ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MENGIKUTI MODEL HOLLING TIPE III PADA SATU MANGSA DAN DUA PEMANGSA RACHMAT AGUSTIAN G

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MENGIKUTI MODEL HOLLING TIPE III PADA SATU MANGSA DAN DUA PEMANGSA RACHMAT AGUSTIAN G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 008

2 ABSTRACT RACHMAT AGUSTIAN. Analyss of Pedato-pey model followng Hollng type III model at one pey and two pedatos. Supevsed by N. K. KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO. One of natue occuence whch becomng cental topc of mathematcal modelng s emulaton to obtan food n eat and eaten events. Eate ceatue o known as a pedato wll look fo huntng o ecognzed wth pey utlze to suvve. Thee ae a lot of models depctng Pedato-pey events, such as: Lotka-Voltea model, Hollng Type II, and Hollng type III. In ths pape, we study Hollng type III model nvolvng one pey and two pedatos. All dynamcs populaton n ealy pecepton wll fluctuate whch gong to each stablty gadually. Pedato s populaton sze n stablzng system plays an mpotant pat, because of pey gowth whch not n contol can be stablzed wth amount populaton of pedatos. Fom esult stablty analyss of fxed pont, we obtaned thee goup of fxed pont such as: ( 0,0,0) cente odnate, T T at T K,0,0 at pey axs, and 3 = Sng λ. If K change, then dynamcs populaton wll changes too, but not n stablty of fxed pont. The thd goup of fxed pont afte eflectng to thee plane n space S, x, x, thee ae stable fxed ponts, unstable fxed ponts, saddle, and unstable spal.

3 ABSTRAK RACHMAT AGUSTIAN. Analss Model Mangsa-Pemangsa Mengkut Model Hollng Tpe III Pada Satu Mangsa dan Dua Pemangsa. Dbmbng oleh N. K. KUTHA ARDANA dan Al Kusnanto. Salah satu kejadan alam yang menjad topk sental pemodelan matematka yatu pesangan untuk mempeoleh makanan dalam pestwa makan dan dmakan. Makhluk hdup pemakan atau dkenal sebaga pemangsa (pedato) akan menca buuan atau dkenal dengan mangsa (pey) guna mempetahankan hdup. Tedapat banyak model yang menggambakan pestwa mangsa-pemangsa, sepet; model Lotka-Voltea, Hollng tpe II, dan Hollng tpe III. Dalam tulsan n dpelaja model Hollng tpe III yang melbatkan satu mangsa dan dua pemangsa. Semua dnamka populas d awal pengamatan akan befluktuas yang lambat laun akan mencapa kestablan. Ukuan populas pemangsa dalam menstablkan sstem memegang peanan pentng, dkaenakan petumbuhan mangsa yang tdak tekendal dapat dstablkan dengan jumlah populas pemangsa. Da hasl analss kestablan dpeoleh tga kelompok ttk tetap, yatu T ( 0,0,0) pada ttk pusat, T ( K,0,0) pada sumbu mangsa, dan T 3 = Sng λ. Jka K beubah, maka dnamka populas akan beubah pula, tetap tdak pada kestablan ttk tetap. Pada ketga kelompok ttk tetap tesebut setelah dlakukan pencemnan tehadap ketga bdang data pada uang S, x, x, tedapat ttk tetap stabl, ttk tetap tdak stabl, ttk tetap saddle, dan spal takstabl.

4 ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MENGIKUTI MODEL HOLLING TIPE III PADA SATU MANGSA DAN DUA PEMANGSA Skps sebaga salah satu syaat untuk mempeoleh gela Sajana Sans pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Petanan Bogo Oleh: RACHMAT AGUSTIAN G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 008

5 Judul : Analss Model Mangsa-Pemangsa Mengkut Model Hollng Tpe III Pada Satu Mangsa dan Dua Pemangsa. Nama : Rachmat Agustan NIM : G Menyetuju: Pembmbng I, Pembmbng II, I. N. K. Kutha Adana, M.Sc. NIP Ds. Al Kusnanto, M.S. NIP Mengetahu, Dekan Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Petanan Bogo D. dh. Hasm, DEA. NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahkan d Jakata pada tanggal 7 Agustus 985 sebaga anak petama da dua besaudaa, da pasangan Daswman dan Deswta. Penuls menyelesakan penddkan Sekolah Dasa pada tahun 997 d SD Nege 08 Pag Jakata, Sekolah Lanjutan Tngkat Petama Nege 73 Jakata tahun 000, Sekolah Menengah Umum Nege 37 Jakata tahun 003, kemudan masuk Insttut Petanan Bogo melalu jalu Undangan Seleks Masuk IPB dan dtema d Depatemen Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun yang sama. Selama mengkut pekulahan, penuls aktf menjad assten dosen untuk mata kulah Komputas Teapan pada tahun 005/006, assten pelathan Penganta Metode Komputas Sekolah Pascasajana Matematka Teapan S IPB tahun 006/007, salah satu tm akedtas Boang BAN-PT S Depatemen Matematka tahun 007/008, assten dosen untuk mata kulah Metode Komputas Sekolah Pascasajana Matematka Teapan S IPB tahun 007/008, penuls juga sempat menjad anggota aktf hmpunan pofes Gugus Mahasswa Matematka IPB sebaga staf Depatemen Infomas dan Komunkas pada tahun 004/005 seta staf Depatemen Keseketaatan pada tahun 005/006.

7 PRAKATA Puj dan syuku penuls panjatkan kepada Allah SWT yang senantasa membekan nkmat man seta nkmat slam, sehngga penuls dapat senantasa beada d jalan yang ddhonya. Lmpahan ahmat, hdayat dan kaunanya yang besa sehngga penuls dapat menyelesakan kaya lmah n. Shalawat seta salam tak lupa penuls panjatkan pada junjungan kta Nab Muhammad SAW, sahabat dan keluaga, seta paa pengkutnya hngga akh zaman. Ketebatasan dan ketdaksempunaan membuat penuls membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat da oang-oang, bak secaa langsung ataupun tdak langsung, bekontbus besa dalam pembuatan kaya lmah n. Oleh kaena tu penuls ngn mengucapkan asa tema kash yang sebesa-besanya kepada:. Oang tua tecnta yang selalu membekan dukungan seta doa estunya selama penuls menempuh penddkan selama n. Adkku tecnta, teuslah bejuang mencapa cta-cta. Juga keluaga besa yang selalu mendoakan.. I. N. K. Kutha Adana, M.Sc. dan Ds. Al Kusnanto, M.S. selaku pembmbng petama dan pembmbng kedua yang telah dengan saba membantu, membmbng, dan bebag lmu pengetahuannya kepada penuls. 3. D. Ton Bakhta, M.Sc. selaku penguj dan modeato semna. 4. Al Allamah Al Af Bllah Fadhllahtul Sayyd Da I Ilallah Al Habb Munz bn Fuad Al Musawa pmpnan Majels Ta lm Rasulullah SAW selaku guu besa sptual saya. 5. Sohbul Majels Ta lm Syababbun Nabawy: As Sayyd Al Habb Muhammad bn Alw Al Kaff, As Sayyd Al Habb Sholeh bn Salm Al Haddad, As Sayyd Al Habb Ja fa bn Salm Al Haddad, Al Ustadz M. Jaml, dan lannya. 6. Semua wanta yang telah mengs ha-ha penuls penuh dengan senyum, canda dan tawa. 7. Keluaga besa Red de Vlle: Sangebs, Rdwan, Stef, Buyung, D-Must, D-Ya, Tom, Azs, Pawa, dan Sao atas semua dukungannya. 8. Rsmanto dan Rusl yang telah banyak membantu dalam segala hal sehngga penuls dapat menyelesakan tugas akh n. 9. Puta, Be, dan Rusl sebaga pembahas yang telah membe ktk seta saannya dalam kesedaan menjad pembahas dalam semna. 0. Bella, Uwe, Acha, dan Ddk (hot 40) atas kesedaannya menjad elawan konsums.. Teman tongkongan Suta Palace, Pecel Lele dan Ayam Baka : Mang Suta, Ompong, Ucup, Bang Jon, G, Yud, Mang Ad Cadl, dan Ewn.. Fotokop Rub yang telah beseda depotkan dalam pebanyakan Kaya Ilmah n. 3. Rekan-ekan sejawat matematka angkatan 40 (Lbete da Fote) yang tdak bsa dsebutkan satu pesatu atas kecaan yang selama n kta asakan. 4. Rekan-ekan matematka 39, 4, dan 4 yang tdak bsa dsebutkan satu pesatu. 5. Seluuh Dosen Matematka IPB yang telah besusah payah membekan lmunya pada kam. 6. Staf Depatemen Matematka IPB (Bu Sus, Bu Mas, Bu Ade, Pak Bono, Pak Yono, Pak Juanda, Mas Den, dll.) yang senantasa menguus admnstas kam. 7. Seta seluuh phak-phak yang tdak dapat penuls sebutkan satu pe satu. Semoga kaya lmah n dapat membekan banyak manfaat, bak bag penuls maupun bag oang yang membaca kaya lmah n. Akhul kalam mn akhna fllah, Syukon Jazakumulla Khoan Katso. Wassalammu alakum waahmatullah wabaakatuh. Bogo, Janua 008 Rachmat Agustan

8 DAFTAR ISI halaman DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... x I PENDAHULUAN. Lata Belakang.... Tujuan....3 Sstematka Penulsan... II LANDASAN TEORI... III PEMBAHASAN 3. Peumusan Model Ttk Tetap Analss Kestablan Ttk Tetap... 8 IV SIMPULAN DAN SARAN... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... 3

9 x DAFTAR GAMBAR halaman. Kuva model logstk.... Medan aah dan potet fase... 5 S 0 = Ukuan populas mangsa pada waktu t untuk 4. Ukuan populas pemangsa pada waktu t untuk x ( 0 ) = Ukuan populas pemangsa pada waktu t untuk x = Gabungan gamba,, dan Medan vekto dan bdang fase pada bdang ( S, x, x ) Medan vekto dan bdang fase pada bdang ( x, S ) Medan vekto dan bdang fase pada bdang ( x, S )... 0 x, x Medan vekto dan bdang fase pada bdang DAFTAR LAMPIRAN halaman. Penuunan pesamaan (3.) menjad pesamaan (3.3) Penuunan pesamaan (3.3) menjad (3.4) Penuunan pesamaan (3.4) menjad (3.5) Bukt teoema Bukt teoema Bukt teoema Pogam Mathematca guna melhat hubungan state vaable dengan waktu Pogam Mathematca guna melhat medan aah dan bdang fase... 4

10 I PENDAHULUAN. Lata Belakang D alam tedapat banyak sekal jens makhluk hdup. Makhluk hdup tesebut akan menjalan seleks alam d mana yang kuat yang akan betahan. Salah satu kejadan yang dapat damat adalah pesangan untuk mempeoleh makanan dalam pestwa makan dan dmakan. Makhluk hdup pemakan atau dkenal sebaga pemangsa (pedato) akan menca buuan atau dkenal dengan mangsa (pey) guna mempetahankan hdup. Dalam tulsan n, pestwa tesebut damat pada dua pemangsa dan satu mangsa, beseta analss solusnya. Pesangan bag dua pemangsa dalam menca satu mangsanya dapat dmodelkan sebaga pemodelan tga dmens yang melbatkan tga vaabel state. Tedapat banyak model yang menggambakan pestwa mangsa-pemangsa, sepet; model Lotka-Voltea, Hollng tpe II, dan Hollng tpe III. Dalam penulsan kaya lmah n, penuls membatas d pada model Hollng tpe III, mengngat bahwa model n menggambakan secaa jelas penuunan tngkat pemangsaan pada saat kepadatan mangsa endah Model Hollng (Esenbeg dan Maszle, 995) untuk kal petama dpekenalkan oleh seoang lmuwan matematka benama Hollng pada tahun 959 dalam tulsannya yang bejudul Some chaactestcs of smple types of pedaton and paastsm.. Tujuan Tujuan utama penulsan n adalah menganalss solus model mangsa-pemangsa mengkut model Hollng Tpe III secaa gafs..3 Sstematka Penulsan Pada bab satu djelaskan lata belakang seta tujuan da penulsan kaya lmah n. Bab dua bes landasan teo yang menjad konsep dasa dalam penyusunan pembahasan. Bab tga akan membahas model pesamaan mangsa-pemangsa mengkut model Hollng tpe III, seta bab empat bes smpulan dan saan. II LANDASAN TEORI. Sstem Pesamaan Dfeensal Lnea Msalkan sebuah sstem pesamaan dfeensal (SPD) lnea dnyatakan sebaga: n x=ax+b, x( 0 ) = x0, x (.) dengan A adalah matks koefsen beukuan n n x n dan vekto konstan b, maka sstem tesebut dnamakan SPD lnea ode dengan konds awal x( 0 ) = x 0. Sstem (.) dkatakan homogen jka b = 0 dan takhomogen jka b 0. (Tu, 994). Sstem Pesamaan Dfeensal Mand Msalkan dbekan suatu sstem pesamaan dfeensal ode sebaga bekut: = f ( x, y), (.) y = g( x, y), dengan f dan g fungs kontnu benla eal da x dan y, dengan laju peubahan dan y dnyatakan dengan fungs x dan y send seta tdak beubah tehadap waktu, maka sstem (.) meupakan sstem pesamaan dffeensal mand..3 Metode Runge-Kutta Ode 4 (Vehulst, 990) Pandang masalah nla awal = f( t, x), t [ a, b], x( a) = x0 (.3) Solus numek da (.3) dapat dca dengan menggunakan fomula Runge-Kutta ode 4 sebaga bekut:

11 x = + h + 6 f + f + f + f dengan f = f t, x ( ) k k 3 4 k h h f = f tk +, xk + f h h f3 = f tk +, xk + f f = f + x + f ( t h, h ) 4 k k 3 k dan tk+ = tk + h untuk k = 0,,..., n ; b a h = ; n = banyaknya teas. n (Mathews, 99).4 Fungs Logstk Laju petumbuhan populas tdak tetap tetap begantung pada ukuan populas. Jka hal n djadkan asums, secaa matemats beat bahwa laju petumbuhan populas tu meupakan fungs ukuan populas dn = N = f N dt dengan f ( N ) meupakan fungs tuun jka N betambah besa. Nla f ( N ) membesa jka N mendekat nol. Bentuk palng sedehana da fungs f alah bentuk lnea yang dapat dbentuk sebaga bekut: jka N sangat kecl ( N 0), populas tumbuh secaa eksponensal dan setap ndvdu yang dtambahkan ke dalam populas akan mengakbatkan laju petumbuhan pe kapta tuun sebesa konstanta a, maka pesamaan dfeensal untuk petumbuhan populas akan menjad: dn an Ndt = dengan dan a meupakan konstanta postf. Pesamaan nlah yang dsebut model logstk. Ada caa lan yang dapat dgunakan untuk mempeoleh model logstk, yatu secaa eksplst memasukkan fakto daya dukung lngkungan ( k ). Jka dalam populas ada N ndvdu, maka lngkungan mash dapat mendukung k N ndvdu. Jad mash ada bagan lngkungan yang mash bsa ds, sebesa ( k N ). k Bagan nlah yang sebandng dengan petumbuhan pekapta. Oleh kaena tu dn ( k N ) dn ( k N ) = atau = N. Ndt k dt k Pada kasus nla awal N 0 < k, model logstk meamalkan bahwa ukuan populas nak dan memlk asmtot sebesa k. Gafk k model n memlk ttk belok d N =, k cekung ke atas jka N < dan cekung ke k bawah jka N >. Lhat Gamba. N k k / N 0 Gamba. Kuva Model Logstk.5 Model Hollng (Hasbuan, 988) Ada banyak model mangsa-pemangsa, salah satunya adalah model Hollng. Pada model Hollng tpe II, saat kepadatan populas mangsa endah, model tesebut menggambakan tngkat pemangsaan sebaga fungs nak da populas mangsa, sampa pada kepadatan mangsa yang tngg d mana tngkat konsums mencapa ttk jenuh. Hal n dsebabkan setap pemangsa hanya dapat memakan sejumlah kecl mangsa pada saat satu unt waktu. Model Hollng tpe III juga menggambakan tngkat petumbuhan pemangsa. Tetap pada model n dapat telhat jelas mengena penuunan tngkat pemangsaan pada saat kepadatan mangsa endah. Hal tesebut tdak dapat telhat pada model Hollng tpe II. Adapun tngkat petumbuhan mangsa pada model Hollng tpe II dan III dbekan pada fungs bekut: t

12 3 ( II ) ax F ( x) = + bx ( III ) ax F ( x) = + bx d mana ( II ) F : fungs Hollng II. ( III ) F : fungs Hollng tpe III a, b : konstanta x : jumlah populas mangsa (Esenbeg dan Maszle, 995).6 Nla Egen dan Vekto Egen Msalkan A adalah matks n x n. Sebuah n vekto tak nol x d dalam dsebut vekto egen da A, jka untuk sebuah skala λ, yang dsebut nla egen da A, belaku: Ax = λx. (.4) Vekto x dsebut vekto egen yang besesuaan dengan nla egen λ. Untuk menca nla egen da matks A yang beukuan n x n, maka pesamaan (.4) dapat dtulskan sebaga bekut: ( A λi) x = 0. (.5) dengan I matks denttas. Pesamaan (.5) mempunya solus tak nol jka dan hanya jka: det ( A λi ) = 0. (.6) Pesamaan (.6) dsebut pesamaan kaaktestk da A. (Anton, 995).7 Ttk Sngula Dbekan sebuah ttk ( ab, ) pada kuva f ( x, y ) = 0. Ttk ( ab, ) meupakan ttk sngula jka tuunan pasal da f tehadap x dan y keduanya benla nol pada ttk ( ab, ), yatu f ( a, b ) = 0 dan x fy a, b = 0. (Afken, 985).8 Ttk Tetap Dbekan SPD mand n = f ( x), x (.7) * * Ttk x dsebut ttk tetap jka f ( x ) = 0. Ttk tetap dsebut juga ttk kts atau ttk kesetmbangan. (Tu, 994).9 Ttk Tetap Stabl * Msalkan x adalah ttk tetap SPD x t adalah sebuah solus SPD mand dan mand dengan nla awal x ( 0) x 0 = dengan * * x 0 x. Ttk x dkatakan ttk tetap stabl jka untuk sebaang adus ρ > 0 tedapat > 0 sedemkan sehngga jka poss awal * x 0 memenuh x x < maka solus * x ( t ) memenuh t > 0..0 Ttk Tetap Takstabl Msalkan 0 x t x < ρ, untuk setap (Vehulst, 990) * x adalah ttk tetap sebuah SPD mand dan SPD mand dengan nla awal x ( 0) = x 0 x t adalah sebuah solus * dengan x 0 x. Ttk x * dkatakan ttk tetap takstabl jka tedapat adus ρ > 0 dengan c sebaga bekut: untuk sebaang > 0 tedapat poss awal x 0 memenuh * x x x t 0 <, beakbat solus * memenuh x ( t) x ρ, untuk palng sedkt satu t > 0. (Vehulst, 990)

13 4. Pelneaan Untuk suatu SPD taklnea, analss kestablannya dlakukan melalu model hasl pelneaan. Msalkan dbekan SPD taklnea sebaga bekut: = f( x). (.8) Dengan menggunakan ekspans Taylo untuk suatu ttk tetap x *, maka pesamaan (.8) dapat dtuls sebaga bekut: x=ax +ϕ ( x). (.9) Pesamaan tesebut meupakan SPD taklnea dengan A adalah matks Jacob, * A = Df x = Df x x= x* f f x x n a a n = = fn f n an a nn x x n ϕ x suku beode tngg yang besfat dan ϕ lm x = 0. Akbatnya pesamaan x 0 dfeensal (.9) dbekan sebaga bekut: = Ax. (.0) Pesamaan (.0) dsebut pelneaan da pesamaan dfeensal (.8). (Tu, 994). Analss Kestablan Ttk Tetap Msalkan dbekan SPD mand n = f( x), x (.) Selanjutnya, dlakukan pelneaan d sekta ttk tetap sesua dengan pesamaan (.9), sehngga dpeoleh pesamaan (.0). Analss kestablan SPD (.) dlakukan melalu analss kestablan SPD (.0). Penentuan kestablan ttk tetap ddapat dengan melhat nla-nla egen matks A, yatu: λ, =,..., n yang dpeoleh da det ( A λi ) = 0. Secaa umum kestablan ttk tetap mempunya tga pelaku sebaga bekut:. Stabl, jka a. Setap nla egen eal adalah negatf ( λ < 0 untuk setap ). b. Setap nla egen kompleks memlk negatf bagan eal atau sama dengan nol, ( Re( λ ) 0 untuk setap ).. Takstabl, jka a. Setap nla egen eal adalah postf atau sama dengan nol ( λ 0 untuk setap ). b. Setap nla egen kompleks memlk postf bagan eal, ( Re( λ ) > 0 untuk setap ). 3. Sadel, jka Pekalan dua buah nla egen eal sembaang adalah negatf ( λλ j < 0 untuk dan j sembaang). (Tu, 994).3 Invaan Msalkan E meupakan hmpunan bagan n tebuka da, msal ( E) menyatakan f tuunan pasal, dengan, j =,, n x j yang kontnu d E, dan msalkan φt : E E meupakan alan da sstem taklnea da pesamaan (.8) yatu tayekto fase da solus pesamaan tesebut. Sebuah hmpunan S E dsebut nvaan jka φt ( S ) S dan S dsebut nvaan postf (atau negatf) jka φt ( S ) S untuk semua t 0 (atau t 0 ). (Peko, 99).4 Manfold Msalkan E meupakan hmpunan bagan tebuka da n, msal f ( E) yatu f tuunan pasal, dengan, j =,, n x j yang kontnu d E, dan msalkan φt : E E meupakan alan da sstem taklnea da pesamaan (.8) yatu tayekto fase da solus pesamaan tesebut. Msalkan bahwa f ( 0) = 0 dan Df ( 0) yatu tuunan fungs da f mempunya k nla egen yang bagan ealnya benla negatf dan n k nla egen yang bagan ealnya benla postf. Maka tedapat suatu manfold S yang bedmens k yang tedfeensalkan dan besnggungan S dengan subuang stabl E da sstem lnea pada 0 sehngga untuk t 0, φt ( S ) S dan untuk setap x 0 S, lm φ ( x 0 ) = 0 ; n t

14 5 dan tedapat suatu manfold U yang n k yang tedfeensalkan bedmens dan besnggungan dengan subuang takstabl U E da sstem lnea pada 0 sehngga untuk setap t 0, φt ( U ) U dan untuk setap x 0 U, lm φ ( x ) = 0. n.5 Invaant Manfolds t 0 (Peko, 99) y x Hmpunan nvaant E dkatakan jka E nvaant manfold meupakan manfold pada.6 Tayekto Fase n. (Wggns, 990) Dbekan solus sstem pesamaan dfeensal sepet d bawah n: -3 Gamba. Medan Aah dan Potet Fase Da Gamba telhat adanya lntasan yang dtempuh oleh solus ( x, y ) seng bejalannya waktu. Lntasan n dsebut tayekto fase. Sedangkan ttk-ttk ekulbum dan tayekto fase tpkal dsebut potet fase. (Stewat, 998) III PEMBAHASAN 3. Peumusan Model Dalam penulsan kaya lmah n, model Hollng yang dgunakan adalah tpe III. Model n dplh kaena menggambakan secaa jelas penuunan tngkat pemangsaan pada saat kepadatan populas mangsa yang endah, d mana hal tesebut tdak telhat pada model Hollng tpe II. Model mangsa-pemangsa yang mengkut model Hollng tpe III dalam kaya lmah n melbatkan satu mangsa dan dua pemangsa dapat dtulskan sebaga bekut: ds S S = S = S m, x = dt K a + S dx S = = mx d,,, x = dt a + S (3.) d mana: S : banyaknya mangsa. x : banyaknya pemangsa ke-. : laju petumbuhan ntnsk. K : daya dukung lngkungan bag mangsa. m : laju kelahan pemangsa ke-. a : konstanta kejenuhan pemangsa ke-. d : laju kematan pemangsa ke-. dengan Km,,, a, d adalah paamete postf. Sstem pesamaan (3.) d atas menggambakan kepadatan da mangsa dengan waktu t dlambangkan dengan S( t ), dan dua pemangsa pada waktu t yang dlambangkan masng-masng dengan x ( t ), dan x ( t ). Bentuk da fungs pemangsa mengkut model kuva logstk, maka jka S menuju tak hngga, laju kelahan pemangsa pe kapta akan menuju m. Dalam hal n telhat jelas bahwa pemangsa ke- yang betahan hdup membutuhkan laju kelahan yang lebh tngg da laju kematan, asumskan: m b = >, =, d Oleh kaena tu, haus dpetmbangkan pemangsa dengan konstanta kejenuhan a yang endah; a < a dengan populas pemangsa ke- mula bekembang hanya jka uas kanan pada pesamaan ke dua pada sstem pesamaan (3.) adalah postf,

15 6 d S > S : = a = a ( m d ) ( b ) dengan asums : a d a d ST : = S = S = m d m d mengakbatkan: a a = b b kaena a a b = a a a b a < <, b b < b < b (3.) Model dnams sstem pesamaan (3.) dapat dsedehanakan dengan menggunakan uang vaabel nyata sebaga bekut : Ω= {( S, x, x) S, x 0, =,}, dengan memlh: K t a + S a + S t. ( )( ) selanjutnya dengan melakukan substtus vaabel d atas ke dalam sstem pesamaan (3.), sehngga sstem pesamaan menjad: ( )( ) ( ) S = S K S a + S a + S mk S a + S x mk S ( a + S ) x mk = S ( a + S ) x dk a S a S x ( + )( + ) mk = S ( a + S ) x + + dk a S a S x (3.3) Model sstem pesamaan (3.3) d atas deduks menggunakan paamete m m, d d K K, =,, dan dlakukan tansfomas lnea pada koodnat x x, sehngga sstem pesamaan (3.3) d menjad: ( )( ) ( ) S = S K S a + S a + S m S d a + S m S d a + S = ms a + S x d a + S a + S x = ms a + S x d a + S a + S x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (3.4) Sstem pesamaan (3.4) d atas kembal deduks menggunakan paamete { m md}, =,, sehngga sstem pesamaan menjad: ( )( ) ( ) ( ) S = S K S a + S a + S xms a + S xms a + S = xd a + S m S a = xd a + S m S a (3.5) Pada sstem pesamaan (3.5) d atas, dapat dlhat hubungan anta ukuan populas mangsa, pemangsa, dan pemangsa dengan waktu t yang dpeoleh menggunakan softwae Mathematca ves 6.0 dengan 3 paamete a =, a =, d = d =, m =, m =, dan K =

16 7 S.5 x t t Gamba 3. Ukuan populas mangsa pada S 0 =. waktu t untuk Gamba 3 d atas menjelaskan bahwa tngkat populas mangsa befluktuas d awal pengamatan dengan kecendeungan menak hngga mencapa kestablan. 4 3 x Gamba 5. Ukuan populas pemangsa pada waktu t untuk x =. ( 0) 0.0 Gamba 5 d atas menjelaskan bahwa pemangsa mengkonsums mangsa lebh banyak sehngga jumlah populas menak mengkut model kuva petumbuhan logstk. Da ketga gamba, yatu Gamba 3, Gamba 4, dan Gamba 5 telhat bahwa ukuan populas mencapa kestablan pada waktu t = 500. Untuk lebh jelasnya dapat dlhat pada Gamba 6 d bawah: S,x,x t 3 Pemangsa Gamba 4. Ukuan populas pemangsa pada waktu t untuk x =. ( 0 ) 3. Gamba 4 d atas menjelaskan bahwa pemangsa mengkonsums mangsa lebh sedkt sehngga lambat laun jumlah populasnya akan menuun mencapa kestablan mengkut model kuva peluuhan. Pemangsa Mangsa t Gamba 6. Gabungan Gamba 3, 4 dan 5.

17 8 3. Ttk Tetap Msalkan X menyatakan bdang vekto pada sstem pesamaan (3.5) yakn: X = P + Q + Q S x x maka kesngulaan da X dalam Ω dapat dnyatakan sebaga bekut: ( 0) ( 0) Sng X = P Q Ω = Pada penskalaan sebelumnya, telhat bahwa S = S pada sstem pesamaan (3.) dapat dubah menjad nla d = d =. a a = m m, dengan Ttk tetap yang akan dca, dpeoleh dengan menggunakan defns da ttk sngula. Sebelumnya dbekan teoema sepet bekut: Teoema. Dbekan =,. Jka λ = a a d a d m d m d =, m d d m d >,, maka hmpunan kesngulaan da sstem pesamaan (3.5) dnyatakan dengan Sng ( X ) = {( 0,0,0 )(, K,0,0) } Sng λ d mana; ( S, x, x) S = λ K, Sngλ = λ( K λ) x x = 0, x 0, =, Bukt (lhat Lampan 4). Da teoema d atas dpeoleh ttk tetap : T = S = 0, x = 0, x = 0. (, 0, 0) T = S = K x = x = Dan T 3 yang dpeoleh da Sng λ. Bedasakan ttk tetap yang dpeoleh d atas dapat dlakukan analss kestablannya. 3.3 Analss Kestablan Ttk Tetap Pada bagan n akan danalss kestablan ttk tetap da sstem pesamaan (3.5). (,, ) = ( )( + )( + ) xms ( a + S ) xms ( a + S ) (,, ) = ( + ) ( ) P S x x S K S a S a S Q S x x xd a S m S a (,, ) Q S x x = x d a + S m S a Dengan demkan bentuk lnea da sstem pesamaan (3.5) adalah x=ax dengan x = S, x, x dan A meupakan matks Jacob bekut: P P P S x x Q Q Q A = S x x Q Q Q S x x dengan a a a 3 = a a a 3 a a a x= T x= T ( K S) S ( a S ) ( K S)( a S )( a S ) S( a S )( a S ) 3 ms x ms( a S ) x 3 ms x m S( a S ) x. ( ) ds ( a ( m) S ) x ( ) ds ( a ( m) S ) x d( a S )( a ( m) S ) a = K S S a + S a = d + m S a + S x a = d + m S a + S x 3 a = ms a + S a a = 0 a = m S a + S a = = 0 ( ( ) ) a = d a + S a + + m S 33 Sstem pesamaan (3.5) dapat dtulskan menjad:

18 9 3 Melalu uj paamete a =, a =, d = d =, m =, m =, dan K = 4, 5 5 dpeoleh ttk tetap: Untuk T ( S 0, x 0, x 0) = = = = dengan matks Jacob A = Pesamaan kaaktestk da A adalah: det A λi = 0, atau λ+ 0.48λ λ = 0 Ddapat nla egen da A adalah: λ = 0.96 λ = 0.4 λ = Untuk T ( S 4, x 0, x 0) = = = = dengan matks Jacob: A = Pesamaan kaaktestk da A adalah: det A λi = 0, atau + λ λ λ = * Ddapat nla egen da A adalah: λ = λ = 99.6 λ = Selanjutnya akan dpeksa kestablan da nla ttk tetap menggunakan teoema d bawah n. Teoema. Da sstem pesamaan (3.5):. Pada koodnat ( S, x, x ) dalam 3, sumbu seta koodnat bdang meupakan nvaant manfolds da sstem pesamaan (3.5).. Ttk tetap da koodnat ( S, x, x ) meupakan ttk tetap saddle. Pada sumbu S tdak stabl, sedangkan pada sumbu x, =, stabl.. Jka λ K, maka pada ttk sngula K meupakan ttk tetap saddle. (,0,0) Pada K K,0,0 meupakan ttk tetap tdak stabl pada sumbu x, =,, sedangkan pada sumbu S, meupakan ttk tetap stabl. Bukt (lhat Lampan 5). λ < d sekta ttk Bekut n akan dbekan gamba bdang fase pada sstem pesamaan (3.5) dengan uj 3 paamete a =, a =, d = d =, m =, m =, dan K = 4 menggunakan 5 5 tools Dynpac 0.7 pada Softwae Mathematca ves 5.. Pada bdang (,, ) S x x..00, m, m, d, d <=9 4.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% , , Gamba 7. S x Medan vekto dan bdang fase S, x, x. pada bdang Pada Gamba 7, telhat bahwa kuva akan membesa seng bejalannya waktu. 4

19 0 Pada bdang ( x, S ). Pada bdang (, ) x x..00, m, S m, d, d<=9 4.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% , ,.5.00, m, x m, d, d<=9 4.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% , , Gamba 8. x Medan vekto dan bdang fase x S. pada bdang, Gamba 8 d atas meupakan cemnan da Gamba 7 pada dua dmens bdang ( x, S ). D mana pada suatu λ < K tedapat ttk tetap besfat spal tdak stabl. Pada bdang ( x, S )..00, m, S m, d, d<=9 4.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5.00, $%%%%%%%%%%%%%%%%%%% , , x Gamba 0. Medan vekto dan bdang fase x, x. pada bdang Gamba 0 d atas meupakan cemnan da Gamba 7 pada dua dmens pada bdang x, x. Selanjutnya dengan menggunakan teoema d bawah n, dapat dtunjukkan bahwa sstem pesamaan (3.) tebatas pada vaabel nyata Ω. Teoema 3. Msal dbekan fungs: B t = S t + x t + x t dengan,, S t x t x t adalah sstem pada pesamaan (3.). Jka S K, maka B ( t ) < 0. In membuktkan bahwa tayekto da sstem akan melewat bdang S + x+ x = C da lua ke dalam. Jka konstanta C cukup besa, maka sstem pesamaan (3.) tebatas d Ω. Bukt (lhat Lampan 6). Gamba 9. x Medan vekto dan bdang fase x S. pada bdang, Gamba 9 d atas meupakan cemnan da x S. Gamba 7 pada dua dmens bdang,

20 IV SIMPULAN DAN SARAN 4. Smpulan Model mangsa-pemangsa mengkut model Hollng tpe III menggambakan pelaku petumbuhan dalam sstem yang ted atas populas mangsa seta populas dua pemangsa. Da hasl uj paamete yang dbekan pada sstem pesamaan (3.5) dengan menggunakan tools Softwae Mathematca ves 6.0, dpeoleh dnamka populas pemangsa yang mengkonsums mangsa lebh sedkt beakbat lambat laun jumlah populasnya akan menuun hngga mencapa kestablan mengkut model kuva peluuhan. Pada pemangsa, dnamka jumlah populas menak dengan asums bahwa pemangsa n mengkonsums mangsa lebh banyak mengkut model kuva petumbuhan logstk Pada model mangsa, dnamka populas bak petumbuhan maupun kematan begantung pada pesangan pemangsa dan pemangsa dan juga lambat laun akan mencapa kestablan. Ukuan populas pemangsa dalam menstablkan sstem memegang peanan pentng, dkaenakan petumbuhan mangsa yang tdak tekendal dapat dstablkan dengan jumlah populas pemangsa. Dengan menngkatnya populas pemangsa, mengakbatkan populas mangsa bekuang dan akhnya membuat sstem stabl. Analss yang dgunakan yatu analss kestablan ttk tetap menggunakan defns ttk sngula. Da analss kestablan dpeoleh 3 kelompok ttk tetap, yatu kelompok ttk tetap petama T = S = 0, x = 0, x = 0, kelompok ttk { } tetap kedua T = { S = K, x = 0, x = 0} dengan K konstanta postf, dan kelompok ttk tetap ketga yang dpeoleh da Sng λ. Jka K beubah, maka dnamka populas akan beubah pula, tetap tdak pada kestablan ttk tetap. Pada ketga kelompok ttk tetap tesebut setelah dlakukan pencemnan tehadap ketga bdang data pada uang S, x, x, tedapat ttk tetap stabl, ttk tetap tdak stabl, ttk tetap saddle, dan spal takstabl. 4. Saan Saat n telah bekembang model Hollng tpe IV guna memodelkan pestwa mangsapemangsa. Tdak menutup kemungknan jka topk n dkembangkan dengan mengambl model Hollng tpe IV. V DAFTAR PUSTAKA Anton, H Aljaba Lnea Elemente. Eds ke-5. Tejemahan Pantu Slaban dan I Nyoman Susla. Elangga, Jakata. Afken, G Mathematcal Methods fo Physcsts 3 d ed. Academc Pess, pp and Olando, Floda. Esenbeg, J. N. & Don R. M The Stuctual Stablty of a Thee-Speces Food Chan Model. J. of Theo. Bol. 76: Hasbuan, K. M Pemodelan Matematka d Dalam Bolog Populas. PAU Ilmu Hayat IPB, Bogo. Mathews, J. H., 99. Numecal Methods fo Mathematcs, Scence and Engneeng. Pentce-Hall, London Peko, L. 99. Dffeental Equatons and Dynamcal System, Texts n Appled Mathematcs, vol. 7. Spnge-Velag, New Yok. Saez, E., Eduado S. & Ivan S Smultaneous Zp Bfucaton and Lmt Cycles n Thee Dmensonal Competton Models. SIAM J. Appled Dynamcal Systems. Vol. 5, No., pp. -.

21 Stewat, J Kalkulus. Susla, I. N & Henda G (penejemah). Elangga, Jakata. Stogatz, S. H Nonlnea Dynamcs and Chaos, Wth Applcatons to Physcs, Bology, Chemsty, and Engneeng. Addson-Wesley Publshng Company, Readng, Massachusete. Vehulst, F Nonlnea Dffeental Equaton and Dynamcal System. Spnge-Velag, Hedelbeg, Gemany. Wggns, S Intoducton to Appled Nonlnea Dynamcal Systems and Chaos. Spnge-Velag, New Yok Tu, P. N. V Dynamcal System, An Intoducton wth Applcaton n Economcs and Bology. Spnge-Velag, Hedelbeg, Gemany.

22 L A M P I R A N 3

23 4 LAMPIRAN Penuunan sstem pesamaan (3.) menjad sstem pesamaan (3.3) Untuk menyedehanakan model da sstem pesamaan (3.) dgunakan uang vaabel nyata {(,, ), 0,, K Ω= Sx x Sx = }. Dengan memlh t ( a + S )( a + S ) t dpeoleh sstem pesamaan (3.3). Da pesamaan (3.): Substtuskan pesamaan bekut pada sstem pesamaan (3.): K S ( a + S )( a + S ) S K x ( a + S )( a + S ) x Pada model mangsa: S S S = S mx K = a + S S S S = S mx m x K a + S a + S K Substtuskan S ( a + S )( a + S ) S pada pesamaan d aatas, dpeoleh: K S K S = ( a + S )( a + S ) S m ( a + S )( a + S ) x K a + S K S m ( a + S )( a + S ) x a S ( + ) ( ) K mk mk = KS( a + S )( a + S ) S ( a + S )( a + S ) S ( a + S ) x S ( a + S ) x K mk mk S = S( K S)( a + S )( a + S ) S ( a + S ) x S ( a + S ) x Pada model pemangsa : S = mx dx a + S K x a + S a + S x pada pesamaan d atas, dpeoleh: K S K = m ( a + S )( a + S ) x d ( a + S )( a + S ) x a + S Substtuskan ( ) mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x

24 5 Pada model pemangsa : S = mx dx a + S K x a + S a + S x pada pesamaan d atas, dpeoleh: = K dk m a S x ( a S )( a S ) x mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x Substtuskan Hasl d atas dapat dtuls kembal menjad sstem pesamaan (3.3) mk mk S = S( K S)( a + S )( a + S ) S ( a + S ) x S ( a + S ) x mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x

25 6 LAMPIRAN Penuunan sstem pesamaan (3.3) menjad sstem pesamaan (3.4) Dengan meeduks paamete m m, d d, =,, seta tansfomas lnea pada K K x koodnat x ke dalam sstem pesamaan (3.3), dpeoleh sstem pesamaan (3.4). d Da pesamaan (3.3): Pada model mangsa: mk mk S = S( K S)( a ) + S a + S S a + S x S ( a + S ) x m K x mk x = S( K S)( a + S )( a + S ) S ( a + S ) S ( a + S ) K d K d dpeoleh: ms m S = S( K S)( a + S )( a + S ) ( a + S ) x S ( a + S ) x d d Pada model pemangsa : mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x K K dpeoleh: ( ) ( )( = ) x ms a S x d a S a S x Pada model pemangsa : mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x mk dk = S ( a + S ) x ( a + S )( a + S ) x K K dpeoleh: ( ) ( )( = ) x m S a S x d a S a S x Hasl d atas dapat dtuls kembal menjad sstem pesamaan (3.4): m m S = S( K S)( a + S )( a + S ) S ( a + S ) x S ( a + S ) x d d = ms a + S x d a + S a + S x = m S a + S x d a + S a + S x

26 7 LAMPIRAN 3 Penuunan sstem pesamaan (3.4) menjad sstem pesamaan (3.5) Dengan meeduks kembal menggunakan paamete { m md }, =, ke dalam sstem pesamaan (3.4), dpeoleh sstem pesamaan (3.5). Da pesamaan (3.4): Pada model mangsa: m m S = S K S a + S a + S S a + S x S a + S x d d md md = S K S a + S a + S S a + S x S a + S x d d dpeoleh: S = S K S a + S a + S xms a + S x m S a + S ( )( ) ( ) ( ) Pada model pemangsa : = ms a + S x d a + S a + S x = mds a + S x d a + S a + S x = xd ms a + S a + S a + S = xd a + S ms a + S = xd a + S ms a S dpeoleh: ( ) = xd a + S m S a Pada model pemangsa : = m S a + S x d a + S a + S x = mds a + S x d a + S a + S x = x d m S a + S a + S a + S = xd a + S ms a + S dpeoleh: ( ) x = xd a + S S m a Hasl d atas dapat dtuls kembal menjad sstem pesamaan (3.5): S = S K S a + S a + S x m S a + S x m S a + S ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = x d a + S m S a = x d a + S m S a

27 8 LAMPIRAN 4 Bukt Teoema : Da pesamaan (3.) dengan paamete d = ; =,, dpeoleh : a d a d ST : = S = S = m m Msalkan untuk kasus S = λ pada S > S : = a λ = a = a = a = a a = m m d m d m m d m d d, dpeoleh: m d Bentuk d atas dapat dtuls kembal sebaga bekut: a d a d a a = = m d m d m m m > d m > d a λ = a λ = m d m a Dalam pencaan ttk sngula da sstem pesamaan (3.5), dapat dtuls pesamaan sebaga bekut: ds S = = 0, dx = = 0, dan = dx = 0 dt dt dt Nyatakan bahwa ( m ) S = a ms S = a xms xs = xa xms = xa + xs xms = x a + S, =, Da pesamaan kedua pada sstem pesamaan (3.5), dpeoleh: = xd ( a + S ) ( m ) S a = 0 xd ( a + S ) a a = 0 = 0 x = 0 = 0

28 9 Da pesamaan ketga pada sstem peamaan (3.5), dpeoleh: = xd( a + S ) ( m ) S a = 0 xd a + S a a = 0 = 0 x = 0 0 Da pesamaan petama pada sstem peamaan (3.5), dpeoleh: S = S K S a + S a + S xms a + S x m S a + S = 0 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) S K S a + S a + S = xms a + S + x m S a + S xms xms S( K S) = + a S a S S K S = x + x + + S K S = 0, kaena x = 0 dan x = 0 S = 0 S = K Dpeoleh bahwa ttk sngula pada pesamaan (3.5) adalah ( 0,0,0 ) dan (,0,0) Mengngat ( ) K. xms = x a + S, =,, pesamaan petama pada sstem pesamaan (3.5) menjad: S = S K S a + S a + S xms a + S x m a + S ( )( ) ( ) ( ) S( K S)( a S )( a S ) x( a S )( a S ) x( a S )( a S ) ( a S )( a S ) S( K S) x x = = + + Jka λ K, da S( K S) = x+ x pada penyelesaan pencaan ttk tetap pesamaan petama pada (3.5), dapat dgambakan kuva sepet bekut: x K x + x = 0 0 λ K λ = x + x kaena S = λ, x S S = λ Ilustas Teoema. {(,, ), 0, 0,, } Sngλ = S x x S = λλ K λ x x = x = tebukt

29 0 LAMPIRAN 5 Bukt Teoema :. Pada koodnat S, x, x dalam 3, sumbu seta koodnat bdang meupakan nvaant manfolds da sstem pesamaan (3.5) Bukt : X = P + Q + Q S x x X ( S,0,0) = ( S ( K S )( a + S )( a + S ) 0 0) S X ( 0, x,0) = ( xd( a + 0) ( m ) 0 a ) x... X ( 0, x, x ) = ( xda a ) ( x da a ) x x X ( S,0,0) = S ( K S )( a + S )( a + S ) S X ( 0, x,0) = ( xda a ) x... X ( 0, x, x ) ( ) ( = xda a x da a ) x x tebukt. Dapat dtulskan kembal sstem pesamaan(3.5) sebaga bekut: (,, ) = ( )( + )( + ) ( + ) ( + ) (,, ) = ( + ) ( ) P S x x S K S a S a S xms a S x m S a S Q S x x xd a S m S a (,, ) Q S x x = xd a + S m S a Dengan melakukan tuunan untuk setap fungs tehadap state vaable, dpeoleh: P P P S x x a a a3 Q Q Q DX = = a a a3 S x x a3 a3 a 33 Q Q Q S x x dengan : a = K S S a + S + K S S a + S + K S a + S a + S 3 ( )( ) ( ) 3 ( ). ( ) ( ) S a + S a + S m S x m S a + S x m S x m S a + S x a = d + m S a + S x + d S a + + m S x a = d + m S a + S x + d S a + + m S x 3

30 ( ( ) ) a = ms a + S a = d a + S a + + m S a = 0 a = m S a + S a = 0 ( ( ) ) a = d a + S a + + m S 33 Dengan memasukkan ttk sngula (,, ) ( 0,0,0) S x x =, bentuk matks menjad: a a K 0 0 DX ( 0,0,0) = 0 a a d a a d K 0 0 = a a 0 d d K, a, d > 0; =, tebukt. Dengan memasukkan ttk sngula ( S, x, x ) ( K,0,0) a a a3 DX ( K,0,0) = 0 a a 33 a a Da Teoema dpeoleh: λ = λ =. m m Maka a > 0, =, 3, dengan; a λ = m ( m ) a λ ( m ) λ = a + = 0 =, sehngga bentuk matks menjad: a + K m > 0, kaena λ < K 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0 a = K a + K a + K < a = d a + K a + K + m = d a + K a + m K > a = d a + K a + K a + K + m 33 = d a + K a + m K > tebukt

31 LAMPIRAN 6 Bukt Teoema 3: Pada fungs B() t S() t x ( t) x ( t) bekut: B = S + + = + +, tuunannya tehadap t dapat dtulskan sebaga S S S S S = S mx mx + mx dx + mx d x K a + S a + S a + S a + S S = S dx dx K = S ( K S ) d x d x K Msalkan S K B t = S t + x t + x t <, sehngga sstem pesamaan (3.) tebatas, maka () 0 d Ω kaena S K tebukt

32 3 Lampan 7 Pogam dtuls dan djalankan pada Mathematca ves 6.0 ü Pogam Mathematca guna melhat hubungan state vaable dengan waktu d = d = ;H laju kematan untuk pemangsa dan pemangsa L m = 7 ;H laju kelahan pemangsa L 5 m = 8 ;H laju kelahan pemangsa L 5 a = 5 ;H konstanta kejenuhan pemangsa L 3 a = ;H konstanta kejenuhan pemangsa L 5 K = 4;H daya tampung mangsa L tmax = 000;H waktu maksmum L H Menyelesakan model secaa Numek L sol = NDSolveA9S'@tD S@tD HK S@tDL Ia + HS@tDL M Ia + HS@tDL M m x@td HS@tDL Ia + HS@tDL M m x@td HS@tDL Ia + HS@tDL M, x'@td d x@td Ia + HS@tDL M IHm L HS@tDL a M, x'@td d x@td Ia + HS@tDL M IHm L HS@tDL a M, S@0D, x@0d 3., x@0d 0.0=, 8S@tD, x@td, x@td<, 8t, 0, tmax<, DependentVaables 8S, x, x<, MaxSteps E; 8pey, ped, ped< = 8S@tD, x@td, x@td< ê. Flatten@solD; H Membangktkan data L data = Table@pey, 8t, 0, tmax<d; data = Table@ped, 8t, 0, tmax<d; data3 = Table@ped, 8t, 0, tmax<d; H Menamplkan gafk untuk data L gaf = LstPlot@data, PlotStyle 8RGBColo@, 0, 0D, Thckness@0.000D<, AxesLabel 8"t", "S"<, Joned Tue, AspectRato, PlotRange 880, 500<, 80, Max@dataD<<, ImageSze 300D H Menamplkan gafk untuk data L gaf = LstPlot@data, PlotStyle 8RGBColo@0,, 0D, Thckness@0.000D<, AxesLabel 8"t", "x"<, Joned Tue, AspectRato, PlotRange 880, 500<, 80, Max@dataD<<, ImageSze 300D H Menamplkan gafk untuk data3 L gaf3 = LstPlot@data3, PlotStyle 8RGBColo@0, 0, D, Thckness@0.000D<, AxesLabel 8"t", "x"<, Joned Tue, AspectRato, PlotRange 880, 500<, 80, Max@data3D<<, ImageSze 300D H Menamplkan keseluuhan gafk yang ada L Show@gaf, gaf, gaf3, AxesLabel 8"t", "S,x,x"<, DsplayFuncton $DsplayFuncton, PlotRange 880, 500<, 80, 5<<, ImageSze 300D

33 4 Lampan 8 Pogam dtuls dan djalankan pada Mathematca ves 5. ü Pogam Mathematca guna melhat medan aah dan bdang fase ü Langkah awal H Memeksa ves da Paket DynPac L sysd Mathematca 5..0, DynPac 0.7, ê6ê008 H Meeset semua vaabel benla ntege yang ada L nteset; H Meeset semua gamba yang ada L ploteset; H Menyatakan state vaables L setstate@8s, x, x<d; H Menyatakan vaabel yang dbutuhkan L setpam@8k, a, a, m, m, d, d<d; H Menyatakan fungs L slopevec = 8S HK SL Ha + S L Ha + S L x m S Ha + S L x m S Ha + S L, x d Ha + S L HHm L S a L,x d Ha + S L HHm L S a L<; H Konstanta da paamete L pamval = 94, $%%%%%% 5, $%%%%%% 3 5, 7 5, 8 5,,=; H Pembean nama sstem L sysname = "PedatoPey"; H Konds awal da state vaabel L ntvec = 8, 3., 0.0<; H Waktu konds awal, basanya 0 L t0 = 0.0; H Selang ntegal L wndow = , 0.5<, 8 0.5, 0.5<, 8 0.5, 0.5<<; H Kenakan waktu bekutnya L h = sugtmestep@wndowd

34 5 H Banyak langkah ntegal L nsteps = 000; H Pehtungan ntegal L sol = ntegate@ntvec, t0, h, nstepsd; ü Plot gamba bdang S, X, X H Aspek aso da gafk 3 D L boxat = 8,, <; H Menggambakan bdang fase 3 D L gaph = phaseplot3d@sol,,,3d; ü Plot gamba bdang X, S H Aspek aso da gafk D L aspat =.0; H Jaak sumbu L plange = 88, 4.5<, 80,.5<<; H Membuat panah dalam gafk bdang fase L aowflag = Tue; H Letak da panah dalam bdang fase L aowvec = 9 3 =; H Menggamba bdang fase D pada sumbu x,s L gaphxypoj = phaseplot@sol,,d; ü Plot gamba bdang X, S H Aspek aso da gafk D L aspat =.0; H Membuat panah dalam gafk bdang fase L aowflag = Tue; H Letak da panah dalam bdang fase L aowvec = 9 3 =; H Jaak sumbu L plange = 880, 0.05<, 80,.5<<; H Menggamba bdang fase D pada sumbu x,s L gaphxzpoj = phaseplot@sol,3,d;

35 6 ü Plot gamba bdang X, X H Aspek aso da gafk D L aspat =.0; H Membuat panah dalam gafk bdang fase L aowflag = Tue; H Letak da panah dalam bdang fase L aowvec = 9 3 =; H Jaak sumbu L plange = 88, 4.5<, 80, 0.05<<; H Menggamba bdang fase D pada sumbu x,x gaphyzpoj3 = phaseplot@sol,,3d; L