Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214

2 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga. Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan [a, b] dengan kurva pada bidang xy. Integral yang dihasilkan f (x, y)ds disebut integral garis atau integral kurva. a

3 Misalkan adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini, misalkan dinyatakan secara parametris dengan x = x(t), y = y(t), a t b di mana x dan y kontinu dan tidak secara simultan nol pada (a, b).

4 Kita mengatakan bahwa berorientasi positif jika arahnya berhubungan dengan peningkatan nilai-nilai t. Andaikan berorientasi positif dan hanya dapat ditelusuri sekali ketika t berubah dari a ke b. Jadi, mempunyai titik awal A = (x(a), y(a)), dan titik akhir B = (x(b), y(b)). Perhatikan pembagian partisi P dari selang parameter [a, b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik a = t < t 1 < t 2 <... < t n = b

5 Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva menjadi n subbusur P i 1 P i di mana titik P i berhubungan dengan t i.

6 Misalkan s i melambangkan panjang busur P i 1 P i dan misalkan P merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan P adalah t i terbesar = t i t i 1. Pilih sebuah titik contoh Q i ( x i, ȳ i ) pada subbusur P i 1 P i. Selanjutnya, lihat jumlah Riemann n f ( x i, ȳ i ) s i i=1

7 Jika f taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

8 Jika f kontinu pada daerah D yang mengandung kurva, maka jumlah Riemann ini memiliki sebuah limit ketika P. Limit ini disebut integral garis dari f di sepanjang dari A ke B terhadap panjang busur, dalam hal ini f (x, y)ds = lim P n f ( x i, ȳ i ) s i i=1

9 Untuk f (x, y), fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tirai melengkung. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai dengan menyatakan segala sesuatunya dengan menggunakan parameter t dan menghasilkan integral tentu biasa. Dengan menggunakan ds = [x (t) 2 ] + [y (t) 2 ] akan dihasilkan f (x, y)ds = b a f (x(t), y(t)) [x (t) 2 ] + [y (t) 2 ]dt

10 Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus di mana, meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulus sepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulus 1, 2,..., k yang digabung, seperti ditunjukkan Gambar 3.4. Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjang sebagai jumlah dari integral-integral pada kurva-kurva individunya.

11 ontoh 1: Hitung x 2 y ds, di mana ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t, y = 3 sin t, t π/2. Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = 9 y 2, y = y, y 3 menghasilkan nilai yang sama.

12 Penyelesaian: Parametrisasi I π/2 x 2 y ds = (3 cos t) 2 (3 sin t) ( 3 sint) 2 + (3 cos t) 2 dt = 81 π/2 cos 2 t sin t dt = [ 81 ] π/2 3 cos3 t = 27

13 Parametrisasi II ( ) dx 2 da = 1 + dy = 1 + y 2 dy 9 y 2 dy = 3 dy 9 y 2 dan x 2 y ds = 3 = 3 (9 y 2 3 )y dy 9 y y 2 y dy = [(9 y 2 ) 3/2 ] 3 = 27

14 ontoh 2: Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran x = a cos t, y = a sin t, t π, a > Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknya dari sumbu x, tentukan massa dan pusat massa kabel tersebut.

15 Penyelesaian: Gunakan prinsip iris, hampiri, dan integralkan. Massa seutas kabel dengan panjang s dapat dihampiri dengan δ(x, y) s, di mana δ(x, y) = ky adalah kerapatan di (x, y) (k adalah konstanta). Jadi, massa m di seluruh kabel adalah m = = ka 2 ky ds = π π ka sin t a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 tdt sin t dt = [ ka 2 cos t] π = 2ka 2

16 Momen kabel tersebut terhadap sumbu x dinyatakan dengan Jadi, M x = = ka3 2 = ka3 2 y ky ds = π π (1 cos 2t)dt ka 3 sin 2 t dt [ t 1 ] π 2 sin 2t = ka3 π 2 ȳ = M 1 x m = 2 ka3 π 2ka 2 = 1 4 πa Berdasarkan sifat simetri, x =, sehingga pusat massanya ada di (, πa/4).

17 ontoh 3: Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatan δ(x, y, z) = kz jika kabel ini mempunyai bentuk heliks dengan parametrisasi x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t t π

18 Penyelesaian: m = kz ds = k π = 2k (4t) 9 sin 2 t + 9 cos 2 t + 16dt π t dt = [ ] π 2k t2 = 1 kπ 2 2 Satuan untuk m bergantung pada panjang dan kerapatannya.

19 Andaikan gaya yang bekerja pada sebuah titik (x, y, z) dalam ruang dinyatakan dengan medan vektor F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k di mana M, N, dan P kontinu. Kita akan menentukan kerja W yang dilakukan oleh F pada sebuah partikel yang bergerak di sepanjang kurva berorientasi yang mulus,.

20 Misalkan r = xi + yj + zk adalah vektor posisi untuk titik Q(x, y, z) pada kurva tersebut (Gambar 3.5). Jika T adalah vektor singgung satuan dr/ds di Q, maka F. T adalah komponen singgung dari F di Q.

21 yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel tersebut dari Q dalam jarak pendek s di sepanjang kurva tersebut dapat dihampiri sebesar F. T s, dan konsekuensinya kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari A ke B di sepanjang didefinisikan dengan F. T ds. Dengan T = (dr/dt)(dt/ds), sehingga rumus alternatif untuk kerja adalah sebagai berikut W = F. T ds = dengan dr = dxi + dyj + dzk, maka F. dr dt dt = F.dr F.dr = (Mi + Nj + Pk).dxi + dyj + dzk = Mdx + Ndy + Pdz sehingga W = F.dr = Mdx + Ndy + Pdz

22 ontoh 1: Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya hukum kuadrat invers F (x, y, z) = cr c(xi + yj + zk) r 3 = (x 2 + y 2 + z 2 = Mi + Nj + Pk ) 3/2 untuk menggerakkan sebuah partikel di sepanjang kurva garis lurus dari (, 3, ) ke (4, 3, ) seperti ditunjukkan gambar.

23 Penyelesaian: Di sepanjang, y = 3 dan z =, sehingga dy = dz =. Dengan menggunakan x sebagai parameter, diperoleh W = = c Mdx + Ndy + Pdz = c 4 [ x c (x 2 dx = + 9) 3/2 (x 2 + 9) 1/2 x dx + y dy + z dz (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ] 4 = 2c 15

24 ontoh 2: Hitung integral garis (x 2 y 2 ) dx + 2xy dy di sepanjang kurva yang persamaan parametriknya adalah x = t 2, y = t 3, t 3 2. Penyelesaian: Karena dx = 2t dt dan dy = 3t 2 dt, 3/2 (x 2 y 2 ) dx + 2xy dy = [(t 4 t 6 )2t + 2t 5 (3t 2 )]dt = 3/2 (2t 5 + 4t 7 )dt =

25 ontoh 3: Hitunglah xy 2 dx + xy 2 dy di sepanjang lintasan = 1 2 seperti ditunjukkan gambar. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus 3 dari (, 2) ke (3, 5).

26 Penyelesaian: Pada 1, y = 2, dy =, dan 1 xy 2 dx + xy 2 dy = Pada 2, x = 3, dx =, dan 2 xy 2 dx + xy 2 dy = 3 5 Kita dapat menyimpulkan bahwa 2 4x dx = [2x 2 ] 3 = 18 3y 2 dy = [y 3 ] 5 2 = xy 2 dx + xy 2 dy = = 135

27 Pada 3, y = x + 2, dy = dx, sehingga 3 xy 2 dx + xy 2 dy = 2 = x(x + 2) 2 dx (x 3 + 4x 2 + 4x)dx [ x 4 = x x 2 ] 3 = Perhatikan bahwa kedua lintasan dari (, 2) ke (3, 5) menghasilkan nilai yang berbeda untuk integral ini.

28 1. Hitunglah setiap integral garis berikut a. (x 3 + y)ds; adalah kurva x = 3t, y = t 3, t 1 b. xe y ds; adalah ruas garis dari ( 1, 2) ke (1, 1) c. (x + 2y)dx + (x 2y)dy; adalah ruas garis dari (1, 1) ke (3, 1)

29 Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R Theory and Problem of Advanced alculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 23. Terjemahan, Kalkulus, Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, Schaum s Outlines, 3 Solved Problems in alculus. New York: Mc Graw-Hill.