ). 2.28) 3. Beda Hingga dan Skema Interpolasi Pandang persamaan diferensial advance-delay nonlinier berikut: dvt) = fvt)) + vt τ) 2vt) + vt + τ), L t L. 3.1) dt Dalam hal ini f adalah fungsi nonlinier dengan f0) = f1) = 0. Persamaan 3.1) adalah persamaan autonomus, oleh karena itu ditetapkan v0) = ) Untuk menerapkan skema beda hingga pada persamaan 3.1), interval [ L, L] dipartisi menjadi N subinterval. Setiap subinterval mempunyai panjang yang sama, misalkan h. Jadi titik-titik partisi dapat ditulis t j = L + jh, j = 0, 1, 2,, N, dimana N = 2L/h. Selanjutnya tulis nilai vt j ) dengan v j. Suku turunan pertama dari persamaan 3.1) diaproksimasi dengan menggunakan beda pusat orde empat [3], yaitu diperoleh v t) = 1 ) h 4 vt 2h) 8vt h) + 8vt + h) vt + 2h) + 12h 30 f 5) ζ), 3.3)

6 102 Yosi Asmara untuk suatu ζ t 2h, t + 2h). Dengan demikian untuk t = t j didapatkan v t j ) = 1 12h v j 2 8v j 1 + 8v j+1 v j+2 ). 3.4) Perhatikan bahwa untuk j = 0 dan j = 1, suku v 2 dan v 1 muncul pada persamaan 3.4). Pada kasus ini digunakan persamaan 2.9) untuk mengaproksimasi v 2 dan v 1, yaitu pada saat t = L 2h dan t = L h. Dengan cara yang sama, untuk j = N 1 dan j = N, suku v N+1 dan v N+2 muncul pada persamaan 3.4). Persamaan 2.24) kemudian digunakan untuk mengaproksimasi v N+1 dan v N+2, yaitu pada saat t = L + h dan t = L + 2h. Selanjutnya suku advance dan delay pada persamaan 3.1) diaproksimasi dengan menggunakan interpolasi kubik. Misalkan M = [τ/h], dimana [x] menyatakan bagian dari bilangan bulat dari x dan misalkan r = τ Mh. Jelas bahwa r 0 dan t Mh h < t τ < t Mh. Dengan menggunakan formula kubik diperoleh vt τ) = C 4 vt Mh 2h) + C 3 vt Mh h) + C 2 vt Mh) +C 1 vt Mh + h) + 9h4 342 f 4) ζ), untuk suatu ζ t Mh 2h, t Mh + h), dimana C i adalah konstanta yang diberikan oleh 2h r)h r)r C 1 = 6h 3, 2h r)h r)h + r) C 2 = 2h 3, 2h r)h + r)r C 3 = 2h 3, h + r)h r)r C 4 = 6h 3. Dengan demikian suku delay diaproksimasi oleh vt j τ) C 4 v j M 2 + C 3 v j M 1 + C 2 v j M + C 1 v j M ) Dengan cara yang sama, suku advance diaproksimasi oleh vt j + τ) C 4 v j+m+2 + C 3 v j+m+1 + C 2 v j+m + C 1 v j+m ) Dengan menggunakan persamaan 3.2) sampai persamaan 3.6), maka persamaan 3.1) dapat ditulis dalam bentuk diskrit sebagai berikut: 1 12h v j 2 8v j 1 + 8v j+1 v j+2 ) fv j ) + 2v j C 1 v j+m 1 C 2 v j+m C 3 v j+m+1 C 4 v j+m+2 C 4 v j M 2 C 3 v j M 1 3.7) untuk j = 0, 1,, N. Selanjutnya versi diskrit dari syarat 3.2) diberikan oleh C 2 v j M C 1 v j M+1 = 0, v N 0.5 = 0, dimana N = [N/2]. 3.8) Untuk mendapatkan solusi numerik yang memenuhi syarat 3.2), maka persamaan ke-[n/2] pada sistem 3.7) diganti dengan persamaan 3.8).

7 Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Nonlinier Advance-Delay Kekonsistenan Persamaan Beda Pada bagian ini akan diperiksa kekonsistenan dari persamaan beda 3.7) terhadap persamaan diferensial advance-delay 3.1) dengan menggunakan Definisi kekonsistenan [5]. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar v j, maka suku-suku pada persamaan beda 3.7) dapat ditulis: v j±2 = vt j ) ± 2hv t j ) + 2h 2 v t j ) ± 4 3 h3 v t j ) + v j±1 = vt j ) ± hv t j ) h2 v t j ) ± 1 6 h3 v t j ) + v j±m+1) = vt j ) ± M + 1)hv t j ) M + 1)h ) 2v t j ) ± 1 6 M + 1)h ) 3v t j ) + v j±m+2) = vt j ) ± M + 2)hv t j ) + 2 M + 2)h ) 2 v t j ) ± 4 3 M + 2)h ) 3v t j ) + v j±m = vt j ) ± Mhv t j ) Mh)2 v t j ) ± 1 6 Mh)3 v t j ) + v j±m 1) = vt j ) ± M 1)hv t j ) M 1)h ) 2v t j ) ± 1 6 M 1)h ) 3v t j ) + Substitusikan persamaan di atas ke persamaan beda 3.7) dan gunakan r = τ Mh, diperoleh persamaan diferensial termodifikasi v t j ) fvt j ))) + 2vt j ) vt j τ) vt j + τ) ) + Oh 2 ) = ) 5. Simulasi Numerik Simulasi numerik pada subbab ini bertujuan untuk membandingkan solusi numerik dan solusi eksak dari persamaan 3.1). Sebagai contoh ilustrasi, digunakan suku nonlinier f berikut: fv) = 1 + 2ϑ2v 1) 1 + ϑ)2v 1)2 ϑ3 2v)2v 1) 3 21 ϑ2v 1) 2, 5.1) ) dengan τ = tanh 1 ϑ). Solusi eksak dari persamaan 3.1) dengan suku nonlinier 5.1) diberikan oleh [4] vt) = 1 + tanht). 5.2) 2 Gambar 1. Perbandingan solusi numerik garis-bulat) dan solusi eksak garis-silang)

8 104 Yosi Asmara Dengan menggunakan parameter τ = 1, h = 0.1 dan L = 5, diperoleh hasil perbandingan antara solusi numerik dari persamaan diferensial nonlinier advancedelay 1.1) dengan solusi eksak 5.2), sebagaimana yang diberikan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa terdapat kesesuaian yang sangat baik antara solusi eksak dengan solusi numeriknya. Daftar Pustaka [1] Bartle, Robert G., Donald R. Sherbert Introduction to Real Analysis. Edisi ke-4. John Wiley and Son, Urbana-Champaign. [2] Chi, Henjin., Jonathan, Bell dan Brian, Hassard Numerical Solution of A Nonlinear Advance-Delay-Differential Equation from Nerve Conduction Theory. J. Math Biol., 4: [3] Mathews, John H., K. D. Fink Numerical Methods for Computer Science, Engineering, and Mathematics. Edisi ke-2. Prentice-Hall, Englewood Cliffs. [4] Melvin, T.R.O, dkk Travelling solitary waves in the discrete Schrödinger equation with saturable nonlinearity: Existence, stability and dynamics. ScienceDirect. [5] Pudjaprasetya, Sri Redjeki Diktat Kuliah Persamaan Diferensial, Institut Teknologi Bandung. Bandung. [6] Rustichini, A Functional Differential Equations of Mixed Type. Journal of Dynamics and Differential Equations, 1: [7] Rustichini, A Hopf Bifurcation for Functional Differential Equations of Mixed Type. Journal of Dynamics and Differential Equations, 1: