yaitu massa, pusat massa, momen Inersia dari radius kitaran. Menurut definisi kamus, mengintegrasi berarti memadukan bersama, sebagian kedalam suatu
|
|
- Hendri Iskandar
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KONSEP TRAPESIUM PADA INTEGRAL LIPAT DUA (Pendalaman Materi Untuk Peserta Diklat Guru Matematika MA) By. Drs. Swengli Umar, M.Si Widyaiswara Pada BDK Manado A. Pendahuluan Penerapan integral lipat dua yang paling jelas adalah dalam penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda dua yang demikian telah digambarkan secara luas, sekarang terdapat penerapan lain yaitu massa, pusat massa, momen Inersia dari radius kitaran. Menurut definisi kamus, mengintegrasi berarti memadukan bersama, sebagian kedalam suatu keseluruhan, menyatukan, menunjukkan jumlah total, secara matematis integrasi dapat dinyatakan oleh: I = a b f x dx Yang diartikan sebagai integrasi fungsi f(x) terhadap variabel x, yang dievaluasikan antara batas x = a hingga x = b. Sebagaimana dianjurkan oleh definisi kamus, makna persamaan diatas adalah jumlah total atau asumsi f(x) dx yang meliputi bentangan dari x = a hingga x = b. Kenyataannya, symbol sebenarnya merupakan huruf besar S yang divariasikan untuk menandai 1
2 hubungan yang dekat antara integrasi dan sumasi (Thomas dan Finney,1979). Fungsi yang akan diintegrasikan menurut jenisnya adalah: 1. Fungsi kontinu sederhana, seperti sebuah polinomial, eksponensial atau sebuah fungsi trigonometri. 2. Suatu fungsi kontinu yang rumit, yakni sukar atau tidak mungkin untuk mengintegrasi secara langsung. 3. Suatu fungsi yang ditabulasikan di mana harga x dan f(x) diberikan pada sejumlah titik diskrit, seperti sering dijumpai pada data eksperimen. Dalam kasus pertama, integral sebuah fungsi sederhana bias dievaluasikan secara eksak dengan dievaluasikan secara eksak dengan menggunakan teknik analitis yang telah dipelajari dalam kalkulus. Tetapi untuk kedua kasus terakhir harus dilakukan metode aproksimasi. Suatu pendekatan sederhana dan intuitif ialah dengan memplot fungsi tersebut pada kedua kisi, dan menghitung banyaknya kotak untuk mengaproksimasikan luas. Jumlah ini dilakukan oleh luas setiap kotak, dan akan memberikan sebuah taksiran kasar dari luas total di bawah kurva. Taksiran ini dapat diperbaiki dengan melakukan upaya tambahan, yakni menggunakan kisi yang lebih halus. Pendekatan lain yang masuk akal ialah membagi luas tersebut ke dalam segmen segmen vertikal, atau bilah bilah (strips) yang tingginya sepada dengan harga fungsi pada titik tengah pada setiap bilah. Luas beberapa empat persegi panjang kemudian dapat dihitung, lalu dijumlahkan untuk menaksir luas total. Pada pendekatan ini dianggap bahwa harga yang terletak ditengah memberikan suatu aproksimasi yang berlaku untuk tinggi fungsi rata rata untuk setiap bilah, seperti metode kisi, 2
3 taksiran yang diperhalus memungkinkan dengan menggunakan bilah yang lebih banyak (dan lebih halus) untuk mengaproksimasikan integral tersebut. B. Pembahasan 1. Integral Tunggal Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu integral, yakni dengan metode eksak dan numeric dengan bantuan komputer. Dalam hal ini, masalah integral akan diselesaikan dengan metode numeric. Untuk itu, perlu dipahami bahwa integral tidak lain limit dari penjumlahan suatu partisi kecil pada suatu interval. Untuk lebih jelasnya, perhatikan interval [ a,b ] yang dibagi atas n partisi kecil pdan memiliki panjang sebesar ΔXk, k = 1,2,,n Untuk mengambil n yang cukup besar agar didapat partisi p sangat kecil, jumlah dari luas persegi panjang yang berada di bawah kurva y = f(x) ( f(x) X,Y = 0 ) dan terbatas dalam interval [ a,b ] dapat dinyatakan. Dengan X k suatu titik pada suatu partisi p. Dan (l) didefinisikan sebagai integral tunggal I = a b f x dx a. Integral Lipat Dua Atas Persegi Panjang R berupa persegi panjang dengan sisi sisi yang sejajar sumbu sumbu koordinat R = {(x,,y); a >x <b,c <y >d } Bentuk suatu partisi P dari R berupa garis garis sejajar sumbu x dan y dan membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang berjumlah n 3
4 buah. Norm P merupakan panjang diagonal terpanjang dari setiap persegi panjang bagian dalam partisi. DEFINISI Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika : Ada, dikatkan bahwa ʄ terintegral pada R. lebih lanjut f x, y da, disebut sebagai integral lipat dua dari ʄ pada R yang dinyatakan dengan : Menyatakan volume benda berada dibawah permukaan z = f(x,y) dan di atas persegi panjang R. Pernyataan Keudua Tidak setiap fungsi dua peubah terintegral pada suatu persegi panjang tertutup yang diberikan. Untuk lebih jelasnya, hal tersebut dinyatakan pada teorema berikut : TEOREMA (Teorema Keintegralan) jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika f kontinu pada daerah tersebut kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, f terintegral pada R. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh R, f terintegral pada daerah tutup R. Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi (asal terbatas) adalah fungsi yang terintegralkan pada setiap persegi panjang. 4
5 Sifat sifat integral lipat dua Integral lipat dua mewarisi hampir semua sifat sifat tunggal. 1) Integral lipat dua adalah linier 2) Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis. 3) Sifat pembandingan berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R,maka Semua sifat sifat ini berlaku pada himpunan himpunan yang lebih umum daripada persegipanjang. Dalam perhitungan integral lipat dua, pertama tama perhatikan bahwa jika f(x,y) = 1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, dan dari ini menyusul bahwa b. Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang Sekarang perhatikan suatu himpunan S tertutup dan terbatas di bidang. 2. Integral lipat dua pada persegi Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu integral, yakni dengan metode eksak atau numerik dengan bantuan komputer. Dalam hal ini, masalah integral akan diselesaikan dengan metode numerik. Untuk itu, perlu dipahami bahwa integral tidak lain limit dari penjumlahan suatu partisi kecil pada suatu interval. Untuk lebih jelasnya, perhatikan fungsi f: [a,b] R yang kontinu, dimana a daerah R yang dihubungkan dengan grafik fungsi nonnegatif kontinu y = f(x) dan x berada pada a, x, b (gambar 1). Kita juga melakukannya dengan membagi interval [a,b] menjadi beberapa sub interval dengan panjang xj = xj xj-1. Setelah memilih satu 5
6 angka tj secara acak pada masing masing interval maka akan mendekati penjumlahan Riemann mewakili penjumlahan daerah persegi yang tampak pada (gambar 2) sehingga kita dapat membuktikan limit dari penjumlahan Riemann dimana n ~ dan sebagai bentuk dari partisi Pn 0, adalah daerah hasil. Hal ini menggambarkan tentang definisi integral tunggal. Gambar-3 Untuk fungsi dengan dua variabel, alasan utama membentuk integral lipat dua yang akan lebih sesuai untuk perhitungan volume daripada luas. Ini karena a daerah Q pada daerah asal Z = f(x,y) dan grafik f pada bidang Q menghubungkan garis pada ruang nyata. Kita akan mendekati volume secara nyata dengan menggunakan prisma segiempat (gambar 3). 6
7 Gambar-3 Kita mulai dengan masalah perhitungan volume V dari garis lurus dengan menggunakan grafik fungsi nonnegatif kontinu z = f(x,y), berikut ini menggunakan persegi R ={(x,y) a _ x _ b, c _ y _ d} pada permukaan datar xy, dan pada keempat sisi datar yang tegak x = a, x = b, y = c, dan y = d (lihat gambar 3). Penggunaan terminology yang sama pada bentuk satu variable maka P1 = {a = x0,x1,x2,...,xn = b} menjadi partisi dari interval [a,b] sehingga P2 = {c = y0,,y1,y2,...,yn = d} menjadi partisi dari interval [c,d]. Dan juga Δxj = xj xj-1, j= 1,2,...,n. dan _yk = yk yk-1, k = 1,2,..., m. Seperti yang tampak pada (gambar 4), partisi ini membedakan garis yang membagi daerah R menjadi persegi persegi Rjk dari daerah Ajk = ΔxΔyk, untuk j = 1,2,...,n dan k = 1,2,...,m. Kita melihat ini sebagai garis partisi P yang berpengaruh pada R oleh partisi P1 dan P2, dan kita melihat bentuk P dari partisi ini menjadi lebih luas dari bentuk P1 dan P2 dari partisi P1 dan P2 yaitu P = max{ P1, P2 } = max{δx1, Δx2,..., Δxn, Δy1, Δy2,... Δym}. Pemikiran kita sekarang untuk mendekati volume dari daerah diatas persegi Rjk dan dibawah grafik f dengan volume prisma segiempat dengan daerah awal ΔAjk = ΔxjΔyk. Untuk tinggi prisma digunakan fungsi nilai f(sj,tk) dimana titik (sj,tk) ini secara acak pada persegi Rjk. Yang akan mendekati 7
8 Yang menunjukkan penjumlahan ganda Riemann untuk fungsi f pada persegi R. Seperti pada bentuk satu variabel, kita sekarang bertanya apakah batas dari penjumlahan Riemann seperti ukuran persegi Rjk menjadi sangat kecil. Berikut adalah definisi dari apa yang kita maksud dengan batas penjumlahan Riemann dalam persamaan (1). Definisi.1 Kita menyebut S sebagai batas dari penjumlahan Riemann pada persamaan (1), dimana P 0 (dan seperti n ~ dan m ~), tertulis: adalah definisi dari apa yang kita maksud dengan batas penjumlahan Riemann dalam persamaan (1). Definisi.1 Kita menyebut S sebagai batas dari penjumlahan Riemann pada persamaan (1), dimana P _ 0 (dan seperti n _ ~ dan m _ ~), tertulis: k P lim f(sj,tk) Ajk,. jika, ambil sembarang > 0, terdapat >0 sehingga jika 0 < P <, maka seperti pada titik (sj,tk) yang diambil dari Rjk. Definisi 1 secara sederhana menyatakan bahwa batas dari penjumlahan Riemann dalam persamaan (1) merupakan S jika penjumlahan ini menggunakan jumlah S sebagai jumlah persegi Rjk dalam partisi P menjadi tak terhingga dan seperti dalam kedua dimensi ( xj dan yk) dari masing masing persegi Rjk mendekati nol. 8
9 Seperti dalam bentuk satu variabel penjumlahan ganda Riemann pada persamaan (1) akan memiliki batas S ketika fungsi f continu pada persegi R. Hasilnya tidak terbukti. Teorema 1 Jika f adalah fungsi dari dua variabel tunggal pada persegi R dan f kontinu pada R dan P dengan partisi dari R, seperti penjelasan di atas, maka batas Definisi 2 Jika f adalah fungsi kontinu dari dua variabel pada persegi R = {(x,y) a x b, c y d}.integral lipat dua dari f pada persegi R merupakan jumlah dari: Dimana P merupakan partisi dari persegi R dan (sj,tk) adalah titik acak pada persegi Rjk = {(x,y) xj-1 x xj, yk-1 y yk}. Kita menggunakan tanda dua integral untuk menunjukkan bahwa ini menyatakan hasil dari proses limit ganda. Interval x [a,b] dan interval y [c,d] keduanya telah dipartisi menjadi sub interval. Pembagian pada R menunjukkan persegi melalui proses pengintegralan. Sekarang symbol da (yang dapat juga ditulis dx dy) menunjukkan bahwa penjumlahan Riemann telah diperoleh dengan mempartisi R menjadi persegi dari daerah Ajk = xj yk. Sebelum fungsi f menjadi integral Berdasarkan pada perkembangan yang menunjukkan penjumlahan Riemann, kita simpulkan bahwa volum V dari garis yang pada bagian atas dihubungkan dengan 9
10 grafik fungsi f kontinu nonnegative dan pada bagian bawah dengan persegi R pada bidang xy adalah Tetapi bagaimana kita mengevaluasi Integral pada persamaan (2)? Pada dasarnya akan ada hasil yang sama dengan dasar teori kalkulus yang memungkinkan kita untuk menyelesaikannya. Sebenarnya jawaban untuk pertanyaan ini adalah sama. Diambil dari bab dimana volume V ditunjukkan oleh integral tunggal. Dimana A(x) adalah daerah persilangan tegak lurus terhadap garis x- axis. Sekarang x0 _ [ a,b ] adalah sesuai / tepat maka daerah dari persilangan ini Menjadi Karena persilangan di atas dihubungkan menggunakan fungsi g(y) = f (x0,y). ( lihat gambar 4 ) Dengan mengkombinasikan persamaan (3) dan (4) kita dapat menyimpulkan : 10
11 Maksud dari persamaan (5) adalah bahwa volume V telah dihitung pada pengintegrasian pertama, dengan memperhatikan y ( dimana x adalah konstan) dari c ke d, kemudian mengintegralkan fungsi hasil x dari a ke b. Pada gambar 5 tampak bahwa kita telah mulai dengan mengubah yo dan memperoleh daerah persilangan tegak lurus terhadap y axis dan y = yo sebagai Hasil penghitungan untuk volume adalah Gambar-6 Integral pada persamaan (5) dan (6) disebut sebagai integral iterated / iterasi, karena melibatkan komposisi dari dua integrasi, dimana masing masing adalah variabel tunggal. Dan dapat ditulis secara sederhana dengan Dan Sangat penting untuk mengetahui bahwa integral iretated diinterpretasikan dari dalam ke luar, seperti yang dijelaskan pada persamaan (7) dan (8). Pada akhirnya dapat kita catat bahwa definisi dari integral lipat dua pada definisi ke 2 11
12 tidak berdasar pada fungsi f nonnegatif. Integral lipat dua f (x,y) da sehingga menjadi jelas untuk semua fungsi kontinu f, dengan mengabaikan fungsinya pada persegi R. Saat f (x,y) 0 untuk semua ( x,y ) pada R, kita dapat mengkombinasikan pernyataan (2) dengan pernyataan (5) hingga (8) untuk mendapatkan persamaan persamaan; Dan Persamaan (9) dan (10) benar benar mengabaikan tanda f ( x,y ), namun integral pada persamaan (9) dan (10) sama dengan volume daerah antara persegi R dan grafik z = f ( x,y ) saat f ( x,y ) 0 untuk semua ( x,y ) pada R, a < b, dan c < d. untuk selanjutnya kita akan membahas lipat dua. 3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegi Integral lipat dua dapat ditunjukan dengan jelas melalui daerah pada bidang yang lebih tak beraturan dari segi empat. Misal Q adalah region pada bidang yang dibatasi ( dalam arti terdapat dalam beberapa persegi) dan garis batasnya merupakan kurva atau lengkungan yang tidak berpotongan. Sebuah persegi merupakan contoh sebuah region, demikian juga dengan pentagon, segi tiga, dan lingkaran atau mungkin sebuah region yang tak beraturan. Jika f adalah suatu fungsi kontinu dari dua variabel tunggal pada Q 12
13 Dari keadaan pada Q dan f, pada m dan P 0 maka penjumlahan Rieamann akan menunjukkan angka yang merupakan integral lipat dua dari f pada region Q: Persamaan (2) sebenarnya merupakan definisi dari integral lipat dua pada keadaan ini, meskipun kita tidak menyatakan secara langsung karena akan merupakan pengulangan yang mendekati persamaan persamaan sebelumnya. Sebelum kita membuktikan, kita harus memperhatikan dua hal yang mempengaruhi definisi ini. (i) Meskipun hanya satu penjumlahan yang muncul pada persamaan (2), definisi ini sama dengan definisi 2 dimana Q adalah persegi. Perbedaannya hanyalah kita harus menggunakan langkah penghitungan dimensi dua dalam menyatakan definisi 2. Pada persamaan (2) kita telah menyederhanakan daftarnya termasuk persegi R1, R2,., Rm yang menggunakan indeks tunggal. (ii) Saat f ( x,y ) _ 0 untuk semua ( x,y ) _ Q, integral lipat dua (2) menunjukan volume dari bentuk yang dihubungkan dengan grafik dari z = f ( x,y ) dan region Q. dengan alasan yang sama pada kasus yang lebih mudah dari integral lipat dua pada persegi. Ada dua macam region untuk integral lipat dua pada persamaan (2) yang dapat dievaluasi sebagai integral iterated: region sederhana x dan y. Definisi 3 13
14 Sebuah daerah Q pada bidang xy disebut y sederhana jika terdapat fungsi kontinu g1 dan g2 sehingga Region Q disebut x sederhana jika terdapat fungsi kontinu h1 dan h2 sehingga Region Q disebut beraturan jika keduanya x dan y sederhana. Gambar 6 memberikan dua gambaran dari region y sederhana. Keadaan dimana g1(x) y g2 (x) untuk semua x [ a, b ] secara sederhana berarti bahwa garis bagi vertical yang menghubungkan ( x, g1(x)) dan ( x g2 (x)) terbentang pada region Q. Dengan kata lain ini adalah garis paralel y axis yang memotong Q hamper dua kali. Gambar-6 Gambar-7 Gambar. 6 Dua region y sederhana: garis vertikal memotong Q hampir dua Kali Gambar. 7 menunjukan dua region x sederhana. Keadaan ini berarti bahwa garis paralel x axis memotong Q hamper dua kali. Demikian juga gambar.6(a) dan 7(a) adalah beraturan (keduanya x dan y sederhana). Namun gambar 6(b) bukan x sederhana dan 7(b) bukan y sederhana. 14
15 Gambar-6a Gambar-7a Gambar. 7 Dua region y sederhana: garis horisontal memotong Q hamper dua kali Teori berikut menunjukan bagaimana integral lipat dua pada region x atau y sederhana dapat dibuktikan sebagai integral iterated. Teorema 2 Jika f merupakan fungsi kontinu dari dua variabel pada region Q : 1. Jika Adalah y sederhana maka : 2. Jika : Adalah x sederhana, maka : Persamaan (3) menyatakan jika Q adalah y sederhana, kita pertama tama integrasi f sebagai fungsi dari y sendiri, diantara limit g1(x) dan g2 (x). fungsi hasil dari x sendiri kemudian kita integrasi menggunakan limit konstan a x b. Persamaan (4) menyatakan bahwa jika Q adalah x sederhana, kita pertama tama integrasi f sebagai fungsi dari x sendiri, di antara h1(y) dan h2 (y). Kita tidak harus 15
16 membuktikan teorema 2. Gambar. 8 menyatakan validitas persamaan (4) ketika f nonnegative pada Q dan Q adalah x sederhana untuk y tetap maka integral : akan memberi daerah persilangan dari bentuk tersebut dengan grafik f dan region Q. Rumus yang sama untuk volume V dari sebuah bangun yang diketahui daerah persilangannya menjadi Gambar-8 Gambar. 8 Jika Q adalah x sederhana, daerah persilangan tegak lurus terhadap y axis pada yo adalah: Karena sisi kiri persamaan (5) sama dengan integral lipat dua kita peroleh persamaan (4). Dalam menggunakan teorema 2 untuk membuktikan integral lipat dua, sangat penting untuk membuat gambar region Q untuk menentukan apakah x atau y sederhana. Langkah ini akan lebih sering membantu dalam pengintegrasian pada integral iterated. (Tentu saja jika Q adalah region beraturan, kita dapat mengerjakan dengan cara lain. Hati hati bahwa limit dari integrasi sama dengan langkah yang dipilih dalam integrasi.) 16
17 Penggantian langkah dalam integrasi Akan ada saat dimana kita perlu mengganti langkah langkah integrasi pada integral iterated, karena sebuah anti derivative(turunan) tidak dapat ditemukan dengan menggunakan variabel dalam. Seperti pada integral iterated berikut: Kita tidak dapat menemukan sebuah anti turunan (formal) untuk integrand ye dengan memperhatikan x. Namun integral seperti ini dapat dibuktikan dengan membalikkan langkah langkah integrasinya. Sebagai contoh; anti turunan ye dimana y adalah fungsi y2e. Tapi kita akan membalikan langkah dimana integrasi ditunjukkan, kita juga harus menentukan limit yang benar dari integrasi yang sama dengan langkah integrasi yang baru. Seperti berikut: Untuk membalik langkah integrasi pada integral lipat dua (i) Identifikasi region Q dimana integral iterated dapat ditulis sebagai integral lipat dua. (ii) Temukan konstanta a dan b, dan fungsi kontinu g1 dan g2, sehingga region Q dapat dinyatakan sebagai berikut: Q = {( x, y ) a x b, g1(x) y g2 (x) } (iii) Tulis kembali integral iterated sebagai berikut: 17
18 Secara jelas langkah ini dapat digunakan jika Q adalah region beraturan. Dan meskipun langkah ini dinyatakan untuk membalikan langkah integrasi dari dx dy menjadi dy dx, langkah untuk mengganti dy dx menjadi dx dy adalah sama. Pada akhirnya tidak ada kepastian bahwa integral hasil lebih mudah dibuktikan daripada integral awal. Aturan integral lipat dua Dijelaskan dalam bagian ini bahwa integral lipat dua memenuhi persamaan berikut: pada (iii) Q = Q1 U Q2 adalah union dari dua region nonoverlapping Q1 dan Q2, masing masing memenuhi nilai Q. persamaan (iii) meluas menjadi union dari banyak region nonoverlapping Q1, Q2,. Qn dari bentuk ini. Kita tidak membuktikan persamaan (i) sampai (iii). Buktinya adalah sama dengan bentuk integral dengan satu variabel. C. Penutup Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan : 1. Garis besar langkah-langkah dalam metode Trapesium untuk menyelesaikan masalah integral lipat dua adalah sebagai berikut: c d f(x, y) dy d c n f x, d + f x, c 2 n 1 + f x, c + i i=1 = d c n dan 3 mengikuti arah y sedangkan x tetap 18
19 ambila sebua fungsi g x = f x, d + (x, c) 2 n 1 + f x, c + i i=1 Sehingga d c b n a b g x dx d c b a g b + g a n2 2 n 1 + g a + j j =1 DAFTAR PUSTAKA Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value Problems USA: Addison-Wesley Publishing Company. Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan Jakarta: PT. Gramedia. J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric. Jakarta: Erlangga. Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial Yogyakarta: J&J Learniang. Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists New York. McGraw-Hill Book Company, Inc. N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Jakarta: Erlangga. Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi Jakarta: Universitas Indonesia Press. Shepley L. Ross. Differential Equations New York: John and Wiley & Sons. 19
20 Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems New York: John and Wiley & Sons, Inc. 20
PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB.
Volume 5, Nomor, September 06 ISSN 978-660 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB Oleh : MEILANY
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciHendra Gunawan. 8 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 8 November 013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4 1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva. Jumlah Riemann dan Integral Tentu 3. Teorema
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciSATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciCARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)
CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus
Lebih terperinciTUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN
NAMA : SISKA NUKE ENI PRADITA NIM : 125100301111044 KELAS : P TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN A. APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI Diartikan geometris dari
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 5 INTEGRAL LIPAT Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS)
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) Kode / Nama Mata Kuliah : A11.54101/ Kalkulus 1 Revisi 2 Satuan Kredit Semester : 4 SKS Tgl revisi : Agustus 2014 Jml Jam kuliah dalam seminggu : 4
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Masalah-masalah yang dipecahkan
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : Kalkulus 2 (2 SKS) JENJANG/JURUSAN : S1-Teknik Elektro/Mesin/Industri
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : Kalkulus ( SKS) JENJANG/JURUSAN : S1-Teknik Elektro/Mesin/Industri Referensi : [1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi,
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Lebih terperinciGARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat
Mata Kuliah Kode/Bobot Deskripsi Singkat : Tujuan Instruksional Umum : : Kalkulus : TSP-102/3 SKS GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Mata kuliah ini membahas tentang konsep dasar matematika. Pembahasan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciPENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI
PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciDefinisi & Rumus Dasar
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : Matematika Dasar 2 (2 SKS, Ujian Utama) JENJANG/JURUSAN : S1-Teknik Informatika KODE MATA KULIAH : IT 04211 Minggu Pokok Bahasan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciHendra Gunawan. 11 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan emester II, 2013/2014 11 April 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limitdan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
Lebih terperinciPada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x,y) pada = {(x,y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciMETODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 4 Hal. 9 17 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI RAHIMA
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia atas Persegi Panjang Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA ( ) ( ) ( ) Asalkan limit ini ada dan bukan atau. Jika limit ini memang ada, dikatakan ( ) ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah Asalkan limit ini ada dan bukan. Jika limit ini memang
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciKALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
Lebih terperinciIntegral dan Aplikasinya
Nama : Mutiara Devita Sari NIM : 125100301111020 Kelas : L/TIP Integral dan Aplikasinya Pengertian Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari diferensial. Integral memiliki banyak kegunaan
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciSOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK
SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH Sugimin Jurusan Matematika FMIPA UT ugi@mail.ut.ac.id ABSTRAK Suatu persamaan vektor berbentuk x & = f (x dengan variabel bebas t yang tidak dinyatakan
Lebih terperinciMETODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT
METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT Agusman Sahari. 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Dalam paper ini mendeskripsikan tentang solusi masalah transport polutan
Lebih terperinciKonsep Dasar Perhitungan Numerik
Modul Konsep Dasar Perhitungan Numerik Drs. Mulyatno, M.Si. D PENDAHULUAN alam mata kuliah Kalkulus, Aljabar Linear, Persamaan Diferensial Biasa, dan mata kuliah lainnya, dapat Anda pelajari berbagai metode
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciFakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciMATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI
MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI Nama : Syifa Robbani NIM : 125100301111002 Dosen Kelas : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc : L Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMETODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Indikator Pokok Bahasan/ Materi Aktivitas Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : Maret 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11.54201 / Kalkulus II 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks :
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 6 INTEGRAL GARIS Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciPAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA
PAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA Nama : Nova Nurfauziawati NPM : 240210100003 Tanggal / jam : 18 November 2010 / 13.00-15.00 WIB Asisten : Dicky Maulana JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PANGAN FAKULTAS
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciINTEGRAL RANGKAP DUA. diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang, {( )
Matematika asar Misal INTEGAL ANGKAP UA diberikan daerah di bidang XO yang berbentuk persegi panjang, {( ) } =, y a b, y d dan fungsi dua peubah z = f (,y ) >. Maka untuk menghitung volume benda ruang
Lebih terperinciSyarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T - 10 Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman Maulana Malik, Sri Mardiyati Departemen Matematika
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Lebih terperinciBERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU
BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam
Lebih terperinciImplementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer
Implementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer Dewita Sonya Tarabunga - 13515021 Program Studi Tenik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciPenyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks
Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Dewi Erla Mahmudah 1, Ratna Dwi Christyanti 2, Moh. Khoridatul Huda 3,
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 3 TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
Lebih terperinciIntegral Ganda. a f (x) dx = R f (x) dx: Misalkan D adalah
oki neswan FMIPA-ITB Integral Ganda Pengertian Integral Ganda Integral ganda f (; ) da adalah perumuman dari integral R b a f () d R f () d: Misalkan adalah [a;b] daerah ang berada dalam persegi panjang
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidangbidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi
Lebih terperinciMomen Inersia tanpa Kalkulus
Momen nersia tanpa Kalkulus Yohanes Surya BSTRK Dalam makalah ini kami menurunkan rumus momen inersia berbagai benda seperti batang tipis, segitiga sama sisi, segiempat beraturan, segienam beraturan, selinder,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciPertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciINTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) Mata Kuliah : Matematika Teknik Kode : TMT 2311 Prasyarat : Kalkulus II Program studi : Teknik Mesin Semester : III Oleh : Dr. Ir. Toto Rusianto, MT. JURUSAN TEKNIK
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinci