MODEL SUMBER - KONSUMEN. Oleh : UMI HIDAYATI G

Transkripsi

1 MODEL SUMBER - KONSUMEN Oleh : UMI HIDAYATI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

2 ABSTRAK UMI HIDAYATI. Model Sumber Konsumen. D bawah bmbngan PAIAN SIANTURI dan ANNIS D. RAKSANAGARA. Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dmodelkan melalu dua pendekatan model yatu, model Indvdual Survval (IS) dan model Bomass Converson (BC). Masng-masng model mempunya kekurangan dan kelebhan yang berbeda karena setap model melhat hubungan antara sumber dengan konsumen dar ss yang berbeda. Oleh karena tu para ahl ekolog sepakat untuk membuat suatu teor tunggal ekolog sumber konsumen dengan menggunakan elemen-elemen dar kedua model. Teor tunggal ekolog sumber konsumen yatu berbuny bahwa hubungan antara sumber dengan konsumen harus dgambarkan melalu proses terjadnya konvers bomassa, mempunya struktur yang sama pada sumber dan konsumen dan dapat memberkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs. Teor tunggal ekolog sumber konsumen menghaslkan model baru yang lebh bak dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, yatu model sumber konsumen. Model sumber konsumen n akan menghaslkan dua kasus khusus yatu, model Lesle dan model Berryman. Model Lesle adalah model yang tergantung pada raso lnear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sedangkan model Berryman adalah model yang tdak tergantung pada raso lnear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Oleh karena tu model Berryman dsebut sebaga model yang dapat menggambarkan terjadnya konvers bomassa dar sumber ke konsumen. 2

3 MODEL SUMBER KONSUMEN Skrps Sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sans pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Oleh : Um Hdayat G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAAN BOGOR

4 Judul : MODEL SUMBER KONSUMEN Nama : Um Hdayat NRP : G Menyetuju : Pembmbng I, Pembmbng II, Dr. Paan Santur Dra. Anns D. Raksanagara, M.S. NIP NIP Mengetahu : Dekan Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S NIP Tanggal Lulus : 4

5 Selalu Perksa Keadaan Batnmu Menggunakan Raja dar Hatmu Tembaga Tdak Pernah Mengetahu Drnya Tembaga, Sebelum Ia Berubah Menjad Emas Cnta Kashmu Tdak Akan Mengenal Rajanya, Sebelum Ia Menyadar Ketdakberdayaannya (Jalaludn Rum) Hanya Kepada Mu Kam Mengabd dan Hanya Kepada Mu Kam Mohon Pertolongan Kupersembahkan Karya Tuls n Teruntuk Pahlawan Tanpa Tanda Jasa 5

6 PRAKATA Alhamdulllah, puj syukur penuls panjatkan kepada Allah SWT, karena dengan zn dan karuna Nya lah penuls dapat menyelesakan karya lmah n. Shalawat dan salam tdak lupa penuls panjatkan kepada Rasul Allah, keluarga serta pengkut nya sampa akhr zaman. Terma kash penuls ucapkan kepada pembmbng pertama, yatu Dr. Paan Santur yang telah berseda meluangkan waktu dan membmbng penuls dengan sabar. Terma kash juga kepada pembmbng kedua, yatu Dra. Anns D. Raksanagara, M.S. atas waktu dan krtkan yang membangun. Serta terma kash kepada Drs. Al Kusnanto, M.S. sebaga moderator dan penguj dalam semnar dan sdang penuls. Ucapan terma kash juga penuls sampakan kepada keluarga, yatu Bapak, Mama, Tante Tt, Abang Komar, Mba Eko, Adk Ipur, Adk Iyut, Adk Dw, Bude dan Pade yang telah menjad nspras dalam menjalankan hdup dan sebaga motvator dalam hdup. Terma kash kepada teman-teman penuls, yatu Dan, Un sweet, Andr, Cch, Ech, Dw, Nta, Ka Danu, Ka Iqbal, Ka Eko, Gres, Melnda, DC, Nove, Am, Alng dan Suam, teman-teman Marwah : Dana, Dan, Ran, Dn Sof, Tatr, Nna, Mba Dan, Mfa, teman-teman Mutazzah, dan teman-teman lan yang khlaf tak tersebutkan. Terma kash kepada staf TU Departemen Matematka, yatu Bu Sus, Bu Ade, Mas Den, Bu Mars, Mas Yono. Dan ucapan terma kash terakhr penuls sampakan pada semua phak yang penuls lupa untuk menyebutkannya. Akhr kata, semoga karya lmah n dapat bermanfaat bag setap orang yang membacanya. Amen. Bogor, 7 Februar 2006 Um Hdayat 6

7 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Jakarta, tanggal 29 September 1981 sebaga anak kedua dar tga bersaudara dar Almarhum Waluyo dan Ibu Awyah. Tahun 1999 penuls lulus dar SMU Neger 83 Jakarta dan pada satu tahun berkutnya penuls dterma d Insttut Pertanan Bogor melalu jalur UMPTN sebaga mahasswa Departemen Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. Semasa kulah, penuls aktf dalam kegatan organsas d Insttut Pertanan Bogor, yatu dantaranya sebaga bendahara GUMATIKA IPB (Gugus Mahasswa Matematka Insttut Pertanan Bogor) perode 2001/2002, anggota Departemen Anggaran Dvs Kewrausahaan BEM FMIPA IPB (Badan Eksekutf Mahasswa Fakultas Matematka dan Ilmu pengetahuan Alam Insttut) perode 2002/2003, dan Bendahara Mozac Sans (Bazaar, pameran dan apresas sen) BEM FMIPA perode 2003 dan sebaga ketua BURSA buku BEM FMIPA IPB perode Penuls juga pernah bekerja freelance sebaga Intervewer Executve MARK PLUS tahun 2004, Intervewer Q Mark Profesonal tahun Selan tu penuls juga pernah magang d PT. Caprcorn Mars Indotama bulan Jul Agustus 2005, Freelance d PT. Caprcorn Mars Indotama bulan September 2005 Januar Dan sekarang penuls bekerja sebaga Assstent Research Executve PT. Caprcorn Mars Indotama. 7

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL...v DAFTAR GAMBAR...v DAFTAR LAMPIRAN...v I. PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan...1 II. LANDASAN TEORI...1 III. PEMODELAN MATEMATIKA Model Indvdual Survval (IS) Model Bomass Converson (BC)...2 IV. PEMBAHASAN Tpe-tpe Pertumbuhan, Tngkat Ekstras, dan Fungs Konvers Tpe-tpe Pertumbuhan ( G ) Tpe-tpe Ekstras Sumber (H ) Tpe-tpe Fungs Konvers ( f (H ) ) Kekurangan dan kelebhan model IS dan model BC Kekurangan model IS dan model BC Kelebhan model IS dan model BC Model Sumber Konsumen...9 V. SIMPULAN...12 DAFTAR PUSTAKA...12 LAMPIRAN

9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Tpe Pertumbuhan Tpe Ekstras Sumber Tpe Fungs konvers...3 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafk Pertumbuhan Eksponensal Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Lnear Grafk Pertumbuhan Gompertz Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Nonlnear Grafk Fungs Konvers Lnear Grafk Fungs Konvers Sgmod Grafk Fungs Konvers Hperbolk...8 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program Pembuatan Grafk Pertumbuhan Eksponensal Program Pembuatan Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Lnear Program Pembuatan Grafk Pertumbuhan Gompertz Program Pembuatan Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Nonlnear Program Pembuatan Grafk Fungs Konvers Lnear Program Pembuatan Grafk Fungs Konvers Sgmod Program Pembuatan Grafk Fungs Konvers Hperbolk

10 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Jarng-jarng makanan adalah gabungan dar beberapa ranta makanan yang salng terkat. Sedangkan ranta makanan adalah gabungan dar beberapa sumber dan konsumen. Untuk membentuk model jarngjarng makanan dapat dmula dengan melhat hubungan antara sumber dengan konsumen dalam suatu ranta makanan. Dalam satu dekade terakhr terdapat kontrovers dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Modelmodel yang salng kontrovers tersebut adalah model Indvdual Survval (IS) dengan model Bomass Converson (BC). Masng-masng pendukung model merasa bahwa modelnya adalah yang palng tepat dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Hal n terlhat dengan adanya krtkan-krtkan dar kedua pendukung model. Karya lmah n akan membahas mengena kedua model dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, kekurangan dan kelebhan kedua model serta perbakan-perbakan yang perlu dlakukan. Gambar kurva pada karya lmah n menggunakan software Mathematca 5.1. Nla parameter yang dgunakan pada tulsan n adalah berdasarkan jurnal Resource Consumer Model and The Bomass Converson Prncple (Ramos dan Jlberto, 2005) dan beberapa nla parameter yang dplh sendr. 1.2 Tujuan Tujuan dar karya tuls n adalah untuk menunjukkan bahwa hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dgambarkan melalu satu model saja. BAB II LANDASAN TEORI Defns 1 : Sstem Persamaan Dferensal Mandr. Suatu sstem persamaan dferensal (SPD) dnyatakan sebaga : dx = x n = f (x), x R (1) dengan f fungs kontnu bernla real dar x dan mempunya turunan parsal kontnu. SPD tersebut dsebut SPD Mandr (autonomous) jka tdak memuat waktu (t) secara eksplst d dalamnya. [Tu, 1994] Defns 2: Persamaan dengan peubah terpsah. Suatu persamaan dferensal orde pertama dapat dubah ke dalam bentuk : g ( y) y = f ( x) dy dengan manpulas aljabar. Karena y =, dx maka dapat dtuls ke dalam bentuk : g ( y) dy = f ( x) dx. (2) [Tu, 1994] Defns 3 : Pengntegralan Persamaan Peubah Terpsah. Persamaan (2) tersebut d atas, jka dntegralkan maka ddapat bentuk : g ( y) dy = f ( x) dx + c (3) dengan fungs f dan g adalah fungs kontnu, maka persamaan (3) tersebut akan ada. [Kreyszg, 1993] Defns 4 : Pengntegralan Suatu Peubah. Untuk x >0 maka : 1 dx = ln x + c, x > 0. (4) x [Kreyszg, 1993] Defns 5 : Fungs Eksponen Asl. Untuk x >0 blangan real sebarang maka ln e x = x (5) dan untuk x sebarang, berlaku ln e x = x. (6) [Kreyszg, 1993] 10

11 BAB III PEMODELAN Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dmodelkan dengan dua pendekatan model sebaga berkut : 3.1 Pendekatan model IS (Indvdu Survval) Andakan hanya terdapat satu sumber dengan satu konsumen maka hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut dapat dmodelkan dengan model IS sebaga berkut : dx1 = G1 x1 Hx2 (7) dx 2 = G2x (8) 2 dengan : x 1 = Populas sumber. x 2 = Populas konsumen. G 1 = Fungs pertumbuhan perkapta sumber tanpa ada nteraks dengan tngkat yang lebh tngg dalam ranta makanan. H = H ( x 1 ) = Tngkat ekstras sumber per unt konsumen atau dsebut sebaga fungs respon. G 2 = G 2 ( x 1 ) = Fungs pertumbuhan perkapta konsumen tanpa ada nteraks dengan tngkat yang lebh tngg dalam ranta makanan. Bentuk umum dar model IS untuk populas ke - adalah sebaga berkut : = G x H +1 x+1 (9) untuk = 1, 2, dengan : x = Populas ke -. x +1 = Populas ke ( + 1). H +1 = Tngkat ekstras sumber ke - per unt konsumen ke ( + 1) atau dsebut sebaga fungs respon. G = G ( x 1) = Fungs pertumbuhan perkapta populas ke - tanpa ada nteraks dengan tngkat yang lebh tngg dalam ranta makanan. 3.2 Pendekatan model BC (Bomass Converson) Andakan hanya terdapat satu sumber dengan satu konsumen maka hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut dapat dmodelkan dengan model BC sebaga berkut : dx1 = G1 x1 Hx2 (10) dx 2 = f ( H ) x (11) 2 dengan : x 1 = Populas sumber. x 2 = Populas konsumen. G 1 = Fungs pertumbuhan perkapta sumber tanpa ada nteraks dengan tngkat yang lebh tngg dalam ranta makanan. H = H ( x 1 ) f (H ) = Tngkat ekstras sumber per unt konsumen atau dsebut sebaga fungs respon. = Fungs konvers dar ekstras sumber. Bentuk umum dar model BC untuk populas ke - adalah sebaga berkut : = f ( H ) x H + 1x+ 1 (12) untuk = 1, 2, dengan : x = Populas ke -. x +1 = Populas ke ( + 1). H +1 = Tngkat ekstras sumber ke - per unt konsumen ke ( + 1) atau dsebut sebaga fungs respon. f ( H ) = Fungs konvers dar ekstras sumber (H ). Perbedaan antara model IS dengan model BC adalah terletak pada pengungkapan formal dar G 2. Bentuk G 2 pada model IS (lhat persamaan (8)) adalah ddasarkan pada tngkat pertambahan ntrnsk perkapta. Sedangkan bentuk G 2 pada model BC (lhat persamaan (11)) adalah merupakan fungs eksplst dar tngkat ekstras sumber yang bergantung pada ketersedaan sumber. 11

12 Tpe pertumbuhan (G) dsajkan dalam tabel 1 d bawah n : Model Tpe 1.1 a Eksponensal, tanpa batas 1.2 a b x Logstk dengan 1.3 a b ln x β 1.4 a b Tabel 1 : Tpe pertumbuhan G. x pembatas dr lnear Gompertz dengan Pembatas dr nonlnear Logstk dengan pembatas dr β 1 nonlnear ( ) Keempat tpe pertumbuhan datas, jka dsubsttuskan ke dalam persamaan (9) dengan asums bahwa tdak ada ekstras pada populas sumber, yatu dx = G x, (13) maka keempat tpe pertumbuhan tersebut adalah sebaga berkut : Pertumbuhan Eksponensal tanpa batas adalah bentuk pertumbuhan yang terus menngkat karena laju pertumbuhan populas perkaptanya tdak dbatas oleh apapun, yatu dx = a. x Pertumbuhan Logstk dengan pembatas dr lnear adalah bentuk pertumbuhan dengan laju pertumbuhan populas perkaptanya berkurang secara lnear, dx yatu = a bx. x Pertumbuhan Gompertz dengan pembatas dr nonlnear adalah pertumbuhan dengan laju populas perkaptanya berkurang secara nonlnear, yatu dx = a b ln x. x Pertumbuhan Logstk dengan pembatas dr nonlnear adalah pertumbuhan dengan laju populas perkapta yang berkurang secara nonlnear, yatu dx β = a bx, β 1. x Berkurangnya laju populas pada pertumbuhan d atas adalah karena adanya kompets antara ndvdu dalam populas tersebut. Tpe ekstras sumber (H) dsajkan dalam tabel 2 sebaga berkut : Model Tpe 2.1 Φ Konstan 2.2 φ x 1 Bergantung secara lnear terhadap sumber (Lotka Volterra) 2.3 x 1 Bergantung secara φ x lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen Tabel 2 : Tpe ekstras H. Tpe (2.1) adalah ekstras sumber yang konstan. Tpe (2.2) adalah ekstras yang bergantung secara lnear terhadap sumber atau mangsa, yatu dengan x 1 sebaga populas sumber atau mangsa. Tpe (2.3) adalah ekstras yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen, yatu dengan x 1 sebaga populas sumber dan x sebaga populas konsumen. Tpe fungs konvers ( f (H ) ) dsajkan dalam tabel 3 sebaga berkut : Model Tpe 3.1 mh + w Lnear 3.2 σ v + v Sgmod γ ( ) Z 1+ H k 1 H 3.3 ( ) ρ Hperbolk Tabel 3 : Tpe fungs konvers f(h ) Tpe (3.1) pada tabel 3 adalah fungs konvers yang berbentuk lnear, dengan w sebaga tngkat pertumbuhan perkapta dan m sebaga graden kurva. Tngkat pertumbuhan perkapta tersebut dapat bernla negatf ketka konsums menuju nol. Tpe (3.2) pada tabel 3 adalah fungs konvers yang berbentuk sgmod. Dengan σ sebaga asmtot pertumbuhan maksmum, v sebaga tngkat pertumbuhan mnmum, z sebaga graden kurva dan γ sebaga parameter yang mengndkaskan ttk perubahan pada sumbu konsums ketka z > 1. Tngkat pertumbuhan mnmum pada fungs konvers n dapat bernla negatf ketka konsums menuju nol. Tpe (3.3) pada tabel 3 adalah fungs konvers yang berbentuk hperbolk dengan ρ sebaga batas atas kurva dan k sebaga syarat pemelharaan atau tngkat konsums mnmum yang dbutuhkan untuk mempertahankan pertumbuhan nol. 12

13 x Karya lmah n akan membahas mengena tpe-tpe G, H, dan f (H ), menganalss kekurangan dan kelebhan kedua model (model IS dan model BC), serta perbakan-perbakan yang perlu dlakukan untuk memperbak model. BAB IV PEMBAHASAN Model umum IS mengandung G, H dan x (lhat persamaan (9)). Sedangkan model BC mengandung f(h), H dan x (lhat persamaan (12)). Sehngga dengan otomats model IS akan menggunakan tpe-tpe dar G dan H (dalam tabel 1 dan tabel 2). Sedangkan model umum BC akan menggunakan tpe-tpe dar H dan f(h) (dalam tabel 2 dan tabel 3). Bentuk pertumbuhan G dapat dtunjukkan dengan menggunakan asums bahwa tdak ada ekstras pada persamaan (9) sehngga persamaan (9) menjad : dx = G x. (13) Sedangkan fungs konvers (f(h)), dapat dtunjukkan dengan menggunakan asums bahwa tdak ada ekstras pada persamaan (12) maka persamaan (12) berubah menjad : = f ( H ) x. (14) 4.1 Tpe-tpe Pertumbuhan ( G ), Tngkat Ekstras (H), dan Fungs Konvers ( f (H ) ) Tpe-tpe Pertumbuhan ( G ) Tpe pertumbuhan yang dbahas pada karya lmah n ada empat tpe, yatu pertumbuhan eksponensal, pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear, pertumbuhan gompertz, dan pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear. Untuk mengetahu tpe pertumbuhan tersebut secara lebh detal maka dapat menggunakan persamaan umum IS (persamaan (9)) dengan asums bahwa tdak ada ekstras pada populas sumber, yatu dx = G x. (13) Pertumbuhan eksponensal ddapat dar mensubsttus persamaan (1.1) dalam tabel 1, yatu G = a ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjad : dx = a x. Pengntegralan pada persamaan tersebut akan menghaslkan pertumbuhan eksponensal nak, yatu: a t x ( t) = x (0) e, a > 0. Msalkan nla parameter yang dgunakan adalah a = 1, dan x [ 0 ] = 3. Maka dperoleh kurva pertumbuhan eksponensal sebaga berkut (lhat gambar 1): x Gambar 1. Pertumbuhan eksponensal dengan x[0]=3. Gambar 1 menunjukkan bahwa populas pada pertumbuhan n akan terus menngkat serng dengan menngkatnya waktu. Populas pada pertumbuhan n realsts untuk waktu yang kecl. Tetap dalam waktu yang besar populas tdak realsts karena jumlah populas sangat besar. Pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear dtunjukkan dengan mensubsttus persamaan (1.2) dalam tabel 1, yatu G = a - bx ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjad, = ( a b x ) x. Msalkan nla parameter yang dgunakan 1 alah a = 3 dan b =, maka dperoleh grafk 2 pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear sebaga berkut (lhat gambar 2) : t 13

14 x Gambar 2. Pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear, dengan x[2]=3. Gambar 2 menunjukkan bahwa tngkat populas pada konds maksmum dan mnmum adalah konstan. Hal n menunjukkan bahwa laju pertumbuhan pada tngkat tersebut adalah rendah. Pada tngkat maksmum laju pertumbuhan populas rendah karena adanya persangan yang tngg dalam populas tersebut. Selan tu karena populas mencapa ttk jenuh. Sedangkan pada tngkat mnmum adalah karena tdak adanya sumber. Pertumbuhan gompertz dperoleh dar mensubsttus persamaan (1.3) dalam tabel 1, yatu G = a b ln x ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjad: = ( a b ln x ) x. Msalkan nla parameter yang dgunakan 1 alah a = 3 dan b =. Maka dperoleh salah 2 satu lustras kurva pertumbuhan gompertz sebaga berkut : x Gambar 3. Pertumbuhan Gompertz dengan a = 3 dan b = ½. Gambar 3 menunjukkan bahwa tngkat populas pada pertumbuhan n akan terus menurun serng dengan bertambahnya waktu. Hal n adalah tdak realsts. Pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear dperoleh dar mensubsttus persamaan (1.4) dalam tabel 1, yatu β G = a bx ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjad: β = ( a bx ) x, β 1. t t Msalkan nla parameter yang dgunakan 1 alah a = 2, b =, dan β = 2. Maka 100 dperoleh salah satu lustras kurva pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear adalah sebaga berkut : x t Gambar 4. Pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear, dengan x[0] = 1. Gambar 4 menunjukkan bahwa tngkat populas pada konds maksmum adalah konstan. Hal n menunjukkan bahwa laju pertumbuhan pada tngkat tersebut adalah rendah. Pada tngkat maksmum laju pertumbuhan populas rendah karena adanya persangan yang tngg dalam populas tersebut. Selan tu karena populas sudah mencapa ttk jenuh. Perbedaan antara pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear dengan pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear adalah terletak pada laju pertumbuhan perkaptanya. Laju perkapta pada pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear adalah laju perkapta yang dx berkurang secara lnear, yatu = a bx. x Sedangkan laju perkapta pada pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear adalah laju perkapta yang berkurang secara dx β nonlnear, yatu = a bx, β 1. x Dar keempat tpe pertumbuhan d atas maka tpe pertumbuhan yang dapat memperlhatkan adanya tngkat jenuh dalam populas adalah pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear dan pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear. Selan tu kedua pertumbuhan tersebut juga memperlhatkan efek dar tdak adanya sumber. 14

15 4.1.2 Tpe-tpe Ekstras Sumber (H ) Bentuk ekstras sumber yang akan dbahas dalam karya lmah n ada tga tpe yatu, ekstras sumber yang berbentuk konstan, ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap mangsa, dan ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen. Ekstras sumber yang berbentuk konstan, yatu H = Φ. Tpe n menunjukkan bahwa konsumen akan selalu mengekstras sumber dalam jumlah yang konstan. Ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap sumber, yatu H = φ x 1. Tpe tersebut menunjukkan bahwa tngkat ekstras oleh konsumen akan dpengaruh oleh banyaknya populas sumber. Sehngga jka populas sumber menngkat maka tngkat ekstrasnya juga akan menngkat. Sedangkan jka populas sumber menurun maka tngkat ekstrasnya juga akan menurun. Ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan x 1 konsumen, yatu H = φ. Ekstras x tersebut menunjukkan bahwa jka populas sumber menurun karena dkonsums oleh konsumen maka hal n menyebabkan adanya kenakan bomassa pada bomassa konsumen. Dar ketga ekstras sumber datas, maka ekstras sumber yang memperlhatkan adanya konvers bomassa dalam hubungan antara sumber dengan konsumen adalah ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen Tpe-tpe Fungs Konvers ( f H ) ) ( Fungs konvers pada karya lmah n adalah merupakan fungs yang mengkonvers bomassa dar sumber ke konsumen. Fungs konvers yang akan dbahas dalam karya lmah n ada tga tpe, yatu fungs konvers lnear, fungs konvers sgmod, dan fungs konvers hperbolk. Untuk mengetahu bentuk fungs konvers maka dgunakan persamaan umum BC, yatu f H ) x H x (12) = ( dengan asums bahwa tdak ada ekstras pada sumber maka persamaan (12) berubah menjad : = f ( H ) x. (14) Persamaan (14) akan membantu dalam mengetahu bentuk fungs konves lnear, sgmod, dan hperbolk. Fungs konvers lnear, yatu f ( H ) = mh + w. Jka persamaan tersebut dsubsttuskan ke dalam persamaan (14) maka laju perkapta menjad, = mh + w. x Fungs konvers lnear mempunya w sebaga tngkat pertumbuhan perkapta dan m sebaga graden kurva. Tngkat pertumbuhan perkapta dapat bernla negatf saat konsums menuju nol. Jka pertumbuhan perkapta tdak dapat bernla negatf saat konsums menuju nol maka yang terjad adalah sebaga berkut : Jka w > 0, dan konsums menuju nol (H 0) maka persamaan = mh + w x berubah menjad = w, w > 0. x Jka persamaan tersebut dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan eksponensal nak, yatu wt x ( t) = x (0) e, w > 0. Pertumbuhan n menunjukkan bahwa populas tersebut akan terus menngkat serng dengan menngkatnya waktu walaupun konsums menuju nol. Pertumbuhan n tdak realsts karena tdak mungkn pertumbuhan suatu populas akan terus menngkat saat tngkat konsums menuju nol. Jka w = 0 dan konsums menuju nol dx (H 0) maka persamaan = mh + w x berubah menjad, = 0. x Jka persamaan tersebut dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan yang konstan, yatu x ( t) = c. Pertumbuhan n menunjukkan bahwa pertumbuhan konsumen akan selalu konstan walaupun tngkat konsums menuju nol. Pertumbuhan n tdak realsts karena tdak mungkn suatu populas dapat mempertahankan pertumbuhan pada tngkat tertentu saat konsums menuju nol (atau saat sumber tdak ada). Oleh karena tu, seharusnya w dapat bernla negatf saat konsums menuju nol. Karena ketka w bernla negatf (w < 0) dan 15

16 saat konsums menuju nol (H 0) maka dx persamaan = mh + w berubah menjad, x = w, w < 0. Jka persamaan tersebut x dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan populas konsumen yang menurun secara wt eksponensal, yatu x ( t) = x (0) e, w < 0. Pertumbuhan n realsts karena saat tngkat konsums menuju nol maka pertumbuhan populas akan sult untuk dpertahankan. Berdasarkan nla parameter dar jurnal, yatu m = 0,01 dan w = -0,1, maka dperoleh kurva fungs konvers lnear sebaga berkut (lhat gambar 5) : f(h) H Gambar 5. Kurva fungs konvers lnear, dengan parameter m = 0,01 dan w = - 0,1. Fungs konvers sgmod, yatu σ v f ( H ) = + v. Jka persamaan z γ 1 + H tersebut dsubsttuskan ke dalam persamaan (14) maka laju perkapta berubah menjad σ v = + v. Fungs konvers x z γ 1+ H sgmod mempunya v sebaga tngkat pertumbuhan mnmum, z sebaga graden kurva (dengan z > 0), σ sebaga asmtot pertumbuhan maksmum, dan γ sebaga parameter ndkas perubahan pada sumbu konsums saat z > 1. Pertumbuhan mnmum pada fungs konvers n dapat bernla negatf saat konsums menuju nol. Jka pertumbuhan mnmum pada fungs konvers n tdak dapat bernla negatf maka yang terjad adalah sebaga berkut (dengan z > 0) : Jka v bernla postf ( v > 0 ) dan konsums menuju nol ( H 0 ) maka σ v persamaan = + v x z γ 1+ H berubah menjad = v, v > 0. x Jka persamaan tersebut dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan eksponensal nak, yatu vt x ( t) = x (0) e, v > 0. Pertumbuhan tersebut menunjukkan bahwa populas akan terus menngkat walaupun konsums menuju nol. Pertumbuhan n tdak realsts karena pertumbuhan populas akan sult menngkat saat tngkat konsums menuju nol. Jka v bernla nol ( v = 0 ), dan konsums menuju nol ( H 0 ) maka persamaan σ v = + v berubah menjad x z γ 1+ H dx = 0. Jka persamaan tersebut dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan yang konstan, yatu x ( t) = c. Pertumbuhan n tdak realsts karena suatu populas akan sult dalam mempertahankan pertumbuhan pada tngkat tertentu saat konsums menuju nol. Oleh karena tu v haruslah bernla negatf saat konsums menuju nol sehngga σ v persamaan = + v berubah x z γ 1 + H menjad = v, v < 0. Jka persamaan x tersebut dntegralkan maka dperoleh pertumbuhan populas yang menurun secara vt eksponensal, yatu x ( t) = x (0) e, v < 0. Berdasarkan nla parameter dar jurnal, yatu z = 4, σ = 1, v = 0, 1, dan γ = 50, maka dperoleh kurva fungs konvers sgmod sebaga berkut (lhat gambar 6) : 16

17 f(h) H Gambar 6. Kurva fungs konvers Sgmod, dengan parameter z = 4, σ = 1, v = 0,1, dan γ = 50. Fungs konvers terakhr yang dbahas dalam karya lmah n adalah fungs konvers k hperbolk, yatu f ( H ) = ρ 1. Fungs H konvers n mempunya ρ sebaga batas atas kurva dan k sebaga syarat pemelharaan atau tngkat konsums mnmum yang dbutuhkan untuk mempertahankan pertumbuhan nol. Defns nla k tersebut menunjukkan bahwa tdak ada sumber alternatf lan yang dapat mensubsttus sumber tetap. Sumber tetap adalah sumber yang dapat dperbaharu dan sumber habs adalah sumber yang tdak dapat dperbaharu. Fungs konvers hperbolk dapat memperlhatkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs. Jka sumber tetap yang habs maka konsumen tdak akan mengkonsums sumber lan. Sehngga pertumbuhan konsumen mencapa pertumbuhan nol. Sedangkan jka sumber habs yang habs maka konsumen akan mengkonsums sumber lan. Sehngga pertumbuhannya tdak mencapa pertumbuhan nol. Berdasarkan nla parameter dar jurnal, yatu ρ = 1 dan k = 20 maka dperoleh kurva fungs konvers hperbolk sebaga berkut (lhat gambar 7) : H f(h) Gambar 7. Kurva fungs konvers Hperbolk, dengan ρ = 1 dan k = 20. Dar ketga fungs konvers d atas maka fungs konvers yang dapat memperlhatkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs adalah fungs konvers hperbolk. 4.2 Kekurangan dan kelebhan model IS dan model BC Kekurangan model IS dan model BC. Model IS mempunya kekurangan, yatu tdak mengasumskan bahwa reproduks konsumen bergantung pada ekstras sumber ( H 2 ) (atau persamaan (8) tdak mengandung H 2 ). Selan tu, model IS juga tdak mempunya konds eksplst dmana konsumen (x 2 ) mencapa tngkat jenuh dalam populas. Hal n terlhat pada persamaan laju konsumen bernla postf terhadap drnya sendr tanpa dbatas oleh apapun (lhat persamaan (8)). Model BC mempunya kekurangan, yatu laju pertumbuhan populas konsumen (x 2 ) akan mendekat saat konsums (H) menuju nol. Kekurangan n terlhat jka fungs konvers hperbolk (persamaan (3.1) dalam tabel 3) dsubsttuskan ke dalam persamaan laju populas konsumen model BC, dx2 yatu = f ( H ) x2, maka persamaan dx2 k tersebut menjad, = ρ 1 x2. Ketka H konsums menuju nol maka laju populas konsumen akan mendekat. Hal n tdak realsts karena seharusnya laju populas konsumen mendekat negatf berhngga saat konsums menuju nol sepert pada fungs konvers lnear dan sgmod sebaga berkut : Fungs konvers lnear : Jka fungs konvers lnear, yatu f ( H ) = mh + w dsubsttuskan ke dalam persamaan (11) maka laju populas konsumen dx2 menjad = ( mh + w) x2, w < 0. Saat konsums menuju nol (H 0) maka populas konsumen akan menurun secara eksponensal, wt yatu x 2 ( t) = x2 (0) e, w < 0. 17

18 Fungs konvers sgmod : Jka fungs konvers sgmod, yatu σ v f ( H ) = + v dsubsttuskan ke z γ 1+ H dalam persamaan (11) maka laju populas konsumen berubah menjad : dx 2 σ v = + v x2, v < 0. z γ 1+ H Saat konsums menuju nol maka populas konsumen akan menurun secara eksponensal, vt yatu x 2 ( t) = x2 (0) e, v < Kelebhan model IS dan model BC Kelebhan model IS, yatu memberkan stuktur yang sama pada persamaan sumber dan konsumen. Kelebhan model BC, yatu adanya penggambaran terjadnya proses konvers bomassa dar sumber ke konsumen dalam hubungan antara sumber dengan konsumen. Hal n terlhat pada model BC yang mengandung fungs konvers ( f (H ) ). 4.3 Model Sumber Konsumen Ahl ekolog membuat kesepakatan tentang teor tunggal ekolog sumber konsumen. Teor n berguna untuk menentukan model dasar dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Teor tersebut menggunakan elemen dar model IS dan model BC. Teor tunggal ekolog sumber konsumen berbuny bahwa model yang menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut haruslah mengkut prnsp konvers bomassa, mempunya struktur yang sama pada persamaan sumber dan konsumen, dan dapat memberkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs. Beberapa prosedur untuk membangun model sumber konsumen, yatu sebaga berkut : 1. Menentukan pertumbuhan dan ekstras sumber, yatu persamaan (7) atau persamaan (9) sebaga berkut : dx1 = G1x1 Hx2 (7) atau G x H x. (9) = Menentukan persamaan populas konsumen dengan asums bahwa ketersedaan terhadap sumber yang dapat dperbaharu adalah tdak terbatas sepert pada G 2 dalam persamaan (8). 3. Menentukan maksmum dar G 2, yatu berkorespondens dengan parameter a 2 (untuk kasus yang terdaftar dalam tabel 1). Kemudan djadkan sebaga salah satu fungs f yang ada d tabel 3. Dengan tngkat ekstras (H) yang telah dplh sebelumnya dalam tabel 2. Prosedur d atas menghaslkan model sumber konsumen, yatu sebaga berkut : β = [ f ( H ) b x ] x H + 1x+ 1, ( 15) dengan : x = Populas ke. f ( H) = Fungs pertumbuhan perkapta. bx β = Batasan pada kompets sumber tetap yang essensal. H + 1 x +1 = Fungs ekstras sumber ke oleh konsumen ke ( + 1). Persamaan (15) merupakan model sumber konsumen yang telah sesua dengan teor tunggal ekolog sumber konsumen. Persamaan tersebut mengkut prnsp konvers bomassa, yatu dengan adanya fungs konvers ( f (H ) ) sebaga fungs pertumbuhan perkapta. Selan tu persamaan tersebut juga mempunya struktur yang sama untuk sumber dan konsumen serta dapat memberkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs. Perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs terlhat dar adanya bx β sebaga batasan pada sumber tetap yang essensal. Sumber tetap adalah sumber yang dapat dperbaharu. Jka sumber tetap habs maka konsumen tdak akan memakan sumber lan. Hal n menyebabkan adanya batasan 18

19 pada pertumbuhan yang dsebabkan oleh ketersedaan sumber tetap. Sedangkan sumber habs adalah sumber yang tdak dapat dperbaharu. Jka sumber habs yang habs maka konsumen akan memakan sumber lan. Sehngga ketersedaan sumber habs tdak akan menjad batasan pada pertumbuhan. Model sumber konsumen yang dhaslkan juga merupakan model BC karena menggunakan fungs konvers ( f (H ) ). Perbedaan antara model sumber konsumen dengan model BC adalah terletak pada defns f (H ). f (H ) pada model BC adalah merupakan fungs konvers, yatu fungs yang mengkonvers bomassa dar sumber ke konsumen. Sedangkan f (H ) pada model sumber konsumen adalah merupakan fungs pertumbuhan perkapta. Jka menggunakan beberapa asums pada model sumber konsumen maka dperoleh dua kasus khusus, yatu sebaga berkut : Kasus khusus A : Model sumber konsumen untuk populas tngkat, dengan 2, yatu β = [ f ( H ) b x ] x H + 1x+ 1 ( 15). Jka menggunakan beberapa asums, yatu bahwa : Tdak ada konsumen tngkat tngg, yatu x +1 = 0. Maka tdak ada ekstras sumber oleh konsumen tngkat tngg. Pertumbuhan dalam konds yang tdak terbatas, yatu b = 0. Persamaan (15) tersebut akan berubah menjad : = f ( H ) x. ( 16) Lalu plh : Fungs konvers hperbolk (persamaan (3.3)) dalam tabel 3, yatu k f ( ) = ρ 1. Memlh fungs n H ( ) H karena fungs konvers hperbolk mempunya batas atas kurva sebaga konds eksplst dmana populas konsumen telah mencapa ttk jenuh. Selan tu, fungs n juga memberkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs. Ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen (persamaan (2.3)) x 1 dalam tabel 2, yatu φ. Ekstras n x dplh karena menggambarkan terjadnya konvers bomassa dar sumber ke konsumen dalam hubungan antara sumber dengan konsumen, yatu jka terjad ekstras terhadap populas sumber maka akan terjad perpndahan bomassa dar sumber ke konsumen. Berdasarkan fungs konvers hperbolk dan ekstras sumber yang bergantung lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen maka persamaan (16) berubah menjad: k kx = = ρ 1 x ρx 1. (17) x 1 φx φ 1 x Kemudan dengan menentukan r = ρ dan φ n = maka persamaan (17) menjad sebaga k berkut : dx x x = = ρ x 1 r 1 x (18) φ x k 1 n x 1 dengan : x = Populas ke -. x = Populas ke - ( 1 ). 1 r = Maksmum tngkat pertumbuhan perkapta. n = Koefsen kebergantungan terhadap raso antara tngkat kenakan ekstras sumber dengan syarat pemelharaan konsumen. Persamaan (18) dsebut sebaga model Lesle. Model Lesle mengasumskan bahwa batas atas fungs konvers hperbolk sebaga tngkat maksmum pertumbuhan perkapta, yatu r = ρ. Selan tu model Lesle juga mempunya koefsen kebergantungan raso antara tngkat kenakan ekstras sumber (φ ) dengan syarat pemelharaan konsumen (atau tngkat konsums mnmum yang dperlukan dalam mempertahankan pertumbuhan nol ( k ). Hal n mengmplkaskan bahwa kompets ntrapopulas model Lesle hanya akan dbatas oleh sumber makanan. 19

20 Kasus Khusus B : Model sumber konsumen untuk populas ke -, yatu β = [ f ( H ) b x ] x H + 1x+ 1. (15) Jka pada persamaan (15) tersebut dasumskan bahwa : Pembatas pada pertumbuhan populas ke - adalah lnear, yatu β = 1, Fungs konversnya adalah hperbolk dengan pusat d nol, yatu k f = ( H ) ρ 1 (persamaan (3.3) H dalam tabel 3), Ekstras sumber ke - (-1) oleh konsumen ke - adalah bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan x 1 konsumen, yatu H = φ (persamaan x (2.3) dalam tabel 2), Ekstras sumber ke - oleh konsumen ke - (+1) adalah konstan, yatu H +1 = Φ (persamaan (2.1) dalam tabel 2), maka model sumber konsumen (persamaan (15)) berubah menjad : dx kx = 1 ρ b x x Φx+ 1 (19). φx 1 Kemudan dengan menentukan a = ρ, φ c = dan d = Φ, maka persamaan (19) ρk akan menjad sebaga berkut : dx x d x+ = x a b x 1 c x 1 x (20) dengan : x = Populas ke -. x = Populas ke - ( 1 ). 1 x = Populas ke - ( + 1 ). +1 c = Efek kerusakan dar kompets terhadap sumber makanan. a = Tngkat pertumbuhan potensal perkapta. Persamaan (20) dsebut sebaga model Berryman. Model Berryman mengasumskan bahwa batas atas fungs konvers hperbolk (ρ) sebaga tngkat pertumbuhan potensal perkapta. Selan tu, model Berryman juga memperlhatkan bahwa efek kerusakan dar kompets terhadap sumber adalah berbandng lurus dengan efsens ekstras sumber dan berbandng terbalk dengan batas atas kurva fungs hperbolk dan syarat pemelharaan φ konsumen, yatu c =. ρk Model Berryman menunjukkan hal yang berbeda dar model Lesle, yatu bahwa proses ekstras sumber ke - ( 1) oleh konsumen ke - adalah dpengaruh oleh proses ekstras sumber ke - oleh konsumen ke - ( + 1 ). Jad model Berryman tdak bergantung pada raso lnear antara sumber dengan konsumen yang konstan. Sedangkan model Lesle bergantung pada raso lnear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Oleh karena tu model Berryman dapat dnyatakan sebaga model yang dapat menggambarkan terjadnya konvers bomassa dar sumber ke konsumen. 20

21 BAB V SIMPULAN Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dgambarkan melalu dua pendekatan model, yatu model IS dan model BC. Model IS mengandung G, H dan x. Sedangkan model BC mengandung f(h), H, dan x. Bentuk pertumbuhan (G) dalam karya lmah n ada empat tpe, yatu pertumbuhan eksponensal, pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear, pertumbuhan gompertz dan pertumbuhan logstk dengan pembatas dr nonlnear. Dar keempat tpe pertumbuhan tersebut, maka pertumbuhan yang dapat memperlhatkan adanya ttk jenuh dalam populas adalah pertumbuhan logstk dengan pembatas dr lnear dan pertumbuhan dengan pembatasdr nonlnear. Selan tu, kedua pertumbuhan tersebut juga memperlhatkan efek dar ketdakadaan sumber. Bentuk ekstras sumber (H) ada tga tpe, yatu ekstras sumber yang berbentuk konstan, ekstras yang bergantung secara lnear terhadap sumber, dan ekstras yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen. Dar ketga tpe tersebut, maka ekstras sumber yang dapat memperlhatkan adanya proses konvers bomassa antara sumber dengan konsumen adalah tpe ekstras sumber yang bergantung secara lnear terhadap raso antara sumber dengan konsumen. Bentuk fungs konvers (f(h)) ada tga tpe yatu, fungs konvers lnear, fungs konvers sgmod, dan fungs konvers hperbolk. Dar ketga tpe ekstras tersebut maka fungs konvers yang dapat memberkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habs adalah fungs konvers hperbolk. Fungs konvers hperbolk menunjukkan bla sumber tetap habs maka konsumen tdak akan memakan sumber lan. Sehngga pertumbuhannya dapat mencapa pertumbuhan nol. Sedangkan jka sumber habs yang habs maka konsumen akan memakan sumber lan sehngga pertumbuhan konsumen tdak sampa pada tngkat pertumbuhan nol. Hal n karena sumber tetap adalah sumber yang dapat dperbaharu, sedangkan sumber habs adalah sumber yang tdak dapat dperbaharu. Model IS dan model BC mempunya perbedaan prnsp dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Sehngga untuk menyatukan kedua prnsp maka dperlukan suatu teor tunggal mengena hubungan antara sumber dengan konsumen, yatu teor tunggal ekolog sumber konsumen. Dar teor tersebut, maka dperoleh model baru yang dapat menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, yatu model sumber konsumen. Model tersebut adalah merupakan model BC. Dan dengan beberapa asums maka dar model sumber konsumen tersebut dhaslkan dua kasus khusus, yatu model Lesle dan model Berryman. Model Lesle bergantung pada raso lnear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sedangkan model Berryman tdak tergantung pada raso yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sehngga model Berryman lebh memperlhatkan adanya konvers bomassa dar sumber ke konsumen. Selan tu, model sumber konsumen akan menghaslkan kasus khusus yang lan, yatu dengan mengkombnaskan ekstras sumber (H) dan fungs pertumbuhan perkapta (f(h)). DAFTAR PUSTAKA Kreyszg, M Matematka Tehnk Lanjutan. Eds ke 6, Buku I. Terjemahan Sumantr, B. Grameda Pustaka Utama, Jakarta. Tu, P. N. V Dynamcal System,An Introducton wth Applcaton n Economcs and Bology. Sprnger Verlag. Hedelberg. Germany. Ramos, R and Jlberto Resource Consumer Model and TheBomass Converson Prncple. Envronmental Modellng & Software 20: Elsever. Vandermeer, J Elementary Mathematcal Ecology. Kreger Publshng Company. Malabar, Florda. 21

22 LAMPIRAN 22

23 Lampran 1. Program Pembuatan Grafk Pertumbuhan (G) dengan Software Mathematca. 1. Program Grafk Pertumbuhan Eksponensal a=1; Flatten[gensol=DSolve[{x'[t] a*x[t],x[0] 3},x[t],t]] 3 t < numsol=ndsolve[{x'[t] a*x[t],x[0] 3},x[t],{t,0,10}] {{x[t] InterpolatngFuncton[{{0.,10.}},<>][t]}} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange {{0,2},{0,15}}] 2. Program Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Lnear numsol=ndsolve [{x'[t] (a-b*x[t])*x[t],x[2] 3},x[t],{t,0,10}]//Flatten {x[t] InterpolatngFuncton[{{0.,10.}},<>][t]} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange All] 3. Program Grafk Pertumbuhan Gompertz coba a=3 dan b=1/2 persamaan1={x'[t] (a-b Log[x[t]]) x[t]} Ha blog@x@tddl x@td< a= 3; b = 1 2 ; sol1 = DSolve@persamaan1, x@td,tdêê Flatten ff@t_d = sol1@@1, 2DD ê.c@1d 0 :x@td 6+ t 2 +C@1D > 6+ tê2 Plot[ff[x],{x,0,10}] 4. Program Grafk Pertumbuhan Logstk dengan Pembatas Dr Nonlnear numsol = NDSolveA9x'@tD Ia b Hx@tDL β M x@td,x@0d 1=,x@tD, 8t, 0, 10<E {{x[t] InterpolatngFuncton[{{0.,10.}},<>][t]}} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange {{0,5},{0,15}}] Lampran 2. Program Pembuatan Grafk Fungs Konvers (f(h)) dengan Software 23

24 Mathematca. 1. Program grafk fungs konvers lnear adalah sebaga berkut : f[h_]:=m H+w m=0.01; w=-0.1; gbr1=plot[f[h],{h,0,100}] 2. Program grafk fungs konvers sgmod adalah sebaga berkut : σ v f2@h_d := 1+ I + v γ H Mz z= 4; σ=1; v= 0.1; γ=50; gbr2=plot[f2[h],{h,0,100}] 3. Program grafk fungs konvers hperbolk adalah sebaga berkut : f3@h_d := ρj1 k H N ρ=1; k = 20; gbr3=plot[f3[h],{h,0,100}] 24