KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR

Transkripsi

1 KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR

2 Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif

3 A. Defenisi Derivatif

4 Pendahuluan Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.

5 1. Defenisi derivatif dari konsep limit Diberikan grafik berikut Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f (a) adalah f '(x) = lim h 0 f (a + h) f (a) h jika limitnya ada

6 Contoh 1 Carlah turunan dari f(x) = x 2 8x + 9 pada bilangan a. Penyelesaian:

7 2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a. Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)): y f (a) = f (a)(x a)

8 Contoh 2 Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x 2 8x + 9 di titik (3, 6).

9 Penyelesaian Contoh 2 Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f (a) = 2a 8. Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) 8 = 2 Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah y ( 6) = ( 2)(x 3) atau y = 2x

10 3. Derivatif dari fungsi Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh

11 Contoh 3 Jika f(x) = x 3 x, carilah rumus untuk fʼ(x) Penyelesaian

12 Contoh 4 Jika f(x) = x 1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ. Penyelesaian Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ).

13 B. Rumus-rumus Derivatif

14 1. Derivatif Fungsi Konstanta Diambil fungsi konstanta f(x) = c, Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.

15 Bila dibuktikan dengan defenisi turunan Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz d dx (c) = 0

16 2. Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x) = x n, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah

17 Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1. Sehingga d dx (x) = 1

18 Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh d dx (x2 ) = 2x d dx (x3 ) = 3x 2 Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka d dx (xn ) = nx n 1

19 Contoh 5 Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi a) Jika f(x) = x 6, maka fʼ(x) = 6x 5 b) Jika y = x 1000, maka yʼ = 1000x 999 c) Jika y = t 4, maka dy/dt = 4t 3 d) d/dt (r 3 ) = 3r 2 e) Du(u m ) = mu m-1

20 3. Derivatif Perkalian Konstanta Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka d dx [cf (x)] = c d dx f (x)

21 Bukti: Misalkan g(x) = c f(x), maka

22 Contoh 6 Carilah derivatif dari: a) 3x 4 dan b) x Pembahasan a) d dx (3x4 ) = 3 d dx (x4 ) = 3(4x 3 ) = 12x 3 b) d dx (-x) = d dx [(-1)(x) = (-1) d (x) = -1(1) = -1 dx

23 4. Derivatif dari Aturan Jumlah Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka d dx [ f(x) + g(x) ] = d dx f(x) + d dx g(x)

24 Bukti Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka

25 Lanjutan aturan jumlah Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh: Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh d dx [ f(x) - g(x) ] = d dx f(x) - d dx g(x)

26 Contoh 7 Carilah turunan dari x x 5 4x x 3 6x + 5 Penyelesaian

27 5. Derivatif Hasil Kali Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka

28 Bukti Misalkan F(x) = f(x) g(x), maka

29 Contoh 8 Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x 3 )(7x 4 ) Pembahasan:

30 6. Derivatif Hasil bagi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka

31 Bukti Misalkan F(x) = f(x) g(x), maka Dengan menambahkan f(x) g(x) f(x) g(x) pada pembilang maka diperoleh

32

33 Contoh 9 Diberikan y = x2 + x 2 x Carilah yʼ Pembahasan:

34 Derivatif Pangkat Umum Jika n bilangan bulat positif, maka d dx (x n ) = nx n 1 Jika n sembarang bilangan real, maka d dx (xn ) = nx n 1

35 Contoh 10

36 Contoh 11

37 C. Aplikasi Derivatif

38 Aplikasi dalam Fisika Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t 3 6t 2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter. a) Carilah kecepatan pada waktu t b) Berapa kecepatan setelah 9 detik? c) Kapan partikel berhenti?

39 Bahasan: a) Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi s = f (t) = t 3 6t 2 + 9t v(t) = ds dt = 3t 2 12t + 9 b) Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4. v(2) = ds dt t = 4 = 3(4) 2 1(4) + 9 = 9 m / s c) Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu 3t 2 12t + 9 = 3(t 2 4t + 3) = 3(t 1)(t 3) = 0 Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik

40 Maslah Pengoptimalan