Integral dan Aplikasinya

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Integral dan Aplikasinya"

Teguh Salim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Nama : Mutiara Devita Sari NIM : Kelas : L/TIP Integral dan Aplikasinya Pengertian Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari diferensial. Integral memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang, misalnya bidang ekonomi, astronomi, permodelan dalam biologi, ilmu fisika, dan ilmu kimia. Pada prinsipnya ada dua cara mamandang integral, yaitu dipandang sebagai antiturunan dan dipandang sebagai jumlah Riemann. Pada dasarnya integral terbagi atas dua macam, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu adalah suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang biasa disebut sebagai batas atas dan batas bawah. Integral ini biasanya digunakan untuk mencari luas suatu area. Bentuk umum dari integral tentu adalah sebagai berikut. ( ) [ ( )] b a Integral tentu terbagi atas dua macam, yaitu integral tentu sebagai limit jumlah Riemann dan integral berdasarkan teorema dasar kalkulus. Sedangkan integral tak tentu adalah merupakan kebalikan langsung dari turunan/diferensial. Biasanya, integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari suatu fungsi hasil turunan. Bentuk umum dari integral tak tentu adalah sebagai berikut. ( ) ( )

2 Dimana C adalah suatu konstanta real dan f(x) merupakan turunan dari f(x) + C. Aplikasi Integral Integral dapat diaplikasikan kedalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Sebagai contoh, integral dapat diaplikasikan untuk menghitung luas suatu daerah dan volume suatu benda serta dalam bidang ekonomi. Menghitung luas daerah dan volume suatu benda Dalam menghitung luas daerah menggunakan integral, integral yang digunakan adalah integral tentu. Dimisalkan jika suatu kurva y = f(x) dengan f(x) > 0 dalam selang [a, b] maka integral tentu ( ) menyatakan luas daerah antara kurva y = f(x), sumbu x (y = 0), garis vertikal x = a dan x = b. Secara umum. Pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. ( ) Dapat juga diilustrasikan dengan contoh hubungan antara kecepatan, waktu, dan jarak seperti pada gambar dibawah ini. Dalam gambar dibawah, besarnya jarak yang ditempuh dapat diketahui dengan cara menghitung luas daerah yang yang diarsir.

Jika untuk menentukan luas daerah diatas sumbu x, maka f(x) > 0 untuk setiap x, sehingga

( ) Berbeda jika menentukan luas daerah dibawah sumbu x, maka berkebalikan dengan dengan

(negatif). Dapat dilihat dari ilustrasi gambar dibawah ini.

3 Jika untuk menentukan luas daerah diatas sumbu x, maka f(x) > 0 untuk setiap x, sehingga luas ( ) (positif). Dapat dilihat dari ilustrasi gambar dibawah ini. ( ) Berbeda jika menentukan luas daerah dibawah sumbu x, maka berkebalikan dengan dengan menentukan luas daerah diatas sumbu x, yaitu f(x) < 0 untuk setiap x, sehingga luas ( ) (negatif). Dapat dilihat dari ilustrasi gambar dibawah ini. ( ) ( ) Adapula jika mencari luas gabungan antara daerah diatas sumbu x dan juga luas daerah dibawah sumbu x, seperti pada gambar dibawah ini.

Ruumus untuk luas daerah pada gambar diatas adalah sebagai berikut.

Misalnya suatu daerah dibatasi oleh dua kurva, yaitu f(x) dan g(x) dengan f(x) < g(x) dalam interval [a, b].

Volume benda putar dapat diperoleh dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

4 Ruumus untuk luas daerah pada gambar diatas adalah sebagai berikut. L = L1 + L2 = ( ) + ( ( ) ) Selain itu, juga masih ada satu cara untuk menentukan luas daerah antara dua kurva. Misalnya suatu daerah dibatasi oleh dua kurva, yaitu f(x) dan g(x) dengan f(x) < g(x) dalam interval [a, b]. Seperti pada gambar dibawah ini. ( ) ( ) Sebagai contoh jika menentukan volume benda putar yang dibatasi satu kurva. Volume benda putar dapat diperoleh dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat. Beberapa benda dapat dihitung volumnya dengan mudah menggunakan rumus volum benda sisi lengkung. Untuk menghitung volume dengan sumbu x sebagai sumbu putar, dapat dilihat pada gambar berikut. Benda putar yang dibentuk oleh kurva y = f(x) dan diputar 360⁰mengelilingi sumbu x, dengan garis x = a dan x = b dapat dihitung sebagai berikut.

berikut. ( ( )) Berbeda lagi jika akan menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva.

5 ( ( )) Sedangkan untuk menghitung volume dengan sumbu x sebagai sumbu putar, dapat dilihat pada gambar berikut. Benda putar yang dibentuk oleh kurva y = f(y) dan diputar 360⁰mengelilingi sumbu y, dengan garis y = c dan y = d dapat dihitung sebagai berikut. ( ( )) Berbeda lagi jika akan menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva. Sebagai contoh menentukan volume dengan sumbu x sebagai sumbu putar. Misalnya diberikan dua kurva, yaitu y 1 = f(x) dan y 2 = g(x) dengan f(x) > g(x). Kedua kurva tersebut terletak pada interval. Benda putar pada gambar

6 diperoleh dari perputaran 360⁰ daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut terhadap sumbu x. Volume benda putarnya adalah sebagai berikut. [( ( )) ( ( )) ] Misalnya diberikan dua kurva, yaitu x 1 = f(y) dan x 2 = g(y) dengan f(y) > g(y). Kedua kurva tersebut terletak pada interval. Benda putar pada gambar diperoleh dari perputaran 360⁰ daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut terhadap sumbu y. Volume benda putarnya adalah sebagai berikut. [( ( )) ( ( )) ] Dalam bidang ekonomi Selain dalam sains, integral juga dapat digunakan untuk perhitungan dalam ekonomi dan bisnis. Dalam bidang ekonomi, integral digunakan untuk menentukan suatu fungsi dari konsep marginal ke total. a. Fungsi biaya total (Total Cost = TC) Fungsi biaya total (TC) merupakan integral dari fungsi marginal (MC). Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut. ( ) ( )

7 Dalam pernyataan secara matematis diatas, k adalah sebagai biaya yang merupakan konstanta yang bersifat tetap. b. Fungsi penerimaan total (Total Revenue = TR) Fungsi penerimaan total merupakan integral dari fungsi marginal (MR). Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut. ( ) ( ) Dalam pernyataan diatas, k dalam hal ini sama dengan nol karena jika Q = 0 maka TR = 0.

8 DAFTAR PUSTAKA Chiang, Alpha C dan Kevin Waitwright Dasar-Dasar Matematika Ekonomi/edisi 4. Jakarta: Erlangga Listya, Tri Dewi Mudah dan Aktif Belajar Matematika. Jakarta: PT Setia Purna Inves Marsigit, dkk Matematika. Yogyakarta: Quadra Riwayati, Hedwigis Esti dan Markonah Matematika dan Ekonomi Bisnis 1. Jakarta: PT Grasindo

dokumen-dokumen yang mirip

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,