Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Transkripsi

1 KALKULUS III Teorema Integral (Stokes Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1

2 Stokes Theorem Review : Pada pembahasan sebelumnya, kepadatan sirkulasi atau curl pada bidang dua dimensi F = Mi + Nj di titik (x,y) digambarkan dengan penjumlahan skalar N x M y. Pada bidang tiga dimensi, sirkulasi digambarkan dengan vektor. 2

3 Stokes Theorem Misalkan F medan kecepatan dari aliran fluida pada ruang. Partikel di sekitar titik (x,y, z) dalam fluida cenderung berputar di sekitar sumbu melalui (x,y, z) yang sejajar dengan vektor tertentu. 3

4 Stokes Theorem Suatu vektor disebut curl vector untuk medan vektor F = Mi + Nj + Pk, didefinisikan sebagai curl F = P y N z M i + z P x N j + x M y k. (1) Bentuk tersebut merupakan konsekuensi dari Teorema Stokes', yang merupakan generalisasi ke bentuk ruang dari bentuk curl pada Teorema Green. 4

5 Stokes Theorem Catatan : curl F k = N x M y konsisten dengan definisi pada bahasan sebelumnya, dimana F = M(x, y)i + N(x, y)j. Bentuk curl pada persamaan (1) sering dituliskan dengan menggunakan operator simbolik = i x + j y + k z. (2) (Simbol dibaca del atau grad ) 5

6 Stokes Theorem Curl dari F adalah F : i j k F = x y z M N P = P y N M i + z z P x = curl F. N j + x M y k curl F = F (3) 6

7 Contoh 1 : Find the curl of F = x 2 z i + xe z j + xyk. Solusi : We use equation (3) and the determinant form, so curl F = F = i j k x y z x 2 z xe z xy = y xy z (xez ) i x xy z x2 z j + x xez y x2 z k = x xe z i y + 1 j + e z 0 k = x 1 e z i y + 1 j + e z k 7

8 Operator memiliki sejumlah aplikasi lain. Misalnya, ketika diterapkan pada fungsi skalar f(x, y, z), menjadikan gradien f : f = f x i + f y j + f z k. f dibaca del f atau grad f 8

9 Stokes Theorem Teorema Stokes merupakan generalisasi dari Teorema Green untuk dimensi tiga. Teorema Stokes menghubungkan perputaran medan vektor di sekitar daerah tertutup dan terbatas C yang berorientasi pada bidang S di ruang tiga ke bidang integral atas bidang S. Permukaan tersebut haruslah piecewise smooth, yang berarti bahwa itu adalah permukaan tersebut merupakan gabungan terbatas permukaan yg smooth sepanjang kurva yang smooth. 9

10 Stokes Theorem 10

11 Stokes Theorem Teorema Teorema Stokes Misalkan S piecewise smooth pada kurva terbatas C. Misal F = Mi + Nj + Pk adalah bidang vektor yang komponennya kontinu pada turunan pertama di daerah terbuka yang mengandung S. Maka perputaran F di sekitar C dalam arah berlawanan jarum jam terhadap vektor normal n sama dengan integral dari F n atas S. 11 F dr C Counterclockwise circulation = F n S Curl integral dσ (4)

12 Catatan : Jika C kurva di bidang xy, berorientasi berlawanan jarum jam, dan R daerah dibidang xy terbatas di C, maka dσ = dx dy dan F n = F k = N x M y. Dengan kondisi tersebut, persamaan Stokes menjadi C F dr = R N x M y dx dy, yang merupakan bentuk sirkulasi-curl dari persamaan di Green Teorema. 12

13 Sebaliknya, dengan kembali ke langkah sebelumnya kita dapat menulis ulang bentuk curl dari Teorema Green pada bidang dua dimensi sebagai C F dr = F k R da. 13

14 Contoh 2 : Evaluate Equation (4) for the hemisphere S: x 2 + y 2 + z 2 = 9, z 0, its bounding circle C: x 2 + y 2 = 9, z = 0, and the field F = yi xj. 14

15 Solusi : 15

16 Solusi : P

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 Stokes Theorem for Surface with Holes Identitas Penting : curl grad f = 0 atau f = 0 23

24 Identitas tersebut berlaku untuk setiap fungsi f(x, y, z) yang turunan parsial keduanya kontinu. Pembuktiannya adalah sebagai berikut : i j k f = x f x y f y z f z = f zy f yz i f zx f xz j + f yx f xy k. Jika turunan parsial kedua kontinu, maka perpaduan turunan kedua didalam kurung adalah sama, sehingga vektornya bernilai nol. 24

25 Conservative Fields and Stokes Theorem Teorema Curl F = 0 berhubungan dengan sifat putaran tertutup Jika F = 0 di setiap titik pada daerah terbuka terhubung sederhana D pada ruang tiga (space), maka di setiap garis edar piecewise-smooth C di D, berlaku F dr = 0. C 25

26 26

27 27

28 Tugas! Gunakan Teorema Stokes untuk menemukan Integral Garis berikut : 28

29 29

30 Thank you Good Luck 30